勾股定理拓展练习含解析.doc

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1、-16勾股定理拓展练习(含解析)一、选择题共3小题，每题4分，总分值12分14分1999*如图，在四边形ABCD中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，则AB=A4B5C2D24分假设三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30，则这个三角形是A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上都不对34分如图，过ABC的顶点A的直线DEBC，ABC、ACB的平分线分别交DE于E、D两点，假设AB=6，AC=8，则DE=A10B14C16D24二、填空题共7小题，每题5分，总分值35分45分如图，P为ABC边BC上的一点，且PC=2PB，ABC=45，APC=60，则ACB的度数是_55分

2、1997如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90，则DAB的度数是_65分如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且ABC=90，则四边形ABCD的面积是_cm275分如图，P是长方形ABCD一点，PA=3，PB=4，PC=5，则PD2等于_85分如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则SAEF=_cm295分如图，A=B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB=_105分如图

3、，一个直角三角形的三边长均为正整数，它的一条直角边的长恰是3，则另一条直角边的长是_三、解答题共4小题，总分值53分1112分如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D是BC上的点求证：BD2+CD2=2AD21213分如图：在ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQAD于Q求证：ADCBEA；BP=2PQ1314分如图，在等腰直角ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使EAF=45，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形1414分如图，在RtABC中，A=90，D为斜边BC中点，DEDF，求证：EF2=BE2+CF2第1章勾股定理2021年拓展练习参

4、考答案与试题解析一、选择题共3小题，每题4分，总分值12分14分1999*如图，在四边形ABCD中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，则AB=A4B5C2D考点：解直角三角形专题：计算题；压轴题分析：分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可解答：解：如图，延长AD，BC交于点E，则E=30在CED中，CE=2CD=630锐角所对直角边等于斜边一半，BE=BC+CE=8，在AEB中，AE=2AB30锐角所对直角边等于斜边一半AB2+BE2=AE2，即AB2+64=2AB2，3AB2=64，解得：AB=应选D点评：此题通过作辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识进展计

5、算24分假设三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30，则这个三角形是A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上都不对考点：三角形分析：如图，分AB是30角所对的边AC的2倍和AB是30角相邻的边AC的2倍两种情况求解解答：解：如图：1当AB是30角所对的边AC的2倍时，ABC是直角三角形；2当AB是30角相邻的边AC的2倍时，ABC是钝角三角形所以三角形的形状不能确定应选D点评：解答此题关键在于30的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形状不能确定34分如图，过ABC的顶点A的直线DEBC，ABC、ACB的平分线分别交DE于E、D两点，假设AB=6，AC=8，则DE=A10

6、B14C16D24考点：勾股定理；平行四边形的性质分析：BE为ABC的角平分线，EBC=ABE，CD为ACB的角平分线，则ACD=DCB，因为BCDE，根据平行线的性质，错角相等，可得出AD=AC，AB=AE，所以DE=AD+AE=AB+AC，从而可求出DE的长度解答：解：由分析得：EBC=ABE，ACD=DCB；根据平行线的性质得：DCB=CDE，EBC=BED；所以ADC=ACD，ABE=AEB，则AD=AC，AB=AE；所以DE=AD+AE=AB+AC=6+8=14；应选B点评：此题考点：平行四边形的性质两直线平行，则错角相等然后根据角度相等可得出ADC和ABE为等腰三角形所以DE的长度

7、等于AB和AC的和二、填空题共7小题，每题5分，总分值35分45分如图，P为ABC边BC上的一点，且PC=2PB，ABC=45，APC=60，则ACB的度数是75考点：三角形角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理专题：计算题分析：根据三角形角和定理求出DCP=30，求证PB=PD；再根据三角形外角性质求证BD=AD，再利用BPD是等腰三角形，然后可得AD=DC，ACD=45从而求出ACB的度数解答：解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D连接BD；PCD中，APC=60，DCP=30，PC=2PD，PC=2PB，BP=PD，BPD是等腰三角形，BDP=DBP=30，ABP=4

8、5，ABD=15，BAP=APCABC=6045=15，ABD=BAD=15，BD=AD，DBP=4515=30，DCP=30，BD=DC，BDC是等腰三角形，BD=AD，AD=DC，CDA=90，ACD=45，ACB=DCP+ACD=75，故答案为：75点评：此题主要考察学生三角形角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题55分1997如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90，则DAB的度数是135考点：勾股定理的逆定理分析：由可得AB=BC，从而可求得BAC的度数，再根据可求得AC：C

9、D：DA=2：3：1，从而发现其符合勾股定理的逆定理，即可得到ADC=90，从而不难求得DAB的度数解答：解：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90，AB=BC，BAC=ACB=45，AB：BC：AC=2：2：2=1：1：，AC：CD：DA=2：3：1，AC2+AD2=CD2DAC=90，DAB=45+90=135点评：此题主要考察学生对勾股定理的逆定理的理解及运用能力65分如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且ABC=90，则四边形ABCD的面积是144cm2考点：勾股定理的逆定理；勾股定理分析：连接AC，根据勾股定理可求得AC

10、的长，再根据勾股定理的逆定理得，ADC也是直角三角形，分别求得两个三角形的面积即可得到四边形ABCD的面积解答：解：连接ACAB=6cm，BC=8cm，ABC=90AC=10cmCD=24cm，DA=26cmAC2+CD2=AD2ACD=90SABC=68=24cm2SACD=1024=120cm2四边形ABCD的面积=24+120=144cm2点评：此题主要考察学生对勾股定理逆定理及三角形面积的理解及运用能力75分如图，P是长方形ABCD一点，PA=3，PB=4，PC=5，则PD2等于18考点：勾股定理分析：可过P作AD、AB的平行线，将矩形ABCD分割成四个小矩形，然后根据勾股定理求出PA

11、、PB、PC、PD四条线段的长度的数量关系，然后再代值计算解答：解：如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；由勾股定理得：PA2=a2+b2，PC2=c2+d2；PB2=b2+c2，PD2=a2+d2；因此：PA2+PC2=PB2+PD2，即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18点评：此题考察了矩形的性质和勾股定理的应用，正确地得到PA、PB、PC、PD四条线段之间的数量关系至关重要85分如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则SAEF=cm2考点：翻折变换折叠问题分析：由翻折的性质知DF=DF，CE=AE

12、，且CE=BCBE，故由勾股定理求得BE的长，再证得ABEADF，有AF=ADFD，则SAEF=AFAB解答：解：由题意知，DF=DF，CE=AE，在RtABE中，AB2+BE2=AE2，AB2+BE2=BCBE2，即32+BE2=4BE2，解得：BE=，DAF+EAF=EAF+BAE=90，DAF=BAE又D=B=90，AD=CD=ABDAFBAEFD=DF=BE=AF=ADFD=4=SAEF=AFAB=3=故此题答案为：点评：此题考察了翻折的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理95分如图，A=B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=

13、12，则AP+PB=13考点：勾股定理分析：过P做A1B1平行线，得到两个直角三角形，利用勾股定理解出AP和BP的长，再计算AP+PB解答：解：方法一：如图：AD=AA1A1D=1716=1；BC=B1BB1C=2016=4；又A=BtanA=tanBCP=4DPCP=，DP=AP=，BP=故AP+PB=13方法二：过p点作A1B1平行线，分别交AA1于D点，交BB1于F点，延长BP交AA1于c点，过C点作CG垂直于BB1于G点AA1，BB1分别垂直于A1B1AA1BB1又A=B，A=ACP，三角形ACP为等腰三角形，AP=CPAP+BP=CP+PB=CBFDA1B1，FD垂直于AA1，D为A

14、C的中点又PP1=16，AA1=17，BB1=20AD=DC=FG=1，BF=4BG=BF+FG=4+1=5在直角三角形CGB中CG=A1B1=12BG=5CB2=CG2+BG2=122+52CB=13=AP+PB点评：考察了勾股定理和三角函数在直角三角形中的应用105分如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，它的一条直角边的长恰是3，则另一条直角边的长是4考点：勾股定理分析：根据勾股定理，两边的平方和等于第三边的平方，设另一条直角边a，根据勾股定理可以得出斜边为，根据边长的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合边长为整数，进而得出a的值解答：解：设另一个直角边为a，则根据勾股定理

15、可以得出斜边为，由三角形的边长关系：3+a，边长为整数，a=4，即斜边为5即另一条直角边的长是4点评：此题考察了勾股定理的应用，属于比拟简单的题目，需要熟练掌握三、解答题共4小题，总分值53分1112分如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D是BC上的点求证：BD2+CD2=2AD2考点：勾股定理专题：证明题分析：作AEBC于E，由于BAC=90，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD2+CD2=2AD2，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2，AE2=AB2BE2=AC2CE2，ED=BDBE=CECD，代入求出三者之间的关系即可得证解答：证

16、明：作AEBC于E，如上图所示：由题意得：ED=BDBE=CECD，在ABC中，BAC=90，AB=AC，BE=CE=BC，由勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，AE2=AB2BE2=AC2CE2，AD2=AE2+ED2，2AD2=2AE2+2ED2=AB2BE2+BDBE2+AC2CE2+CECD2=AB2+AC2+BD2+CD22BDBE2CDCE=AB2+AC2+BD2+CD22BCBC=BD2+CD2，即：BD2+CD2=2AD2点评：此题主要考察勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，此题主要运用“等量代换求出BD、CD、AD三者之间的关系1213分如图：在ABC中，AB

17、=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQAD于Q求证：ADCBEA；BP=2PQ考点：等边三角形的判定与性质专题：证明题分析：1由可得ABC是等边三角形，从而得到BAC=C=60，根据SAS即可判定ADCBEA；2根据全等三角形的性质可得到ABE=CAD，再根据等角的性质即可求得BPQ=60，再根据余角的性质得到PBQ=30，根据在直角三角形中30的角对的边是斜边的一半即可证得结果解答：证明：1AB=BC=AC，ABC是等边三角形BAC=C=60AB=AC，AE=CD，ADCBEA2ADCBEA，ABE=CADCAD+BAD=60，ABE+BAD=60BPQ=60BQAD，PBQ=

18、30BP=2PQ点评：此题主要考察学生对等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力1314分如图，在等腰直角ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使EAF=45，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形考点：勾股定理的逆定理专题：证明题分析：由A作垂线交BC于H，设BAE=y，设BH=AH=CH=1，从而用正切函数表示出EH，HF，EF，BE，CF，再将*=tany代入化简，根据勾股定理的逆定理可得到CF2+BE2=EF2，从而可判定以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形解答：解：由A作垂线交BC于H设BAE=y，设BH=AH=CH=1则EH=tan45y=H

19、F=tanyEF=EH+HF=+tanyBE=1EH=CF=1tany令*=tany，则EF=*+BE=CF=1*CF2+BE2=1*2+2=*+2=EF2故这三条线段可做成直角三角形点评：此题主要考察学生对勾股定理的逆定理的运用能力1414分如图，在RtABC中，A=90，D为斜边BC中点，DEDF，求证：EF2=BE2+CF2考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，由于DF=DF，EDF=FDG=90，DG=DE，可得出EDFGDF，所以EF=FG，同理证出BE=CG，所以要证明EF2=BE2+CF2，只需证明FG2=FC2+CG2即可解答：证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如下图：DF=DF，EDF=FDG=90，DG=DEEDFGDFSAS，EF=FG又D为斜边BC中点BD=DC又BDE=CDG，DE=DGBDECDGSASBE=CG，B=BCGABCGGCA=180A=18090=90在RtFCG中，由勾股定理得：FG2=CF2+CG2=CF2+BE2EF2=FG2=BE2+CF2点评：此题考察勾股定理的应用，关键在于找出相应的直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法. z.