函数同构专题(试题)详解(附答案解析汇编).docx

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1、函数同构专题(二)-.选择题(共5小题)1. (2019岳麓区校级模拟)己知0,函数/(x)=ei-加(x+a)-l(x0)的最小值为0,则实数的取值范围是()A(0,1B.,1)C.D02222. (2020蚌埠三模)己知函数/(x)=EJ+x-(v)-2(0),若函数/(x)在区间(0,x)内存在零点，则实数的取值范围是()A.(O,IBI,oo)C.(0,eD.3,+8)3. (2021春昆明期末)己知函数f(x)=xe，一加X-X-1,若对任意xw(0,+),使/(x).0,则0的最大值为()A.OBe2C1D.el4. (2021春西湖区校级期中)己知函数f(x)=xe,g(x)=x

2、lnx,若/(%)=仪七)=/,其中r0,e是自然对数的底数，则旦的最大值是()A.4-B-4c.-D.-5. (2021三模拟)已知函数/(x)=(X-L+Mr)/+l(ml,若对于任意的XWl1,内)，不等式4x-/(3n,aex-Ina恒成立，则a的最小值为8. (2020福建二模)己知对任意Xe(O,W),都有A(et*+i)-(+!)历r0,则实数&的取值范围为9. (2020重庆模拟)若直线y=ar+6与曲线y=/nr+l相切，则b的最大值为.10. (2021春赤峰期末)己知函数f(x)=e-a-e历(ex+),若关于X的不等式f(x)0恒成立，则实数的取值范围是11. (202

3、0秋湖北月考)若XW(O)时，关于X不等式2+2,%0恒成立，则实数的最大值是.12. (2020秋上月考)已知函数/(X)=+/一g一-2(a0),若/(x)0恒成立，则实数#+2a的取值范围为.13. (2020秋河北月考)已知函数/(幻=片1-，世+?在定义域内没有零点，则的取值范围是.14. (2020秋成都期末)已知关于X的方程2*-2*B=-X2+公一1在区间J,3上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为15. (2020秋连云港月考)已知0,若/nx1,xa恒成立，则的值是.四.解答题(共29小题)16. (2021春西湖区校级期中)设函数/(x)=flxe-r-l(eR).(

4、I)若=l,求函数/(x)的图象在(-1,/(-D)处的切线方程；(2)若不等式f(x)./nx在区间1,+8)上恒成立，求的取值范围.17. (2019春城关区校级月考)己知函数/(x)=x-(q+D/nr,wR.(1)当a=l时，求曲线y=f(x)在点(1,/(1)处的切线方程；(2)令g(x)=(x)-g,讨论g(x)的单调性;(3)当=2时，XF+m+f(x)0恒成立，求实数川的取值范围.(u为自然对数的底数，e=2.71828)I8(2OI4新课标I)设函数)=zu+工，曲线y=f(x)在点(1,/(1)处得切线方程为y=e(x-l)+2(Il)证明：/()I.19. (2019黄山

5、一模)已知函数f(x)=ex-加(X+m)+m.(I)设X=O是f(x)的极值点，求m的值；(11)在(I)的条件下，/(x)-k.0在定义域内恒成立，求A的取值范围；(IID当九2时,证明：fx)m20. (2015新课标I)设函数f(x)=e?，-Mnx.(I)讨论/(X)的导函数r(x)零点的个数；(II)证明：当0时，f(x).2a+aln-.a21. (2020秋润州区校级月考)己知函数/(x)=e、T-底+/也.(1)当=e时，求曲线y=f(x)在(1,/(1)处的切线方程；(2)若f(x).,求的取值范围.22. (2019汉中二模)己知函数f(x)=e-/(x+l)-的图象在x

6、=0处与X轴相切.(1)求f(x)的解析式，并讨论其单调性.(2)若x.(),证明：e,+n(r+1)n(x+1)+1.23. (2020春岳麓区校级月考)己知/(x)=nx-x+l,g(x)=x-ex.为实数.(1)讨论/(x)的单调性；(2)设(x)=/(x)+g(x),求所有的实数值。，使得对任意的x0,不等式(项,1-e恒成立.24. (2020春昆明期末)己知函数F(X)=e*-(+l)nx-2.(1)若x=l是f(x)的极值点，求。的值，并求/(x)的单调区间；(2)当=e时，证明：/(x)2e-(e+)lne+1).25. (2020春昆明期末)己知函数f(x)=e*-(+l)n

7、x-2,e为自然对数的底数.(1)若x=l是f(x)的极值点，求。的值，并求/(x)的单调区间；(2)当=2时，证明：f(x)4-33.26. (2020春安徽期末)己知函数f(x)=e*,g(x)=加(x-l)+l.(1)设G(X)=/(x)-g(x),x=3是G(X)的极值点,求函数G(X)的单调区间；(2)证明：当F时，f(x).g(x).27. (2019重庆模拟)己知函数/(x)=nx-r+,aeR.(1)若/(x)存在极大值/(/)，证明：/().O:(2)若关于X的不等式f(x)+ei.l在区间口，E)上恒成立，求的取值范围.28. (2019春，雅安期末)己知函数/(x)=/n

8、x+ax),(1)若函数f(x)有两个不同的零点，求实数的取值范围；(2)若/(x)0r1+2r-e+e-2a在XW(I,+)上恒成立，求实数。的取值范围.29. (2020秋辽宁月考)己知函数F(X)=e*-HnX+x(wR)有两个极值点Xl,(i2-30. (2015长沙校级-模)已知函数f(x)=ZnUC-(x-l),g(x)=e*.(1)求函数/(x)的单调区间；(2)当a0时，过原点分别作曲线y=f(x)与y=g(x)的切线4,4,已知两切线的斜率互为倒数，证明：-a0,0,e为自然对数的底数.(I)若f(x)和F(X)在区间(0,历3)内具有相同的单调性，求实数的取值范围；（三）若

9、c(w,.且函数g(x)=xe-2v+/(X)的最小值为Af,求M的最小值.33. (2021让胡路区校级三模)已知函数/(x)=(x-2)e-2+r,wR.（三）当xO恒成立，求的取值范围.34. (2020秋一月考)己知函数/(x)=x-/zu.(1)求函数f(x)的最小值;(2)已知实数0,e为自然对数的底数，若F(X)+e+，a.O在(0,+m)上恒成立，求实数a的取值范围.35. (2019深圳二模)己知函数f(x)=ae+2x-l.(其中常数e=2.71828，是自然对数的底数.(I)讨论函数/(x)的单调性；(2)证明：对任意的a.1,当x0时，f(x).(x+ae)x.36.

10、(2020秋眉山期末)己知函数/(x)=C(e为自然对数的底数)，函数g(x)=2J(I)求函数/(X)的最小值；o在(0,2)上恒成立,求实数用的取值范围.37(2020济宁模拟)己知函数f(x)=x-a加x(I)若曲线y=f(x)+6(a,6wR)在X=I处的切线方程为*+y-3=0,求a,力的值；（三）求函数g(%)=f(j0+史】(awR)的极值点;(III)设力(X)=L/(x)+ad-+加4(0),若当xa时，不等式版x).0恒成立，求0的a最小值.38. (2020秋四川月考)己知函数f(x)=x(-a)-2nx+22-2,(awR)(1)当a=2时,若/(x)在点(*，/(%)

11、切线垂直于y轴，求证：lni=w2-)：(2)若/(X).0,求的取值范围.39. (2021凉州区校级模拟)已知函数,f(x)=e-2a-l,g(x)=2aln(x-l),aeR.(I)若/(X)在点(0,f(0)的切线倾斜角为工，求a的值；4(II)求f(x)的单调区间；(n)若对于任意X0,+8),/(x)+g(x).x恒成立，求的取值范围40. (2021春渝中区校级期中)函数/(x)=LL-LX2,r(X)是/(X)的导函数.Hl2(1)若2=1,xwR,证明：/(x)+/(-x).2；(2)若ml,且对任意xe(e,x),吨g一6)+2r(x)仆6恒成立,求实数，的取值范围.41.

12、 (2020秋常州期末)己知函数/(X)=丝(0).(I)当函数F(X)在x=!处的切线斜率为-2时，求/(X)的单调减区间；In-(2)当xl时，/(X).-,求的取值范围.Inx42. (2020秋寿光市校级月考)己知函数/(x)=/zu+0r+l.(I)讨论/(x)的单调性；(2)对任意x0,xe.f(x)恒成立，求实数的最大值.43. (2020浙江模拟)函数f(x)=e-x,0(I)对任意xeO,+oo),/(x)gx2+1恒成立，求的取值范围；(II)若l,对任意xe(e,E),史士竺竺二？一府+6.O恒成立，求。的取值范围.Inx44. (2021春鲤城区校级期末)已知/(X)=

13、春+x,g(x)=(x+l)加(x+l)(1)讨论/(x)的单调性；(2)若函数F(X)=/(x)-g(x)在定义域上单调递增，求实数的取值范围.函数同构专题(二)参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1. (2019岳麓区校级模拟)已知O,函数/(x)=Cll-/(x+)-l(xO)的最小值为0,则实数的取值范围是()A-(0,1B.1,1)C.D.0222【解答】解：由题意知f(a)=eaa-ln(a+a)-l.O,即00时，不等式加,X-I,因此当002合题意，舍去：当“=!时，/(jv)=er-Hx+-)-l.(x-)+lJ-(x+-)-l-l=O(当x=时取等222222号)则。=

14、L2故选：C.2. (2020蚌埠三模)已知函数/(x)=Wr+x-/(av)-2(0),若函数/(x)在区间(0,+0)可得_/(0=土/(a)，efX设尸J令y=x=,.y在XW(0,1)单调递减，在XG(I,内)单调递增,故Hy=l-当O0,此时f(x)在区间(0,田)内无零点;当a=1时，/(1)=-l-/na=0,此时f(x)在区间(O,E)内有零点；当l时，令f(x)=土)=0,解得X=Xl或1或x,且0占la.1方法二：由题意可得eT+Mg=加(r)_*+2,即e-z*-X+1+加(OX)-1=O,因为F.x+l当X=G时等号成立，所以-X+1+加(奴)=O,即以=一,FTA、1

15、(x-l)e1Q=-令g。)=，S)=-*，XXeX易知g(x)在(0,1)单减,在(1,+)上单增，所以g(x).g(1)=1,又X趋近于O和正无穷时，g(x)趋近于正无穷，所以.l.故选：e.3. (2021春昆明期末)己知函数f(x)=xe-nr-x-l,若对任意XG(O,+),使/(x).,则的最大值为()AOB.e2C1De1【解答】解：令g(x)=e-x-l,则g(力=/-1,令gO,解得：x0,令gx)v,解得：x0,e是自然对数的底数，则此的最大值是()【解答】解：由题意，*=，X2Inx2=I,则加子*=二，故 xl = Inx2,且 x 0IntIntInt.，._=,xi

16、2x2lnx2t设(/)=四，0,则f(r)=把，令(f)=0,解得r=e,易得当，w(O,e)时，()0,函数单调递增，当E(e,+o)时,(f)0,函数力(力单调递减,故恤),力(e)=L即生的最大值是L巴1x2E故选：C.5. (2021三模拟)己知函数f(x)=(x-xmmlnx)ex+l(m),即恒有卢工-加et.xm-Inxm(x.构造函数g(x)=x-nx,;g,(x)=l-,.y=g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,E)上单调递增xl,zn0,.0exl,0ml,以e7).以/),.二，V,两边取自然对数得/U-X,./72.-,ItlX令A(x)=-F,则,(x)=丝,I

17、nx(Znx).y=MX)在(Le)上单调递增,在(e,x)上单调递减，二当X=e时,h(x)mm=(?)=-e,-,m0,.g(x2)=X2Inx2=elnx2Inx,又.y=xe在0,)上单调递增，故由得x1-1=Inx2,故(玉/一/)加，=毛加x2=7，令A()=t1lntt0),则/(0=2tlnt+f,令(力O,解得:d令V0,解得：OVrVeK故力(f)在(0,e2)递减，在(e2,田)递增，故j(f)nwl=me2)=-,2e故选：BC.三.填空题(共9小题)7. (2021春淇滨区校级月考)己知1,若对于任意的工日工，内)，不等式4x-历(3x),aex-历4恒成立，则的最小

18、值为-.【解答】解：4x-/(3x),aex-Ina恒成立O3x加(3x),aexIna-Xu3x-/(3x,ael-lnaex),令/(*)=X-InX,fx)=1-=-,故/(X)在II，+8)上单调递增,.l,Xw-,),.3x,1,+00),故3&aexQa恒成立，令g(x)=，只需.g(x)nw,由g，(X)=千二，e故X=I时，g(x)的最大值是二，故.L,故。的最小值是二，故答案为：8. (2020福建二模)已知对任意Xe(O,e),都有Meh+l)-(l+l)r0，则实数A的取值范围为_)_【解答】解：对任意XE(0,”)，都有(/+l)-(l+3nr0,可得kx(ix1)(1

19、+x)bc,即(1+e)lneLl(1+X)InX,可设/()=(l+)nv,可得上式即为f(*)/&),由/(工)=加X+1+，/M(x)=-T=3，当xl时，fl,(x)0tr(x)递增；当0o恒成立，可得/)在(o,)递增，则小x恒成立，即有A蛆恒成立，可设g(x)=，gfM=-竺，当*e时，gr(x)递减；当OVXVe时，gl(x)O,烈尤)递增，可得g(x)在X=C处取得极大值，且为最大值1，则a!,即衣的取值范围是d，+o)*吕2故答案为(I1丑).9. (2020重庆模拟)若直线y=(+b与曲线y=nx+l相切，则a方的最大值为-.【解答】解：设切点为CX0,rtv0+1),则切

20、线为y=,(4-%)+/%+1=x+3j,所以L=,/,u0=6,则b=,/令g(x)=生，所以g，(X)=二竺，所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,3)上单调递减，则g(X)S=g=,即H的最大值为-故答案为：-.10. (2021春赤峰期末)己知函数/(x)=e-6(ek+a),若关于上的不等式/(x)0恒成立，则实数的取值范围是_(y,0)_.【解答】解：【方法一：隐零点】、a/(x)=ex-a-eln(ex+)的定义域为(,+),/(x)=ex,Uex+显然尸(X)在(-E,+)上单调递增，当x(-g)+时，,(x)x,当x+8时r()y,所以函数/(X)在(-g,+)上存在唯

21、一零点%,/(三)=O，当-gx%时.，/(x)x时，f(x)O,/(X)在(fl,E)上单调递增，所以/(x),rt=()=e-eln(ex0+),由题意可得/(X)MZ)I0,即e-eln(ex+)0,2因为/(Xo)=Ooe=0oe.q+q=zOa=0-ej,e%+口T以e*elf(ex+)Oe(已-“CXU)式2毛)O因为y=e+ex是增函数，所以j2-用O01,令g(x)=e2x-ex,gr(x)=-e,0)【方法二：反函数】f(x)=e-a-eln(ex+a)0e,-ln(ex+a),因为函数y=ei-g和函数y=/(ex+a)互为反函数，e因为互为反函数的两个函数图象关于直线y=

22、x对称，所以T一g加(uX+q)恒成立，等价于-gxo0r一,令(x)=ex-exfKx)=ex-e,当XVl时，(x)l时，/(x)0,人(外在(l,x)单调递增，所以力(x).=力(1)=0,所以v,故0的取值范围为(-,0)【方法三：同构】,(x)=e*-a-eln(ex-d)0oxereln(ex+a)exe,xeln+ayeln(exa),令P(X)=+x,所以/Xx)p(ln(ex+),由因为P(K)是增函数，所以，(ex+n)Oa5+2，,%0恒成立，则实数的最大值是2e_.【解答】解：令/()=Or*+2lnx,X(0)e八工)=3ett+丘JW,当0.0时，在(0)上，f(x

23、)O,/(x)单调递增，所以”WV八7=je-2,若工(0)时，关于R不等式or+2zt,O恒成立，则二f-2,O,令r=gO),则3e-Z,0,即fe-2e0,所以此，2i,设W)=为增函数，所以f2,即2,所以喷山茨，当v时，x5ea0,2ZnxO,g(x)单调递增，则g“)Vgd)=-e.所以2e,所以小聂.故答案为：2e12. (2020秋上月考)已知函数/(x)=eJ，/-?-2(0),若/(x)0恒成立，则实数工+2a的取值范围为(e,+x)_.【解答】解：f(x)-aex+In-2(0),x+2函数/()的定义域是(-2,K),若/(x)0恒成立，则产+lnaln(x+2)+2,

24、两边加上X得到：/+痴+Iiwx+2+加(X+2)=Jg+历(X+2),.y=e+x单调递增,.x+butln(x+2),BPInaln(x+2)-x,令8(x)=加(X+2)-x,(.v-2),则 g(x) =I,-X-I=x+2.x+2x(-2,-l)f1g(x)O,g(x)递增,x(-l,+co)时，gY*)O,g(x)递减,故A身Wrrar=j?(-l)=1e，故答案为：(e,3).13. (2020秋河北月考)已知函数/(X)=/-LnX+四在定义域内没有零点，则的取值范围是(-1-彷2,+c)_【解答】解：f(x)=eix*a-Inx+-.定义域是(0,位)，fx)=t,-,令g(

25、x)=2,A(X)=-.2/2*当x0时，g(x)单调递增，g(x)w(2c,+oo),(x)单调递减，力(X)e(0,+)故存在Je(0,+oo),使得rc)=,即勿儿-L=O,即4/9。=-!-，两边取对数得力4+2%+=Tzu0，而f(x)在(0,%)递减，在(X。,+8)递增，故fMmin=()0-故e%+-g仁+；0,22将代入上式得：J_+叫/+,4/22化简得X0-加2,4%.-L+.%.当且仅当-L=Xo时“=”成立，4%4%*fi-加2-1-加2,4用故-1-加2故的取值范围是(-1-/2,+8),故答案为：(-1z2,+).法二：问题转化为2e=曲-a无解，即2e2l+ff

26、(2x+)=2x+加X=2epu+/以工无解，令g(x)=2/+工，g(上)单调递增，故g(2+a)=(r)无解，iil2xa=l11jc无解，即2x-nr+a=0无解，令A(x)=2xu+a+则h,(x)2十心)在(Oq)递减，在(J,+)递胤故Mx)-M；)工1+加2+q,又工一0*时，MX)fx,XT+8时，MX)Tx,故力g)0,a-Itil,故答案为：(-1/2,+).14. (2020秋成都期末)已知关于X的方程2-2111=-/+依_在区间；,3上有两个不相等的丈数根，则实数。的取值范围为_岂_.【解答】解：因为方程23J2E=-f+al,所以变形为2+1+(+l)=2ttv+a

27、x,令)=2,+f,则有久Y2+1)=)，因为/(f)=2+r在上单调递增，所以/(x2+1)=/(ar)即为V+1=OV,故当Xe1,3时，Y+1=ar有两个不相等的实数根，2在2+1-oc=0中，则有01岭，.07(3).03IWj62-40,即，11，+1.0429-3+1.0解得2【解答】解：方法一：因为O,若/几1,H，4恒成立,所以空e,Xa、Otr/“)=，g0,问题转化为一力叫妆vXPIrix1j/U)=-=-当4(0,e)时，,(x)0,f(x)单调递增,当xe(e,3)时，,(x)0,(a)单调递增，当e(自+x，)时，(a)v0,A(a)单调递减,所以当=e时，(a)h(

28、e)=0.方法蛆,跑,令/=出，Xa则/(xJ(a),即/(a)为/(x)的最大值，又U(X)=U竺，易知f(x)在(0,e)上单增，在(e,+)上单减，所以f(x)2=/(e),所以=e故答案为：e.四.解答题(共29小题)16. (2021春西湖区校级期中)设函数/(x)=r-r-l(wR).(1)若=l,求函数/(x)的图象在(-1,/(-D)处的切线方程；(2)若不等式/(X)./nr在区间1,+8)上恒成立，求a的取值范围.【解答】解：(1)当=l时，/(x)=XeX-X-1,/(x)=(x+l)/-1(2分)乂y(1)=,/(一1)=一1；y+-=-(X+1),(3分)即函数f(x

29、)的图象在(-1,f(-l)处的切线方程为y=一*一1一!(4分)e(2)当X=I时，e-1.0,a.：(i)当一!一,O,又Rd)0，所以存在4e(工，1),使得当Xe4)时，R(x)O,所以当XW,4)时，)0即(冷在1,4)上单调递减，11-所以(X)(一)=-L-1)0,所以函数G(X)在区间/,+8)上单调递增，所以函数G(X)在区间1,+8)上最多有一个零点.又因为G(-=-e-lO.所以存在唯一的Ced,1),使得G(c)=0(10分)e当XWd,c)时，G(x)0,即当xc)时，F(X)0T所以函数尸(X)在区间P,C)上单调递减，在区间(c,w)上单调递增，从而F(X).尸(

30、c)=C-elIncc1.11分)由G(c)=0,得ce1=0,即ce=l,两边取对数得加c+c=0,所以7(c)=cefInc-c=(ce*1)-(nc+c)=0-0=0,所以尸(X).尸(c)=0即F(X).0,所以不等式f(X).Inx在区间(0,x)上恒成立.所以的取值范围为G.1(12分)17. (2019春城关区校级月考)已知函数/(x)=x-(q+D，nr,awR.(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(1,/(1)处的切线方程；(2)令g(x)=/(x)一州，讨论g(x)的单调性；(3)当=2时，x/+m+f(x)0恒成立，求实数,的取值范围.(u为自然对数的底数,=2,71

31、828.).【解答】解析：(1)函数/(x)=x-(+l)nr,CIeR.当a=l时，曲线y=f(x)在点(1,/(I)处有：r)=l-3广(I)=-i,/(1)=1,所以曲线y=f()在点(1,/(1)处的切线方程由点斜式可得：x+y-2=0；(2) g(x)=-(+l)nx-定义域为：(0,+),*+l,(x-l)(-)gO)-I+r=；当40时，当xl时，g(x)O,g(x)在(l,y)单调递增；当Oxl时，g(x)O,g(x)在(0,1)单调递减；当Ovl时，当Oxl时，g(x)O,g(x)在(0,),(l,kx)上单调递增；当xl时，g(x)l时,当OeXcl或x时，g(x)O,g(

32、x)在(0,1),(,+)上单调递增；当lx时，g(x)O,g(x)在(1)单调递减.综上：当q,0时，g(x)在(1,内)单调递增，在(0,1)单调递减；当Ol时，g(x)在(0,1),(,+oo)上单调递增，在(La)单调递减.(3)当。=2ett,xex+m+f(x).O,即：xe*+zn+x-(2e+l)nx.0恒成立，设MX)=Ma+m+X-Qe+i)lnx.y)=叱+/+I-丝L显然(X)在(0,3)上单调递增，且(1)=0,所以当X6(0,l)时，力(x)O.即力(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+00)上单调递增.h(x)min=h(1)=e+z+1.0,所以：7.e-1,

33、所以切的取值范围为-e-1,+8).18. (2014新课标I)设函数/(x)=enx+竺二，曲线y=(x)在点(1,/(1)处得切线方程为y=dx-l)+2.(.1)求、：(II)证明：f(x)l.【解答】解：(I)函数/(X)的定义域为(O,+),/(X)=aelnx+“-日+，i,XJrX由题意可得/(1)=2,ft(1)=C,故=1,=2:(II)由(I)知，f(x)=exlnx+=*要证f(x)l,即Hu+J1,lnx-,Xcxe./(x)1xlnxxe-,设函数g(x)=x,则g(x)=l+nr,当Xe(0)时，g(x)O故g(x)在(0)上单调递减，在(1，+0;当(l,o)时，(x)0时，g(x)A()即f(x)l.19. (2019黄山一模)