第4节三角函数的图象与性质公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、第4节三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.I知识诊断基础夯实知识梳理1 .用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sinx,0,2兀的图象中，五个关键点是：(0,0),图1)，(兀，0),佟,(2,0).余弦函数y=cosx,x0,2兀的图象中，五个关键点是：(0,1),住0),(,一1),作,0),(2,1).2 .正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中Z)函数y=sinXy=cosXy=tanx图象J.SliA-51pKii邓定义域RR1xER,且XWE+己值域LI

2、，11LI，11R最小正周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2ky22-2T一兀,2兀1(f)递减区间Tr3兀2+,2E+k叁工_2E,2E+l无对称中心(E,0)(far+10)修。)对称轴方程,.x=o2X=k无常用结论1 .正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2 .三角函数中奇函数一般可化为y=4sin3X或y=Atan的形式，偶函数一般可化为y=Acosx+b的形式.3 .对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(也一去E+?(AZ)内为增函数

3、.诊断自测1 .思考辨析(在括号内打“J”或“X”)(1)余弦函数y=cosx的对称轴是y轴.()正切函数y=tanx在定义域内是增函数.()(3)已知y=依inx+l,xR,则y的最大值为A+l.()(4)y=sinx是偶函数.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)余弦函数y=cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数y=tanX在每一个区间也一E+J(AZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.当k0时，ymax=L+h当KO时，ymax=-Z+l.2 .(2022福州质检)下列函数中，周期为可，且在区间停兀)上单调递增的是()AJ=ISinXlB.

4、y=tan2xCJ=CoS2xDJ=Sin2x答案C解析对于A,y=sinx的周期为兀，在(去兀)上单调递减，不合要求；对于B,y=tan2x的周期为看在像刻和信兀)上单调递增，不合要求；对于C,y=cos2x的周期为兀，在色，Tr)上单调递增，符合要求;对于D,y=sin2x的周期为兀，在售，兀）上不单调，不合要求.3 .（2022青岛调研）函数），=3tan（2t+；）的定义域是（）A.xxE+,Zbtx-1,AzC.卜x+,ZrZD.xx,Az答案CTTTr解析要使函数有意义，则2x+*&+F,kez,kjr即xN5+d,kGZ,Z0所以函数的定义域为“x,k三Z.YY4 .（2021全

5、国乙卷涵数y（x）=sin+cosQ的最小正周期和最大值分别是（）A,3和啦B.3冗和2C.6和啦D.6和2答案CXY解析因为函数U)=sin+cosQ=M也.x2x)Y2g-sn2cos3Jr(.XX.)21sinWCOS十COSWSInWJ=啦Sin停+；),所以函数7U)的最小正周期T=午=6,最大值为，35.（多选）（2022广州一模）已知函数於）=sin2x+2cos2x,则（）Ay（X）的最大值为3B段）的图象关于直线X=W对称CU）的图象关于点（WI）对称TTDA）在一7无上单调递增答案BC解析TU）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin2x+j+1,则

6、/U）的最大值为啦+1,故A错误；周=而抽（2号+g+1=2+1,Tr则段）的图象关于直线X=W对称，故B正确；乂一方）=啦sin2x（骷；+1=1,则/）的图象关于点（一去1）对称，故C正确；,兀兀I13l,兀兀兀rr兀兀1I当一不工时，2x+ae一不7，故当2x+we一不2ysP-reL-4,瓦!时,函数单调递增；当法+铝区引，即x.q时，函数单调递减，故D错误.6.cos23o,sin68o,CoS97。的大小关系是.答案sin68ocos23ocos97解析sin680=cos22,又y=cosx在0。，180。上是减函数，sin68ocos23ocos97.考点突破题型剖析J考点一二

7、角函数的正义域和值域1 x）=sin3xcosXsinxcos3x的最大值为（）AqB.C乎Dl答案B解析,)=sin3xcosxsinxcos3x=sinXCoSx(sin2-cos2)=sinZrcos2x=一sin4x,.*.(x)=sin3xcos-sinxcos3x的最大值为2.函数y=lg(sinx)+、ycosx的定义域为.答案2O,解析要使函数有意义，贝U1COSx-20,sinx0,即cosx2i2kx0,3bcB.acbC.cabD,bac答案A解析=()=2cos喑，8=年)=2CoS三，C=C=2cos瑞，因为y=cosx在0,兀上递减，又翳4幡，所以4c角度2根据三角

8、函数的单调性求参数例3已知0,函数火X）=TCoS一sin（兀一5）在俘野上单调递增，则G的取值范围是（B.(2, 6)A.2,6D.（2,号匚10C2,y答案C解析由已知/U）=cos-2sin（）=2cosGX一节-sin5=Sinxcos石cos coxSiny=sin(+y),所以c, . . 52E-1Wq 十不, . 3兀？. 严+不 W2E+,225kGZ,解得6k-44由6k4W4A得又0,ZZ,因此女=1,所以2WWy.感悟提升1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成），=ASin（5+夕）形式，再求y=Asin（x+g）的单调区间，只需把x+s看作一个整体代入y=s

9、in工的相应单调区间内即可，注意要先把3化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数口的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.训练2（1）（2021新高考I卷）下列区间中,单调递增的区间是(3 CM工.De,2答案ATrTtTtTt2Tt解析法一令-尹2Ej-肝e+2E,RZ,得-+2E外+2E,ZZ.取k=0,则一rwg为（0,手一1，y,所以区间（0,9是函数兀r）的单调递增区间.法二当（KVW时，一台一患，所以於）在（。，舒上单调递增，故A正确

10、；当54兀时，亲招，所以段）在（；，兀）上不单调，故B不正确；当r4,7,所以/U）在（,第上单调递减，故C不正确；当等b2时，0,故一。十叁4，因为/（X）=啦COSG+，在-4,上是减函数，CH一+含0,所以j+g,解得0忘今所以的最大值是全09（3）已知0,函数/U）=sin（s+;）在图兀）上单调递减，则的取值范围是ATTLT兀CgCOTt.TtIjr.Jt角牛析由40,得-+ws+aO）在区间0,1上至少出现50次最大值，则口的最小值为（）A.98B.-C.-D.100答案B11971972解析由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以詈T=宁子444CO1,所以2与4.

11、二、利用三角函数的单调性求解TC例2若函数J(X)=Sin5(G0)在区间岳全上单调递减，则3的取值范围是()八2八323/1A.O,WB.0,2C.y3D.3答案D3解析令g+2EWO,所以Z20,33又6k+V4X+3(%Z),得OWzV7%Z),所以k=0.,3故1W0W3.三、利用三角函数的最值、图象的对称性求解例3已知函数段)=sin(0,附芍)，x=彳为危)的零点，直线X=：为y=U)图象的对称轴，且於)在(表，用上单调，则口的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B解析因为R=；为共幻的零点，X=；为於）的图象的对称轴，所以;一（一=（+ZT,即I=T=4Q）t所以g=4Z+

12、I（AWN）,又因为）在（Y石J上5JrTtitT2冗单调，所以石一同=五S=五1即gW12,由此得口的最大值为9.I分层训练,巩固提升A级基础巩固1 .下列函数中，是周期函数的为（）Ay(X)=SinxBt(x)=tanxCNr)=ItanMD)=(x-1)0答案C解析对于C,/U+）=tan+r）=tanM=/U），所以7U）是周期函数，其余均不是周期函数.2 .下列函数中，是奇函数的是（）AJ=ICoSX+11Bj=I-sinXC.y=3sin（2x）D.y=1tanx答案C解析选项A中的函数是偶函数，选项B,D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y=-3sin（2x+）=3sin2

13、x,所以是奇函数，选C.3 .（多选）已知函数yr）=sin4-cos4,则下列说法正确的是（）A（x）的最小正周期为兀B7U）的最大值为2C/U）的图象关于y轴对称TTTTDKE）在区间匕，力上单调递增答案ACD解析,）=sin4-Cos4X=Sin2X-Cos2X=cos2x,，函数段）的最小正周期T=,段）的最大值为1.：R-)=-cos(2x)=cos2x=J(x),加C)为偶函数,其图象关于y轴对称.y=cos2x在；，5上单调递减，/U)=cos2x在;，方上单调递增，故选ACD.4 .如果函数y=3cos(2x+s)的图象关于点俘0)对称，那么|创的最小值为()iC兀兀一A.B.

14、C.D，2答案A解析由题意得3cos(2X专+)=3cos管+2)=3cos停+J=O,2兀Tt亍+9=依+/(%Z),TTTT.0=一小Z),取Z=O,得I研的最小值为X.5 .若y(x)=sin(2x争，则()A.i)2)3)B(3)2)1)c.y(2)y(i)3)D.Dy(3)2)答案A解析由9公一畀:，可得票，所以函数段)在区间段，制上单调递3TT3TT3TE37r7r7减，由于IVKV2,且京一1V2W，故42).由于V2Vw3-y,故人2)43),所以犬1)人2)43),故选A.6 .(多选)已知函数段)=sinx+sinx,下列结论正确的是()A(x)是偶函数B(x)在区间6，)

15、单调递增C/U)在一兀，兀有4个零点D(x)的最大值为2答案AD解析八-x)=Sinl-x|+|sin(x)|=SinIX+SinM=r),/(X)为偶函数，故A正Tr确；当5兀时，t(x)=sinx+sinx=2sinx,孙)在传，)上单调递减，故B不正确；危)在兀，兀上的图象如图所示，由图可知函数r)在一兀,兀上只有3个零点,故C不正确；？=SinlXI与=sin川的最大值都为1且可以同时取到，J(x)可以取到最大值2,故D正确.7 .函数y=RsinxcosX的定义域为.Ti5答案2&+2E+w(ZZ)解析要使函数有意义，必须使SinX-COSX20.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上

16、y=snx和y=cosX的图象，F=COS X的周期是2兀，所以原函数的定义域为序号).（填如图所示.在0,2兀内，满足SinX=COSX的X为:，y,再结合正弦、余弦函数/U)的周期是多/U)的值域是yyWR,且y关0；5Jr直线X=竽是函数y图象的一条对称轴；/U)的单调递减区间是(2E亨，2E+,ZZ.答案解析函数/U)的周期为2,错；7U)的值域为W,+),错；当k苧时，%点=手岑，gZ,n=系不是於)的对称轴，错；TTI2TT71令EV-dE,Z,可得2E于工0)在一；，号上单调递增，那么常数3的一个取值为.答案女答案不唯一)解析/(x)=sin5(口0)在一；，号上单调递增，则与嗡

17、3(一；)一看310O,OW3W兀)是偶函数，且在TrO,Zl上是减函数，则尹=,G的最大值是.答案三2JrJT解析由题意知9=+2E,AZ,又OW9W7t,所以e=故函数y(x)=八人CIIlCr,2m2m_人COSftzr令2机兀WftrW7i+2m,wZ,每二T-WXWW+q-,wZ,令m=0,得OxB所以受沙，解得0O,OVSV用的最小正周期为兀(1)当Kr)为偶函数时，求O的值；(2)若段)的图象过点年里求危)的单调递增区间.解因为於)的最小正周期为兀，2H所以T=,即幻=2.CD所以/U)=sin(2x+0).JT(1)当Kr)为偶函数时，s=e+E(AZ),因为OVgV空，所以9

18、=.(2)当兀O的图象过点仁，坐!时，sin(2X5+，=,即Sin住+=坐2冗itTt又因为08亍，所以+90)在区间(0,聿)上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为()A.(5,8)B.(5,8C.(5,11D.5,11)答案B解析由题意，函数U)=,singx+CoSS:=2Sin(GX+看)，因为x(,/),可得广s+太加+，要使得函数段)在区间(0,看上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足V*l+s)W:，解得5VZ8,所以口的取值范围为(5,8.14 .(多选)(2021青岛二模)已知函数段)=2SinXeoSX-5(si-cos2),判断下列给出的四个命题，其中正确的为(

19、)A.对任意的xR,都有后一J=-ZWB.将函数y=（x）的图象向右平移古个单位，得到偶函数g（x）C.函数y=r）在区间佶，制上是减函数D.“函数），=段）取得最大值”的一个充分条件是=盍”答案ACD解析由题意得yr)=2sinXCosx-y3(sin2xcos2x)=sin2x3cos2x=2sin(2x+.对于A,对任意的xR,娉一J=2sin2停一)+W=2sin管.2x)=2sin 2-,+ 3 =修+2x)=-2sin住+2J=%)，故A正确;对于B,将函数y=r）的图象向右平移专个单位，可得g（x）=sin2sin（2x+,不是偶函数，故B错误;对于C,因为x（M秒，所以多），因

20、为y=sinx在你用上单调递减，所以加）=2sin（2x+W）在区间隐，符上是减函数，故C正确;对于D,当X=去时，2x+=j,所以79=2sin5=2,即函数y=i）在X=自处取得最大值，充分性成立,所以函数y=U）取得最大值的一个充分条件是k=盍，故D正确.15.函数x)=4sins+bCOSsr(O,Z?WO,0)f则,/(x)()A.是非奇非偶函数B.奇偶性与a,h有关C.奇偶性与G有关D.奇偶性与,无关答案Aaya2+b2解析%)=sinx+bcosx=yc+b2sn(x+)f其中si=/cs,要使函数yU)=M?TR-sin(GX+夕)为奇函数，则犬。)=Na+从SinSin =M

21、滔不浮。，所以)=0,因为W0,b0f所以，tz2+W0,又因为=ya2+b2sin0f所以函数/(x)不是奇函数.若函数U)=d？Tsin(5+s)为偶函数，则0)=1/+廿Sil)=az+b2,则Sing=土1,cos=0,因为。W0,所以cos -aya2+b20,所以10) =，？TPsin ya2-b29 所以函数/U)不是偶函数，故选A.16.已知函数外)=2sin(2x+*+o+l.求函数“r)的单调递增区间；Tt(2)当x,2时，危)的最大值为4,求。的值;(3)在(2)的条件下，求满足y(x)=l,且x-,兀的X的取值集合.TU兀TE解(1)令2E5W2x+dW2E+5，ZZ,TlTl得A-WWxWA+z,Z,5O所以加)的单调递增区间为,.E丞kjl+1，kGZ.(2)因为当X=5时，段)取得最大值,即.,今)=2Sin+a+l=a+3=4.解得=l(3)由x)=2sinf2x+j+2=1,可得sin(2x+看=-/Ji7兀1、Tt11Jt则2x+z=n+2E,kZ或2x+z=-+2E,ZcZ,OOOOJr5TT即R=彳+E,kWZ或X=z+A,grL,LO又x,-r/目5可解得x=_一不2不，所以X的取值集合为卜多一方，多年.