第4节三角函数的图象与性质公开课教案教学设计课件资料.docx

第4节三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.I知识诊断基础夯实知识梳理1 .用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sinx,0,2兀的图象中，五个关键点是：(0,0),图1)，(兀，0),佟,(2,0).余弦函数y=cosx,x0,2兀的图象中，五个关键点是：(0,1),住0),(,一1),作,0),(2,1).2 .正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中Z)函数y=sinXy=cosXy=tanx图象J.SliA-51pKii邓定义域RR1xER,且XWE+己值域LI，11LI，11R最小正周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2ky2÷2-2T一兀,2兀1(f'±)递减区间Tr3兀2+,2E+k叁工_2E,2E+l无对称中心(E,0)(far+10)修。)对称轴方程,.x=o÷2X=k无常用结论1 .正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2 .三角函数中奇函数一般可化为y=4sin3X或y=Atan的形式，偶函数一般可化为y=Acosx+b的形式.3 .对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(也一去E+?(AZ)内为增函数.诊断自测1 .思考辨析(在括号内打“J”或“X”)(1)余弦函数y=cosx的对称轴是y轴.()正切函数y=tanx在定义域内是增函数.()(3)已知y=依inx+l,xR,则y的最大值为A+l.()(4)y=sinx是偶函数.()答案(1)×(2)×(3)×(4)解析(1)余弦函数y=cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数y=tanX在每一个区间也一E+J(AZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.当k>0时，ymax=L+h当KO时，ymax=-Z+l.2 .(2022福州质检)下列函数中，周期为可，且在区间停兀)上单调递增的是()AJ=ISinXlB.y=tan2xCJ=CoS2xDJ=Sin2x答案C解析对于A,y=sinx的周期为兀，在(去兀)上单调递减，不合要求；对于B,y=tan2x的周期为看在像刻和信兀)上单调递增，不合要求；对于C,y=cos2x的周期为兀，在色，Tr)上单调递增，符合要求;对于D,y=sin2x的周期为兀，在售，兀）上不单调，不合要求.3 .（2022青岛调研）函数），=3tan（2t+；）的定义域是（）A.xxE+,Zb"tx-1,AzC.卜x+,ZrZD.xx,Az答案CTTTr解析要使函数有意义，则2x+*&+F,kez,kjr即xN5+d,kGZ,Z0所以函数的定义域为“x÷,k三Z.YY4 .（2021全国乙卷涵数y（x）=sin+cosQ的最小正周期和最大值分别是（）A,3和啦B.3冗和2C.6和啦D.6和2答案CXY解析因为函数U)=sin+cosQ=M也.x2x)Y2g-sn2cos3Jr(.XX.)21sinWCOS十COSWSInWJ=啦Sin停+；),所以函数7U)的最小正周期T=午=6,最大值为，35.（多选）（2022广州一模）已知函数於）=sin2x+2cos2x,则（）Ay（X）的最大值为3B段）的图象关于直线X=W对称CU）的图象关于点（WI）对称TTDA）在一7无上单调递增答案BC解析TU）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin2x+j+1,则/U）的最大值为啦+1,故A错误；周=而抽（2号+g+1=2+1,Tr则段）的图象关于直线X=W对称，故B正确；乂一方）=啦sin2x（骷；+1=1,则/）的图象关于点（一去1）对称，故C正确；,兀兀I13l,兀兀兀rr兀兀1I当一不工时，2x+ae一不7，故当2x+we一不2ysP-reL-4,瓦!时,函数单调递增；当法+铝区引，即x.q时，函数单调递减，故D错误.6.cos23o,sin68o,CoS97。的大小关系是.答案sin68o>cos23o>cos97°解析sin680=cos22°,又y=cosx在0。，180。上是减函数，sin68o>cos23o>cos97°.考点突破题型剖析J考点一二角函数的正义域和值域1 x）=sin3xcosXsinxcos3x的最大值为（）AqB."C乎Dl答案B解析,')=sin3xcosxsinxcos3x=sinXCoSx(sin2-cos2)=sinZrcos2x=一sin4x,.*.(x)=sin3xcos-sinxcos3x的最大值为2.函数y=lg(sinx)+、ycosx的定义域为.答案2<x2+,ZZ;sinx>O,解析要使函数有意义，贝U1COSx-20,sinx>0,即cosx2i2k<x<+2k,ArZ,解付-÷2x+2,Z,TT所以2EVxSg+2E(AEZ),所以函数的定义域为卜2%nVW2E+/z;.3 .当x芝!时，函数y=3sinx2cos2的值域为.71答案卜，2解析因为x看，y,所以sinx*1.又y=3-sin-2cos2x=3sin-2(1sin2x)2=2sinX)+,所以当SinX=W时，ymin=g,当SinX=-T或Sin戈=1时，y11ax=2.即函数的值域为4 .函数y=sin-cosx÷sinXCoSx的值域为,答案解析设f=sin-cos3,贝Ur2=sin2x÷cos2-2sincosx,1z2sinxcosx=2-,且一也WfW啦.-11Jy=-'+，+/=02÷l当f=l时，Nmax=I；当，=也时，ynin=-2.函数的值域为VT,1.感悟提升1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式（组），解三角不等式（组）常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型：形如y=0sinx+bcos÷c的三角函数化为y=Asin（x÷）+c的形式，再求值域（最值）；形如y=sin2+Asinx+c的三角函数，可先设SinX=/,化为关于，的二次函数求值域（最值）；（3）形如=。5也;：0§工+伙0访壮85工）+（:的三角函数，可先设f=sinx±cosX,化为关于f的二次函数求值域（最值）.,考点二三角函数的周期性、奇偶性、对那性例1（1）（多选）（2022临沂调研）下列函数中，最小正周期为兀的是（）BJ=ICoS xDJ=A.y=cos2xCJ=COS(2x+聿答案ABC解析A中，y=cos2x=cos2x,最小正周期为兀；B中，由图象知y=cosx的最小正周期为;C中，y=cos(2x+1)的最小正周期F2兀FfD中，y=tan(lr-T的最小正周期T=E(2021抚顺调研)已知函数危尸2sinQ+0+e甘，却是偶函数，则夕的值为.答案I解析,函数危)为偶函数,0+楙=+界£Z).r八又e-,A,9+尹宏解得O=经检验符合题意.(3)已知函数TU)=COS(S+s)(g>0,3<的最小正周期为4,且VxR有外方周成立，则外)图象的对称中心是,对称轴方程是.答案+y,0),ZZx=2k+f女Z解析由於)=c0s(cux+9)的最小正周期为4兀，得a?=/,因为危)周恒成立，所以於)max=局，即TX号+°=2E(ZZ),又9号所以9=一/ITT令d=+E("eZ)，得X=可+2E(ZZ),故段)图象的对称中心为+y,0),AZ.171令，Ld=E(ZeZ),JF得=2Z+(女Z),故於)图象的对称轴方程是x=2E+g,AZ.感悟提升(1)三角函数周期的一般求法公式法；不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为yU)=Asin(5+9)(或Tto=Acos(s+¢)形式的函数，如果求x)的对称轴，只需令3x+8=5+k(ZWZ)(或令s+夕=E(Z£Z),求X即可；如果求於)的对称中心的横坐标，只需令3+9=E(&Z)(或令S+9=，+而(Z),求X即可.(3)对于可化为yU)=Atan(s+9)形式的函数，如果求兀0的对称中心的横坐标，jr只需令x+=y(Z),求X即可.三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=ASin(GX+9)中代入R=0,若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y=Asin(x+g)为奇函数，则S=&(%eZ),若y=Asin(cox+p)为偶函数，Tl则s=+E(AZ).训练1(1)(2021北京卷)已知函数段)=cosxcos2x,则该函数为()A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为29C.奇函数，最大值为&O9D.偶函数，最大值为三O答案D解析函数负的定义域为R,且八-x）=Ax）,则yU）为偶函数U）=cos-cos2%2=CosX（2cos2-1）=2cos2÷cosx+1=2（CoS1一J+*,9又CoSXW1,1,故火幻的最大值为豪（2）（多选）（2021大连模拟）已知函数火X）=SinXCOS+（12sin2x）,则有关函数7U）的说法正确的是（）A7（x）的图象关于点（石，。）对称BU）的最小正周期为兀CTu）的图象关于直线X=2对称DU）的最大值为小答案AB解析由题可知危）=；Sin2x+坐COS2x=sin（2x+§.当X=1时，2x÷=,故函数段）的图象关于点,Ob寸称，故A正确；函数/U）的最小正周期丁=§=兀，故B正确；当X=*时，2x+=y,所以函数«¥）的图象不关于直线X=5对称，故C错误；函数段）的最大值为1,故D错误.J考息=角函数的单调性角度1求三角函数的单调区间、比较大小例2设函数段）=cos停一Zr）,则段）在,T上的单调递减区间是（）"A.0,不B.0,W c 2jD. 6, 2.答案D解析由已知段）=cos（2x一5），227W2x年W2E+,Z,Z+看WXWE+号,kZ,又x0,；,，单调递减区间为已，.（2）已知函数/）=2cosQ+5设a=宿j,C=启贝Ua，b，C的大小关系是（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD,b>a>c答案A解析=()=2cos喑，8=年)=2CoS三，C=C=2cos瑞，因为y=cosx在0,兀上递减，又翳4幡，所以4>">c角度2根据三角函数的单调性求参数例3已知>0,函数火X）=TCoS一sin（兀一5）在俘野上单调递增，则G的取值范围是（B.(2, 6)A.2,6D.（2,号匚10C2,y答案C解析由已知/U）=cos-2sin（）=2cosGX一节-sin5=Sinxcos石÷cos coxSiny=sin(+y),所以c, . . 52E-1Wq 十不, . 3兀？. 严+不 W2E+,225kGZ,解得6k-4>4由6k4W4A§得又>0,ZZ,因此女=1,所以2WWy.感悟提升1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成），=ASin（5+夕）形式，再求y=Asin（x+g）的单调区间，只需把x+s看作一个整体代入y=sin工的相应单调区间内即可，注意要先把3化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数口的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.训练2（1）（2021新高考I卷）下列区间中,单调递增的区间是(3 CM工.De,2答案ATrTtTtTt2Tt解析法一令-尹2Ej-肝e+2E,RZ,得-+2E外+2E,ZZ.取k=0,则一rwg为（0,手一1，y,所以区间（0,9是函数兀r）的单调递增区间.法二当（KVW时，一台一患，所以於）在（。，舒上单调递增，故A正确；当54<兀时，亲招，所以段）在（；，兀）上不单调，故B不正确；当<r<4,7<,所以/U）在（,第上单调递减，故C不正确；当等b<2时，<x一*c4所以Kr）在仔，2兀）上不单调，故D不正确.（2）若兀T）=CoSXsinX在a,可是减函数，则。的最大值是（）A.；B.C咨D.答案A解析x）=cos%sinx=2cosx+t）,由题意得a>0,故一。十叁4，因为/（X）=啦COSG+，在-4,上是减函数，CH一+含0,所以j+g,解得0<忘今所以的最大值是全<a>09（3）已知>0,函数/U）=sin（s+;）在图兀）上单调递减，则的取值范围是ATTLT兀CgCOTt.TtIjr.Jt角牛析由4<兀，>0,得-+w<s+a<c。兀+不又y=sinx的单调递减区间为Ti3兀2k+y2k+,ZZ,.兀、兀.c,彳+/+2也，,kGZ,.3.÷+2Zr解得4k+吴口W2k+,AZ.又函数段）在像Tr）上单调递减，所以周期T=三,解得0VZ2.所以Pl5"口£2,4,微点突破/三角函数中G的求解三角函数中G的求解一般要利用其性质，解决此类问题的关键是：（1）若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立所满足的不等式（组）求解；（2）若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究3的取值；（3）若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于的不等式（组），进而求出G的值或取值范围.一、利用三角函数的周期求解例1为了使函数y=sinft（cu>O）在区间0,1上至少出现50次最大值，则口的最小值为（）A.98B.-C.-D.100答案B11971972解析由题意，至少出现50次最大值即至少需用49"个周期，所以詈T=宁子444CO1,所以2与4.二、利用三角函数的单调性求解TC例2若函数J(X)=Sin5(G>0)在区间岳全上单调递减，则3的取值范围是()八2八323/1A.O,WB.0,2C.y3D.3答案D3解析令g+2EW<xW7r+2E(%EZ),/目,2k.312k,_得丁+-x-÷(ZZ),22v7因为NO在卮，外上单调递减，,2k.0,(Z),兀兀.22¾+V3解得6Z+W4W4Z+3(ZZ).又c>O,所以Z20,33又6k+V4X+3(%Z),得OWzV7%Z),所以k=0.,3故1W0>W3.三、利用三角函数的最值、图象的对称性求解例3已知函数段)=sin(<x+9)(口>0,附芍)，x=彳为危)的零点，直线X=：为y=U)图象的对称轴，且於)在(表，用上单调，则口的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B解析因为R=；为共幻的零点，X=；为於）的图象的对称轴，所以;一（一§=（+ZT,即I=T=4Q）t所以g=4Z+I（AWN）,又因为«¥）在（Y石J上5JrTtitT2冗单调，所以石一同=五S=五1即gW12,由此得口的最大值为9.I分层训练,巩固提升A级基础巩固1 .下列函数中，是周期函数的为（）Ay(X)=SinxBt(x)=tanxCNr)=ItanMD)=(x-1)0答案C解析对于C,/U+）=tan+r）=tanM=/U），所以7U）是周期函数，其余均不是周期函数.2 .下列函数中，是奇函数的是（）AJ=ICoSX+11Bj=I-sinXC.y=3sin（2x÷）D.y=1tanx答案C解析选项A中的函数是偶函数，选项B,D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y=-3sin（2x+）=3sin2x,所以是奇函数，选C.3 .（多选）已知函数yr）=sin4-cos4,则下列说法正确的是（）A（x）的最小正周期为兀B7U）的最大值为2C/U）的图象关于y轴对称TTTTDKE）在区间匕，力上单调递增答案ACD解析,'）=sin4-Cos4X=Sin2X-Cos2X=cos2x,，函数段）的最小正周期T=,段）的最大值为1.：R-)=-cos(2x)=cos2x=J(x),加C)为偶函数,其图象关于y轴对称.y=cos2x在；，5上单调递减，/U)=cos2x在;，方上单调递增，故选ACD.4 .如果函数y=3cos(2x+s)的图象关于点俘0)对称，那么|创的最小值为()iC兀兀一A.B.C.§D，2答案A解析由题意得3cos(2X专+)=3cos管+2)=3cos停+J=O,2兀Tt亍+9=依+/(%£Z),TTTT.0=一小Z),取Z=O,得I研的最小值为X.5 .若y(x)=sin(2x争，则()A.i)>2)>3)B(3)>2)>1)c.y(2)>y(i)>3)D.D>y(3)>2)答案A解析由9公一畀:，可得票，所以函数段)在区间段，制上单调递3TT3TT3TE37r7r7减，由于IVKV2,且京一1V2W，故<1)>42).由于V2Vw<3,且一OOOOOO2>3-y,故人2)>43),所以犬1)>人2)>43),故选A.6 .(多选)已知函数段)=sinx+sinx,下列结论正确的是()A(x)是偶函数B(x)在区间6，)单调递增C/U)在一兀，兀有4个零点D(x)的最大值为2答案AD解析八-x)=Sinl-x|+|sin(x)|=SinIX+SinM=«r),/(X)为偶函数，故A正Tr确；当5兀时，t(x)=sinx+sinx=2sinx,孙)在传，)上单调递减，故B不正确；危)在兀，兀上的图象如图所示，由图可知函数"r)在一兀,兀上只有3个零点,故C不正确；？=SinlXI与=sin川的最大值都为1且可以同时取到，J(x)可以取到最大值2,故D正确.7 .函数y=RsinxcosX的定义域为.Ti5答案2&+2E+w(ZZ)解析要使函数有意义，必须使SinX-COSX20.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上y=snx和y=cosX的图象，F=COS X的周期是2兀，所以原函数的定义域为序号).（填如图所示.在0,2兀内，满足SinX=COSX的X为:，y,再结合正弦、余弦函数/U)的周期是多/U)的值域是yyWR,且y关0；5Jr直线X=竽是函数y图象的一条对称轴；/U)的单调递减区间是(2E亨，2E+§,ZZ.答案解析函数/U)的周期为2,错；7U)的值域为W,+),错；当k苧时，%点=手岑，gZ,n=系不是於)的对称轴，错；TTI2TT71令EV-d<E,Z,可得2E于<工<2&兀+§,AZ,(x)的单调递减区间是(2E专，2%+,),AZ,正确.9 .(2022北京海淀区一模)已知函数/)=sins(>0)在一；，号上单调递增，那么常数3的一个取值为.答案女答案不唯一)解析/(x)=sin5(口>0)在一；，号上单调递增，则与嗡3(一；)一看310<4,取一个该范围内的值即可，如切=,10 .(2022温州适考)已知函数y(x)=sin(3r+9)(W>O,OW3W兀)是偶函数，且在TrO,Zl上是减函数，则尹=,G的最大值是.答案三2JrJT解析由题意知9=+2E,AZ,又OW9W7t,所以e=故函数y(x)=八人CIIlCr,2m2m_人COSftzr令2机兀WftrW7i+2m,wZ,每二T-WXWW+q-,wZ,令m=0,得Ox<B所以受沙，解得0<<2,所以口的最大值是2.CDCOZ11.已知函数/(x)=Sin(GX+3)(3>O,OVSV用的最小正周期为兀(1)当Kr)为偶函数时，求O的值；(2)若段)的图象过点年里求危)的单调递增区间.解因为於)的最小正周期为兀，2H所以T=,即幻=2.CD所以/U)=sin(2x+0).JT(1)当Kr)为偶函数时，s=e+E(AZ),因为OVgV空，所以9=.(2)当兀O的图象过点仁，坐!时，sin(2X5+，=,即Sin住+»=坐2冗itTt又因为0<8<亍，所以§<§+9<兀.所以胃+夕=空，即夕=?所以/U)=sin(2x+g.令2E/W2x+gW2E+(/：£Z),5tTi得E一五WXWA+五(%£Z).所以/)的单调递增区间为E一居,E+专(kZ).12.已知函数fix)=sin(2-x)sinr-xj3cos2x÷,3.求7U)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x,用时，求危)的最小值和最大值.解(1)由题意，得段)=(sinx)(-cos)-3cos2÷3=sincos-3cos2x÷31、g=2Sin2-2(cos2x÷l)÷3-021-2=sin2-2»2兀所以«r)的最小正周期T=E=;JlJl令2xj=E+(AZ),得X=3+驾/WZ),故所求图象的对称轴方程为kl5,x=y+五(Z).(2)当OWXW需时，一4级一由函数图象(图略)可知，一坐WSin(2x-.W1.即0sin(2T)+孚W省目故/U)的最小值为0,最大值为节更.B级能力提升13 .若函数段)=小Sincx÷cosgx(cu>0)在区间(0,聿)上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为()A.(5,8)B.(5,8C.(5,11D.5,11)答案B解析由题意，函数U)=,singx+CoSS:=2Sin(GX+看)，因为x(,/),可得广s+太加+，要使得函数段)在区间(0,看上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足V*l+s)W:，解得5VZ8,所以口的取值范围为(5,8.14 .(多选)(2021青岛二模)已知函数段)=2SinXeoSX-5(si-cos2),判断下列给出的四个命题，其中正确的为()A.对任意的xR,都有后一J=-ZWB.将函数y=（x）的图象向右平移古个单位，得到偶函数g（x）C.函数y="r）在区间佶，制上是减函数D.“函数），=段）取得最大值”的一个充分条件是=盍”答案ACD解析由题意得yr)=2sinXCosx-y3(sin2xcos2x)=sin2x÷3cos2x=2sin(2x+§.对于A,对任意的xR,娉一J=2sin2停一)+W=2sin管.2x)=2sin 2-,+ 3 =修+2x)=-2sin住+2J=%)，故A正确;对于B,将函数y="r）的图象向右平移专个单位，可得g（x）=sin2sin（2x+,不是偶函数，故B错误;对于C,因为x（M秒，所以多），因为y=sinx在你用上单调递减，所以加）=2sin（2x+W）在区间隐，符上是减函数，故C正确;对于D,当X=去时，2x+=j,所以79=2sin5=2,即函数y=i）在X=自处取得最大值，充分性成立,所以函数y=U）取得最大值的一个充分条件是k=盍，故D正确.15.函数"x)=4sins+bCOSsr(O,Z?WO,0)f则,/(x)()A.是非奇非偶函数B.奇偶性与a,h有关C.奇偶性与G有关D.奇偶性与,无关答案Aaya2+b2解析%)=sinx+bcosx=yc+b2sn(x+)f其中si"=/c°s,要使函数yU)=M?TR-sin(GX+夕)为奇函数，则犬。)=Na'+从SinSin =M滔不浮。，所以)=0,因为W0,b0f所以，tz2+W0,又因为=ya2+b2sin0f所以函数/(x)不是奇函数.若函数U)=d？Tsin(5+s)为偶函数，则«0)=1/+廿Sil)=±az+b2,则Sing=土1,cos=0,因为。W0,所以cos -aya2+b20,所以10) =，？TPsin ±ya2-b29 所以函数/U)不是偶函数，故选A.16.已知函数外)=2sin(2x+*+o+l.求函数“r)的单调递增区间；Tt(2)当x,2时，危)的最大值为4,求。的值;(3)在(2)的条件下，求满足y(x)=l,且x-,兀的X的取值集合.TU兀TE解(1)令2E5W2x+dW2E+5，ZZ,TlTl得A-WWxWA+z,Z,5O所以加)的单调递增区间为",.E丞kjl+1，kGZ.(2)因为当X=5时，段)取得最大值,即.,今)=2Sin+a+l=a+3=4.解得=l(3)由x)=2sinf2x+j+2=1,可得sin(2x+看=-/Ji7兀1、Tt11Jt则2x+z=n+2E,k£Z或2x+z=-+2E,ZcZ,OOOOJr5TT即R=彳+E,kWZ或X=z+A,grL,LO又x£,-r/目5可解得x=_一不2»不，所以X的取值集合为卜多一方，多年.