专项01勾股定理的基本应用(解析版）.docx

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1、专项Ol勾股定理的基本应用考点1求线段长H角边直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么储+=2考点2求面积类型一直角三角形中求斜边上的高类型二结合乘法公式巧求面积或长度类型三巧妙割补求面积类型四“勾股树”及其拓展类型求面积考点3解直角三角形已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，NC=90。,则C=/?+/,b=yc2-a2,a=yc2-b2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题考点4利用勾股定理证明平方关系方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图(1)中SVf=(

2、+b)=J4-所以+从=d方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中&力=d=所以J=。、/.2方法三：如图（3）所示，将两个克角三角形拼成直角梯形.S.3=（蜉物=2弓必+#，所以+从一&GC宠【典例今析】【考点1求线段长】【典例1-1】（2022八下德阳期末）已知ABC中，BC=4,AB=5,ZC=90o,则AC=（）A.6B.41C.4D.3【答案】D【解答】解：由题可知ABC为宜角三角形，：.AC=AB2-BC2=52-42=3.故答案为：D.【典例1-2（2021八上.龙泉期末）若直角三角形的两边长分别是5和12,则它的斜边长是（）A.13B.13或119C

3、.119D.12或13【答案】D【解答】解：当12为斜边时，它的斜边长是12；当12是直角边时，它的斜边长=7122+52=13.故答案为：D.【变式1-1（2021八上.丹东期末）在RzA8C中，ACB=90,如果AB=8,BC=6,那么AC的长是（）.A.10B.27C.10或27D.7【答案】B【解答】解：Z1C8=90。，AB=8,BC=6,.AC=yAB2-BC2=82-62=27故答案为：B【变式12】（2021八上.槐荫期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12,则斜边长为（）A.13B.14C.89D.1【答案】A【解答】解：由题意得，该直角三角形的斜边长为：52+122=13

4、故答案为：A.【变式1-3（2020秋宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6,8,则第三边长为（）A.10B,27C.10或2QD.14【答案】C【解答】解：设第三边为达当8是斜边，则62+7=82,当8是直角边，则62+8?=/解得X=I0,解得x=27第三边长为10或27故选：C.【考点2求面积】【典例2】（2020春东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）100A.6B.36C.64D.8【答案】B【解答】解：面积为100的正方形的边长为10,面积为64的正方形的边长为8,由勾股定理得，正方形A的边长=TK运=6,，正方形A的面积为36,故选：B.【变式2-

5、1（2021八上.临漳期中）如图所示，在AABC中,ZACB=90,分别以AB、BC、AC为边向外作正方形,若三个正方形的面积分别为225、400、S,则S的值为（）A.25B.175C.600D.625【答案】D【解答】解：在AABC中，ACB=90,由勾股定理得：AC2BC2=AB2,225+40O=S,.S=625.故答案为：D.【变式22】（2021秋和平区期末）如图，分别以此宜角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若S=9n,S2=l6,贝JS3=.厂卜、（Slv【答案】25【解答】解：设面积为Sl的半圆的直径为面积为S2的半圆的直径为江面积为S3的半圆的直径为c,由勾股定理得：/

6、+庐=/,由题意得：（八）2=9,A()2=16,2222则/=72,Z?2=128,，=200,S3=A()2=25,22故答案为：25.【变式2-3(2021八上.渠县期中)如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中鼓大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积和是Cm2.【解答】解：如图,设正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,设标有S:S3的两个正方形的边长为X,y,根据勾股定理可得a2+b2S1=x2,c2+d2=S3=y2则2+y2=52=72=49.,.02+I?2+c2+d2=49故答案为：49.【典例3】（2021八上佛山月

7、考）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1.点A、B,C都在格点上，若BD是AABC的高，则BD的长为（）A.5B.5C.5D.5【答案】C【解答】解：由题意可得：SMBC=3X4-竽一竽一竿=4,BD是AABC的高，AC=22+42=25,CFD25/S&ABC=2-=4，解得：BO=华，故答案为：C.【变式3-1（2021八上通州期末）如图，在AABC中，Z.ABC=90o,BDLAC,垂足为D.如果4C=6,BC=3,则80的长为（）A.2B.IC.33D.苧【答案】D【解答】解：*：Z-ABC=90o,AC=6,BC=3,根据勾股定理4B=AC2BC2=V62-32=3V3，：BDL

8、AC,SABC=iFBC=i/lCFD,即品35X3=：X680，解得：BO=等.故答案为：D.【变式3-2（2021八上.六盘水月考）如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，AD_LBC于点D,则AD的长为（）A.2B.2C.5D.3【答案】B【解答】解：由勾股定理得：AB=2z+42=25,AC=+22=的,BC=V32+42=5,VAB2+AC2=25,BC2=25,AB2+AC2=BC2,ZBAC=90o,11SABC=i4CMB=BCMD,525=5D,.AD=2,故答案为：B.【考点3解直角三角形】【典例4】（2021秋紫金县期中）如图，在a

9、ABC中，NAOC=N8OC=90,AC=20,BC=15,80=9,求AD的长.【解答】解：在RlZBOC中，由勾股定理得:CD=VBC2-BD2=V152-92=在RtaAC8中，由勾股定理得：AD=yjKC2-CD2=V202-122=16【变式4-1（2021八上北镇期中）如图，在AABC中，。是BC边上的一点，若A8=5,BD=3,AD=4,AC=8,求Co的长.【解答】解：VAB=5,BD=3,AD=4,9AB2=25,BD2=9,AD2=16，：.AB2=BD2+AD2,：.ADB=ADC=90o,在RlAADC中，AC=8,ADC=AC2-AD2=43.【变式42】（2021八

10、上.连南期中）已知AABC中，AB=AC,CD_LAB于D,若AB=5,CD=3,求BC的长.【解答】解：在RSCDA中，VAC=AB=5,CD=3,AD=Jac2-CD2=4,BD=AB-AD=5-4=1,在RtCBD中，BC=CD2+BD2=l2+32=10.【变式43】（2021八上.襄汾期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为12（）0米，且CA_LCB,如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入.问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明.

11、【解答】解：公路AB段没有危险，不需要暂时封锁.理由如下：如图，过C作CD_LAB于DVCACB,：ZACB=90o,因为BC=1200米，AC=5(X)米，所以，根据勾股定理有AB=JSOO?+120（）2=1300米,因为SaABc=iABCD=lBCAC,rjrpim_8C/C_500xl200_6000中所以CDF110Ir术，由于400米V鬻米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁.【典例5】（2021八上楚雄期中）一个25米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙力。上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下猾4米，那么梯子底端B外移多少【解答】解：如图，依题意可知AB=25（米

12、），AO=24（米），ZO=90o,：BO2=AB2-AO2=252-242,，BO=7（米），移动后，AO=20（米），bo2=AB）一O）?=252-202=152*B,0=15（米），BB=B,0-BO=15-7=B（米）.答：梯子底端B外移8米.【变式5-1】（2021八上禅城期末）如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化品求，在草地内拐角位置开出了一条路，走此路可以省m的路.【解答】如图,ZACB=90o,VAC=3,BC=4,AB=i4c2+CF2=32+42=5,AC+BC-AB=3+4-5=2（m）,故答案为：2.【变式5-2（2021八上揭阳月考）如图，一木杆在离地

13、面9米处断裂，木杆顶部落在离木杆底端12米处，则木杆折断之前高米.【答案】24【解答】解：作图如下,一棵垂直于地面的大树在离地面9米处折断，树的顶端落在离树杆底部12米处,折断的部分长为92122=5,折断前高度为15+9=24（米）.故答案为：24.【变式5-3（2020春盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离8C为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离AT）为1.5米，A.2.5米B.2.6米C.2.7米D,2.8米【答案】C【解答】解：在RtZWC中,y4fi=VAC

14、2+BC2=V2.42+0.72=2-5（米）,8=2.5米，在RtBD中,BD=Va7B2-AyD2=2.52-l.52=2（米）.BC+D=2+0.7=2.7（米），故选：C.【典例6】（2021八上.绿园期末）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40。航行，乙船向南偏东50。航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少.【答案】解：根据题意，得NCAB=I80。40。50。=90。，VAC=163=48（海里），BC=60海里，.在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=6o2-482:36（海里）.则乙船的速度是3

15、63=12海里/时.【变式6-1（2021秋卧龙区校级月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口。向西北方向航行,他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（）A.12海里B.13海里C.14海里D.15海里【答案】D【解答】解：由题意可得：80=1.5X6=9（海里），40=1.5X8=12（海里），Zl=Z2=45o，故NAoB=90,ao2=15（海里）,答：甲、乙两渔船相距15海里,故选：D.【变式6-2（2021秋绿园区期末）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东400方向航行，乙船沿南偏东500方向航

16、行，3小时后，甲船到达C岛,乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？【解答】解：甲船沿北偏东40方向航行，乙船沿南偏东500方向航行,ZCAB=90o，.A8=16X3=48,BC=60,c=bc2-ab2=36,二乙船的航速是363=12海里/时，答：乙船的航速是363=12海里/时.【典例7】（2021八上滕州月考）印度数学家什迦罗（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？如图所示：荷花茎与湖面的交点为O,点。距荷花的底端A的距离为0.

17、5尺；被强风吹一边后，荷花底端与湖面交于点3,点3到点。的距离为2尺，则湖水深度OC的长是尺.【答案】3.75【解答】解：设水深%尺，则荷花茎的长度为%+0.5,根据勾股定理得：（X+0.5）2=x24解得：X=3.75.答：湖水深3.75尺.故答案为：3.75.【变式7-1（2021八上.南海期末）如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m,将它往前推送L5m（水平距离BC=1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=Im,秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是m.【答案】2.5【解答】解：VBFEF,AEEF,BCAE,乙CEF=乙EFB=乙FBC=乙BCE=ACB=90,：,B

18、CHEF,CEHBF,由平行线间距离处处相等可得：CE=BF=Im,CD=CE-DE=I-0.5=0.5(m),而BC=1.5,设绳索AD的长为Xm,则AB=AD=xm,AC=AD-CD=(x-0.5)m,在RIZkABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,即(x-0.5)2+1.52=x2,解得：x=2.5(m),即绳索AD的长是2.5m,故答案为：2.5.【变式7-2（2021秋吉安期中）铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距25km,C,。为两村庄（视为两个点），OA_LA8于点A,C8_LAB于点B（如图），已知OA=IOh”,CB=I55?,现在要在铁路AB上建一个土特产收购

19、站E,使得C,。两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离.力EHIOJI15DC【答案】10米【解答】解：C。两村到E站距离相等，JCE=DE,在DE和RtZC8E中，DE2=AD2+AE1tCE1=BE1+BC2tD2+4E2=E2+BC2.设AE为*，WJBE=（25-）km,将BC=10,DA=I5代入关系式为x2+152=（25-x）2+102,整理得，50x=500,解得X=I0,站应建在距A站106处.考点4利用勾股定理证明平方关系【典例8】（2021八上朝阳期末）（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图，用四个宜角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是

20、一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为Q、b,斜边长为c.图中大正方形的面积可表示为（+B）2,也可表示为c2+4Xb,即（+b）2=C?+4X%=Qb,所以层+属=。2.ab图图(1)(尝试探究)美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE,其中48CA三ZiAOE,乙C=乙0=90。，根据拼图证明勾股定理.(2)(定理应用)在RZkABC中，ZC=90,乙4、乙B、NC所对的边长分别为。、b、c.求证：2c2+2=c4-b4.【解答】(1)解：,BCA三DE,BAC=4AED.VzD=90：乙DAE+AED=90.JnZME+4BAC

21、=90。.:乙BAC+AED+LBAE=180.BAE=90.直角梯形的面积可以表示为:(a+b)2,也可以表示为2X/Qb+/C?,*(q+b)2=2ub+*C2,整理，得2+M=c2.(2)解：在RtAABC中,Zr=90。，*2b2=c2;*a2c2+a2b2=2(c2+b2)C4-b4=(c2+b2)(c2b2)=a2(c2+b2y)9a2c2+a2b2=C4-b4.【变式8-1(2021秋海州区期末)如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=12,BC=I,将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则

22、这个风车的外围周长是)【答案】A【解答】解：设将CA延长到点ZX连接BD,根据题意，得Co=I2X2=24,BC=7,VZBCD=90o,；Bd+Cb2=Bb1,gp72+242=fiD2,ABD=25,AAZHfiD=12+25=37,这个风车的外围周长是37X4=148.故选：A.【变式8-2（2021秋深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=I0,BE=24,则EF的长是（）BCA.14B.13C.143D.142【答案】D【解答】解：TAE=IO,BE=24,即24和10为两条直角边长时,小正方形的边长=24-IO=I4,A

23、F=V142+142=142-故选：D【变式8-3（2021八上.灵石期中）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理.三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在勾股圆方图注一书中用割补的方法构造了“无字证明”图形（如图）.其中四个直角三角形较长的直角边长都为。，较短的宜角边长都为b,斜边长都为大正方形的面积可以表示为也可以表示为4x界+（a-b）2,由此推导出一个重要的定理.图（2）图为美国第二十任总统伽菲尔德创造的“无字证明”图形，请你利用图推导（1）中的定理.（3）根据（1）中的定理，解决下面的问题：

24、如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点”（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路且CJ_A8.测得C=L2千米，HB=O.9千米,求新路CH比原路CA少多少千米？【解答】（1）解：大正方形面积=4个宜角三角形面积+小正方形面积，可得c2=4ib+（b-）2,整理得a2+b2=c2,用此图推导出勾股定理，内容为：如果宜角三角形两条宜角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2.（2）梯形面积=2个直角边长为a,b三角形面积+腰长为C的等腰直角三角形面积，梯形ABCD的

25、面积为1（a+b）（a+b）=1a2+ab+1b2,也可以表示为2x1ab+ic2,.*.iab+iab+ic2=ia2+ab+ib2,即a2+=c?:(3)设CA=x,VAB=AC,AH=x0.9,在RIAACH中，CA2=CH2+AH2,即=1,22+(x-0.9)2，解得X=1.25,即CA=1.25,CA-CH=1.25-1.2=0.05(千米),答：新路CH比原路CA少().05千米.影【龈稼利称】1. （2021八上.紫金期中）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）【答案】C【解答】解：由题意得BC=8m,AC=

26、6m,在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=62+82=IO米.所以大树的高度是10+6=16米.2. （2021八上阳山期末）如图，在AABC中，ZC=90o,AC=3,BC=2.以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（）A.5B.6C.12D.13【答案】D【解答】解：VZC=90o,AB2=AC2+BC2=32+22=13,正方形面积S=AB2=13,故答案为：D3. （2021八上.即墨期中）如图，在3X3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若8。是AABC的边AC上的高，则BD的长为（）A. 26【答案】DB. g26D. iT3【解

27、答】解：由勾股定理得：AC=FT37=l3，1 -27 -27-213BD=7,*BD=13故答案为：D.4. （2021八上.禅城期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水)面，则这个芦苇的高度是（A.26尺B.24尺C.17尺D.15尺【答案】C【解答】解：设水池的深度为工尺，由题意得：/+82=（%+2）2,解得：x=15,所以+2=17.即：这个芦苇的高度是17尺.故答案为：C.5. （2021八上.槐荫月考）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走Skm,又

28、往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再向北走到6km处往东拐，仅走了Ikm,就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直【答案】D【解答】过点B作3CLAC且AGBC交于C点、,由图中可以得：AC=（8-3+1）千米=6千米，BC=（2+6）千米=8千米，在RfZMBC中，AC=6千米，BC=8千米则根据勾股定理AB=JAC2+BC2=10千米，故答案为：D.6. （2021八上.德惠期末）图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个宜角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A.51

29、B.49C.76D.无法确定【答案】C【解答】依题意得，设“数学风车”中的四个宜角三角形的斜边长为X,则x2=122+52=169,解得x=13.故“数学风车的周长是：（13+6）4=76.故答案为：C.7. （2021八上.牡丹月考）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多,当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.12nB.IOmC.13mD.8m【答案】A【解答】解：根据题意，画出图形，BC=5m,如下图:设旗杆的高为：xm,则绳子AC的长为（X+l）m，在RtABC中，由勾股定理得：AB2-BC2=AC2,即X2+52=(x+I)2解得：%=1

30、2,即旗杆的高为12m.故答案为：A.8. （2021八上.北镇期中）如图，在AABC中，NACB=90。，AB=10,BC=6,CDlAB于点O,则Co的长为【答案】4.8【解答】解：Y在443C中，NAC8=90。，A3=10,BC=6f9ac=Jab2-bc2=8,*：CDLAB,9Sabc=ACBC=AB.CD，.CD4.8，AB故答案为：4.8.9. （2021八上.薛城期中）如图，在AABC中，NA8C=90。，AC=10,AB=Sf若两阴影部分都是正方形，Cs。、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3,则较大的正方形的面积【答案】27【解答】解：设两个正方形的面积分别为和3小/

31、ZABC=90o,AC=10,AB=S9IBC1=AC-AB2=IO2-82=36,YBlyl+CD1=BC1,4+3a=36,.a=9,.34=27,较大的正方形的面积为27,故答案为：27.10. （2021八上.紫金期中）如图，以RSABC的三边向外作正方形，其面积分别为Si,S2,S3,且S1=4,S2=8,则S3=.【答案】12【解答】设RSABC的三边分别为a、b、c,S=a2=4,S2=b2=8,S3=c2.ZkABC是宜角三角形，a2+b2=c2,BPS+S2=S3.S3=Si+S2=4+8=12.11. （2021八上.农安期末）如图，在一只底面半径为3cm,高为8cm的圆柱

32、体状水杯中放入一支13Cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是【答案】3cm【解答】解：由题意知AC=6cm,BC=8cm,AD=13cm在宜角AABC中，BC=8cm,AC=6cm,则48=1C2+BC2=IOcm,：BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm.故答案为：3cm.12. （2021八上紫金期中）如图，在AABC中，ZADC=ZBDC=90o,AC=20,BC=15,BD=9,求AD的长.【解答】解：ZADC=ZBDC=90o,在RlZkBDC中，由勾股定理得：CD=y/BC2-BD2=152-92=12在RlZiACD中，由勾股定理得：AD=Jac2-CD2=202-12

33、z=1613. （2021八上.佛山月考）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米.当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长.【解答】解：设旗杆的高度为X米，则绳子的长度为（+2）米，根据勾股定理可得：x2+62=（%+2）2，解得，X=8.答：旗杆的高度为8米.14. （2021八上.未央期末）九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去闾（读kUn,门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和

34、点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸），则AB的长是多少？【解答】解：取AB的中点O,过D作DE_LAB于E,如图2所示:图2由题意得：OA=OB=AD=BC,设OA=OB=AD=BC=F寸,则AB=2r(寸)，DE=IO寸，OE=jCD=I寸,AE=(r-1)寸，在RlADE中,AE2+DE2=AD2,即（r-1）2+102=r2,解得：r=50.5,2r=101（寸），AAB=IOl寸.15. （2021八上.叶县期末）某条道路限速70kmh,如图，一辆小汽车在这条道路上沿宜线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车

35、速测检测仪间的距离为SOm,这辆小汽车超速了吗？小汽车小汽车RCXIB、I、I、I、【解答】解：在RtAABC中，BC=jAB2-AC2=52-32=40米v=sf=402=20ms,20ns=72kmh,所以小汽车超速了.16. （2021八上如皋期末）如图,在AABC中，ADBC,垂足为D,ZB=60o,ZC=45o,AB=2求：(1)AC的长；(2)三角形ABC的面积(结果保留根号)【解答】(1)解：YAD工BC：.ZADB=ZADC=90oVZB=60o：,ZBAD=30oXVAB=2,ZADB=90o*BD=1，AD=2-BD2=3VZC=450,ZADC=90o乙C=CAD=45。

36、，DC=AD=3*AC=yAD2+DC2=V6;(2)解：VBD=1,DC=AD=5,Bc=BD+DC=6+1,VAD1BC,3 + 3211ABc=2adxBC=2V5(V5+1)=17.（2021八上.长春期末）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为3km,与公路上另一停靠站B的距离为4km,且AC_LBC,CDAB.(1)求修建的公路CD的长；(2)若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km?【解答】(1)解：ACLBCt.ACB=90,根据题意可得：AC=3,BC=4,A

37、B=AC2+BC2=5,1.abc=2XACXBC=2XAXCD，*34=5CD，=3修建的公路CD的长为.km；(2)解：*：CDLABf.CDB=90,根据题意可得：CD=3BC=%：.BD=yBC2-CD2=竽。+8。=9+?=争Am,，总路程为争km.18.(2021八上薛城期中)如图,、F是等腰RZABC的斜边BC上的两动点，NE4F=45。,CDJ_BC且CQ=B.D(1)求证：(2)求证：EF2=BE1+CP.【解答】(1)证明：TAABC是等腰宜角三角形，AB=AC,ZB=ZACB=450,VCDlBC,.ZBCD=90o,ZACD=ZBCd-ZACB=45o=ZB,在AABE

38、和ACD中，AB=ACZ.B=ACDBE=CDABE且ZXACD(SAS)；(2)由(1)知，2kABEZACD,AE=AD,ZBAE=ZCAd,丁ZBAC=90o,：.ZEAD=ZCAE+ZCAD=ZCAE+ZBAE=ZBAC=90o,ZEAF=450,ZDAF=ZDAe-ZEAF=450=ZEAF,VAF=AF,AEF且ADF(SAS),，DF=EF,在RtADCF中，根据勾股定理得，DF2=CF2+CD2,VCD=BE,EF2=CF2BE2;19. （2021八上南阳月考）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五

39、”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.如图是用四个能够完全重合的宜角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a,b,斜边长为c,用含a,b,c的代数式表示：（1）大正方形的面积为；小正方形的面积为；（2）四个宜角三角形的面积和为,根据图中面积关系，可列出a,b,c之间的关系式为；（3）如图，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则N,S2,S3满足的关系是；（4）如图直角三角形的两条宜角边长分别为3、5,分别以宜角三角形的三边为宜径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为.【解答】解：（1）由题意得：大正方形面积=（

40、+b）2,小正方形面积=c2,故答案为：（+b）2,C2；（2）由题意得：四个直角三角形的面积和为4b=2ab,，根据图中面积关系,可列出a,b,c之间的关系式为2abc2=（+b）2=22ah+b2,*2b2=C2，故答案为：2ab,a2+b2=c2;（3）设这个直角三角形的短宜角边为a,长宜角边为b,斜边为c,由题意得：S1=r2S2=271l/,S3=Itc2，*S1+S2=2+7rb2=ITr(Q2+2)=nc2=S3故答案为：S1+S2=S3；(4)如图所示，ZACB=90o,AC=5,BC=3,*AB=2+b2=V34，*SPISj=Sbc为订校的y.+Sac为.径的r牺+Saab

41、c-Sab为n径的fpi=732+t52+35-r（34）2=7.5.20. （2021八上达州期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB,由点A飞向点B,已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为600m和8（X）m,又AB=10（X）m,飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为IOms,要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？【解答】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，如图，过点

42、C作CDLAB,垂足为D,AC=600,BC=800,AB=1000.AC2+BC2=100O2,AB2=100O2AC2+BC2=AB2ABC是直角三角形112X4CXBC=2X4BXCDIOoO = 480AC-BC600x800.480CE2-CD2=5002-4802=140.EF=2ED=280V2813着火点C能被扑灭.I免费增值服务介绍，V学科网(https:WWW3网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。V组卷网(https:ZUjU)是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复ppt免费领180套PPT模板回复天天领券来抢免费下载券