第一章 空间向量与立体几何基础巩固检测卷（解析卷）.docx

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1、第一章空间向量与立体几何基础巩固检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .若平面。与夕的法向量分别是=(L0,-2),U(-1,0,2),则平面。与夕的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断【答案】A【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.【详解】因为=(l,0,-2),力=(T,0,2)是平面。与夕的法向量，则=-从所以两法向量平行，则平面。与夕平行.故选：A2 .当Ial=Ib0,且a、b不共线时，a+方与的关系是()A.共面B.不共面C.共线D.无法确定【答案】A【分析】利用平面向

2、量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断.【详解】根据平行四边形法则可得，以a，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为a+b,a-b所以j+B与力共面.故选:A.3 .己知3A,3C网为三条不共面的线段，若AC=XM+2泗C+3zCQ,那么x+y+Z=()A.1B.-C.-D.666【答案】B【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.【详解】根据向量加法法则可得：ACi=AB+BC+CCi,即AC1=AB+BC-C1C,因为AG=xAB2yBC+3zC1C,所以X=1,2y=l,3z=-l,所以x=l,y=所以x+y+z=l+!-!=!23236故选：B.4 .在如图所示的

3、坐标系中，48CD-A用GA为正方体，给出下列结论:直线QA的一个方向向量为(0,0,1)；直线BG的一个方向向量为(0,1,1)：平面A的一个法向量为(0J0)；平面8。的一个法向量为(IJl).其中正确的个数为()【答案】C【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案.【详解】设正方体的棱长为。，则M,O),R(Omm),OA=(O,0m),则Q与(0。1)平行，故直线。A的一个方向向量为(0,0,1),故正确：因为8(,0,0),G(,),所以BG=(Omm),因为bc/(OJi)平行，所以直线BG的一个方向向量为(0,1,1),故正确；因为40,0,0),。(

4、040),所以AO=(OmO),因为AD是平面斗吕片A1的一个法向量，且Aohj(O/，。)平行,所以平面ABBM的一个法向最为(Oj0),故正确；因为C(,O),O(OM,0),所以CD=(-a,0,0),因为U(l,l,l)=(-,O,O)(Ll,l)=-O,所以COLj(Ul)不垂直，所以(1,1,1)不是平面BC。的一个法向量，故不正确.故选：C5 .己知向量=（l,2,3）,b=，；,TZ）,若力，则Z=D.【答案】A【分析】由空间向量共线知识可得答案.1233【详解】因GE，则-1z2.2故选：A6 .己知宜线/的方向向量为4=（2,-1,2）,平面。的法向量为“=（一2,。一上。

5、+。）（,。1）.若/_10,贝J+勖的值为（）A.-5B.-2C.1D.4【答案】A【分析】根据题意得到.，进而得到方程组:H求得.的值，即可求解【详解】由直线/的方向向量为e=(2,-1,2),平面。的法向量为=(-2,a-b,+b),因为/J_a,可得，/，所以4=畔=等，212a-b=1319即八/ma=-,b=-ta+3b=-=-5.a+h=-22222故选：A.7 .如图，在四棱锥P-ABC。中，BA_L平面A8CO,ZBAD=90ofPA=AB=BC=-AD=IiBC/AD,2己知。是棱?。上靠近点P的四等分点，则Co与平面所成角的正弦值为（）.【答案】C【分析】建立空间直角坐标

6、系，写出相应,点C、。的坐标，求出平面R45的法向量，最后求出C。与平面QAB所成角的正弦值.【详解】PA_L平面43CzZ/840=90。，以A为坐标原点，ARAB,AP所在直线分别为X轴、轴、Z轴，建立空间直角坐标系，则C(U,0),易知平面PAB的法向量;?=(1,0,0).设CQ与平面丛8所成角为。，则SimM(Ca小册=$嚼.故选：C.8.如图，在四棱锥PABCO中，尸。_1_底面A8CO,底面48Co是矩形，AB=24。=4,尸。=竽,E是PA的中点，FB=2尸产，则点C到平面。所的距离为()A啦B.亚C.叵D.典55510【答案】B【分析】如图，以o为坐标原点，qa,oc,dp的

7、方向分别为y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】如图，以O为坐标原点，QA,QC,Dp的方向分别为XKZ轴的正方向，建立空间直角坐标系,则。(0,0,0),C(0,4,0)4(2,0,0),5(2,4,0),.0,0,竽,因为E是EA的中点，FB=2PF，所以e(i,o,半,后,陪所以Z)E=,O,竽,DF=g,g,半OC=(0,4,0).设=（乂），,Z）是平面DEF的法向量,故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。9.已知向量4=(l,T,0)/=(-

8、1,0,l)4=(Z-3,1),则()A.-=6B.(a+2).伍+c)=7C.(a+5b)_LcD,ab-c【答案】CD【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.【详解】对于人,5=（1,-1,0）&=（-1,0,1）,.“一6=（2,-1,-1）,=，一+(-1)+(-1)=，故A错误；对于B,.6(+22?=(-1,-1,2),Z+c=(1,-3,2),贝j(+2b),+c)=(T)xl+(-l)x(-3)+22=6,故B错误；对于Ca+5b=(-4,-l,5),贝j(+5h)c=-42+(-l)x(3)+5xl=O,则(+5b)Lc,故C正确；对于

9、D,一c=(-3,3,0),a=(l,-l,0),.-c=-3a,/.a(-c),故D正确.故选:CD.UUU10 .已知匕，匕分别为直线，的方向向量(11,/2不重合)，为，分别为平面4的法向量(a，尸不重合)，则下列说法中，正确的是()A.v1/v2OIIHl2B.v1V2=/_!_/2UIUC.n、IItulOaHpD.nl-LnyJ-/?【答案】ABCD【分析】根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，即可得到答案.【详解】解：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行(或垂直)的充要条件是它们的方向向量平行(或垂直)，故选项A,B正确：若两个平面不重合，则空间中面面平行

10、(或垂直)的充要条件是它们的法向量平行(或垂直)，故选项C,D正确.故选：ABCD.11 .如图，在正方体A86-AMGR中，E,F,G,Af均是所在棱的中点，则下列说法正确的是()C.平面BDM 平面AEFD. Bfi/ AxF【答案】ABC【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线MGOA1b的方向向量和平面BDM和平面A1EF的法向量，利用空间直线的方向向状与平面的法向最的关系即可求解.【详解】依题意，以0为坐标原点，建立空间仃.角坐标系。-种，如图所示不妨设正方体ABS-ABiGR的棱长为2,则O(0,0,0),G(Ojo),M(2,1,2),七(2JO),

11、厂(1,0,0),8(2,2,0),A(2,0,2),4(2,2,2),所以BG=(-2,-1-2),DM=(2,h2),所以加二一8。，即OM40，亦即4G7W,故A正确;所以AE=(U-2),A产=(To,2),设平面AE尸的一个法向量为=(,y,z),则nA.E=O.,即A尸=所以=(-2,2,l),所以4G=(-2)x(-2)+(-l)x2+(-2)xl=0,即,8G,又用GU平面AE尸，所以BQ平面AE/故B正确;所以OM=(2,1,2),OB=(2,2,0),设平面BDM的一个法向量为加=(x1,ypz1),则mDB = 0m - DM =02X + 2y1 = 02x1 + y1

12、 + 2z1 =0=-2, zl =-1,所以平面8。M平面4，尸，故C正确;所以Bfi=(一2,-1,-2),A户=(T，0,-2),所以4G和A尸不平行，故D错误.故选：ABC.12 .如图，在四棱锥PABC。中，底面A8CD为平行四边形，ZDAB=,AB=2AD=2PD,Q3_L底面A.PAYBDB.依与平面ABCD所成角为:6C.异面直线A8与PC所成角的余弦值为gD.二面角A-P8-C的正弦值为应57【答案】ABD【分析】连接BD，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得Bo_LAD,于是可建立空间直角坐标系,根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.【详解】连接80，因为NDA8=1,设A

13、B=2AZ)=2PD=勿，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ADAB-cosZBAD，所以SO?=a2+4a2-4a2=3a2f贝jBQ=J,WiBD2+AD2=AB2即BD_LAD，又PDJ_底面43。,A,8DU底面ABCr,所以P)_LAr,PO_L8D,如图，以。为原点，DADBQP分别为乂招z轴建立空间宜角坐标系，则Z)(Ooo),4(。,0,0),40,岛,0),a,6a,o),P(OOa)对于A,所以=(,0,-4),D=(,-3),则PA8Z)=0+0+0=0，所以QAjLBr),故A正确；对于B,又PB=(O,岛,-a),因为尸。，底面ABC。，所以OP=(0,0,。)是

14、平面48CD的一个法向量，所以COSdp=pbdp F则W与平面488所成角的正弦值为;，即PB与平面ABCD所成角为2,故B正确;262+36t2+0 25Ia 5a5对于C,B=(-a,y3a,0),PC=(一6小a,-a),则COS(A仇PC)二m,BPC则异面直线A8与PC所成角的余弦值为竽，故C错误;,、PAn=Oax-az=0优=Zl对于D,设平面皿的法向量为-，则晶I=Onlf+可=0=3明令M则=(图6),、PBm=0-VJiay2az.=0(Zl=设平面PBC的法向量为6=(,%,z,),则=r=1-八，令K=I,则、一PCm=O-ax2+yJ3ay2-az2=02=Om=(

15、,l词，所以cos(n,m)=AFi=*3=,m727令二面角A朋c所成角为仇oe4),则ICoSel=乎则平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值为毡,7所以sin。=JI-COS*9=故D正确.故选：ABD.三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知平行六面体ABCD-A2cD,则下列四式中：AB-CB=ACtAC=AB+BC+CCA=CV;(三)AB+BB,+BC+CC=AC,.正确的是.【答案】【分析】由平行六面体的性质，结合空间向量的线性运算可得.【详解】AB-CB=AB+BC=AC，正确；AB+B,C+CC=AB+BC+CC=AC，正确；由平行六面体ABa)-ABCQ性质

16、可知，正确；记C的中点为E,则AB+B&+BC+CC=AB,+BC,=AB,+AD,2AEAC，错误.故答案为：(D14 .在三棱锥PA8C中，L底面A8C,底面ABC为正三角形，=4B,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为【答案】立4【分析】以A5,AC,PA为基底，运用空间向所求解.【详解】设AB=Wl,则PBAC=（PA+AB）AC=P4AC+A4AC=m2cos=g?2,PB.AC故答案为：叵.415 .三个平面两两垂直，它们交于一点O,空间一点尸到三个面的距离分别为J,5和2百，则PO=.【答案】5【详解】构造以OP为对角线的长方体，【分析】利用向量表达出OP=OA+04+0C,求出

17、。的平方，进而求出线段。尸的长度.则OP=QA+O8+OC，且OA,03,0C两两垂直，且|。4卜&,|。4=6,|。4=26，故0P2=A+0B+OC2=O2+02+0C2=2+3+20=25,所以OP=5.故答案为：516 .正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），M,N分别为棱AD,AC的中点,Pl1JFMBN=.【答案】I/2.5一1_9三【分析】根据题意得到BN=

18、YC-AB,FM=-AB-AD,结合向心的数最枳的运卯公式，即可求解._1mw.1.【详解】由题意，可得BN=AN-AB=AC-AB,FM=FD+DM=BA+DM=-AB一一AD,22又由正八面体ABa陀产的棱长都是2,且各个面都是等边三角形，在”)中，由A8=AO=2,8O=2&,AB2+AD2=BD2所以11I.2所以FMBN=(AD-AB)(-AC-AB)=一一ADAC+-ADAB一一ABAC-AB22422=-22-+0-22-+22=-1+4=.422222故答案为：四.解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图，在

19、平行六面体H5CO-A8+A41,由此能求出结果.（2）由/即可求出Aa的长.【详解】（1）在平行六面体48Co-A用心/Q/中，AB=。，AD=hAAx=c，AC=AB+BC+CC1=AB+AD+AAi=d+b+c.（2） .AB=5tD=3,AAl=4fNoAB=90。，NBAA/=NOAA/=60。，AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AAy=a+b+c.:.AG=（+力+c）-2-2-2-.=a+b+c+2ab+2a-c+2bC=259+16+0+254cos600+234cos600=82.UUUAG的长IAcII=屈.18.如图，在三棱柱ABC-A4G中，四边形AAlcC是边长

20、为4的正方形，平面A8C/平面AAGCAB=3,BC=5.(1)求证：ML平面ABC；(2)求平面AGB与平面BCB夹角的余弦值;【答案】(1)证明见解析【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解.【详解】(1)四边形1C0是正方形，：,AA1AC.又平面ABCj.平面AiClCf平面ABCc平面AAyCiC=ACf且AAIU平面AAICC：M平面ABC.(2)由AC=4,BC=5,A8=3,得AC?+a4=8C?,ABJ.AC.建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0

21、,4), BG=(4,-3,4),BAi=(0,-3,4),8旦二(0,0,4).设平面AClB的一个法向量为4=(,y,Z),平面始GB的一个法向量为%=(2,y2,z2).nx-BC.=4x1-3V1+4z.=0则1,令Y=4,则x1=0,Z1=3,%BA1=一3y+4zl=0n1=(0,4,3).%BC1=4x,-3y2+4z2=0f222,令/=3,则为=4,n2BB1-4z2=0,*n2=(3,4,0), 阿卜饿I二部吟, 平面AGB与平面B1C1B夹角的余弦值为石.DAlPB19.如图1,在平面四边形PBCQ中，已知3C_LP5,PDlCD,PB=6,BC=2,DP=ZCD,于点A

22、.将a。沿A。折起使得EA_L平面ABCQ,如图2,设MQ=HPQ(02l).图1图2D2（1）若4=求证：尸B/平面MAC；（2）若直线A与平面Peo所成角的正弦值为五，求/1的值.3【答案】（1）证明见解析【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明：（2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解.【详解】（1）在平面四边形PBCO中，BClPB,PB=6,BC=2,所以CP=2iU,tanBPC=,又PDiCD,DP=ICD,所以Cf=20,PD=42.tanZDPC=,1 1一+一所以tanNBPD=tan（NBPC+ZDPC）=-2-3-=1,所以NBPD=45.l-2

23、 3所以在Rt中，易得=AO=4因为DA上PB,BClPBf所以AD/BC.在四棱锥尸一ABC。中，连接BD，设BDCAC=F,连接M/，X=2,所以陆尸8.BCFB因为MFU平面MAC,PB（Z平面MAC,所以尸B平面MAC.（2）由题意易知A4,AD.AP两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),尸(0,0,4),则CD=(2,2,0),夕。=(0,4,-4).设平面PCD的法向量为=a，y,Z),CD = 0,即n PD = 0-2x + 2y = 04y-4z = 0令X=1,得由MD=APD，得用。=(0,44,-44),故M

24、(0,4-4%4l),AM=(0,4-444/1).4-4 + 426M n由直线AM与平面PCD所成角的正弦值为远,3IAMW(4-4)2+(4)2320.在长方体ABC。AqGR中，己知DA=Z)C=4,DD1=3,连接A3,qCA1C,如图，建立空间直角B3在图中标出点E(2,2,/)的位置；UUU(2)求AB与4C的坐标；(3)求向量AC在平面ABCD上的投影向量的坐标.【答案】(1)答案见解析UuUUUUAB=(0,4.-3).B1C=(Y,0,-3)(3)(-4,4,0)【分析】(1)根据长方体内各点的位置关系即可得到点的位置.UUUUUU(2)表达出AB与1C,即可得到A8与BC

25、的坐标.(3)由几何知识得，向HAW在平面ABCD上的投影向吊:为AC，表达出A。，即可得到投影向量的坐标.(2)由题意，(1)及图得,的位置如图中所示:在长方体ABCQ-AgCA中，DA=DC=4.DD、=3设ij,k分别为DA.DC,DDi方向上的单位向量，111M1UIalUUUUUUlUUuU11则AB=AB-A41=DC-DD1=4j-3k,UUUIlIlUUlIuUUlIUBIIUU1IBiC=BiB+BiCi=-DDi-DA=-4j-3k,IHlUUllU/.AB=(0,4,-3),8C=(Y,0,-3).(3)由题意，(1),(2)及图得，在长方体ABCz)-8ClA中，DA=

26、DC=4DR=3,连接AC,则向炭AC在平面ABC。上的投影向量为AC.IUMlUIUUIRiUIHVUlUl11AC=AD+DC=-DA+DC=-4i+4j,AC=(-4,4,0).21.如图所示，在棱长为1的正方体ABC。-AqGR中E为线段。r的中点.(1)求证：平面48。L平面ACGA,；(2)求A到平面A%E的距离.【答案】(1)证明见解析(2)t【分析】(I)先证线面垂直，再根据面面垂直的判定定理可证结论；(2)建立坐标系，结合空间向量，利用点到平面的距离公式可求答案.【详解】(1)因为ABC。AqGR定正方体，所以AAIj平面A8CO,所以AA_L8D.又比_LAC,MfMC=A

27、,所以或)/平面ACGA，Bz)U平面A3。，所以平面A3。_L平面ACGA.(2)在正方体ABCD-AMG。中，以用为原点，建上空间直角坐标系如图所示，则A(l,0,l),A(LO,0),旦(0,0,0),h,l,LBlA=(LO,1),B1E=1,1,A4=(T。，。)，设平面A8E的一个法向量为n=(x,y,z),.nB1A=x+z=0由，1,令z=2,则X=2,y=l,即3=(-2,1,2).nB1E=x+y+-z=O川.i1.22设A到平面AgE的距离为d,则d=rl=7,即点A到平面的距离为IIH33CD_L平面PAD,ABCDfAB=I,CD=2,M为棱PC上一点.（I）若M为P

28、C的中点，证明：平面PAD：（2）若EA=PZ）=AD=2,且PA/平面创），求直线PC与平面助1）所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析Q）还8【分析】G）取8中点N,连接MN和BN,通过证明MV平面P4）和BN平面PAD,从而证明平面QAO/平面BMN,通过面面平行的性质即可证明BM/平面PAD：（2）取AO中点。，作OQ/A8交BC于Q,连接PO,证明出PO_Z平面ABC。，然后以。为坐标原点，。4,OQ,OP为正交基底建立空间直角坐标系。一孙z,利用空间向心法可求得直线Pe与平面所成角的正弦值.【详解】（I）取CD中点N,连接MN和6N,因为AB/8,CD=IAB,且N为Co的中点，

29、所以AB/ON且AB=ON,所以四边形ABNQ为平行四边形，则BN4O,因为BNO平面PAD,ADu平面P4),所以BN平面PAD,因为M,N分别为尸CC。的中点，所以MN/PD,因为MNU平面PA。，PZ)U平面P4。，所以MN平面PA。，又因为BN,MNu平面3MN,BNCMN=N,所以平面PAD/平面BMN,因为BMu平面BMN,所以3M/平面PAD(2)取AO中点。，作OQ/A8交BC于Q,连接PO,因为PA=PD,所以OPJ_O4,因为CJ_平面PAO,OROAu平面PA。，所以CELLORCZXLOA,因为OQ/ABHCD,所以OQ_LOAOQ_LOP,以。为坐标原点，OAOQ,OP为正交基底建立如卜图所示的空间直角坐标系。-Xyz,A(LO,0)、O(T,0,0)、8(14,0)、C(T2,0)、P(,3).所以PA=(1,0,-6)，DB=(2,1,0).设平面5”的法向.n=(XxZ),PA-n=x-j3z=ODBn=2x+y=O取x=3，y-2y3，z=1*则=(6,-26,1).又因为PC=(T26),/DzAnpc36所以P0=丽=一丁.所以直线PC和平面BAQ所成角正弦值为亚.8