大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析(绝对好用).docx

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1、概率论与数理统计复习提要第一章随机事件与概率1 .事件的关系AUBAuBABA-BAAB=2 .运算规那么(1)AjB=BO,那么P(AlB)P(B)(2) 乘法公式：P(AB)=P(B)P(AIB)假设四,当,5为完备事件组，P(Bj)0,那么有(3) 全概率公式：P（八）=WP(Bj)P(AlBjZ=I(4) Bayes公式：P(BkA)=，=与)汽P(BM(Al坊)=17 .事件的独立性：A,8独立OP(Aa=P（八）P(3)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 .离散随机变量：取有限或可列个值，P(X=Xj)=P,满足(1)PjO,(2)EPi=I9对任意。uH,P(XQ)=

2、EPi匕XiGD2 .连续随机变量：具有概率密度函数/(R),满足(1)/U)(),f(x)dx=iJ-QO(2) P(aXb)=jf(x)dx;(3)对任意R,P(X=a)=O3.几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布8(1,P)P(X=l)=p,P(X=O)=夕=I-PPPq二项式分布BgP)P(X=Q=C：pkqn-k,k=0,1,2,明npnpqPoisson分布P()无p(X=&)=e4/=0,l,2一,k几何分布G(P)P(X=k)=qZp,k=2,Pq7均匀分布U(,8)f(X)=-,axb,b-aa+b2S-a)?12指数分布E（八）f(x)=x,x()j_

3、I1不正态分布NT，/)1/(X)=-J=e2y224 .分布函数F(x)=P(Xx)9具有以下性质(UFs)=O,F(+)=l;(2)单调非降；(3)右连续；(4) P(a4)=l-/；(5)对离散随机变量，F(X)=Xpi.;izxix(6)对连续随机变量，F(X)=力为连续函数，且在F(X)连续点上，F(x)=(x)J-Oo5 .正态分布的概率计算以()记标准正态分布N(0,l)的分布函数，那么有(1) (0)=0.5t(2)(-x)=l-(x)j假设XN3),那么F(X)=(二上)：(4)以Q记标准正态分布N(OJ)的上侧分位数，那么P(X)=l-(%)6 .随机变量的函数y=g(x)

4、()离散时，求y的值，将相同的概率相加;(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，那么(y)=U-,W)U-1)b假设不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量1 .二维离散随机向量，联合分布列P(X=Xj,y=)=%,边缘分布列P(X=Xj)=p,P(Y=X)=P.,有Pij0;(2)ZPLhPj=ZP炉Pj=Ypijyi2 .二维连续随机向量，联合密度/(x,y),边缘密度f(x),y(y),有f(xfy)Oi(2)r(%y)=h(X,Y)eG)=fff(xty)dxdy；()=J：/(x,y)dy,f(y)=f(,y)dx3 .二维均匀分布“乂月蔡而。)6。，其

5、中加(G)为G的面积0,其它4 .二维正态分布(x,y)N(M，2，b；，6，p)，其密度函数(牢记五个参数的含义)/U) =1E-1U-Ai)2o(x-i)(y-,)(y-S1e*-2P1z2l2l-p22(1-P)_1122X-/V(1,12),/(4届)；5 .二维随机向量的分布函数F(X,y)=P(Xx,y)，)有(1)关于x,y单调非降；(2)关于x,y右连续；(3) F(x-)=尸(一8,y)=F(-)=O；(4) F(+,+)=1，F(x,+)=Fx(x),F(+,y)=F(y)；(5) P(x1Xx2,yi有RXy区LIpXyl=I=三。/，P(Y=X+力=1Cr(X)Cr(Y

6、)5 .k阶原点矩乙二E(XA),k阶中心矩=或X-E(X)A第五章大数定律与中心极限定理1 .ChebySheV不等式PX-E(X)或PX-E(X)|2 .大数定律3 .中心极限定理(1)设随机变量x,x2,，X独立同分布E(Xi)=，D(Xi)=29那么x,j.N(,b2),i=lfi2sXjT或X，)或2IN(0,1),2近似n4n近似(2)设，是次独立重复试验中4发生的次数，P（八）=p,那么对任意X,有IimP乌二竺x=(X)或理解为假设XBgp),那么X.N(np,npqfynpq近似第六章样本及抽样分布1.总体、样本(1)简单随机样本：即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法

7、),(2)样本数字特征：1n_2样本均值X=-Yx,.E(X)=tD(X)=一)；/=11n_1H_样本方差52=后g(X,-X)2(E(S2)=2)样本标准差S=J自(Xj-X)2样本攵阶原点矩乙,样本攵阶中心矩4=f(X,-5)”n,=in1=|2 .统计量：样本的函数且不包含任何未知数3 .三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1) %:分布力2=*：+*；+*；力2()，其中*2产.,*独立同分布于标准正态分布N(OJ),假设X/2()y72(%)且独立，那么+y2(%+%);V(2) /分布t=-t(n)9其中XN(0,l),丫力2()且独立；F7nVln(3) F分布

8、F=-F(nl,n2),其中X/(%),y/(%)且独立，有下面的性质YZn24 .正态总体的抽样分布(1) X-N(,2n)l(2)区一)2/(明oi)=2,那么几=Pmin(X,Y)=.5 .设总体X的概率密度为/U) =(6 + 1)/,0,0x-.x, X2，X是来自X的样本，那么未知参数的极大似然估计量为.解：I. P(ABAB) = 0.3即 0.3 = P(AB) + P(AB) = P(A)- P(AB) + P(B) - P(AB) = 0.5 - 2P(AB)所以尸(AB) = O.1P(A UB) = P(AB) = I-P(AB) = 0.9.222 P(X(X=。)

9、+P(X=D2+叱，P(X=2)由 P(X 1) = 4P(X = 2)知T + 及一 =2e-即 2；I-I = O 解得;1 = 1,故P(X=3) = le1.63 .设y的分布函数为6，(y), X的分布函数为&*),密度为人。)那么 因为XU(0, 2),所以弓(J7) = 0,即6(y) = G(7)故另解 在(0,2)上函数)，= /严格单调，反函数为1(y) = J 所以4 .P(X1) = 1 P(Xl) = eT=e-2,故 义=21-4=-e .5.似然函数为 L(x1, ,x; + l)xf=9 + ir(x, ,xn)/=I解似然方程得的极大似然估计为O=!1.iln

10、xf. /=1二、单项选择题(每题3分，共15分)1 .设A8,C为三个事件，且AB相互独立，那么以下结论中不正确的选项是(A)假设P(C) = 1,那么AC与BC也独立.(B)假设P(C) = 1,那么AJC与B也独立.(C)假设P(C) = 0,那么AUC与8也独立.(D)假设CU B,那么A与C也独立.()2 .设随机变量XN(0,l), X的分布函数为(X),那么P(IXl2)的值为(A) 21-(2).(B) 2(2)-1.(C) 2-(2).(D) 1-2(2).(3.设随机变量X和丫不相关，那么以下结论中正确的选项是(A) X 与 y独立.(B) D(X-Y) = DX + DY

11、.(C) D(X-Y) = DX-DY.(D) D(XY) = DXDY.4.设离散型随机变量X和丫的联合概率分布为假设x,y独立，那么%夕的值为,、2 Ql(A) a = -9 P = -.9 9(C) = , =一66(A)(D)1 2Ct -t =一.995 Q 1 a =， =18185.设总体X的数学期望为,*1,乂2，乂为来自*的样本，那么以下结论中正确的选项是（八）X是的无偏估计量.(B)X是的极大似然估计量.(C)X是的相合(一致)估计量.(D)X不是M的估计量.()解：1.因为概率为1的事件和概率为O的事件与任何事件独立，所以（八）,(B),(C)都是正确的,只能选(D).=

12、 1-(2) + (-2)=可见A与C不独立.3(X2) = 1-P(-2l时上（Z） = OzXdx = 2x = 2z0zl故Z的概率密度为或利用分布函数法六、（io分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，命中点的横坐标X和纵坐标y相互独立，且均服从N（0,2?）分布.求（1）命中环形区域O=（%,y）l+y22的概率；（2）命中点到目标中心距离z=x2y2的数学期望.今抽取容量为16的样本，测得样本均值M=I0,样本方差=0.16（1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设7or2O.l（显著性水平为0.05）.（附注）hos（16）=1746,r005（15）=1.753,002

13、5（15）=2.132,解：（1）的置信度为l-下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868,10.2132）（2%w20.的拒绝域为/2,5T）/=而=15x1.6=24,KO5(15)=24.996因为z2=2424.996=zj05(15),所以接受4.概率论与数理统计期末试题(3)与解答一、填空题(每题3分，共15分)(1)设事件A与B相互独立，事件B与。互不相容，事件A与C互不相容，且P（八）=P(B)=0.5,P(C)=O.2,那么事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为.(2)甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发

14、现它们是同一颜色的，那么这颜色是黑色的概率为.2x,0x)=0.01,那么(注:Zooi(17)=33.4,总os(17)=35.7,/(H(16)=32。疯(16)=34.2)解：(1)P(ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)因为A与C不相容，B与。不相容，所以WnC分:dC,故ZAC=C同理ABC=AB.P(ABC+ABC)=P(C)+P(AB)=0.2+().5().5=0.45.(2)设A=四个球是同一颜色的，Bi=四个球都是白球，B2=四个球都是黑球那么A=B1+B2.所求概率为P(B2 I A)=P(AB2)P(A)P(B2)P(B1)+ P(B2)所以P(BJA)=-.2

15、Y8(4,P),其中p=P(X0.5)=,2xdr=2B=_,1133EK=4-=1,DY=4-=-,4444EY2=DY-I-(EY)2=-+1=-.44这是因为 a+b = OA,由七Xy = O.8 得 0.2 + = 0.8EX=O.6+2xO.4 = L4, EK = O.5故 cov( X,Y) = EXY - EXEY = 0.8-0.7=0.1.IACI 2(5) P(S2 a) = P4 = 0.014即 ，；.01(16) = 4。，亦即 4 = 32 /. = 8.二、单项选择题(每题3分，共15分)(1)设4、B、C为三个事件，P(AB)0且P(ClA8) = 1,那么

16、有(A) P(C) P(A)+ P(8)-L(B) P(C)P(A B).(C) P(C) P(A)+ P(B)-1.(D) P(C) P(AJB).()(2)设随机变量X的概率密度为且y = X+力N(0,l),那么在以下各组数中应取(A) = l2, b = . (B) = 22, / = 2.(C) = l2 = -l.(D) = 22, Z? = -2.()(3)设随机变量X与y相互独立，其概率分布分别为那么有(A) P(X = K) = O. (B) P(X = K) = 0.5.(C) P(X=K) = 0.52.(D)尸(X = Y) = L ()(4)对任意随机变量X ,假设E

17、X存在，那么同E(EX)等于(A) 0.(B) X. (C) EX. (D) (EX)3.()(5)设，x为正态总体NQ/,4)的一个样本，工表示样本均值，那么M的置信度为的置信区间为(A)(B)(C)(D)解 (1)(-w,27=, +uatl-J=nu-al2-j= -7=)n(无 一 ua =,亍 + 4 ) (ual2-7= +uall-f=yn?由 P(CIA3) = 1 知 P(ABC) = P(AB),故 P(C) P(AB) 应选C.(x-(-2)121 r 2(衣)2应选C.EE(EX)=EX应选C.(5)因为方差，所以的置信区间为应选D.三、(8分)装有10件某产品(其中一

18、等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丧失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丧失的也是一等品的概率。解：设A=从箱中任取2件都是一等品Bi=丧失i等号，=1,2,3.那么P（八）=P(Bl)P(AB1)+P(2)P(AlB2)+P(B3)P(AB3)所求概率为p(qIA)=P(I1与)=:P（八）8四、(10分)设随机变量X的概率密度为求常数。；(2)X的分布函数尸(X);(3)P(IVXV3).解：1=|f(x)dx=J(ax+)dx=(x2+x)=2a+21a2(2) X的分布函数为(3) P(1x3)=i7u)v=i2(1-)=.(2)P(xr0.Pf

19、0,x0r0解：f()=J二f(,y)dy=f=:yJeJoedyX0.xex,(X+y=fy)dxdy=ve-xdxdy z(z) = /(X, z-x)dx(2)设XN(O,1), 丫%(0,1)且乂与丫独立，求EX-y.试用来自总体的样本西,，乙，求未知参数。的矩估计和极大似然估计. 先求矩估计六、(io分)(1)设xu,i,丫0,1且*与丫独立，求石x-y;故。的矩估计为夕XTx解:1-必再求极大似然估计所以。的极大似然估计为1.-ln-概率论与数理统计期末试题(4)与解答一、填空题(每题3分，共15分)(1) 设P（八）=O.5,P(B)=O.6,P(81,)=0.8,那么A,8至少

20、发生一个的概率为.(2) 设X服从泊松分布，假设EX2=6,那么P(X1)=.(3)设随机变量X的概率密度函数为f(x)=Z0+1)=Jla(X+1)公=Gpy=8xixr(4)设第i件元件的寿命为X,那么X,&击)，z=l,2,3,4,5.系统的寿命为丫，所求概率为(5)的置信度l-下的置信区间为所以的置信区间为(-0.2535,1.2535).二、单项选择题(以下各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入()中，每题3分，共15分)(1) AB,C是任意事件，在以下各式中，不成立的是(A) (A-B)lB=AijB.(B) (AUB)-A=B.(C) (AB)-AB=ABAB.(D) (

21、AUB)C=(A-C)U(B-C).()(2)设X-X2是随机变量，其分布函数分别为(x),E(X)，为使F(x)=aFi(X)+(%)是某一随机变量的分布函数，在以下给定的各组数值中应取32(A) a = -, b = -55,、2,2(B) a = , b =-.33,、1,3(D) a =, b =-.22(3)设随机变量X的分布函数为G(X),那么Y=3-5X的分布函数为K(y)=（八）Fx(5y-3).(B)5Fx(y)-3.V+33V(C)用(F).(D)1-&(V).Xi-101(4)设随机变量x,X2的概率分布为ii3=1，2.P424且满足P(XlX2=0)=1，那么X,X2

22、的相关系数为=(A) 0.(B) -.(C)4(5 )设随机变量X U。6,一. (D) -1.()2y 4(12,：)且X, 丫相互独立，根据切比雪夫不等式有P(X-3y(3-y)5)应选(D)=I-P(TX)=1一心(茅)(4) (X,Xz)的分布为11-1。704111070421110404111-424EXl=0,EX2=0,EXiX2=0,所以CoV(X,Xz)=,于是PX,=3应选（八）(5) P(X-3rX+3)=P(y-X3)由切比雪夫不等式21P(Y-X3)1-=应选(D)912而进入三、(8分)在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为4的泊松分布，超市的每一个人购置A种商品

23、的概率为P,假设顾客购置商品是相互独立的，求一天中恰有k个顾客购置A种商品的概率。解：设3=一天中恰有上个顾客购置A种商品火=0,1,Cn=一天中有个顾客进入超市=Z,女+1,那么P(B)=冗P(QB)=冗P(CM(Bon=kn=k=Q乙-即Z=O,1,.k四、(10分)设考生的外语成绩(百分制)X服从正态分布，平均成绩(即参数之值)为72分，96以上的人占考生总数的2.3%,今任取100个考生的成绩，以Y表示成绩在60分至84分之间的人数，求(1)Y的分布列.(2)Ey和。y.解：yB(100,p),其中p=P(6096)=1-()=1-(一)242412得(一)=0.977,即二=2,故土

24、=1所以=2(1)1=0.6826.故Y的分布列为P(Y=k)=C1(O.6826)(O.3174),oo-i(2) EK=1000.6826=68.26,DY=68.260.3174=21.6657.五、(10分)设(X,y)在由直线X=LX=。2,y=0及曲线y=L所围成的区域X上服从均匀分布，(1)求边缘密度人(X)和人(y),并说明X与Y是否独立.（2）求尸（x+y2）.解：区域O的面积5d= , -d = lnxf =2 7)12)因0,y)/X(X)4(y),所以x,y不独立.(3) P(X+r2)=l-P(X+y2)=l-fx,y)dxdyx+yX工+1-Ix+y=z1当_1），

25、所以Z的密度为解2：分布函设Z的分布函数为弓（Z）,那么故Z的-1为七、（9分）分运动的速度X具有概率密度/（）=a37%,w，为X的简单随O,x0.机样本（1）求未知参数。的矩估计和极大似然估计;（2）验证所求得的矩估计是否为Q的无偏估计。解：（1）先求矩估计再求极大似然估计得的极大似然估计（2）对矩估计所以矩估计=近又是的无偏估计.2八、15分)一工人负责台同样机床的维修，这台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距离为。(米)。假设每台机床发生故障的概率均为且相互独立，假设Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走n的路程，求EZ.解：设从左到右的顺序将机床编号为1,2,nX为己

26、经修完的机器编号，Y表示将要去修的机床号码，那么于是概率论与数理统计试题5一、判断题(每题3分，此题共15分。正确打“J,错误打X)(1)设A、B是Q中的随机事件,必有P(A-B)=P（八）-P(B)()设A、B是Q中的随机事件,那么AUB=AUABUB()假设X服从二项分布b(k;n,p),那么EX=p()(4)样本均值5=是母体均值EX的一致估计()篇XN(,cr；),YN(9；),那么XYN(0,0,P(B)0,证明4、8互不相容与A、B相互独立不能同时成立.四、(15分)某地抽样结果说明，考生的外语成绩X(百分制)近似服从正态分布，平均成绩(即参数之值)为72分，96分以上的占考生总数

27、的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下XOl1.522.53五、(15分)设(x,y)的概率密度为问x,y是否独立？六、120分)设随机变量服从几何分布，其分布列为P(X=k)=Q-p)ip,0p0,于是ABw即A、B96-7224四解0.023=P(X96)=1-()=1-(一)3分242412.(一)=0.977,=2,=1.7分所求概率为12分P(60X84)=(8472)-(6072)=(一)-(-)=2(1)-1=2五解边际密度为AW = 2f,y)dy =f(y) = t0 , y 0.x0;0 , x0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长/(/4)的针，求针与任一平行线相交的概率.四、(15分