2023-2024年河南专升本高数真题及答案.docx

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1、2023年河南省一般高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号一二三四五六总分核分人分数一.单项选择题(每题2分，共计50分)在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1 .集合3,4,5的全部子()D.8的 定义 域 为1 .5B.6C.7解：子集个数2=23=8=0。2 .函数f(x)=arcsin(x-1)+V3-x()A.0,3B.0,2C.2,3D.1,3._-lx-11内牛：s=0x2=Bo3-x03 .当x0时，与X不等价的无穷小量是)A.2xB.SinXC.ex-1D.ln(l+x)解：依据常用等价关系知

2、，只有2工与X比较不是等价的。应选A。4 .当X=O是函数f(x)=arcta的()XA.连续点B.可去间断点C.跳动间断点D.其次类间断点tn115T.1兀z,用羊：Iimarctan=；Iimarctan=Coxt。*x2XTO-25 .设/(x)在=1处可导，且(=1,则Iim二也二土刃的值为oh()A.-lB.-2C.-3D.-4解：IimO/(1-2)-(1+ )=慝MST (f(l)7nC 6 .若函数/(力在区间(0,b)内有f(X)0J(x)v0,则在区间Qb)内,F(X)图形(A.C.解:)单调递减且为凸的单调递减且为凹的 (幻 On单调增加;B.单调递增且为凸的D.单调递增

3、且为凹的/)凸的。应选Bo7 .曲线y= l + d的拐点是A. (0,1) B. (1,0)C.(0,0)D.(1,1)解：= 6x = 0=x = 0= (0,1),应选 A o8 .曲线/3)，一2的水平渐近线是A.y解：Iim2:3X2-28. yXT故3x- Vdntdt9. Iim 业XTO /2=3-=C3C.y = -3D.A.OB.C.2D.ftan xdx 解：吧、1.2x tan X2=Iim。4x310.若函数/(x)是g(x)的原函数，则下列等式正确的是A. fxdx = g(x) + CC. gz(x)dr = (x) + CB.D.gMdx = /(x) + Cf

4、x)dx = gx + C解：依据不定积分与原函数的关系知，g(x)dx= f(x) + C o应选B。ILjCOS(I- 3x)4ZX 二A. -sin(l-3x) + CC. -sin(l-3x) + CB. sin(1-3x)+ CD. 3sin(l -3x) + C解：cos(l-3x)dL = -cos(l -3x)J(l -3x) = -sin(l -3x) + C = A。12 .设y=3)力,则y(0) = Jo.-3B.-lC. 1D. 3解：y,= (- l)( - 3) = yf(0) =3=D Q13 .下列广义积分收敛的是.f: dxnAj 五b tD.1dx 777

5、解：由P积分和4积分的收敛性知，半收敛，应选CoJlXyjx果错误14.对不定积分fT-dx,下列计算JsinxcosXB.tan X! + Ctan XD. -Cot 2%+ C)A.tanX-cotxCC.cotx-tanx+C解：分析结果，就能知道选择C。15 .函数y=/在区间口3的平均值为解：一!fz,f(x)dx=(X1dx=-=Bob-aa2j61316 .过OZ轴及点（3,-2,4）的平面方程为B.2, + z = 0A.3x+2y=0C.2x+3y=0D.2x+z=O解:经过Oz轴的平面可设为Ar+8），=O,把点（3,-2,4）代入得2x+3y=0应选Co也可以把点（3,-

6、2,4）代入所给的方程验证，且不含z。17 .双曲线一7绕Z轴旋转所成的曲面方程为（）y=OA2+y2221R,y2+z?3434D.X2(y + z)?=134(x+y)2z234r22r222解：把二一二二1中/换成/+y2得t匕一二=1,应选A。34343-T918 .IimA.-B. -C.066D.极限不存在3-yxy+9-y11角牛：Iim=Iim/=Iim=B。送孙Jxy(3+9)3+9619 .若z=则竺=()/(e,l)A.-B.1C.eD.Oe=xyInx=elne=e=C。3v?I(e,i)J(,1)20.方程22丁-m3=1所确定的隐函数为2=/*),则上=()OXA.

7、-B.-C.-D.-2y-3xz3xz-2y2y-3xz3xz-2y7f72解：令7=z2y一冗一1=尸；=一zE=2zy-3xz2=，=,应xFz2y-3xz选A。21.设C为抛物线），=/上从（0,0）到（LD的一段弧，则，2型+dy=A.-lB.0C.1D.2X= X解：C：0,X从0变到1,U =厂22.下列正项级数收敛的是31a. y3 + 1L2xydx + X1 dy =)dx = 1 = C。B.之二一Mln n18c.yD._2n(nn)-n=2,时收敛，当p时发散。级数丁二、。与级=2(山)”=23+1=2n,n81数f利用比较判别法的极限形式来确定一一发散的，应选C。n-

8、28123.基级数ZGr*+1)的收敛区间为()m=o3A.(-1,1)B.(3,3)C.(一2,4)D.(-4,2)811rrY解：令x+l=r,级数化为ZG=LZ:n收敛区间为(-3,3),即M=o33w=3/x+l(-3,3)=x2)=Do24 .微分/+3y+2y=eCoSX特解形式应设为/=()A.Cexcos%B.e-x(Clcosx+C2sin%)C.xex(C1cosx+C2sinx)D.x2e-x(C1cosx+C2sinx)解：-l+z不是特征方程的特征根，特解应设为e-XGcosx+CzSinx)。应选B。25 .设函数y=(x)是微分方程y+V=x的解，且O)=。，则/

9、3)在/处()A.取微小值B.取极大值C.不取极值D.取最大值解：有尸(XO)+f(/)=/(/)=/Ona。得评卷人分二、填空题(每题2分，共30分)26.设/(x)=2x5,则ff(x)-1=解：ff(x)-H=2(x)-1)+5=2f(x)+3=2(2x+5)+3=4x+13。2h27 .Iim=.isn解：构造级数利用比值判别法知它是收敛的，依据收敛级数的必要条,2件Iinl=Oo*nl3e4x,x=6。XTO-2XTo29 .已知曲线y=/+工-2上点M处的切线平行于直线y=5工-1,则点M的坐标为解：y,=2x+i=5=x=2=y=4=M(2,4)o30 .设F*)=”-1贝IJf

10、2QO10)=X= 3t + y = 2t2-t + 解：fn)=2ne2x-1=t27)(0)=22007,o31 .设解：虫=B=电=I0dx3dxp32 .若函数/(x)=Or2+法在X=I处取得极值2,则。=解：f,(x)=2or+b=02a+b=0;a+b=2a=-2;b=4o33.解：Jr/()dx=df(x)/(幻=In(x) +C o34 .1l-x2d=解：(JI一/八=Jssl=%35 .向量2=3；+4-E的模I21=解：I3：+4,-E=J9+16+1=后。36 .已知平面:x+2y5z+7=0与平面2：4x+3y+mz+13=0垂直，则m=解：hx=1,2,-5;2=

11、4,3,n=4+6-5m=0=m=2。37 .(x+y,xy)=x2+y2,则/(x,y)=解：f(x+ytxy)=x2+y2=(x+y)2-2xy=f(x,y)=x2-2y,38 .已知=FdyjF(羽y)公，交换积分次序后，则/=解：D= (x,y)Oy,yx,所=x,y)Ox,Oyx+(,y)l2xl,Oy以次序交换后为不但Uay)y+鱼办ff(x,y)dyo的和为39 .若级数S-L收敛，则级数n=l俞牛：Sn=+=, frj Iim= O ,Im1 uI ) kw2 m3 Jw+l ) wI“+118 向gU(11W1(1ill11八所以S=IimS“=。rtxM140 .微分方程/

12、-2+=0的通解为解：有二重特征根1,故通解为y=G+C2W（。1，。2为随意常数）。得评卷人分三、推断题(每小题2分，共10分)你认为正确的在题后括号内划“J”，反之划“X”.41 .若数列xll单调，则xtl必收敛解：如数列单调，但发散,应为X。42 .若函数/(x)在区间Q,U上连续，在(a,b)内可导，且/()w(b),则肯定不存在WWab),使,()=O.()解：如y = /在_1,可满意上述条件，但存在g = o ,3, 为X。43竺x5x+ sinx t 1 + cosx1.Sinx ,Iim= -1-Sinx使得()= 0,应( )Sinx解：其次步不满意?或2，是错误的，事实

13、上Iim忙皿=IimJ=L038X+snX18+SInXX应为X。44 .0fn2l-e2xd-ln2.Jo2()解：因OVJI-1”I,由定积分保序性知：()广2Jl一e-2dxJIn2gn2,Jo2应为J45 .函数f(x,y)在点P(X,y)处可微是f(x9y)在P(x9y)处连续的充分条件.()解：/(x,y)在点P(Xy)处可微可得/(x,y)在点P(x,y)处连续，反之不成立，应为应为Vo得评卷人分四、计算题(每小题5分，共40分)解:IimSinXlnX&n x-x Iim XlnK o e*.46 .求IimA:叫x0*Iimxsinx=Iim.r(rx0解：两边取自然对数得I

14、ny=21nx+iIn1-x-lnIl+x,(1分)两边对X求导得：-/=-+-yX3L1-x2+X3(x-l) 3(x + l)（4分）l-x2+,1+ x X 3(x-1) 3(x +1)（5分）48.求不定积分e2x+ln(l+x)dx.解：e2x+ln(1+x)dx=2a(2x)+ln(1+x)dx(1分)（3分）+ln(l + x)- 1 -dx一(4 分)=-ie2x+ xln(l + x) - % + ln(l + x) + C o49.计算定积分J2 + 2cos2x公.解：El 2 + 2cos2x = 2(1 + cos2x) = 4cos2 x ,所以(5分)2 2cos

15、2xdr = 4cos2 xdx = f 21 cosx dx（2分）COSxtZx-2 cosxd2（4分）=2sinx2-2sinx = 2 + 2 = 4o(5 分)250.设 z =/(esinyB/y),且/(, U)为可微函数，求dz.解:令ersiny= ,32y = y ,有z = /(#),利用微分的不变性得 dz = f：(w, v)du + f(,v)dv = fud(ex Siny) + fd(3x2 y)( 3 分)=(Sinydx + ex cos ydy) + f(6xydx + 3x2dy)（4分）51.解:=（exsin yft,l+ 6xy）dx + （ex

16、 cos yfl,l + 3x2fr）dy -一（ 5 分）计算JJX2必其中。为圆环区域：1 +y2 4.D积分区域。如图07T所示：Z）的边界V+V = 1、/ + ,2=4用极坐标表示分别为厂=1，r= 2;故积分区域。在极坐标系系下为:（r,）02,lr2,（2 分）故 JJX2公力=COS? 0*7*（3 分）=cos2t Pdr = cos2 dJoJi Jo 4f2cos2 d = 22cos2 d- (4 分) -4 Jo8 Jo图 07-1(1+ cos2)J = ( + -sin2) 82215（5分）7r52.将上T绽开为X的基级数，并写出收敛区间.4-x2解：因-=-;

17、-(2分)4-2X2+x2(1-)2(1+-)22-=jnxw(-U)。ITn=0所以一L1-2lV= -乙(2./1=01SX (-2,2) ； 二 Z1 + - = 2rXX (-2,2) O 一( 3 分)x(-2,2) (4 分)81=T2n+,X1一2。-（5分）n=0Z53.求微分方程x1dy+（y-2xy-x2）dx=0的通解.解：方程可化为V+=y=l,这是一阶线性非齐次微分方程，一-（1分）X它对应的齐次方程V+上字），=0的通解为y=Ce-一（2分）X设原方程有通解y=C（x）x2ef代入方程得Ct（x）x2e=1,1-1、即C,（x）=-J-一（3分）X所以C（X）二je

18、=e；+C,（4分）故所求方程的通解为y=C/-+/。_（5分）得评卷人分五、应用题（每题7分，共计14分）54.某工厂欲建立一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V立方米，底面造价每平方米。元，侧面造价每平方米%元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？解：设长方体的长、宽分别为x,y,则高为上，又设造价为z,（1分）由题意可得J2bVIbV/八八、/0八、z=axy+2b(x,)=vy+(x0,0)；(3分)xyyX而导”-写;卷=3孝;在定义域内都有意义.一IJI7-令”?:得唯一驻点x=y=，上，（5分）Sz2bVVa=ax-=0为y2由题可知造价肯定在内部存在最小

19、值，故=y=3亚就是使造价最小的取值此时高为愣。所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为栏匕、栏匕程造价最低。一-(7分)55.设平面图形D由曲线)，=,直线y=e及y轴所围成.求：(1)平面图形D的面积；y=e(2)平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体原.(1分)解：平面图形D如图07-2所示：-取X为积分变量，且x0,l(1)平面图形D的面积为S=e-ex)dx(3分)JO图07-2xexdx=(ex-ex)=10(4分)(2)平面图形D绕y轴旋转一周所生成旋转体的体积为2_X=2e2Vv=2xe-exbc=2兀e-2fxde=e-2xe+2edxJooJo0(7分)e-2e+2v=(

20、e-2)。或Vy=1(Iny)2dy=(ny)2y-*2Inydyy+2jdy=Tte-2Inydy=e-2yIn=e-2e+2(e-1)=(e-2)o得评卷人分六、证明题(6分)56.若(x)在上连续，则存在两个常数相与M,对于满意Ox20A.1B.O解:3-1aa=-i的3+lB.跳动间断点C.2 2 2_1D.33=D.3 .点x= O是函数yA.连续点1C.可去间断点D.其次类间断点3a-I -13x -1 解：Iim 工一 = - = -1, Iim - =XTO 11XT0* 1Iim23；In 3314 .下列极限存在的为3x+XT013 1 In 3=I=3.A.Iim exx

21、+ooB.Iimx0sin2xC.Iim COS-XTo+XD.IimXx2+2x-3C1-2cosx2.Iimr.3sin解:明显只有Iim组在=2,其他三个都不存在,应选B.x05.当x0时，ln(l+Y)是比_COSX的(A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等阶无穷小D.同阶但不等价无穷小2解：In(I+X?)1一CoSX=2si2t_n。221+(x+l)sin一，x-1x+16.设函数f(x)= 0A.在X=-I处连续，在X=O处不连续B.在X=O处连续，在X=-I处不连续C.在x=7,0,处均连续D.在冗=一1,0,处均不连续解：Iim/(x)=1,Iim/(x)=1,/(-1)=1=

22、/(x)在4=1处连续；A-,x-I+Iimf(x)=1,Iimf(y)=0,/(0)=1=/(x)在X=O处不连续;应选A.O-xO47 .过曲线y=arctanx+e*上的点(0,1)处的法线方程为A.C.B.x 2y + 2 = O D. x + 2y-2 = O2-y+=02xy=O解:V=匕+ /=八。)=2 =七8 .设函数/(x)在X=O处可导，/()=(0)-3x+a(x)且Iim电2=0,则/(O)=XTOX)A.-1解：解(O)= Iimx0B.1 U)-(0)x-0=Iimx0C.-3D. 3_3x + aa)=_3 + lim忠 7,应选C.XTOX9 .若函数f(x)

23、=(InX)A(X1),贝IJr(X)=A.(InX产B.(In x)v, + (In x)x ln(ln x)C.(Inx)xln(lnx)D.X(Inx)x解：/(x)=(Inx)r=e-=y=(InX)Xbln(Inx)r=(Inx)xl(Inx)xln(lnx),应选C0StV10 .设函数y=y(x)由参数方程一Q确定，则T=(y=sintdx仁2,-4A.-2B.-lC.-2D.-233dysird1y11d2y4rr.解：一二T=nT=-，2,应选D.dxcostdxcost3cosrsinfdx3.r=-4IL下列函数中，在区间T,l上满意罗尔中值定理条件的是(A.y=exB.

24、y=InxC.y=-x2D.y=-X解：验证罗尔中值定理的条件,只有y=1一/满意，应选c.12 .曲线y=d+5-2的拐点是().x=0B.(0,-2)C.无拐点D.X=O,y=2解：y=6x=O=X=O=(0,-2),应选B.13 .曲线y=Ix-HB.既有水平渐进线又有垂直渐进线D.既无水平渐进线又无垂直渐进线A.只有水平渐进线C.只有垂直渐进线解：Iim=0,Iim=Oo=8.ta:IX-11XTIIX-Il14 .假如/(x)的一个原函数是XInX,那么J2()力C=(B.X2 +CD.C-XA.InxCC.X3In%+C解：/(x)=(xlnx)=1+lnxn*(x)=*)d=-J

25、dLr=-x+C,应选D.15.dxx2-4x+ 3C.ln(x 3) ln(x 1) C解:dxx2-4x + 3=Jdx(x-3)(x-l)16.设/=卫二，贝U/的取值范围为A. 0Zl B. - / 12C.0-4解：此题有问题，定积分是一个常数，有,Jrl,依据定积分的估值性质，有2l+x4-I1,但这个常数也在其它三个区间,都应当正确,但真题中答案是B.217.下列广义积分收敛的是,f tB.皿公解：明显应选D.18. -xdx =A. 2 -xdx JOC. (1 - x)dx (x )dxCj4xdx D. cexdx ( )B. (x-l)Zx + (l-x)ZrD. 1 (

26、1 - )d + j (x - )dx解：11-xd/r=JJl-xd+Jl-xdr=l(l-x)dr+(x-l)4Zr,应选D.19.若/(x)可导函数，/(x)0,且满意了2(幻=22_21sin74,则/(%)=J。1+cosf()A.ln(l+cosx)B.-ln(l+cosx)+CC.-ln(l+cosx)D.ln(l+cosx)+C解：对F2(%)=1222理区”力两边求导有：2/(x)/r(x)=-2/U)SmX,J。1+cosr1+cosxmi七,，/、SinX、rsinx,fd(l+CoSX)即有/(X)=nf(x)=-dx=-1+cosxj1+cosxJ1+cosx=ln(

27、l+cos%)+C,还初始条件/(0)=In2,代入得C=0,应选A.20.若函数/)满意刈=工+1-2/(工)公，则/(X)=()2 JtA.XB.XC.XHD.xH3 223解：令。=L则/(*)=%+l-3。，故有a=Jjf(x)dx=(x+1-a)dx=2-a=a=1=f(x)=x+g,应选C.21 .若/=1/*2)公则/二()Axf(x)dxBxf(x)dxCYXf(X)代D；*/(XMX解：，=；/(，)4(，)=fv)=gi;(x)d(x),应选C.22 .直线苫2=g3=与平面4x-3y+7z=5的位置关系为A,直线与平面斜交B.直线与平面垂直C.直线在平面内D,直线与平面平

28、行解：5=5,9,l,n=4-3,7=51n,而点(-2,-4,0)不在平面内，为平行,应选D.23 .Iim.=(oJX2+y-+1-1A.2B.3C.1D.不存在解:22rX +Iim ,Jo2 + + -Iimx0 y0(2+ y2 XJX2 + y2 + + DJr + y=Iim(Jx2+y2+1+1)=2,应选A.x0O24 .曲面Z=/+y2在点(,2,5)处切平面方程()A.2x+4y-z=5B.4x+2y-z=5C.x+2y-4z=5D.2x-4y+z=5解:令F(x,y9z)=x2+y2-ztK(1,2,5)=2,用(1,2,5)=4,F(l,2,5)=-1=2(x-l)+

29、4(y-2)-(z-5)=0=2x+4y-z=5,也可以把点(1,2,5)代入方程验证,应选A.25.设函数Z=X、-xy3,贝|二_L=()yxA.6xyB.3x2-3y2C.-6xyD.3y2-3x2解：全=Y-3町产n=3/-3y2,应选B.yyx26 .假如区域D被分成两个子区域D1和。2且Jf。,y)dxdy=5,jf(x,y)dxdy=1,则J/(x,y)dxdy=()D2DA.5B.4C.6D.1解：依据二重积分的可加性，f(x,y)dxdy=6,应选C.DX=t-snt27 .假如L是摆线从点A(2,0)至U点B(OQ)的一段弧，则y=1-cosz()B. 2e2(l-2)-l

30、j(/y+3xex)dx+(x3-ysiny)cly=A.e2(l-2)-lC.3e2(l-2)-lD.4e2n(l-2)-lX= X八,x从2兀变至IjO,则 J = O解:有=半=/=此积分与路径无关,取直线段.yx(x2+3xex)dxx3-ysiny)dy=3xexdx=3e2(l-2)-1,应选C.28 .以通解为y=C/(C为随意常数)的微分方程为()A.y+y=OB.yfy=OC.y,y=1D.yy+1=O解：y=Ce*ny=Ce=y=(),应选B.29 .微分方程y+V=xe的特解形式应设为y*=()A.x(ax+h)exB.ax+bC.(ax+b)exD.x2(ax+b)ex

31、解:-1是单特征方程的根，%是一次多项式,应设=x（ax+b）e-x,应选A.30 .下列四个级数中，发散的级数是（）A.产1y-QQB=12m3 IOOOncM=I乙解:级数的一般项生二上的极限为一0,是发散的,应选B.S1000/?100On500二、填空题（每题2分，共30分）31 .Iimf(x)=A的条件是Iimf(X)=Iimf(x)=A.XTXOXXoX,tQ解：明显为充要(充分且必要)./JT32 .函数y=x-sinx在区间(),2)单调,其曲线在区间0,-内的凹凸性为的.解：V=I-CoSXO=在(0,2)内单调增力U,y=sinx在0,g)内大于零,应为凹的.C(2,-4

32、0)为顶点的AAB。的面积为ijk解：A=-l,l,0,AC=2,0-l=ABAC=-11O=-1-1-2),所以20-1/ABC的面积为JMXNgX2y2+三137 .方程194在空间直角坐标下的图形为一X=-2解:是椭圆柱面与平面x=-2的交线,为两条平行直线.&-&- /,1 |f罢八兀Y-jtFdxcosydy=珂：cosydx=cosydy=Sin电=.41 .直角坐标系下的二重积分JJf（x,yMMy（其中力为环域1x2+y29）化为极坐D标形式为.解：JJf（x,ydxdy=J。Jj/（rcos,rsinO）M儿D42 .以y=Cle-3x+为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为,

33、解：由y=Cle3x+C2xe3x为通解知，有二重特征根-3,从而=6国=9,微分方程为y+6y+9y=0.8时级数发散.43 .等比级数z&fm（）,当时级数收敛,当.=0解：级数Saq是等比级数，当|川Vl时,级数收敛,当Iql时,级数发散.n三044.函数/(x)解：f（x）x2-x-21绽开为X的鼎级数为.x1-x-231+x 2-XIlll=3 1 + X 6 X1 2=-(-1)xm-J =0y(T严72-7 =L 0 w=0 /=032n-Mxn,(-lx + t2dtJo解：Iimx0x4闵 1+FdfJooo=Iim04x3x2Vl + x4 2x48.已知j=Insin(l

34、-2x),求生.dx解:dxsin(l -2x)所心)=鬻碧口小一翳高49.=-2cot(l- 2x).计算不定积分J-E arc Ianxdx.解:(x2arctanxJ 12.=arctanx-2J2 l + x2x21 ff1=- arctan X-J1 1 一、l+ x2dxarctanx-x + - arctan x + C.50.求函数Z= ex cos(x + y)的全微分.解:51.解:利用微分的不变性，dz= dex cos(x + y) = exdcos(x + y) + CoS(X + y)dex=-ex sin(x + y)d(x + y) + CoS(X + y)ex

35、dx=-ex sin(x + y)dx+ dy + cos(x + y)exdx=e cos(%+ y) - sin(x + y)dx - ex Sin(X + y)y.计算JJd,其中。是由丁 = 2/ =居个=1所围成的闭区整D y积分区域。如图所示:把区域看作Y型,则有O= K, y) 11 y 2, X ,故 A dxdy = v dxy= x-x = y=1 X =J：j纯MX=J：jdyx赴1dy= -y + /J174852.求微分方程/+ycosx=sin满意初始条件y(0)=T的特解.解：这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次微分方程/+yCosx=0的通解为y=CeTinX，设丁=c(x)e-sinx是原方程解,代入方程有。(不)6-,皿=6一，即有C(X)=1,所以Ca)=X+C,故原方程的通解为y=Ce-3inx+XeTi办，把初始条件)，()=-1代入得：C=一1,故所求的特解为y=(x-l)e-sin53.求级数S=03的收敛半径及收敛区间（考虑区间端点）.解：这是标准的不缺项的塞级数,收敛半径R=LP而P= Iimt+l=Iimn+ 2 3”=3Iim w/?+ 13,故收敛半径R二311当X=士时,级数化为