数值计算复习资料.doc

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1、word第一章 绪论1 绪论：数值分析的研究容2 误差的来源和分类3 误差的表示4 误差的传播5 算法设计的假如干原如此一、误差的分类绝对误差，相对误差例1-1 设x是由准确值x经过四舍五入得到的近似值。问x的绝对误差限和相对误差限各是多少？解：因为x=x * 0.005 ，所以绝对误差限为相对误差限为二、有效数字定义设数x 的近似值可以表示为其中m是整数,i (i=1,2, , n) 是0到9 中的一个数字，而1 0. 如果其绝对误差限为如此称近似数 x*具有n 位有效数字。结论：通过四舍五入原如此求得的近似数，其有效数字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。例1-2 如下近似数是通过四

2、舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字：x1* =87540，x2*=875410, x3*=, x4*= 10-2解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，也可以通过绝对误差限来判断。有5位有效数字。同理可以写出可以得出x2 , x3 , x4 各具有4、3、4 位有效数字。例1-3 e =, 试判断下面两个近似数各有几位有效数字？解：由于而而所以e1有7位有效数字。同理：e2 只有6位有效数字。三、算法设计的假如干原如此 1：两个很接近的数字不做减法: 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)练习：求方程x2-56x+1=0 的两个根，使它们至少具有四位有效数字第二章插

3、值与拟合1、Lagrange插值多项式,Newton插值多项式的构造与插值余项估计，与证明过程。 2、 Hermite插值多项式的构造与插值余项估计，带导数条件的插值多项式的构造方法，基于承袭性的算法，基函数法，重节点差商表的构造；3、分段插值与三次样条插值的构造4、最小二乘拟合 掌握Lagrange 插值多项式的构造方法与具体结构 掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和证明方法 掌握Newton插值多项式的形式与误差 掌握差商表的构造过程关于离散数据：Newton插值多项式：例1-3 f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求 N4 (x

4、)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，并计算 N4(1.5)、N5(1.5).解：先由前五组数据列差商表1 02 2 23 12 10 44 42 30 10 25 116如果，再增加一点(6, 282),就在上表中增加一行计算差商由Newton公式的递推式得到：得到：1. 高次插值的Runge 现象，应如何防止？ 2.分段性插值有何优缺点？误差估计？插值节点的选择 3. Hermite插值的构造, 误差估计4.三次样条函数的定义、构造过程5.数据拟合的最小二乘法可化为直线拟合的非线性拟合的处理方法二、典型例题分析例1. 令x00，x11，写出y(x)e-x的一次插值多项式L1

5、(x) ,并估计插值误差P55,t14题第三章数值积分 插值型积分公式 Newton-Cotes 型求积公式 复化求积公式 Romberg算法 Gauss 型求积公式 数值微分(1 ,2)需要掌握：各种积分公式的原理，构造方法,利用公式计算积分，复化梯形公式，(复化)Simpson公式的余项表达式，代数精度Romberg算法的实现原理，计算，外推加速技术；Gauss型求积公式的构造方法；数值微分公式的构造方法一、确定数值积分公式或数值微分公式，并推出余项 根据代数精度的概念 对Guass型求积公式，可借助Guass点与求积系数的关系确定参数 推导余项时，可设 对于数值微分公式，可构造适当的插值

6、多项式或应用Taylor展开式推导二、计算定积分和函数的导数的近似值 对于给定的被积函数与求导函数，应用指定的数值积分公式或数值微分公式计算，t9,t12,t13,t18,t19，t25，t26等明确积分公式与微分公式三、确定复化求积公式和数值微分公式的步长或节点数，使计算结果满足所给精度要求 根据复化求积公式和数值微分公式的余项或截断误差表达式，对满足精度要求解一个相应的不等式，即可确定所需的步长或节点数插值 求各种类型的插值多项式，被插值函数f(x)在某些点处的近似值，并估计误差 类型的插值条件，如Largrange，Newton，Taylor等 所给条件与类型局部一致的插值条件的构造方法(类似于Hermite插值构造) 推导插值多项式的余项公式 讨论满足误差要求的分段插值的步长或节点数的计算 最小二乘拟合问题的计算 直线拟合 多项式拟合 转化为直线拟合的非线性拟合绪论 误差 有效数字 算法设计的原如此防止有效数字损失17 / 17