矩阵的逆及其应用.doc

《矩阵的逆及其应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的逆及其应用.doc（11页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。

1、矩阵的逆与其应用一、 矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得，如此说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，的逆矩阵记作。二、 逆矩阵的性质和定理1 逆矩阵的性质1、 假如矩阵A、B均可逆，如此矩阵AB可逆，其逆矩阵为，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。假如都是阶可逆矩阵，如此也可逆，且.2、 假如A可逆，如此也可逆，且=A；3、 假如A可逆，实数0，如此A可逆，且=；4、 假如A可逆，如此也可逆，且=；5、 =；6、 矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，如此有=E=，与矛盾，所以是唯一的。2 逆矩阵的定理、 初等变换不改变矩阵的可逆

2、性。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是与阶单位阵等价。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是可以表成一些初等矩阵的乘积。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。、 阶矩阵可逆的充分必要条件是。三、 逆矩阵的计算方法1 定义法定义：设是阶方阵，如果存在阶方阵使得，那么称为可逆矩阵，称为的逆矩阵，记为。例、 求矩阵的逆矩阵。解：存在设，由定义知，由矩阵乘法得由矩阵相乘可解得；故2 、伴随矩阵法阶矩阵可逆的充要条件，而且当阶矩阵有逆矩阵，注释：对于阶数较低一般不超过阶或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意元素的位置与符号。特别对于阶方阵，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有

3、“主对角元素互换，次对角元素变号的规律。对于分块矩阵例、 解：可逆，由得3 、行列初等变化法设阶矩阵，作矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，假如把子块变为，如此子块将变为，即初等变换，。注释：对于阶数较高的矩阵，采用初等行变换求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便，在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换。也可以利用当矩阵可逆时，可以利用求得仅通过初等变换，即求出了例、 用初等行变换求矩阵的逆矩阵。解：4 、用分块矩阵求逆矩阵设、分别为、阶可逆矩阵，如此：例、 ，求。解：将分块如下：其中可求得5 解方程组求逆矩阵根据可逆的上下三角矩阵的逆仍是上下三角矩阵，且上下三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上下三角矩

4、阵对应的主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素；又由两端对应元素相等，依次可得只含有一个待求元素的方程，因而待求元素极易求得，此法常用元素待求上下三角矩阵的逆矩阵。例、 求的逆矩阵。解：设，先求出下的次对角线上的元素最后求，设为阶单位矩阵，比拟的两端对应元素，得到；于是，所求的逆矩阵为：6 、用克莱姆法如此求解假如线性方程组的系数行列式，如此此方程组有唯一的一组解，这里是将中的第列换成得到的行列式。7 、恒等变形法求逆矩阵有些计算命题外表上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。8 、用Hamilt

5、on-Caley定理求逆矩阵Hamilton-Caley定理：设是数域上的阶矩阵()=|为的特征多项式，如此：(A)=|E-A|=+=0于是因此9 、三角矩阵的一种求逆法如果阶矩阵可逆，那么他的逆矩阵是T=其中10 、拼接新矩阵在可逆矩阵A的右方补上一个单位矩阵E，在A的下方补加上一个负单位矩阵-E，再在A的右下方补加上一个零矩阵0，从而得到一个新的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵-E化为零矩阵，那么原来的零矩阵0所化得的矩阵就是所要求的那逆矩阵。四、 矩阵的逆的应用(1) 逆矩阵在解线性方程组中的应用设用矩阵表示的方程组为，其中X= B=假如A可逆X=注：利用逆矩阵求解要

6、求方程个数与未知数个数相等，且矩阵A可逆，否如此此法失效。而Gauss消元法对方程组个数与未知元个数不等时仍适用此时有可能不相容或有无穷多个解。且Gauss消元法特别适合于计算机计算。(2) 逆矩阵在求矩阵的秩中的应用设A是mn矩阵，P和Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，如此r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)n阶矩阵A的秩为n|A|0A可逆。(3) 逆矩阵在信息科学中的应 算法的加密原理信息发送端首先根据密钥矩阵A的阶数|A|=n,将明文转换为n维数向量X，然后将X与A相乘得到密文Y，既Y=AX，再将Y发送，信息端承受到Y后，如此利用密钥矩阵。加密通信模型基于加密技术的通信模型，发送方采

7、用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方如此可以采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。密钥的生成如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密密钥和求出其逆矩阵作为解密密钥是利用可逆矩阵实现通信的关键。， 加密密钥的生成初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的。因此通信中可以考虑利用假如干个初等矩阵的乘积作为加密编码矩阵。它的生成方法如下：从单位矩阵出发，反复运用第一类和第三类初等变换矩阵去乘它，而其中的乘数必须取整数。这样得到的矩阵将满足，而通常所谓的矩阵的三种根本类型的初等变换如下：交换两行或两列；数乘某一行或某一列；将某一行或某一列的倍加到另一行或另一列上；实质上只有和两种是独立的，可以通过和来表示。， 解密密钥的生成设，其中是初等矩阵，如此，其中是的逆矩阵。设是对单位矩阵I做初等变换K得到的初等矩阵，如此只需对单位矩阵I做K的逆变换即可得到。 显然，在实际应用，生成解密密钥只需要再次利用生成加密密钥时的变换矩阵对单位矩阵做一序列的初等变换即可。