不等式地概念和基本性质.doc

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1、不等式的概念和根本性质 重点：不等式的根本性质 难点：不等式根本性质的应用 主要内容： 不等式的根本性质 abbb,bcac a+bcaba+cb+c ab不等式的运算性质 加法法如此：ab,cda+cb+d 减法法如此：ab,cda-db-c 乘法法如此：ab0,cd0acbd0 除法法如此：ab0,cd00 乘方法如此：ab0,anbn0 (nN, n2) 开方法如此：ab0,0 (nN, n2) 根本不等式 aR,a20 当且仅当a=0时取等号 a,bR,a2+b22ab 当且仅当a=b时取等号a,bR+, 当且仅当a=b时取等号a,b,cR+,a3+b3+c33abc 当且仅当a=b=

2、c时取等号 a,b,cR+, 当且仅当a=b=c时取等号|a|-|b|ab|a|+|b| 不等式的概念和性质是进展不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。根本不等式可以在解题时直接应用。 例对于实数a,b,c判断以下命题的真假假如ab, 如此acbc2, 如此ab; 假如ababb2; 假如ab|b|; 假如ab, , 如此a0, bbc2, 所以c0, 从而c20，故原命题为真命题。 因为 所以a2ab 又 所以abb2综合得a2abb2故原命题为真命题 两个负实数，绝对值大的反而小故原命题为真命题 因为 所

3、以所以 从而abb 所以a0, b0 从而 H0 从而GA Q-A= 从而AQ 综上所述，当a, b为不相等的正实数时，HGA|a-b| 故而 更接近例船在流水中在甲地和乙地间来回驶一次平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？解：设甲、乙两地的距离为，船在静水中的速度为u，水流速度为vuv0如此船在甲、乙两地行驶的时间t为： t= += 平均速度=-u=-u=0 b, 如此ac2bc2；假如ab0，如此 ； 假如ab ；假如ab0，如此ab0，如此 设x,yR，判定如下两题中，命题甲与命题乙的充分必要条件 命题甲 命题乙 命题甲 命题乙aR，试比拟3(1+a2+a4)与(1+a+a2)2的

4、大小a1, mn0，比拟am+ 和an+的大小 函数y=f(x), xR满足 对xR，都有f(x)2；对x1R，x2R, 都有f(x1+x2)f(x1)f(x2) 求证：对任意实数x1, x2，都有：lgf(x1+x2)lgf(x1)+lgf(x2) 参考答案解c20，当c=0时ac2=bc2=0故原命题为假命题 举特例-2-1-1故原命题为假命题 由于ab0 所以 所以故原命题为假命题 ab|b|0 故原命题为真命题 cab0 c-bc-a00 又ab0 故原命题为真命题 解当x0, y0时，很明显x+y0, xy0 当xy0时，x,y同号；又x+y0，可知x, y同正，即x0, y0 因此

5、：命题甲是命题乙的充要条件 x20，y20x+y4, xy4 但是：反例如下：x=5, y=1, 这时x+y=64, xy=54, 但x2, y1, mn0可知aman,am+n1 (am+)-(an+)0即：am+an+证明：设x1R，x2Rf(x1)f(x2)-f(x1)+f(x2)f(x1)-1+f(x2)-1 对任意xRf(x)2 -10 -10f(x1)f(x2)f(x1)+f(x2) 再由条件 f(x1+x2)f(x1)+f(x2)对任意实数x1R x2R有： f(x1+x2)f(x1)f(x2)lgf(x1+x2)lgf(x1)f(x2)=lgf(x1)+lgf(x2) 从而对任

6、意实数x1R，x2R有：lgf(x1+x2)lgf(x1)+lgf(x2) 不等式综合能力测试一、选择题：1设I=R，集合M=x|lg(x+1)0,如此等于A、(-,-1)(0,+) B、(-,0C、(-,-1)0,+) D、(-,0)2假如函数y=lg1+(1+log2x)的值域为R+，如此其定义域为A、R+B、(1,+) C、(,+) D、(,1)3使方程cos2x+sinx=a有实数解的a的取值X围是A、(-, B、-1,C、0, D、-2,4函数：(1) y=x+(x0), (2)y=cosx+(0x0), (4) y=(1+cotx)(+2tgx)(0xbc，如此有A、|a|b|c|

7、B、|a|b|c-b|D、|a+b|b+c|6不等式x+1的解集是A、x|-1x1 B、x|0x1 C、x|x-1 D、x|-1x0)二、填空题7a、b、cR+，且a+b+c=1, 如此的最小值是_.8loga(1+a)与loga(1+) (a0且a1)的大小关系是_.9设x0, 如此函数y=+x2, 当x=_时，有最小值_.10不等式lg(x2+2x+2)|2-|的解集是_.三、解答题13解不等式0.14如果0a1, 0b1, 0c0.16|a|1, |b|1, |c|1, 求证：|loga(1+) 9. 10. x|-4x2 11. 1, 12. x|x13. 由或解得原不等式的解集为x|

8、x0或1x2或2x4.14假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a同大于， abc(1-a)(1-b)(1-c)()3.(1)又 a(1-a)()2=, 即a(1-a),同理b(1-b), c(1-c), abc(1-a)(1-b)(1-c)()3.(2)(1)与(2)矛盾，所以结论成立.15设x=tana (-90a0,即 2sin2a-sina-10, -sinaa-.故原不等式的解集是(-,+).16|11a2+b2+c2+a2b2c20,即 原不等式成立.17设M=lg(ylgx)=lgxlgy, x, y, lgx0, lgy0 M()2=()2=1,当x=y=10时等号成立，又 xy=100, lgx+lgy=2 M=-(lgx-1)2+1,由x, y,得lgx, lgy, lgx, 当lgx=或lgx=时，M有最小值，故lg(ylgx)的最大值为1，最小值为.18设每小时的费用总和为t元，航行速度为x公里/小时，t=kx3+480(x0),由得103k=30得k=, 即t=x3+480,设每公里的航行费用为y元，得y=(x3+480)=x2+3=36，当x=20时取等号，答略.