一元二次方程知识点及其应用.doc

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1、1、 相关知识点1理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 1明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。 2各项确实定(包括各项的系数及各项的未知数). 3熟练整理方程的过程3 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4 列出实际问题的一元二次方程二解法1明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2 根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3体会不同解法的相

2、互的联系；4值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如的方程的解法：当时，;当时，;当时，方程无实数根。2配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；系数化1：根据等式的性质把二次项的系数化为1；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；求解：假设时，方程的解为，假设时，方程无实数解。3公式法：一元二次方程的根当时，方程有两个实数根,且这两个实

3、数根不相等；当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；当时，方程无实数根.公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定的值；代入中计算其值，判断方程是否有实数根；假设代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。4因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，则这两个因式至少有一个为0，即：假设，则；因式分解法的一般步骤：假设方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到

4、原方程的两个解。5选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。方程假设含有未知数的因式，选用因式分解较简便，假设整理为一般式再解就较为麻烦。6解含有字母系数的方程1含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；2对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进展讨论。三、根的判别式1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。1=2根的判别式定理及其逆定理：对于一元

5、二次方程当方程有实数根；当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；当方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2常见的问题类型1利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况2方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围3应用判别式，证明一元二次方程根的情况先计算出判别式关键步骤；用配方法将判别式恒等变形；判断判别式的符号；总结出结论.4分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进展分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根

6、或无实数根。5一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式组等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧6一元二次方程根的判别式与整数解的综合7判别一次函数与反比例函数图象的交点问题四、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。3.增长率问题下降率：在此类问题中，一般有变化前的基数，增长率，变化的次数，变化后的基数,这四者之间的关系可以用公式表示。4.其它实际问题都要注意检验解的实际意义，假设

7、不符合实际意义，则舍去。五实际应用1有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？2读诗词解题列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？36岁(3) ：分别是的三边长，当时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是直角三角形。（4） ：分别是的三边长，求证：方程没有实数根。（5） 当是什么整数

8、时，关于的一元二次方程与的根都是整数？6关于的方程，其中为实数，1当为何值时，方程没有实数根？2当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。答案：12.二一元二次方程的解法1开平方法解以下方程：1 2 （3） 原方程无实根 4 2配方法解方程：1 2 3公式法解以下方程：1 2 4因式分解法解以下方程：1 2（3） 4 5解法的灵活运用用适当方法解以下方程：1 26解含有字母系数的方程解关于*的方程：1 () （2） 三一元二次方程的根的判别式1不解方程判别方程根的情况：14有两个不等的实数根 2 无实数根2为何值时，关于*的二次方程1有两个不等的实数根 2有两个相等的实数根

9、3无实数根 3关于的方程有两个相等的实数根求的值和这个方程的根 (或)4 假设方程有实数根，求：正整数a. 5 对任意实数m，求证：关于*的方程无实数根.6 为何值时，方程有实数根.7 设为整数，且时，方程有两个相异整数根，求的值及方程的根。当=12时，方程的根为；当=24时，方程的根为3 *商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，假设商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 20元4 甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲

10、由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，假设正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距千米？ (2分钟后) 7*科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,假设该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数一样,试求这个百分数. (20%)8如图，东西和南北向两条街道交于O点，甲沿东西道由西向东走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通过O点又继续前进50米时，甲刚好通过O点，求这两人在相距85米时，每个人的位置。甲离O84米，乙离O13米9关于*的方程有两个相等的实数根.(1)求证：关于y的方程必有两个相等的实数根。(2)假设方程的一根的相反数恰好是方程的一个根，求代数式的值。14