MSD_ 专题19 距离型定值型问题(解析版).docx

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1、专题19距离型定值型问题【例题选讲】例1已知椭圆C狼+W=l(QO)过点(0,1),且离心率为坐.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线/：y=5+机与椭圆E交于A,C两点，以AC为对角线作正方形ABC),记直线/与X轴的交点为N,求证：IBW为定值.规范解答(1)由题意知，椭圆E的焦点在X轴且方=1,坐，因为4=，+尻，解得/=4.故椭圆E的标准方程为+y2=l.(2)设A(x,y),C(X2,”)，线段AC的中点为r1,y=-m,联立2,消去y,得入2+2加工+2川一2=0,匕+户1,由/=(2/)2-4(2/-2)0.解得一,VmQ0)在右、上顶点分别为A、B,尸是椭圆C的左焦点，P坐,

2、坐)是椭圆。上的点，且QB=(O是坐标原点).(1)求椭圆C的方程；(2)设直线I与椭圆C相切于点M(M在第二象限),过O作直线I的平行线与直线MF相交于点N,问：线段MN的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.则直线的方程B4：y=T(x+2),令X=0,则y=所以M(0,-),IiLI乙IlLI乙LI乙F?TiZn直线的方程：y=-(-2),令X=0,则y=,所以N(0,),Jm2m2m2OTONm2n2：AoTNSAOMT,而=击(圆的切割线定理)，再联立彳+丁=1,4层O=O三=-=3.例4(2020.新高考I)已知椭圆C5+a=1(0)的离心率为坐且过点A(2,1).(1

3、)求。的方程；(2)点W,N在C上，且AMLAN,ADLMN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|。|为定值.rc2a2，22规范解答由题意可得j=+/=1解得层=6,b2=c2=3,故椭圆。的方程为蓑+/1.(+22)+(l-1)2+4=0,整理化简得(2左+3+l)(2k+m1)=0,因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k+机一l0,所以2左+3根+1=0,kl,于是直线N的方程为y=x一5一g,所以直线MN过定点噌，).当直线MN的斜率不存在时，可得N(X1,一州)，如图2.图2代入(Xl2)(%22)+1)=0,得(Xl2+l货=0,结合看+胃=1,解得Xl=2(舍去)或Xl=,此时直

4、线MN过点41,一因为IA|为定值，且AAOE为直角三角形，AE为斜边，所以AE的中点。满足IQQI为定值QE长度的一半!+(l+g)=坐.由于A(2,1),E,-),故由中点坐标公式可得。件).故存在点Q件I),使得|。|为定值.例5(2016北京)已知椭圆C最+/l(*0)的离心率为坐，A(af0),B(0,b),0(0,0),AOAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线朋与y轴交于点“，直线PB与X轴交于点N.求证：IAMlBM为定值.厂C小4=2，规范解答(1)由题意得1.11a2=b2+c2,4=2,解得。=1，所以椭圆C的方程为+V=L3),B(x4,必

5、),*p=2,即m2=2(2+l)联立/和椭圆的方程，得(22+l)x2+4相fcr+2机26=0,则/=(4相左4(22+1)(2m26)0,4km2m216芬X1-X2-+27，XIX2=+2r，TOA=(X3,丁3),OB(%4丁4),.,.A0XX4+j3j4A：3X4+(to+m)(fcT4+m)=(2+1)X3X4+机上(X3+x4)+机20l2m26l=(严+1)1+2如+%(4km,9(2+1)(2m26)4m22+m2(22+1)T+2)+m=1+23m2-62-6l+223(22+2)-62-6-j=0，OALOB.综上所述，圆。上任意一点处的切线交椭圆。于点A,B,都有O

6、A,05.在RtAB中，由AM与ABOM相似，得IMAHM5=(W2=2.例7如图，已知椭圆CW+:=l,点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A(A点在X轴下方)，且线段AB的中点石在直线y=x上.(1)求直线AB的方程；(2)若点尸为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线y=%于点M、N,证明：|0朋|0川为定值.规范解答(1)设点石(根，m),由5(0,2)得&2根，2m+2).4m2(2zn+2)2桃？Q代入椭圆方程得节4=1，即,+(加+1)2=1,解得根=或根=0(舍).所以A(3,1),故直线AS的方程为x+3y+6=0.(2)设Pa0,加),则普+苧=1，即

7、用=4挈设MxM,yM),由A,P,M三点共线，即，C.ApAk,(x0+3)(m+l)=(yo+1)+3),又点在直线尸X上,解得点的横坐标X片斗,设N(XN,),由B,P,N三点共线，即前前，.xo(yv+2)=(yo+2)xN,2xn点N在直线y=x上，解得N点的横坐标XN=Z.xo-yo2所以OMON=y2xm-0xn-Q=2xmIlXNI=21；.：，I1犹二皆22x()26XoyOl2%o2-6xoyoiXo2-Sxoyo1/=%_而2_4尸2丁;正尸2|行1=6.Xo_2xoyo-XoJo例8如图，已知MX0,yo)是椭圆C?+弓=1上的任一点，从原点O向圆环(X-X0)2+(y

8、-yo)2=2作两条切线，分别交椭圆于点P,Q.若直线OH0。的斜率存在，并记为左1，左2,求证：上次2为定值；试问|0月2+|0。|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.规范解答(1)证明：因为直线OPy=kix,OQ.y=左2x与圆M相切，所以方落手=1所以M,后是关于左的方程（看一2）R2M）Wt+%2=0的两个不相等的实数根，所以M%2=M因为点Mo,yo）在椭圆C上，所以%+胃=1,即京=353,所以左的=焉为定值.（2）。尸F+QQ2是定值，定值为9.理由如下：当点坐标为（也，时，直线OP0。落在坐标轴上，显然有QPI2+QQ2=9.当直线。P,0。不落在坐标轴上时，设P

9、（X1,y）,Q（X2,竺），因为为左2=；，所以yb=%,因为尸（X1,yi）,Q（X2,丁2）在椭圆C上，所以小，卜=3-5彳,客量，所以（3；鬲）（31）=/曷，整理得看+送=6,所以y彳+另=（3%彳）+（3g）=3,所以Q尸|2+|0。|2=9.例9已知椭圆C，+方=1（。金0）经过（1,1）与9尊，坐j两点.求椭圆C的方程；（2）过原点的直线,与椭圆C交于4B两点,椭圆C上一点满足IMAl=也因.求证面坪+两肝为定值.规范解答（1）将（1,1）与四，坐）两点代入椭圆C的方程，得b3解得属=3,椭圆C的方程为上+亨=1.证明：MA=MB,知M在线段A3的垂直平分线上，由椭圆的对称性知

10、48关于原点对称.若点A,8是椭圆的短轴顶点，则点是椭圆的一个长轴顶点,此时IOAI2+052+（W2=万+5+户=2同理，若点A,5是椭圆的长轴顶点，则点是椭圆的一个短轴顶点,0.1,1,21,1,2此叫OAl2十|。杆十画p一层十/十反一2.若点A,B,不是椭圆的顶点，设直线/的方程为y=息（际0）,则直线OM的方程为y=%,设A（X1,y）,B（Xi,y）,3消去y得，x2+22-3=0,解得君=7,32l+22999l93(l+2)、3(1+F)OA2=O砰=XHM=+2M，同理IoM=2+V，,OA2OB2OM2_l+22j2(2+2)=2X3(l+F)+3(l+F)=2故，OA2O

11、B2OM2=2为定值.例10如图，已知椭圆G:w+F=l的左、右顶点分别为4,A2,上、下顶点分别为S,B2,记四边形AlIA2星的内切圆为圆C2.(1)求圆Q的标准方程；(2)已知圆Q的一条不与坐标轴平行的切线/交椭圆Cl于P,M两点.(i)求证：OPLOMy(苴)试探究加+品!是否为定值.规范解答(1)因为4,S分别为椭圆G：2+丁=1的右顶点和上顶点,则S的坐标分别为(2,0),(0,1),可得直线的方程为x+2y=2.则原点。到直线A2B的距离为d=2_2_l+22-5则圆Q的半径rd2忑4故圆Q的标准方程为-+V=/(2)(i)证明可设切线/：y=bc+b(kO),P(x,%),Mm

12、m),将直线/的方程代入椭圆G可得6+f)+2MX+庐I=。，由根与系数的关系得,IkbXl+%2=-i,4+e-2+2721则y1y2=(kx+b)(kx2+)=2xi%2kb(x+x2)+2=i修工2=，RR又/与圆。2相切，可知原点。到/的距离d=b_22+l2-5整理得/=|廿一1,b则=；,所以9况f=xix2+y1y2=O,故。尸_LOM.w+s(ii)由(i)知。尸_LCM当直线OP的斜率不存在时，显然QPl=1,IoM=2,此时f+i=当直线。尸的斜率存在时，设直线。尸的方程为y=左1羽r24代入椭圆方程可得，+&2=1,则/=日后,故Q尸2=V+y2=Q+店)2=W,),同理

13、32=长耳14(后+1)后+4,rn1L11+4后L好+45QLF左1fr设AB的中点为C(X3,J3),则J3=2(yi+m)=23m2+4=3m2+4X3=2(1+兄2)=EIXyl+2)-2=-3m2+4,所以直线。：,J=一根(+5力，令,二，得。=一藐匕，1上工估入IQ尸2十QM24(+后)+4(1+后)不评上用知，OP2十QM24为正值.Yfylllln771_13(/+1)3(疗+1)12(/+1)1则|。为I3川+4(1)3/+4，所以以司3/+4,3苏+4.4为正值例12已知A,尸分别是椭圆C=l(AO)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当P尸，X轴时，AF=2PF.v

14、231例11如图，已知椭圆C7+1=I(QQO)经过点(1,I),且离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)若直线I过椭圆C的左焦点Fi交椭圆于A,B两点，AB的中垂线交长轴于点。.试探索需是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.1c1规范解答(1)椭圆C的离心率为3则5=3即/=4/,从=层/=3/.又因为椭圆C5+5=1经过点(1，1)，所以小+9=1，解得C=1，X2V2所以椭圆C的方程为=L证明：当直线/与X轴重合时，点。与点。重合，A,B为长轴顶点，则悟=IaDl今当直线/与X轴不重合时，设A(X1，%)，B(X2,2),直线A:X=my-1,x-my,6zzO由0,所以IA8

15、尸为不了W=12(+i)3m2+4.1 .在平面直角坐标系XOy中，过点M4,0)且斜率为左的直线交椭圆w+y2=l于A,B两点.(1)求上的取值范围;当左0时，若点A关于X轴为对称点为P,直线BP交X轴于点N,求证：IOW为定值.2 .解析(1)过点M4,0)且斜率为左的直线的方程为4),y=M-4),得卜2+J/8+1621=0,因为直线与椭圆有两个交点，所以/=(8/)24(F+J(16F1)0,解得一坐2),则尸,y),由题意知x1x2,y1y2,山门.曰,82162-1由(1)仔Xl十X21，XVX21,+4+4直线BP的方程为X-Xiy+yX2X1y2+yC令y=0,得N点的横坐标

16、为嗤”+如又州=女(兄1-4),2=左(兄24),故QNl=y(%2-)1-x2+1y2竺十%2kxX2一44(兄1+兄2)MXl+应)-8左一-4h-2+4f+wk8k2+a即QW为定值1.X2V223 .已知点尸1为椭圆”+方=I(QQ0)的左焦点，P(-l,-)在椭圆上，P尸X轴.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线/：y=丘+机与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点，且QALOB,O到直线/的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.2.解析(1)令焦距为2c,依题意可得人(一1,0),右焦点产2(1,0),(2)设A(X1,y),B(X2,m),y=kx-m,|尸尸1|十|尸尸

17、2=乎+芈=25=2d所以a=巾,b=l,所以椭圆方程为3+丁=1；整理可得(22+l)%24mx+2m2-2=0,4km2m22xi+*2=+22XIX2=+22匕?9?2m224km9m222所以yy(Axi+m)(te+m)=lxX2km(x+xi)+rrr-片+2,+ml+22,12m212m2223m22k2-200由OA.=XX2+yy2=+2/+22=+22=。,13m=2(2+1),所以原点。到直线/的距离为为定值.3.已知椭圆C，+方=1(。0)的离心率为坐，且过点A(2,1).(1)求。的方程;(2)点M,N在C上，且ALAN,ADLMN,O为垂足，问是否存在定点。，使得Q

18、Ql为定值，若存在，求出。点，若不存在，请说明理由.3.解析rcy3a2(1)由题意可得：+lK=0,结合方+5=l,解得x=2(舍去)或Xl=,此时直线MN过点飕，一令。为A为的中点,即(,1),若。与?不重合，则由题设知AP是RtAAOP的斜边，所以AE的中点Q满足IQQI为定值Q尸长度的一半gy(21)2+。+2=需.若。与尸重合，则QQI=TIAPI，故存在点骑士)，使得|。|为定值.4 .已知椭圆C+方=l(b0),离心率e=孚，点GNLI)在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点P是椭圆C上一点，左顶点为A,上顶点为B,直线朋与y轴交于点直线PB与X轴交于点N,求证：IANB

19、M为定值.5 .解析依题意得e=号，设e=pm,则。=2，a=y2m,由点GNLI)在椭圆上，有.+,=1,解得根=1,则=2,=2,椭圆C的方程为：j+f=l.(2)设尸(孙yo),M(0,m),N(n,O),A(-2,O),B(0,2),则。(以”)，由A,P,三点共线，则有或二公公即；二段解得根=则(品)则N(0,由SP,N三点共线有kpB=kNB,即四子=半解得根=谒，加一go2兆11-伍。+2兆2也2%叵。2IANWi=IyL爪+21喘+2的=I7Hxo+214%2+22_4巾XOyo4立(2州也XO)+8XoyO巾XO2yo2y2又点尸在椭圆上，满足奢+弓=1,有2项2+4泗2=8

20、,代入上式得IANHBM=一4陋XOyO.4吏(2加一立Xo)+16_4gXOyO+4也(2yo-也Xo)-16_0)的离心率为坐，且过点(0,1).(1)求椭圆C的方程；(2)若点A、B为椭圆C的左右顶点，直线/：x=2吸与X轴交于点。，点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交直线/于、F两点，当点P在椭圆C上运动时，|。卜|。尸I是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.7 .解析(1)由题意可知8=1,又因为e=当且/=反+，解得。=,所以椭圆。的方程为2+丁=1；(2)1。EHQn为定值1.由题意可得：A(2,0),B(2,0),设5(xo,yo),由题意可得：-

21、2xo)+2y尸=-2+2=0,即ti=-t2t=t2,所以IQEHQ尸I=IQPH。引，即IQEHQ尸1一1。尸HQE=O为定值.已知椭圆C：言争过左焦点尸且垂直于长轴的弦长为李(1)求椭圆C的标准方程；4点P(m,0)为椭圆。的长轴上的一个动点，过点P且斜率为5的直线/交椭圆。于A,B两点，证明:I朋F+pb2为定值.PJxa=5,7 .解析(1)由欧2可得。=4,故椭圆C的标准方程为圣+*=1.,一5,Q25169=3,a2=b2+c2,(2)设直线/的方程为x=%+根，代入(+*=1，消去羽并整理得25y2+20my+8(加一25)=0.、儿148(m225)RA(%,y),B(X2,

22、丁2),则州+竺=严，yy2=石，4141又TF=(附2+才=育工同理可得p32=育丸则|以|2+十|2=|15+比)=!|8+2)2-2%2=1()216(5)=41.所以IRII2+|尸为2是定值.228.设O为坐标原点，动点M在椭圆5+彳=1上，过M作X轴的垂线，垂足为N,点P满足份=也品.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)过尸(1,0)的直线A与点P的轨迹交于A,B两点，过尸(1,0)作与/i垂直的直线/2与点P的轨迹交于C,。两点，求证：击+j为定值.8.解析(1)设尸(x,y),M(x0,州)，则N(x,O).V2VP=2NM,(0,y)=2(x0-%,刃),2)22.xo=x,加

23、=左,又点在椭圆上，.+4=1，即方+=l点P的轨迹E的方程为5+七=1.22(2)证明:由知.为椭圆与+=1的右焦点,VO当直线/与X轴重合时，AB=6,CD=-,*CZ)=48,当直线/1与X轴垂直时，AB=y,CD=6,旖+志=*当直线/i与X轴不垂直也不重合时，可设直线/i的方程为y=(-l)(O),则直线/2的方程为y=一1不一1),y-k(x-1),设AS,y),B(x2,竺)，联立0,XI+%2=耳而，*AB=d1+FyI(Xl+工2)24xi%2同理可得CD-1I1_8+929+8严_17打111z估,AB+CD-48(2+1)h48(2+1)-48不上口仔IA为十ICQI为正

24、值.9.已知椭圆C5+W=13z7)的焦距为2小，斜率为T的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点、为D,且直线0。的斜率为一看(1)求椭圆。的方程；(2)若过左焦点尸斜率为左的直线/与椭圆交于W,N两点，P为椭圆上一点，且满足OPLMN,问：康+f是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.9.解析由题意可知c=/,设A(X1,%),Bgm)，则+芳=1,%+#=1,两式相减并整理得，比二丝ZF=即”“=一1Xl-X2Xl十兄2aa又因为左A5=；,k0D=代入上式得，a2=4b2,又/=+/,/=3,所以/=%2=1,故椭圆的方程为亍+F=1.由题意可知，F(-3,0),当MN为长

25、轴时，OP为短半轴，则康+f=:+l=/CX2L+y2=L否则，可设直线/的方程为y=M+5),联立j4消y得，、y=k(x3),(1+42)2+8小+122-4=0,则有+x2=一岑奈，XlX2=14j所以MN=l+2x一修I=4+42=1+4P设直线”方程为尸一%,联立根据对称性不妨令Pb春,y=k,11-l+421_1+4ZZ+4_5故硒十巧评4+4/+（讦而y4+42+4+4炉Q综上所述，jv+q尸J为定值不10.在直角坐标系XOy中，动点P与定点厂(1,0)的距离和它到定直线x=4的距离之比是1：2,设动点P的轨迹为E.求动点P的轨迹E的方程；(2)设过厂的直线交轨迹石的弦为AB,过

26、原点的直线交轨迹E的弦为CDCD/AB,求证：需为Ia5定值.10.解析(1)设点P的坐标为(X,y),由题意得三牛口=),将两边平方，x乙?2?2并化简得5+5=1,故轨迹E的方程是亍+5=1.(2)当直线AB的斜率不存在时，易求得A5=3,CD=23,则售f=4.当直线A5的斜率存在时，设直线AB的斜率为左，依题意知左0,则直线AB的方程为y=k(x1),直线的方程为丁=丘.设A(X1,y),B(X2,m)，C(X3,丁3),O(X4,以)J=MLI)得(3+42)2-82x+42-12=0,则x1+x2=3+4.4212x1x2=3+4F，4212.3+4L12(1+2)3+4产.AB=l+2xX2I=综合知器=4,为定值.ICDI248(l+2)3+42A5=3+4,l2(l+2)=4