MSD_ 专题21 数量积、角度及参数型定值问题(解析版).docx

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1、专题21数量积、角度及参数型定值问题题型一数量积型定值问题【例题选讲】例1已知椭圆u+方=1(。人。)的离心率为叩，右焦点为尸(1，0)，直线/经过点F且与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程；(2)当直线/绕点厂转动时，试问：在X轴上是否存在定点，使得M凝为常数?若存在，求出定点”的坐标；若不存在，请说明理由.规范解答(1)由题意可知，c=l,又e=(=半，解得。=也，所以/=/=,所以椭圆的方程为弓+y2=.(2)若直线不/垂直于X轴，可设/的方程为y=左(x1).联立椭圆方程弓+V=1,化为(1+2m)4+2-2=0,、422k12设A(X1,y),B(X2,y2),

2、则Xi+%2=2呼+】,XIX2=2,+设MM0),则磁=(Xl,y),讼=(X2一九”),磁谦=(Xl-%,Jl)(%2t,竺)=(XlO(X2t)+yiyi=(XlOa2+2(X11)(X21)22-24人=(l+2)X1X2(+2)(xi+x2)+z2+2=(1+2)2F+/)27+/2(22-4+l)+2-22一+1,要使得扇凝=Au为常数)，只要F毛;？+12:.即(2P4/+12外3+(户一2一2)=0.对于任意实数左，要使上式恒成立，只要2/一书+l2丸=0,2T=。,解得.5片不=16若直线/垂直于X轴，其方程为X=I,此时，直线/与椭圆两交点为A（l,乎），BQ,乎）,取点昭

3、*0),有M=(一：,乎)，旋=(一鼻，一坐)，磁林=(-1)(-1)+乎(一乎)=-=A.综上所述，过定点尸(1,0)的动直线/与椭圆相交于A,B两点，当直线/绕点尸转动时，存在定点M(90),使得磁.讼=一例2已知。为坐标原点，椭圆C2+2=1上一点石在第一象限，若IOEI=亭.求点E的坐标；椭圆C两个顶点分别为A(2,O),BQ,0),过点M(0,1)的直线/交椭圆。于点。，交X轴于点、P,若直线AO与直线相交于点。求证：办改为定值.Pjj规范解答设E(xo,jo)(xoO,JoO),因为QEI=+，所以NM)2+比2=苧,2又因为点石在椭圆上，所以于+y02=，Xo=1,广由解得：i3

4、，所以E的坐标为(1,;X)=2(2)设点O(X1,%),则直线ZM的方程为y=g(x+2)，直线的方程为y=%1，由解得利=幺沔?，又直线OM的方程为y=咛L1,JCN-1-乙t令尸。，解得白=一所以海诙=3M-=1*三,Jy-r2匕x2y+2州十2xy+x-2y+2又苧+-2=1,所以源.丽=公堂土生4.xyi+Xi+-例3椭圆有两顶点A(1,O),B(l,0),过其焦点厂(0,1)的直线/与椭圆交于C。两点，并与X轴交于点P.直线AC与直线交于点Q.(1)当ISl=平时，求直线/的方程；(2)当点P异于A,B两点时，求证：办丽为定值.22规范解答(1)因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程

5、为3+方=12由已知得。=1,C=I,所以a=45,椭圆方程为为5+2=l.直线/垂直于X轴时与题意不符.设直线/的方程为y=Ax+l,将其代入椭圆方程化简得，(F+2)f+2区一1=0.、2k1设C(XI,yi),0(X2,yi),则.Xl+%2=廿+2,XlX2=-/+2,Ia)|=、+HIXl_&|=、+2-4=2当?严)=芈,解得=2.所以直线I的方程为y=y2x+l或y=-y2x+l.(2)直线/与X轴垂直时与题意不符.设直线/的方程为y=息+1(ZO且厚1),所以尸点坐标为(一0).设C(X1,y),D(x2,yi),由(1)知Xl+&2k_12+2用2=一,+2直线AC的方程为y

6、=(x+l),直线BD的方程为y=El(X1),XlIi12十1将两直线方程联立，消去y得总因为一1为，应1,所以总与产异号.y-ly(x2-1)-lJi2k1x+122(X1+1)22_%22(兄1+1)2(1+/)(1+%2)1+2y+2%一12(%-Py2(%2I)22-Xi2(%2I)2(1-Xi)(1X2)2k1(左+1),1e+2+e+29l112(1左)(1+左)又Jiy2=zx1x2+k(x+%2)+1=+22(1+左)2k12+2k-1k1,I-%+1,kIlLx-1k1.干与以丹万,口与干同,E=干解得x=k,因此。点坐标为(一院加).芬丽=(0)(一左，泗)=1,故分诙为

7、定值.fV211-例4如图，点M在椭圆了十方=1,(00,yoO将MX0,加)代入圆与椭圆的方程，可得.xo2+yo2-201=0,xo2+2yo2=2,消去M),得t=12；，代入(*)得：y21y1=0,即丁一(抵一yo)y1=0,所以(ye)(y+yo)=O,过尸1,F2,的圆与y轴交于点尸，Q(P在。的上方).所以W=/，yQ=yo11刈m泗m1则而M=T-则直线尸W的方程为y=T-x+7,XoXoJo由直线PW与x=2的交点为N.所以在直线尸M的方程中，令x=2,_1_公yc-l_2GO2_1)1_lxoI-XQ侍,一o+州XOyo+%一州侍加、H1Xo设T(d,0),TMTN=(X

8、od,yo)(2d,-)=(一(24+l一次=(1Xod(2J)+l.要使得7MTN为定值，即与M的坐标无关.当d=l时，荡.前=0为定值.存在定点T(1,0),使得俞示为定值0.例5已知椭圆C：过右焦点且垂直于%轴的直线Zi与椭圆C交于规范解答(1)联立2解得y=,故等=也，e=5=乎，a2=b2+c2,J=C,联立可得=IO=c=l,故椭圆C的标准方程为曰+y2=i.古人5再令X=不95(122)-5m232m2-2*yj22(x-m)(%2-m),再令Xm,=1,(2)设M,州)，N(X2,丁2),联立方程0,直线/1与椭圆。交于两点，满足题意，.相=1.题后悟通本题的关键点就在于如何使

9、(3m25m2)2222+l成为一个与左无关的常数，在这里应用了比例的性质，即令分子分母中的同类项成比例，可以观察到分子分母的常数项的比例为一2,则令分子分母中S的系数的比例也为一2,即令3根25m一2=4,则可求出参数的值.【对点训练】1.已知椭圆E的中心在原点，焦点在X轴上，椭圆的左顶点坐标为(一L0),离心率为e=乎.(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1,0)作直线/交E于P、。两点，试问：在无轴上是否存在一个定点使磁血为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.1 .设椭圆E的方程为u+方=l(QO),由已知得jc巫a=2，解得,仁F所以一所以椭圆E的方程为上+y2=l

10、.(2)假设存在符合条件的点M办0),设AS,y),Bg),则磁=(Xl相，y),M=(x2m,yi),=(%m)(%2m)+yy2=xX2m(Xl+兄2)+加2+”，当直线/的斜率存在时，设直线，的方程为y=k(x1),联立椭圆方程弓+y2=l,化为(1+2F)X24后兄+2尸一2=0,42212k1则Xl+%2=27+，=2=+yy2=2(Xl+%2)+%1尬+1=2.+，2(2m24m+l)+m2-2MQ=+1对于任意的左值，上式为定值，故2根24根+1=2(相22),解得，m=,此时，磁=/一2=一5为定值；当直线/的斜率不存在时，直线/：X1?XlX2=1,Xl+%2=2,yy一由，

11、m=,得血痴=1-2%挤+!|；=一专为定值，综合知，符合条件的点M存在，其坐标为号，0).222 .已知椭圆a+%=l(80)的一个焦点与抛物线y2=45x的焦点方重合，且椭圆短轴的两个端点与点方构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线/与椭圆交于不同的两点P,。，试问在X轴上是否存在定点(机，0),使用旗恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.2 .解析(1)由题意，知抛物线的焦点为尸(小，0),所以c=:2一。2=小.因为椭圆短轴的两个端点与尸构成正三角形，所以O=小X坐=L可求得4=2,故椭圆的方程为Y+/=1.假设存在满足条件的点区

12、当直线/的斜率存在时设其斜率为鼠则/的方程为丁=左(%1).rx2+y2=Z1,4得(42+1)x2-82x+42-4=0.设尸(Xi,y),Q(X2,2),J=Z(Ll),y),2=(m-一y2),8诏4F4所以Xl+尬=4左2+，XlX2=4/+则屋=(根即，所以Pk-Qk=(m%)(m-a：2)+y1y2m2-m(%+x2)+%2+y1y2=m2-m(x+x2)+x%2+2(x-1)(%2-1)282mI24-482(4-2-8+1)2+(m2-4)=m-47+1+43+1+(4F+142+1+D=42+l1117(4m28ml)(24)+(m24)4(4m28ml)2m=Sl=4(4m

13、2-8m+l)+r.要使港星为定值，则2根一?=0,即根=*此时动过=.当直线/的斜率不存在时，不妨取p(i,坐)，(i,一坐)，由E(%,0),可得或=，一监，磅=，坐)，所以度无=!|一=H综上，存在点E(*,0),使成或为定值3 .在平面直角坐标系Xoy中，已知椭圆C捻+方=1(。冷0)的离心率为乎，且过点(1,坐)，过椭圆的左顶点A作直线LX轴，点为直线/上的动点，点B为椭圆右顶点，直线交椭圆C于P.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：APOM;试问赤威是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.4 .解析:椭圆C：a十方=l()的离心率为坐.*.a2=2c2,则/=2/

14、，又椭圆C过点(1,坐)，*+奈=L/=4，吩=2,?2则椭圆C的方程1+5=1.(2)设直线的斜率为左，则直线的方程为y=Z(x2),设尸(阳，y),22将y=Z(x2)代入椭圆C的方程，+5=1中并化简得：(22+1)x2-4+82-4=0.42-2解之得Xl=2标+,X2=2,一4左41114.解析(1)由题意得，2a=y2/2=2，所以。=不O=不所以椭圆。的方程为9/+16/=1.(2)当直线X轴时，因为直线/与圆O相切，所以直线/的方程为x=g.当直线/：=,得跖N两点的坐标分别为(,所以曲苏=0；当直线/：X=/时，同理可得而苏=0.当直线/与X轴不垂直时，设/：y=kx+m,M

15、(x,y),N(X2,y),-24k%=MXl2)=诟百，从而尸(诏肃H在2)上，令=2,得y=4鼠：.ML2,一4幻.又还=(IU+2,4k824k22+P=+22+P,162162：血=不仃+定不I=.APOM;-82+4+16282+422+l=2烂+I=42-2一4k(3)办.曲=(2/+,不RI,一%=芬.曲为定值4.4 .已知椭圆CVW=I(QQO)上的点到两个焦点的距离之和为|,短轴长为右直线/与椭圆C交于M,N两点.求椭圆C的方程；若直线/与圆O：f+y2=去相切，求证：曲.而为定值.所以圆心。(0,0)到直线/的距离为d=l+215,所以25m2=l2,IyzAlxH-TYi

16、,由192+1621得(9+162)x2+32mx+16m2-l=0,mio,00l32km16m21则/=(326)2-4(9+16F)(16相2-i)o,%1+%2=-9+.PX1X29+162,.2572所以OM0N=xX2+yy=(1+2)%2+km(x+&)+m2-g+62=.综上，曲.加=0(定值).5 .已知以原点。为中心，F(5,0)为右焦点的双曲线厂的离心率e=早(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；(2)如图，已知过点MX1，%)的直线/1：XIX+4yy=4与过点N(X2,m)(其中2%)的直线以xx+4y2y=4的交点E在双曲线。上，直线MN与两条渐近线分别交于G,

17、H两点,求而历的值.5.解析设C的标准方程是%Ri。，0),则由题意C=/,G=坐.%21因此，C的标准方程为，一步=1.。的渐近线方程为y=,即X2y=0和x+2y=0.(2)如图，由题意点E(X0,%)在直线/1：XlX+4%y=4和心：2%+4/2丁=4上，因此有XIXo+4yo=4,%2沏+4丁2丁0=4.故点朋N均在直线XOX+4y0y=4上,因此直线MN的方程为XOX+4yoy=4.设G、H分别是直线MN与渐近线x2y=0及x+2y=0的交点，由方程组XOX+4yoy=4-2y=0JXoX+4yoy=4及x+2y=0卜Gxo+2yo2产xo+2yo(4XH=-XQ-Iyo，2JH0

18、-2y0故而加=嘘而2212Xo+2y0Xo_2y0Xo2-4y02因为点E在双曲线，一丁=1上，所以超2-4泗2=4,所以而.济=必2Ey02=3.题型二角度型定值问题【例题选讲】例1已知椭圆W：冒+=l(Q0)的上下顶点分别为A,B,且点B(0,-1).Fi,尸2分别为椭圆W的左、右焦点，且NBB尸2=120。.(1)求椭圆W的标准方程；点是椭圆上异于A,5的任意一点，过点”作MNLy轴于N,E为线段MN的中点.直线A石与直线y=1交于点C,G为线段BC的中点，O为坐标原点.求证：NOEG为定值.规范解答(1)依题意，得。=1.又/记尸2=120。，在RtAB尸。中，ZFBO=60o,所以

19、=2.所以椭圆W的标准方程为，+V=L(2)设MX0,加)，%oO,则N(0,泗)，E(y,泗).因为点又在椭圆W上，所以5+y02=i.即Xo2=4-hO?.又A(0,1),所以直线AE的方程为y1=坐二.令y=1,得C(士，-1).又3(0,-1),G为线段BC的中点，所以G(Oce、，1).Z(Lyo)所以无=&yo),G=(y-911vyo+l)zzA1Jo)22因为旋G方=自口一药苫j)+yo(yo+1)=于一七力+时+为=1号+yo=lyol+yo=O,所以5,G.ZOEG=90.4(1yo)例2已知点MX,yo)为椭圆C：y+y2=l.上任意一点，直线/：%ox+2yoy=2与圆

20、(XIp+F=6交于A,B两点，点尸为椭圆C的左焦点.(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；(2)求证：直线/与椭圆C相切；(3)判断NA形是否为定值，并说明理由.规范解答(1)由题意=陋，=1,c=l.所以离心率e=：=芈，左焦点尸(一1,0).(2)由题知,+yo2=l,即XO2+2y02=2,当yo=O时直线/的方程为x=5或x=一陋，直线/与椭圆C相切.当yoO时，由rx2TiJOJV+2yoy=2,得(2y()2+o2)2-4XOX+44加2=0,即%22xo%+2-2yo2=O.所以/=(2xo)24(22州2)=4次2+8比28=o.故直线/与椭圆C相切.(3)设A(Xi,%)

21、,Bg2),当yo=O时，Xl=X2,%=/，x=2,MF=(%+l)2-y22=(x+l)2-6+(x-l)2=2i2-4=0,所以或_L协，即NAF5=90。.得(y()2+i)f一2(2y()2+%o)+210y()2=O,.(-l)2+y2=6,当时由;x+2y0y=2,11,1,2(2yo1Y2所以c=l,+2=l,a2=c2+b2,解得层=2,庐=1,所以椭圆的方程为：y+=l;(2)当直线/的斜率不存在时，由原点。到直线/的距离为当，可得直线/的方程为：X=坐代入椭圆可得A(坐，坐)，B坐,一坐)或A(一当，坐)，5(一坐，坐),可得醇.访=0,所以NAO8=5；当直线/的斜率存

22、在时，设直线的方程为：y=kx+m,设A(X1,y1),Bgm),+xo)2IOyo2xo2%oz.x,15xo2-4x0+4则X1+X2=1+比2X1X2=7.yi=诟X1X2一国(用+兄2)+斤=三石因为芬协=(Xl+1,yi)(X2+l,J2)=X1X2+Xl+%21+yiy2_4-20y02+8y02+以。+2+24一5%024+4_5(Xo2+2为、)+10_2+2y02+-2+2y02=2+2y02=，所以可，彷，即NAF5=90。.故NA尸5为定值90。.%2丫2、历例3已知点R为椭圆u+g=1(。金0)的左焦点，P(T，争在椭圆上，P尸X轴.(1)求椭圆的方程：(2)已知直线/

23、与椭圆交于A,B两点，且坐标原点O到直线I的距离为由，ZAOB的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.由原点。到直线/的距离为,可得3川=2(1+F),2规范解答(1)因为尸为，X轴，又尸(一1,早在椭圆上，可得为(一1,0),y=k-m,直线与椭圆联立1,整理可(l+22)x2+4mx+2m2-2=0,J=I62m24(1+22)(2m22)0,将代入/中可得/=16川+80,4km2(m2-1)xi+%2=+2NXlX2=+2,，y1y2=%2+km(xi+x2)+m2在宾m2=m2-22l+22,2m2-2m2-223m22221+22所以OAoB=XlX2+y1y2=+

24、2斤+22将代入可得醇彷=0,所以NAQB=全综上所述NAOB=，叵成立.【对点训练】1 .已知椭圆C：11=1(4*0)的离心率为小左、右焦点分别为F,F2,A为椭圆C上一点，AF2XFiF2,且IA尸2=*(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为4,A2,过Ai,4分别作X轴的垂线,勿椭圆C的一条切线/：y=区+机与,12分别交于M，N两点，求证：NMBN为定值.2 .解析由A尸2,尸I尸2,AF2=,得与=*又e=2=2+c2,所以次=9,Z?2=8,3 2故椭圆C的标准方程为5十(=1.(2)由题意可知，/i的方程为=3,/2的方程为x=3.直线/分别与直线,/2的方程联

25、立得M3,-3k+m),N(3,3k+m),所以户而=(2,-3k+m),Filv=(4,3k+m),所以户而户方=8+/一9炉.罡+j联立得98得(9尸+8)f+18初U:+9川72=0.j=kx+m,因为直线/与椭圆C相切，所以/=(182)24(9/+8)(9相272)=0,化简得病=9尸+8.所以瓦林了W=8+/9妤=0,所以对同,故NA阴N为定值字2.已知椭圆C捻+奈=1(。金。)上的点到它的两个焦的距离之和为%以椭圆C的短轴为直径的圆。经过这两个焦点，点A,B分别是椭圆C的左、右顶点.(1)求圆和椭圆的方程.(2)已知P,。分别是椭圆。和圆。上的动点(P,。位于y轴两侧)，且直线P

26、。与X轴平行，直线AP,BP分别与y轴交于点M,N.求证：NMQN为定值.2=42.解析依题意A=c,得a=2,=c=2,0,%+x232km16m219+16PXIX2=9+16.,.KlO-xX2+y1y2=(1+2)x%2km(x+&)+O,所以/MON=与JT综上，NMoN=I(定值).题型三参数型定值问题【例题选讲】例1(2018.北京)已知抛物线C丁=2川经过点p(i,2),过点Q(0,1)的直线/与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线朋交y轴于直线PH交y轴于N.(1)求直线/的斜率的取值范围；(2)设。为原点，项=g,小=g,求证：为定值.规范解答(1)因为抛物线y2=2px

27、过点(1,2),所以2=4,即=2.故抛物线C的方程为f=4.由题意知，直线/的斜率存在且不为0.设直线/的方程为y=fc+l(左0),(y2=4x9由得以2+Q左一4)+l=0.依题意知/=(2左一44x2xl0,解得衣或ObO),贝W(2.、次+2一.=5,2=1,1,椭圆。的标准方程为福+y2=l.(2)证明：设Aa1,y),Bgyi),M(0,y0),又易知尸点的坐标为(2,0).显然直线/存在斜率，设直线/的斜率为鼠则直线，的方程是2),将直线I的方程代入椭圆C的方程中，消去y并整理得(1+5F)X220&+20R5=0,l202202-5xi+%2+52xixil+52又M=心赤,

28、施=入2游，将各点坐标代入得力=七-2=七,0)的焦点厂的直线,与抛物线。相交于4B两点，交准线于点当IABI=I2时，AB的中点到X轴的距离是5.(1)求抛物线C的方程；(2)已知磁=心#，=A2B,求小十弱的值.规范解答(1)设A(X1,y),B(x2,刃)，由抛物线的定义，得AR=y+EBF=y2+,AB=y1+y2+p=12,又A5的中点到X轴的距离是5,.巧堂=5,：.p=2,J抛物线C的方程为x2=4y.由题意，知直线/的斜率存在且不为0.x2=4y9设直线/的方程为y=fc+l(左0),联立，得l整理得X24日一4=0,ly=fcr+1,Xl+兄2=4左，则rIX2=-4,点Af在直线y=fcv+l上且加=-1,.=/即U1J=162+160.22由磁=丸1赤，得X1+/=丸1(0即)=一为21,由磁二丸2月*,得尬+/=丸2(0尬)=一尬方，l2XlX2.x+%24k_XiX24k,.*.+2=0.,力+2=-2-/V/3A,B两点，AB=2,直线小y=(-m)(mR,机R与椭圆。交于M,N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点R(*0),若前前是一个与左无关的常数，求实数机的值.