专题07 全等三角形八大模型必考点（解析版）.docx

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1、专题七全等三角形八大模型必考点【人教版】【考点1一线三等角构造全等模型】【考点2手拉手模型-旋转模型】【考点3倍长中线模型】【考点4平行线+线段中线构造全等模型】【考点5角平分线+垂直构造全等模型】【考点6正方形中的半角模型】【考点7等腰三角形中的半角模型】【考点8对角互补且一组邻边相等的半角模型】【考点1一线三等角构造全等模型】方法点拨：“一线三等角模型“最关键的要点就是证明角相等，(1)三垂直：利用同角的余角相等(2)一般角：利用三角形的外角的性质1.阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90。，于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型

2、”.当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形.(1)问题解决：如图1,在等腰直角AABC中，NACB=90,AC=BC,过点C作直线。2AD_1.。石于。，BE1.DEE,求证：AADC咨ACEB；(2)问题探究：如图2,在等腰直角4A5C中，NAC5=90,AC=BC,过点C作直线CE,AD，。石于O,BECEAD=2.5cm,DE=IJcmf求的长；(3)拓展延伸：如图3,在平面直角坐标系中，A(-1,0),C(1,3),ZABC为等腰直角三角形，ZACB=90o,AC=BC,求B点坐标.解：（1）证明：JAD1.DE,BE1.DE,：.ZADC=ZCEB=90o,VZAC

3、B=90o,ZACD+ZECB=90o,ZDAC+ZACD=90o,.ZDAC=ZECB,在aAOC和ACEB中，rZADC=ZCEB,Zdac=Zecbj1.AC=CBADCACEB(AAS)；(2)解：BE1.CE,AD1.CE,ZADC=ZCEB=90o,ZCBE+ZECB=90o,VZACB=90,ZECB+ZACD=90o,.*.ZACD=ZCBEf在aAOC和aCEB中，rZADC=ZCEB Zacd=Zcbej1.AC=CBADCACEB(AAS),：AD=CE=25cm,CD=BE,：.BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8(cm),即BE的长为0.8cm；(3)解：如

4、图3,过点。作直线/X轴，交y轴于点G,过A作AE1.于点E,过B作皮于点R交X轴于点凡贝UNAEC=NCFB=NAC3=90,VA(-1,O),C(1,3),：.EG=OA=I,CG=I,FH=AE=0G=3,.CE=EG+CG=2,VZACE-ZEAC=90o,NACE+NFCB=90,：/EAC=/FCB,在AAEC和aCFB中，rZAEC=ZCFB Zeac=Zfcb,AC=CBAECCFB（AAS），：.AE=CF=3,BF=CE=2,：.FG=CG+CF=1+3=4,BH=FH-BF=3-2=1,5点坐标为（4,1）.图32.如图，已知A(3,O),B(0,-1),连接AB,过B点

5、作AB的垂线段BC,使BA=BC连接AC.(1)如图1.求C点坐标；(2)如图2,若P点从A点出发沿X轴向左平移，连接作等腰直角ABPQ,连接C。，当点P在线段QA上，朋与C。有何位置和数量关系，猜想并证明；(3)在(2)的条件下若C、P,。三点共线，求此时NAPB的度数及P点坐标.图1图2解：（1）如图1,过C作CH1.y轴于则NBCH+NC3H=90,：ABBCf：.ZABO+ZCBH=90o，：.ZABO=NBCH,在4A50和4BS中,rZABO=ZBCHZaob=Zbhc,1.AB=BCAABOBCH(AAS),：BH=OA=3,CH=OB=I,：0H=OB+BH=4,图1图2(2)

6、 CQ=AP,CQ1.AP.证明：如图2,延长CQ交X轴于D交A5于,VZPB=ZABC=90o,.,.ZPBQ-NA5Q=ZABC-ZABQf即NPBA=ZQBCf在?处1和4Q5C中，rBP=BQZpba=Zqbc,1.BA=BC：.PBAAQBC(SAS),.PA=CQ,ZBAp=ZBCQ,又.NAED=NCEB,1.NADE=NCBE=90,BPCD1.AD,：.CQAP;(3) .45R2是等腰直角三角形，ZBQP=45,当C、P,。三点共线时，ZBQC=135o,由(2)可知，APBA注AQBC,：.ZBPA=ZBQC=135o,ZOPB=180-135=45,：0P=OB=P点坐

7、标为(1,O).3.如图1,直线AB分别与X轴、y轴交于A、B两点，OC平分NAOB交AB于点。，点。为线段AB上一点，过点。作。EOC交y轴于点,已知Ao=机，BO=n,且根、满足川一12+36+|九(1)求A、8两点的坐标;(2)若点。为AB中点，延长OE交X轴于点F在即的延长线上取点G,使DG=DF,连接BG.BG与y轴的位置关系怎样？说明理由；求。尸的长；(3)如图2,若点尸的坐标为(10,10),E是y轴的正半轴上一动点，尸是直线AB上一点，且P点的坐标为(6,-6),是否存在点E使为等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由.解：(1)n2-12n+36+n-2m=

8、0,：Qn-6)2+n-2m=0, n6=0,Ti2m=O, 川=6,m=3,AA(3,O),B(0,6)；(2)5G_1.y轴.在45OG与aAO尸中，BD=DA,ZBDG=ZFDA,DG=DF,：.BDGADF(SAS),：.BG/AF.TA尸，y轴，ABGXy轴.由可知，BG=FA,瓦汨为等腰直角三角形.：.BG=BE.设=x,则有OE=%, 3+x6-Xf x=1.5，即：OF=1.5；(3)要使AEF尸为等腰直角三角形，必有EF=EP,且N尸EP-90,如图，过八P分别向y轴作垂线垂足分别为V、N.NFEM+NPEN=9C,又FEM+NMFE=90,.,.NPEN=ZMFE,：.Rt

9、AFME注RENP(H1.),：ME=NP=6,AOE=IO-6=4.即存在点(0,4),使b为等腰直角三角形.【考点2手拉手模型-旋转模型】方法点拨：手拉手模型有一个特点，就是从一个顶点出发，散发出来的四条线段，两两相等(或者对应成比例)，然后夹角相等。若两两相等，就出三角形全等。1.如图在平面直角坐标中，点A和点B的坐标分别为(1,3)和(2,0),点C为X轴上点B右侧的任意一点，以AC为腰向右上方作等腰aAS,使NeAO=NQAB,AD=AC,直线与y轴交于点P.(1)求证：AO=AB;(2)求证：AOCABD;(3)直接写出当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变？yAAVA(1,

10、3),B(2,O),.*.OE=1,BE=2-1=1,.,.OE=BE,在AAEO与aAEB中，rOE=BE,NAEo=NAEB=90，1.AE=AEAEOAEB(SAS),：.AO=AB;(2)证明：ZCAD=OAB,：.CAD+ABAC=ZOAB+ABAC,即NBAD=NoAC,在AAOC与4A5O中，rAO=AB,Zoac=Zbad,1.AC=ADAOCABD(SAS)；(3)解：点P在y轴上的位置不发生改变.理由：设NAOB=NA=,由(2)知.*.ZABD=ZAOB=a, ：0B=2,ZOBP=ISOo-ZABO-ZABD=ISOo-2为定值，又.NR95=90, 0尸长度不变， 点

11、尸在y轴上的位置不发生改变.2.在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”.(1)如图1,ZkABC与aAOE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AEf&ZBAC=ZDAEf则有BADACAE.(2)如图2,已知AABC以AB、AC为边分别向外作等边AABD和等边AACE,并连接CD,则N50。=60.(3)如

12、图3,在两个等腰直角三角形AABC和aAOE中，AB=AC,AE=ADfNBAC=NDAE=90,连接班),CE,交于点P,请判断5。和CE的关系，并说明理由.解：(1)VZBAC=ZDAE,：./BAD=NCAE,XVAB=AC,AD=AE,：.BADACAE(SAS),故答案为：ABAD,ACAE；(2) 和是等边三角形，：.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60o,.*.ZDAC=NBAE,：.DACABAE(SAS),.*.ZADC=NABE,VZADC+ZBDC+ZABD+ZDAB=ISOo，ZABE+BDC+ZABD+ZDOB=180o,ZDAB=ZBOD=60o,故答案

13、为：60；(3) BD=CE,BD1.CE,理由如下:VZBAC=ZDAE=90,JABAC+BAE=NDAE+NBAE,即NeAE=ZBAD,在aA5O和aACE中，rAB=ACBE中，rBD=BA,Zabc=Zdbe,1.BC=BEABCADBE(SAS),：.AC=DE=IO,设。到直线AE的距离为人，Y点A到直线OE的距离为3,AE=12,V5ade=-103=-12z,22即。到直线AE的距离为S.2【考点3倍长中线模型】方法点拨：通过延长三角形的中线，使延长后的线段是原中线的2倍，从而构造一对8字型的全等三角形(SAS),实现边角的转移。1.(1)【问题情境】课外兴趣小组活动时，老

14、师提出了如下问题：如图1,在AABC中，若AB=13,AC=9,求BC边上的中线Ao的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AO至点,使。E=A。，连接BE,容易证得AAOC之再由三角形的三边关系”可求得Ao的取值范围是2VADVH.解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.(2)【初步运用】如图2,AD是AABC的中线，BE交AC于E,交Ao于尸，且NEIE=NA尸.若AE=4,EC=3,求线段B尸的长.(3)【拓展提升】如图3,在aABC中，。为BC的中点，。石，。尸分别交AB,A

15、C于点E,F.求证：BE+CFEF.A图1图2解：(1)解：延长AO至点石，DE=ADf连接BE,在aAOC和aEDB中，rBD=DCZbde=Zadc,1.AD=DE.ADCAEDB(SAS),BE=AC=9,VAB-BEAEAB+BE,4AE222AD11,故答案为：2AD11.(2)延长AO到使AO=O连接如图2,ATAD是4A5C中线，：.BD=DC,在aAOC和4W5中，rBD=DCGFf：.BE+CFGF,CDE1.DF,GD=ED,O尸垂直平分EG,GF=EF,：.BE+CFEF.2. (1)如图1,Ao是AABC的中线，延长AD至点,使ED=AO,连接CE.证明4ETD;若AB

16、=5,AC=3,设AO=X,可得的取值范围是IVXV4；(2)如图2,ABC,。是BC边上的中点，DEDF,DE交AB于点E,。尸交AC于点尸,连接EF,求证：BE+CFEF.解：（1）证明：TAO是aABC的中线，.BD=CD,在aAQ5和中，rBD=CD Zadb=Zcde（对顶角相等），1.AD=DE.,.ABDAECD（SAS）；解：由知，1.BDQXECD,：.CE=AB,VAB=5,CE=5,:ED=ADfAD=x,.AE=2AD=2x,在aACE1中，AC=3,根据三角形的三边关系得，5-32x5+3,1.x4,故答案为：1V%V4;(2)证明：如图2,延长五D截取OH=O凡连接

17、BH,EH, ：DH=DF,DE1.DF,即NEDF=NEDH=90,DE=DE,：.DEFADEHQSAS),：.EH=EFfYAD是中线，：.BD=CDfEH,：.BE+CFEF.3. (1)方法呈现：如图：在aABC中，若AB=6,AC=4,点。为BC边的中点，求BC边上的中线AO的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使OE=A。，再连接BE,可证AACD之从而把AB、AC,2AO集中在AABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线Ao的取值范围是(直接写出范围即可).这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；(2)探究应用：如图，在aABC中，点。是BC的中点，OE1.D产于点

18、O,DE交AB于点E,。尸交AC于点尸，连接ER判断BE+C尸与E尸的大小关系并证明；(3)问题拓展：如图，在四边形ABs中，AB/CD,A尸与。C的延长线交于点尸、点E是BC的中点，若AE是NBA厂的角平分线.试探究线段AB,AF,CT之间的数量关系，并加以证明.AAA解：(1)1AD5.:A。是5C边上的中线，：BD=CD,：.BDEACDA(SAS),BE=AC=4,ABE,AB-BEAEAB+BE,6-4AE6+4,.2AE10,1AZ)CD分别为的角平分线：.AFAC=ZFAd,ZFCA=ZFCe,VZAFC=120,：NAFD=NCFE=60,在aAO/和aAG尸中，rAD=AG

19、NDAF=GAF，1.AF=AFADFAAGF(SAS),ZAFD=ZAFG=6Qo,：.ZGFC=ZCFE=60o,在ACG/和;尸中，rZGFC=ZEFC CF=CF，1.ZGCF=ZECF：.ACGF%ACEF(ASA),JCG=CE=4,.AC=AG+GC=10.B2.如图：在NEA厂的平分线上取点B作BC1.A产于点C,在直线AC上取一动点P.在直线A片上取点。使得BQ=BP.（2）如图2,当点。在C4延长线上时，探究A。、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由；（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出A。、AP.PC三条线段之间的数量关系为：AO-A

20、P=2PCAP-AQ=2PC.解：（1）作5A1.1.AE于点YAB平方NEARBC1.AF,：.BM=BCf在RtABMQ和RtABPC中，BQ=BP,IBM=BC,.,.RtBM2RtBPC(H1.),.NBQA=NBPc,又TNB尸C+N5E4=180,ZBQA+ZBPA=1.S0o,故答案为:180；(2)AQ-AP2AC,理由如下,作物(1.AE于点，TAB平方NEARBC1.AF,：BM=BC,ZBMA=ZBCA=90,在RtAABM和RtABC中，BM=BC,Iab=AB,：.RtAABMRtAABCQH1.),.*.ZABM=ABC,AM=AC,在RtABMQ和RtABCP中，

21、BQ=BP,IBM=BC,.*.RtABMQRtABCPQH1.),：.PC=QM9：.AQ-QP=(AM+QM)-(PC-AC)=AM+AC=2AC;(3)当点尸在线段AC上时，如图，AQ-AP=IPC,作物(1.AE于点，uJBC1.AF,：.,ZBMA=ZBCA=90,VZBQA+ZBPA=ISOo,ZBPC+ZBPA=ISOo,.,.NBPC=ZBQM,在aQ5M和4P5C中，rZBMQ=ZBCP,Zbqm=Zbpc,I1.QB=PB：.QBMAPBC(AAS),：.ZQBC=ZPBC,QM=PC,BM=BC,在RtAABM和RtAABC中，BM=BC,Iab=AB,：.RtAABMR

22、tAABCQH1.),：.AM=ACf：.AQ-AP=AM+QM-(AC-PC)=QM+PC=2PC;当P在线段AC的延长线上，如图，AP-AQ=IPC,bcaf,：.ZBMA=ZBCA=90o，VZBQA+ZBPA=ISOo,ZBQM+ZBQA=10,.,.NBPC=ZBQM,在aQ5M和4P5C中，rZBMQ=ZBCPZbqm=Zbpc,1.QB=PB：.AQBMAPBC(AAS),：.ZQBC=ZPBCfQM=PC,BM=BC,在RtAABM和RtAABC中，BM=BC,Iab=AB,.,.RtABMRtABC(H1.),.AM=AC,：.AP-AQ=AC+CP-(AM-QM=M+PC=

23、2PC.故答案为：AQ-AP=IPCAP-AQ=2PC.3.如图，在等腰直角aA5C中，NBAC=90,点为BC边上的中点.(1)如图1,若点。、点E分别为线段AC、AB上的点，S.DC=EA,连接M。、ME,求证：ME1.MD；(2)如图2,若点。为线段AC上的点，点E为线段AB延长线上的点，且OC=8,NAED=30,连接0,交BC于点、N,E厂是NAED的角平分线，交AM于点尸，连接AN、FD,探究线段AN、FD.AC之间的数量关系，并给出证明.图2EY点M是等腰直角AABC斜边上的中点,AMBCfAMMC,NMAE=NMCD=45,tJDC=EA,：.MEAMDC(SAS),：.ZEM

24、A=ZDMC,：.ZEMA-ZAMD=ADMC+AAMD,即NEMD=NAMC=90,：.MEMD；(2)2AC=2AN+FD.理由如下：如图2,过点D作OG1.AC交BC于点G,过点尸作FP1.AD,FH1.ED,FQ1.AB,垂足分别为尸、H、。，;在等腰直角aABC中，ZC=45o,DG1.AC,V ZXGQC为等腰直角三角形，：.GD=CDfV ：DC=EB,：.GD=EB,V ZBAC=90o,BAAC,.DGEA,：.ZBEN=ZGDN,又：ENB=DNG,：XEBNADGN(AAS),：.EN=DN,：.ED=IAN,V ZMAB=ZMAD=45o,JA尸是NEAO的角平分线，:

25、EF是NAED的角平分线，；DF是NADE的角平分线，在RtZXAOE中，NEAO=90,ZAED=30,：.ZADE=60,ZFDH=30,uJFP1.AD,FH1.ED,FQ1.AB,：.FH=FP=FQ,EH=EQ,AP=AQ,DP=DH,.*.2AC=AB+AC=AE+AD=QE+QA+AP+PD=HE+HF+HF+HD=DE+2HF=2AN+FD.【考点6正方形中的半角模型】方法点拨:1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角;2、旋转的条件：具有公共端点的等线段;3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。1.(1)如图1的正方形ABs中，点,尸分别在

26、边BCCD,NEA尸=45,延长S到点G,使DG=BE,连接ERAG.求证：EF=FG;(2)如图2,等腰RtZA5C中，NBAC=90,AB=AC,点N在边BC上，且NM4N=45.若BM=I,CN=3,求脑V的长.图1图2解：(1)证明：在正方形ABC。中，ZABE=ZADG,AD=AB,在AAHE和AAOG中，rAD=AB,Zabe=Zadg,DG=BE.ABEAADG(SASr),ZBAE=ZDAGfAE=AG,.ZEAG=90,在用E和AGA尸中，AE=AGNEAF=NFAG=45，1.AF=AF胆E也曲G(SAS),：.EF=FG；(2)解：如图，过点。作C_1.5C,垂足为点C截

27、取CE使CE=BM.连接A、EN.,AB=AC,ZBAC=90o,.ZB=ZACB=45o.VCEBC,ZACE=ZB=45o.在和AACE中，rAB=AC,Zb=Zace,I1.BM=CE.ABMAACE(SAS).：.AM=AE,ZBAm=ZCAE.VZBAC=90o,ZMAN=45o,ZBAM+ZCAN=45.于是，由NA4M=NCAE得NMAN=NEAN=45.在AMAN和中，AM=AEZman=Zean,1.AN=AN:.AMANmAEAN（SAS）.MN=EN.在RtAENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2.mn2=bm2+nc2.VBM=1,CN=3,：.MN2=1.2-

28、32,.MN=y1.2.已知：正方形ABC。中，ZMAN=45,NMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N.（1）如图1,当ZMAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN.当ZMAN绕点A旋转到BWON时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当NM4N绕点A旋转到如图3的位置时，线段BON和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明.图1B解：（1）图1中的结论仍然成立，如图2,在的延长线上截取四边形A5CD是正方形，即即/+DN=MM理由为：=DN,连接AE：.AD=AB,ND=NDAB=NA

29、BC=NABE=90,.在4A5E和aAON中rAD=ABZd=Zabe,1.DN=BEABEAADN(SAS).：.AE=AN;NEAB=NNAD,VZDAB=90o,ZMAN=45,ZDAN+ZBAM=45o,.,.ZEAM=ZBAM+ZEAB=45o=ZMAN,.在aAEM和44W中rAE=AN,Zeam=Znam,1.AM=AM：AAEMQAANM(SAS),：.ME=MN,：MN=ME=BE+BM=DN+BM,即DN+BM=MN(2)猜想：线段ON和MN之间的等量关系为：DN-BM=MN.证明：如图3,在ON上截取OE=Mg连接AE,;由(1)知：AD=AB,ZD=ZABM=90,B

30、M=DE,：.ABMAADE(SAS).：.AM=AE;NMAB=NEAD,VZMAN=45=ZMAB+ZBAN,ZDAE+ZBAN=45，.ZEAN=90-45=45=NMAN,.在aA跖V和4AEN中AM=AEZFAE=ZEAG今EF咨AAEG=EF=EGAF=AGj则由探究结果知，图中线段B石、EF、尸。之间的数量关系为EF=BE+FD.(2)根据上面的方法，解决问题：如图2,若在四边形ABs中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E、尸分别是BCCD上的点，且NEAF=-ZBAD,2上述结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3,在四边形ABS中，AB=BC=CD=DA,NBAD=NB=

31、NC=ND=90，点、N分别在边BCCD,且NM4N=45，若3M=3,ND=Z请求出线段MN的长度.(2)结论EF=5E+。尸仍然成立;理由：延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,如图2,在aABe和aAOG中，DG=BEZb=Zadg,1.AB=ADABEAADG(SAS)，AE=AG,ZBAE=ZDAGfu：ZEAF=-ZBAD,2.,.ZGAF=ZDAG-ZDAF=NBAE+NDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,：.EAF=ZGAF,在aAEF和心1尸中，rAE=AGNeaf=Ngaf,1.AF=AF.,.AEFAAGF(SAS),：EF=FG,.FG=DG+DF=BE+DF,1.

32、EF=BE+DF.(3).四边形ABC。中，AB=BC=CD=DA,ZBAD=ZB=ZC=ZD=90o,四边形ABCO是正方形，如图3,旋转ABM至AADP位置,：.ZPAM=ZDAM-ZMAB=90oAP=AMfAN=ANfZPAN=PAM-ZMAN=90o-45=45ZMAN,在aB4N和aMAN中，rAM=APZpan=Zman,an=an：.APANmAMAN,：.MN=NP,：.MN=PN=PD+DN=BM+DN=3+2=5.【考点7等腰三角形中的半角模型】方法点拨：1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；2、旋转的条件：具有公共端点的等线段；3、旋转的目

33、的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。1.旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起,从而方便解决问题.已知，AB=AC,NBAC=(X,点。、E在边BC上，且NDAE=a.(1)如图m当=60时，将AAEC绕点A顺时针旋转60到AAFS的位置，连结。尸.ZDAF=30；求证：DF=DE;(2)如图4当=90时，猜想跳入DE、CE的数量关系，并说明理由.解：（1）解：由旋转知，AF=AEfNBAF=NCAE,ZEAF=60,VZDAE=-O1.,ZBAC=a=60o,2ZDAE=-60o=30，2：.ZCAE-ZBAD=ZBAC-ZDAE=30o,.,.ZDAF=ZBAD-ZBAF=