线性代数历年考研试题之计算题与证明题.docx

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1、三、计算题与证明题U1987-IJ1.)何,h为何的时我性方程蛆.r1+,r2+.q+xi=0,x2+2xj+2.v4=1.-xi+(-3)x3-24=b.3x1+2+X,+v,=-1为唯解.无解.有无治多俎解?并求出有无分多讥弱时的通好.【考点】II：齐次奴性方程现第的理论的应用.M方法-ti=AZ11I100I22100-106+1000-1.0当K（八）=4=4*1时.方程如有惟解:当=-1时.R（八）=&(8)=24.方程组仃无方多解:此时方程组的地鲫为X=K当K-I时.R（八）=2.R(B)=3.方程组无解.练上可得：当。工1时.方程祖在惦傲当a=i,b-时,方程凯仃无方多帐GHia

2、=H-I时,方程现无好.方法二程组的系数行列式W1.=(-D2. D=（-1.）2=1时.力蜴纨有惟-：（2）以下同方法一,Ctt* D含仃参数的线性方程组的解的讨论都足用方法一或方法二解决.但方法具有普遍件.即达类“虺都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用苞国是：方程的个数等于未知数的个数；力和绢的系数行列式台参tt4=人,矛商Z-Zj=0【注】班阵的不同的特在仇所对的特怔向我践性无关.423-M1987-IV,V设矩内A和B满足关泰式AB=A+28,其中A=II0,求处阵B.-I23【考点】洛亚阵方程.MiB=A+2B=B=（A-2E）A4.(1987N.V)蟀戊性方程讥2xi-X2+

3、4xj-3;=-4.V1+Xj-X4=-3,3,V1.+X,+Xj=1,7x1+7x-3x4=3.【考点】求新：齐次畿性力用组.2-14-3-4-10103-101-1；-3rO1-20-8鳏B=(Ab)=30001110I6707-3300000X1=-Xj+3i1.1.R（八）=R(B)=3v4W方程if1.有无穷多解.与理配的解Xi-28-8冷3=k符方程粗的通解X3=6-3-I25.(19K7-N.V)求矩阵A=O-14的女特征位及对血的特征向Iit-1OI【考点】未私阵的特征值及相征向第鳏A-E=(1.-)(2+4+5).WA的实特征位之=1.好(A-E)X=Oiy其对应的特征向M0

4、X=k2.其中&为不为零的任意常数.求A及A.【考点】鼾中内方程股求中对的康.100/P=,B=I,BP=200.6-1-1As=PP=PBP1=A.【注意】假设人=/8/?|.那么河=阳?：股地设。(工)=“”*冏+qx+4.那么方阵A的多项式夕（八）=tnAm+-+d1.A+a,iE=P(B)P.71988-1.IDffiftA=(1)求X与_y；(2)求个满足-AP=A的可逆Xi阵P.I考点】相以矩丙的性修及般如阡的对角化方法.方法一人与B相似.那么IA-月耳=步一夭E.即(2-Xj-x-1.)=(2-Xj+(1.-y)-y),比拟系数.得-x=1.-Ja-=O1.-=-y=1.=I方法

5、二:B的转征tf为2,y,-1.1.M,JB相似,那么A的魁汗色为2,y,-1.tt2+y+(-1.)=2+0+xJx=O2(-1.)=4=-2=y=1.Ctt*方法JUi般性:方法.R有特殊性(为什么?)如果利用方法.得到的不是惟一.那么方法.二失效.但方法:比拟简中*W坡空与选界时用方法二.做善时用方法一.(2)分别求出A的对心普征救4=2,A2=-I的葭兀的特征向量为I00令可逆如/P=巧P2PJ=01T.那么PTAP=8011M98IV)设3阶方阵A的伴随矩阵为4:且同=；.求(3A)T-2f.【考点】矩阵运算的性质.解(3A,-2A=A-i-2AA-=_：Ai.所以心-24修+喙IA

6、Ti=号由=-舁(3A)T_2A，=AT-2/f=1,22A，=&A.那么33M3(3A)-2A=-A,=(-1.)jA,=-3=-.【注意】求解此类向氏Tft是轿行列之中的大干先化的M求行列式,此处用到矩阵的如FttVi:(M),Af0：ATk令a=mw=削A=k9(1988-IV.V)设向城i11,2，,(s2)线性无关J1.=1.+az.,=a2+4.,/J1=a1.1+ai,=a,+1.讨论向超4.用0的线性相关性.【考点】向我机的段性相关性的刘刚方法解JMfc-:2A1+x22+-+x,A=0.B(芭+.V,)6r1+(.v1+x,),+.+(i.1+XM=0.玉+工,=0X1+x,

7、=0因为q.a*.,线性无关.那么*.凡系数行列式V.+v,=0100O1.11000A=011.00=1+(-1)*-.000.IIis为奇敢JAI=2工0,方程狙只#专斛,那么向Mfn4,四，.戊线性无关;当S为偶次IA1.=O.方程也有等零解,那么向T组片.网,内找性相关.方法二湿然f0001、110000%,比）=,a）0II00=（即/,）K.:000IIJ因为q.4,.a,我性无美.那么K(先,自.JMminIK(q.4,.a,),R(K)=R(K)(I)A(K)=So1.KI=1+(I)Z关O=S为价数时.M,生”，戊)=S,儿么向M班4M,及线性无关；(2)R(K)soK=1.

8、+(DZ=OnS为弱数时，打屈,人,，儿)00-4+224Jt2-J0003公+5(1消R（八）=砥8)=40-%+2=0。KH2此方程组彳J怖一解;23(21,i1=2n1.i2.那么22-10100当内工1时,R（八）=3R(B)=A.力出组无物当为=1时，/A)=A(8)=3V4.方程坦彳无声UW.111000?-8OOOOi0综上:当，2时.力行纲行推解:当ki=21.k2时.方丁无解:当尢=2且玲=1时.方物现有无穷。解,且依然为式.方法二:用姝侪形)方程组的系数行列式IA1.=6(2仁).当W=6(2匕)O=K工2时.力科组有惟M以下同方法.1.(1988-V)”阶方降A濡足如阳方

9、程AZ-BA-ZE=。.证明A可逆.并求出其逆矩伸A1.【考点】抽般矩阵处求逆.解由A1-34-2E=O=4-=E=A可逆1.A0，1II.1.i2Of15=12212.（1989-I出）何/为何依时.&性方程组X1+Xj=.4A1+-,+2x3=2+2.6i+x,+4.tj=2+3有解.并求H1.期的般形式.【考点】含参敬的十齐次注件方程组鳏的时说及非齐次线性方程祖的求超.IOIi0I-2：-3+2000：-A+1IOI解8=A沏=412：+2614：2+3线性方程tn有蟀=K（八）=K（8）o-4+1=0=4=1,箕理解为-1IX=k2+1为任氢新ttI_I13.(1989-IJD假设4为

10、“阶可逆矩阵A的一个特证向证明:)J为A1的特征值；ir1Av=4(Av)=A-I(x)=Ax-x=Ax=x.(2)A,v=.r=4(Aa)=4(a)=4x=4x=14,.v=-.r.014.(1989-MV)X=AX+3.共中A=-I-0.求矩阵X.-3Z【考点】解矩阵方程.0211-13-I-32120=200-1I5-3IIX=(E-A)1B=I5.(i989-1.itt1=(I,I,).,=(1.2,3).1.=(1.,3j).（I：问当J为何力时向慢性无关？12：问为何位时.向卞组a.aj线性相关?(3)一向粗线性相关时.符求东为和4的线性纲合.【考点】含叁数的向M组炒性相美性的讨论

11、值来向ttI1.iPiM祖蝶性表水的具体fe示式.M方法一口般怙形);5时.软6.J=犬（a：M；.a；）=3=q.%M,慢性无关;Z=5t.R（a,a2,aJ=/?（a：.a；,a：）=23na,a2,aj线性相关:”“=5时.(。：.。；，1：)=a：-i+2a；=a,=-ai+2a2.方法二：（特姝情形）4，/，/妣性无关OIA1.=Ia1.%,aj=I23=r-50o5:当1=513t时.a,a2,a性相关;令/=为+X2Cr1=a=-a1.+2ai.tttft方法:只有在向加租所含向心的个数等向量的雉数时才玷用.J1.22、16(I989-N.V)设A=2-I-2.2-2-1(|：试

12、求矩阵A的特征值；(2)利用(I)的结果.求矩阵E+A”的特征他.其中E是邛介单位排阵.【考点】特价低的计算及特征他的性质.解(1)A-fi=-a-4)2(5+QaAf1.WMJ为+A-的恃征蛆.所以E+A的新任也为2.2.-.IZU989V)讨论向fUHa=(1.1.0),a2=(1.3.-1.),aa=(5.3，)的注性相关性.【考点】含叁数的向Ht粗炒性相美性的讨论.号15.(1989IV),答案：当IW1.时当性无关;当，=1时魏性相关.18.(1990-I.11)设四阶矩阵2134021300210002I-1OOOI-1OB=OOI-IOOO1且矩阵4满足关系式A(E-CiB)rC

13、r=E.其中为IIq阶凹位矩阵.C衣示C的他矩阵衣示C的转道噂阵.将上述关系式化简并求矩阵A.考点】*M必方程及知冰的送U.解A(E-CB)Cr=E=AC-(C-B)YC=E=A(C-fi)r(C-)C=E=(C-8)?(CeTy=八(C-B)=E0000I0-2I【注：1】好矩阵方程时,如果出降方程中含行矩阵的逆矩阵AT或件的矩附4二利用AA1=AIA=E或/VT=AF=E化掉AT或A.19.(1990-【，11)求一个正交变换化二次型/=X；+4xJ+4xj-4.r1.v,+4A1x1-8,xj成标涯形.【考点】利用正交变换化：次更为惊准形的方法.1-22-(I)写出二次型的矩阵A=-24

14、-4.2T4求4的特征如：IA/1日=万(9一nA的特征值为42=0,4=9-2-2求A的两两正交且中位化的特征向龈对应钠证24.2=0的统性无关的特征向加为。=1,0=正交化得用=.中位化得Pi对应于特征位4.2=（）的线性无关的特征向后为&1.3?=-2,啊*化得Ps=一一，Z32_215333构造正交变换:令正交斑降P=p.p;pJ=I4_2耳法N.那么所求正交变换为052法3（5写出：次型的标准形：次臬的标准形为/=9y；.ft*利用正交变换化二次制为标准形的步骤: 1写出二次型的矩阵：求人的特慑俶：3）求A的两两正之11用位化的特征向量；为何值时,方程If1.有解?（2）方飘纨有解时

15、.求出方程用的导出纲的一个根底解系:（3：方理阻行解时JR出方程4H的仝邮解.【考点】含崔数的线性方程tn*的讨论.I1.1.1.1.aI1.1.1.1.a321.1.-3O01226301226bOOOOO：b-3u5433-1:200000：2-2解参考H1(19X8-V.V).此8S只能用方法(敏情形)(为什么?请读齐自己考班B=(A1.b)=方程班有解=R（八）=R(B)=b-3=02-2=O当a=,.时.B=(AS)Tb=3-5600.方程姐的解x3+x+5xs-2XJ-2.v46.v1;.得方程H1.的导出迎的一个根底斛系方程凯的导出If1.的解马.得方禄组的个特解=-230.那么

16、方程组的通解X=+始+k22+kiyJt1.1,2.j为任意常敏21.(1990-IV)对”阶方阵A,存在自然数A,使得/V=0.试证明矩阵E-Aj理,并写出其逆嫉陈的表达式xx=2xx=I=月?=H=I.”X=IMH0)【注】注意此卷的A是正交物咋H1.此仃如卜玷论实对卡正交矩阵的例E值必为124 .(19911.11)%=(1.0,Z3)%=(1.,1.,3,5).%=.+2,1.).,=(1.,N4.+8)及4=QJb+3,5).(I./为何如乩/，不能表示成因,生，/，的找性组合？(2：.b为何做时.夕有的堆的线性去示式?并”出该去示式.【考点】含有参数的0便可由向Ift姐雄性友示的讨

17、论.解/山/，/。、.4线性&小0线性方程“1%+a%+土%+小4=At?.I同WH.=3111II：II-I2：13+24b+35I+8：51I：-12:I+10：b-0a+：0当a=-,hX0时我性方科组无解.1tei1.i%.,.ava,线性衣示:(21u-1.时,找性方程出右惟胡/可由a1.a2.a3.a4推地线性示.此时2bI00()：a+1.n.nn-4+b+1.a,ai,ay,a,0100：a1.0010+1.0001：0那么X=一丝屿=竺空用=2,X1.。唐以+1.+1+1.+1.bai+/+Oet.+1-a+1.25 .(1991-I,IiSAArt阶正定艳阵,EJ1.n附中

18、位矩阵,证明A+E1的行列式大fI.(考点】正定冲任的性此特任做的性质.实对fMR-的时用化理论.方法一:八为“附正定矩的.那么A的特征值40.0.w0.ft)A+的特征值分别为4+11,2j+1I.4+1.1.,那么A+E=(4+I)(4+D(%,+1.)1.方法二:A为”阶正定矩阵,那么存在正交矩阵U,使得UTAU=K=diagy,i.z11),即A=UAU,其中4,4为A的特征值.且4o.40.儿0.那么A+f1=UAUT+UEU1=MA+1=WA+Eu=+e=(+1)(+1)(4+i).日可由.%Mjft性衣示.且衣达式惬一;26 .(199MV)或片傩列向ItH取何值时:(2：4可由

19、四，a,1：跳性&示,且表达式不帷-；(3：0小傥由区.2/1?线性衣示【考点】含布数的向M可由向M则妓性&小的讨论.等价于含右参数的俄性方程组科的讨论.事彼一，般情物U+2II:0(ai.a2,a.)=11+A1：、I1+/1.I+：2、TOZ-A2(12),当(ct1.,)=(ct1.,Cf,avJ)=301(3+0n、00-(3+):(1.-2-2)y0C时.可由a1.a2,ay惟一地a*-3线性友示:(2消2=0时.夫(6.%。3)=夫(囚%.%.夕)=13.0可由外.4.。我性表示.且衣达式小推，：O-3时=3.A可由,%,a.慵地觌性表示;,U=OiM.f1I0、I10(a1.2.

20、CTr/?)=I1I00000JI1.0Z0000,R(a1.,x2,ay)=R(a1.,ai,ay,)=i3.Iha1.,j,慢性表示J1.表达式不惜；当4=-3时.R(4.%,4)=2#K(q,%/，夕)=3.A不能由a%Mj线性我东(I响W1.ia1.,11,tt示OXa1.+x,a,+XAIaM=彳渊=(4./，Mn)x=“解=Ar=Wfi解.区中八=(%4,Mm)oR(at,a2,-,a)=R(ai,a,.an.).2)此磔实质上等价为(1.+)x1+x2+Xj=0fU取何值时,线性力科制X1+(1+x)x2+xj=有惟蟀.无怅.行无穷多解.V1+.r,+(1+2),=A27.(19

21、91-IV)考虑二次型f=.v1.*+x；+.r；+2Zr1.X2-2ix+4,x何2IR何值时,/为正定二次奥？【考点】对别次一正定的甯尔维茨定理.1-二次型的矩阵A=242.那么124,1.=10/为正定二次型。A,=：=4-20-2O28.(1X1.-IV)试证明维火；.I.a：.“线性无关的充分必要条件是a：%aa2aan-%耳中a：衣示列向玳,的楂置.i=1,2,.【考点】我性无关的时别定理,分块中阵的运矩阵的性崂.S雄列向豉%&性无关O1.A1.Ta|，%qw又a；%4&、aa,.aan*11tCt1.a2a：a“j那么O=IArAI=同2.即DHO=IAKO29.(1991V)设

22、阶矩阵A和8满足条件A+8=A8.I-3O(IHE明A-E为可逆矩阵;(2)B=21O.求矩阵AOO2(考点证明抽象矩阵可逆及解矩阵方旭S(I)由人+8=48=(八一)8-(人一)=(八一乂8一0=,那么人一可型.I-O2W.4=(-E),+E=-IO3OO2k-213O.a99V)F“Ma=(1.,JM)r是也阵A=I2I的逆矩阵Ar的特征向M.i求常的值.I12【考点】征值I特征向上的假念.解设2为对应J-a的A1的特征他那么Aa=a=Aa=a.解方程圾褥A=I或-2.【处】(I)含鑫数的矩阵A的特征值.求卷效时.方法是运用特征外的性帧或特征当项犬求解：令卷致的暂住八的特征向卡.求言教时.

23、力法是运用特征位Ij特征向最的定义和找性方科组种斛之.31.(1992-I.IIiSj1a.4找性相关.向fit阻a2ta3.a4找住无关闸:n:%能否由a2.a：线性表山?证叫你的结论.(2：区,能否由，线性衣出?证明你的结论.【考点】句阻我性相关的性费.解?能山a2,出线性表出.本实上,a1,a3,a1.线性无关挪么外,%线性无关,又,。2，。3线性相关，所以a1.雒由%,6线性表出.2),不能由tf1.tz,.ajftnR(,.a5)=(,.,.5).方法二:假设能i1.1.a1.a2.%线忤衣出仙知能由%,%找性表出么心便由2,tt性衣!h.,ja2.cr,.ai线性无关矛旃.32 .

24、(1992-I.II)笔巾，阵人的特仔仅为&=1.4=2.4=3.对应的特征向M依次为(I)将夕用，3线性表出：求At为f次数).【考点J向质的线性衣示,特征位与特征向吊的微念/为(1邢方程刈1$。+E$+.丫34=/0(。.$看3)x2=,=2x-2zy.，2-2,+3nA/=2A?-2A+AKI=2-24等2+4=2-2*f2+3rt,.2-2,+3*233 .。992H)设A,3为3断为怖,为Jfr里也知用：,法足AB+1=A2+BMIOI=O2O-1O1求矩阵M(1992-IV)设矩阵A与3相似,其中OO2OOy.v=0A的对位于特征侬-1,2,-2的将征向量分别为四=-2,p2-1,

25、用=0.令可逆矩阵(-1)+2+y=(-2)+x+1.对D求解时.仅设由(tt(7)2y=IA=-2(1-21.无非解.此时这种方法失效.在的解怯中方法一:非常简怅它燎合运用了特征值的性廉.防止了烦琐的计算.读存不觉福好好玩味吓吗?3541X2IV)渐死阵3C*8的每个列向盘都是以下方粽虱的解:x1+2xi-2xy=0,2x1.-x2+xy=0,3xx2-j=0.(1)求尢的依：。)证明IM=O=1.31-1由电总加A8=O假设同HonA=O矛脂,所以IM=O成由A3=0nR（八）+R(3)3;又AWOnA（八）N1.那么R(8)V3nM=0.【班】1)假设=0.那么份口面两个常用的结论;f（

26、八）+R(3)Ss.知议3工。,那么齐次觌性方程机ASr=O有非W解a,/=OoR（八）0,)J20.故量盼伊挑；MF密。.aO叩C=姑正定理降.J/=-1.-B-E.WC的特征值由A8的制征值OB,zA-E方法二I1.J特衽俗注明.C-2E=的全部.而AJi的特征Jft全人格那么C的特征值全大J岁,即C是正定矩阵.【注:*】讨论抽&如冏的正定性.般用r向两抑方法.IO3Z(992-V)设矩阵A=O2O,矩阵XiA足AX+=*+X.其中/为三阶轲史近阵.试求出矩阵X.IO1【考点】游好阵方程.解由AX+=f+Xn(A-)X=(A-A+).51.A-=-1.wO.t2OX=A+I=O3O.J%【

27、注意】此JS也可由X=(A-/尸(A?-/)求解加计算烦琐.在临阵的运灯时.吨尽量应用矩阵的件般先化筒.38。耽一V)设现性方程如xi+2x,-2xi=0.2x1.-X,+j=0.3.+X2-X3=O的系数如斯:为A.三阶知范BO.1.AB=O,试求的值参考3S2-IV)!j.39N992-V)实矩阵A=1%、满足条件:4=A,(i,j=1.,2,3J5Ay是”HCtfX2uKif#行列式A.【考点】件Hi用阵及八件旗:行列式按行(列)胧开定理.解i1.av=Aiy=A=,=AV=IHE=|人=O或同=1.乂H=UA1.+生、+4A1.=耳+4；+诟WonIA1.=1.40.(】必一I.II)

28、二次51/=2i2+3.V；+3x；+2ax,xy(a0).近过iE交变换化为标准形/=)*+2VJ+5，；.求餐致“及所用的正交变换班阵.【考点】：次型理论:M正交变换化.次型为标准形的方迂.2O0).次型的矩PVA=O304-E=(2-X1-6+9-f1.2)=(1.-)(2-2X5-)=f1.=2.30或由IIA1.=9-R=5=4=2.、，对位于特征值4=2的特征向Irt$=O0,对应特例值2,=5的特征向玳=.单位化,得p3园=fe1.1.of2对应于特征优4=1的特征向后=-1印位化利1.=iii=of2阶的代价年假讪A8=/.id,)B的列01那么所求的正交交换处阱P=(四，?，

29、pj=一0-J=041.(19931.1.1.iAftM/?,得:阵.B.mn矩阵.其中nP=(1.,a,cr,),(J.Zf2.)=OTO10-I；【注量】由某勾,外，Qr到乩用，,/，r的过渡矩阵尸定义为(PvPn、)(,?.,)P.即P是向丛织女,外,，4山火,。2，,ar奴性及求的系数矩阵.43.(1993IY)A为何值时.线性力狎组x1.+x2+kx3=4.-x1.+kx2+Xj=ki,&-.v2+2x)=-4,有唯解.无解Jr无力多切好?在讲解情况下,求出其全部好.【考点】含叁数的跋性方程现解的对论.B=(Ab)=IJ2k-2(4-太川+幻事方法-(微情影)-48k(k-4)1)方

30、用组有Ift解OR（八）=/?(8)=3oUfkWOnaW-IHjtH4.此时k2+2kk2+2k+42k,A=,.=-A+1.2+I5+1.2),1k=-时.R（八）=2/八)=3.方程姐无常当k=4时.R（八）=()=23,程蛆有无穷多解.此时解为(BO、0N=-38X2=-Xj+4,其中为任意常数.方法二:用殊情形)方程凯的系数行列式A=(4-ArX+k).11当IA1.Ho=AW-1I1.AH4时.方程组有惟解.由Crammer法那么得肘为代+2K2+2A+42k.I、一.1一k+-k+3k+11-I当A=-I时,/?=(A)=-1-II1-12Y、80ZR（八）=2R(B)=3,方程

31、if1.无解.4U1.%3-IV)i殳二次型f=X；+x；+x：+2ax1x,+2xzx1.+2xi,任正文支我X=Py化成f=y1.+2V-.KIX=(.r1.r2.工1和=(y,y1.以了犀是三推列向做P是三【考点】次型理论.I二次型的矩阵A=a阶正交矩冏.试求常数.aII.其特征值为0.1.2.於么,A-1.f=(O-M1.-M2-i)=-(1.-2-1.)=a=7=O.（这里为什么不健川特殊方法,浦读名自己思考）.I11为.试求共伴的搏PVA的逆矩肉.345.（1993-V）：阶纲a：A的逆也内A=12【考点】矩阵运算.5-2(4尸=4=1ATI(AT)T=-22-I046.（1993

32、-V）i2AWmXn矩阵.BfinXm矩阵.EJkn阶一位矩阵（m“）.HA=E.试判断A的列向量组是否成性相关?为什么？（1993-1.11）.47.(15M-1.11）设四元齐次线性方和纲（1）为A1+=0,X2-X4=0.乂某齐次找性方科at（I1.）的通酬为K(O,IJO)+3(-122,1)；（1）求线性方程讯fI）的根,底解系：（2：向线性方程用（I）和（II）是否在善等公共解?线设I1.那么求出所有的善察公共解.祖设没有,那么说明理由.【考点】齐次妙性方程组的根底解系;两个税性方程组的公入端.$=一%41所求根底鲫系M（D线作方柝讯（I）的鲫为=(0.0.1.0).,=(-1.1.0.1).fc+,=O（2南方程iHUI）的通解代入方程组（I）=&=-&当勺=一火、工0院方程组（I）和I-（IU有非事公其解.且为x=-*;（0.1.,1.,0）+*,（-1.2.2.1）=i1.,（-1.1.1.1.）=