多目标决策方法.docx

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1、多目标决策方法一.多目标决策方法简介1 .多目标决策问题及特点(1)案例个人：购物；买房；择业集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择(2)要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规章(3)多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不行公度性：指标量纲的不全都性；目标之间的冲突性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素养考察时往往会以：思想品德、学历、力量、工作作风、市场应变力量等共性指标作为决策依据。2 .多目标决策问题的描述1(x),2(x)(W,Ana

2、外且存在w0;A为全都阵max=n,i=O33-21 3 - 4 2 1 2-31-2 11-21-31-4I = IA1A例424=nr(A)=l理论说明：二31阶.三阶虽然由客观事物的简单性以及人的熟悉的多样性，因而推断矩阵A未必是全都阵。但是仍要求A有大体上的全都性。也就是说一个推断矩阵假如是有效的就不应当消失诸如“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙比甲极端重要的规律谬误。因此对A需作检验，关于A的全都性检验分如下几步:（1）计算全都性指标Emax-Cl=n-（2）查找相应的平均全都性指标Rl(2)表1：1-15阶正互反矩阵计算IOoO次得到的处n1234567891011121314

3、15Rl000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59（3）计算全都性比例CRCR= - Rl(3)如CRVO.1,则认为A的全都性问题可接受，否则需对A作适当的修正。采用上述成对比较矩阵，可采纳和法，根法，特征根法,最小平方法来计算权重,详细方法如下:小%Jt=Ii=1,2,nvv=1i=lW1=0.1593W,=0.5889IV3=0.2578假如已求得各权重向量丽，则Xmax也可由下式计算得到:1aiJwJmax=-V-y叱(5)1(nVflajn根法：Wi=-J/=1,2,n，1jWi=n(nnT=1=1/(6)W1=0.1

4、507W2=0.5753Wi=0.2740特征根法：(A-4max)W=0W=(叱,%.Wn)rWi=I得唯一Z=I正解(7)AnaX=3.0536Wi=0.1571W2=0.5936Wi=0.2493最小平方法：min(%w吗Wi=(条件极值求得)X2X3X42基于抱负解的排序模型（目标规划法）（1）基本假设1 .属性描述用基数定量描述，且相互独立；2 .决策者偏好用权（2）符号说明Z；:各属性法律规范化后的最优值，/：抱负解，即X.所对应的各属性值都是法律规范化后的最优值5,：第i个方案与抱负解的测度（2）基于抱负解的排序模型minS.=minx1x3x43线性安排模型（I）基本假设1 .

5、属性描述采纳序数形式，决策者的偏好仍用权来表示2 .对某一属性，不同方案允许并列，但最终排序不允许并列。（2）符号说明：%方案Xj排在位次）的权重，称W=（%）j为权矩阵。在权矩阵中，如第2行中对应L列的元素最大，则方案X有最大的可能排在第L列。（3）线性安排模型例已知决策矩阵如下：排序目标属性1第一名X1x1x2x2X3其次名X2X3X1X3X2第三名X3X2X3X1X1设权为：W=(0.2,03,0.1,0.1,0.3)0.50.10.4构造权矩阵：W=0.20.50.3(行为方案，列为名次)0.30.40.3%方案Xj排在位次）的权重，称w=（%L为权矩阵。在权矩阵中,如第2行中对应L列

6、的元素最大，则方案X有最大的可能排在第L列。最优决策应使最终排序下权矩阵中对应的总权之和最大，由此可知，2-1*川与这是一个指派问题：max之丑叱明=lI=I号=1号=1=0,1如存在某一属性下的两个方案并列，可将该属性拆分为两个子属性，并分别赋一半的权重。掌握仪器的购买算例首先，将决策矩阵转化为序数形式。属名、y次/.（牢靠、性）f2（成本）/;（外观）/;（重量）*%XX?二X?X?X2X3三3XlX3Xl四X，X，X，X、确定各个目标的权重。仍用模型加行加权模型的结果，即W=(0.57140.24460.12230.1157)r().639700.36300、计算权矩阵W=0.11570

7、.883400X30.24460.11570.63970X,x2x3x4,此时对应的指派问题的解为Rl=G其余尾=O4层次分析法层次分析法(TheAnalyticHierarchyProcess即AHP)是二十世纪70年月由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标决策评价法。将决策者对简单系统的评价决策思维过程数字化，保持决策者思维的全都，采纳先分解后综合的解题思想。层次分析法的基本假设：是层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进.AHP模型的简介运用AHP方法进行决策时，大体上可分为4个步骤：1 .分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递进层次结构2 .对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则

8、的重要性进行两两比较，构造两两比较推断矩阵。3 .推断矩阵计算得到被比较元素对于准则的相对权重4 .计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。详细操作如下：1 .递进层次结构的建立AHP的递进层次包括三层：即目标层、准则层、方案层。其中准则层包括了为实现目标所涉及的中间环节，该层可依据实际问题再包括多个子准则层。AHP层次结构如图1：决策目标准则1准则2准则Ml子准则1子准则2字港则M2方案1方案2方案N2 .构造两两比较推断矩阵对于一个准则尸的因素有N个，这N个因素之间相对重要性的比较得推断矩阵记为A=(%)e，其中%.表示因素对对勺的重要性；3 .单一准则下元素相对权重的计算及推断矩阵

9、的全都性检验(1)设个因素人”相对于准则尸及推断矩阵为A=(%)皿，由4可计算内,对P的相对权重W1,.W方法如下：和法：/=1,2,3n根法:(nVfl%.=5)Ii=l,2,3.(2)(nV*=j=特征根法：由(41-A)=O,可计算得最大特别根4max,则AmaxW=AIV(3)W是Zmax对应的特征向量，将W的各重量进行归一化处理后即可作为数向量明,最小二乘法：设权重向量W=(件吗尸则满足残差平方和最小的权向量nn2min(vv;)(4)/=J；=1其中权向量满足t吗=1Z=I详细计算时可采纳拉格朗日的条件极值求得各叱(2)推断矩阵的全都性检验计算全都性指标：max-nzrx查找相应的

10、平均全都性指标M:表1：1-15阶正相反矩阵计算IOoO次得到的对n123456789101112131415RlOO0.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59计算全都性比例CR：如CRO.1,则认为A的全都性问题可接受，否则需对A作适当的修正。4.计算合成权重，并进行排序总排序权重要自上而下的将单准则下的权重进行合成，并逐层进行总的推断全都性检验Q设-,=(v,.磕表示第KT层上项T元素相对于总目的排序的权重向量。用/=依：,表示第K层上七个元素对第K-1上第7个元素为准则的排序权重向量，其中不受/元素的支配的元素权重取为零，矩阵

11、/=(*4T)是阶阶矩阵，它表示第K层元素对KT层上各元素的排序,则第K层上元素对目标的总排序或靡=ZPjW7i=l,2,3ny=kkk-2即有公式：W=PP其中M是其次层上元素的总排序向量，也是单准则下的排序向量。相应的各层的全都性检验：论Cr为K-1层上元素为准则的全都性指标，平均全都性指标为Rj全都性比例为CR：J=1,2,3%，则K层的综合指标a=(,c,L1),RIk=(R匕,应3ClCRk=-RlC/；0.1认为递阶层次结构在K层水平上的全部推断具有整体满足的全都性。3.12AHP模型的应用一一某高校从三个候选人中选一人担当领导候选人的优劣用六个属性去衡量：健康状况业务学问书面表达

12、力量口才道德水平工作作风关于这六个属性的重要性,有关部门设定的属性重要性矩阵A为1111/41211411/2、124 11/21/21531/21/41/511/31/311/331122311;（全都性检验不能少！通过!）叱WS今小%Jt=I计算得权向量:(0.1592,0.1847,0.1985,0.049,0.1556,0.2539)健康状况X(Y4Z121/41/2、131/31;0.14290.57140.2857max=3.0193CR=0.019业务学问X(1/41/5、r411/2Z(521max= 3.0258CR = 0.0250.09740.33310.5695书面表达

13、力量X(1Y1/3Z131/3、11j2max=3.5607CR=O.539* (调整！)调整推断矩阵为:X(1Y1/3Z1331/3、11/55 L口才max= 3.03280.2583CR = O.0320.10470.6370Xf1Y3Z11/51/35、171/7工max= 3.06510.2790CR = O.0620.64910.0719道德水平X( 1 17、 Y 1 1 7 z11/7 1/7 1,max= 3.000.46670.46670.0667工作作风Xf179、y1/7 1 5 Z11/9 1/5 1,X(1Y1/7Z11/979、151/5bmax=3.2074CA

14、=O.199*(调整！)(0.7928,0.1312,0.0760)按健康状况、业务学问、书面表达力量、口才、道德水平、工作作风的挨次排列Xf0.14290.0974B=Y0.5714 0.3331Z(0.2857 0.56950.25830.10470.63700.27900.46670.7928、0.6491 0.4667 0.13120.0719 0.0667 0.0760,(0.1592,0.1847,0.1985,0.049,0.1556,0.2539)W=(0.3771,0.3148,0.3081)可知，应选择候选人X担当该职务六、残缺推断与群组决策(1)残缺推断处理方法*残缺推断

15、可接受条件：定义1：一个残缺推断矩阵称为是可接受的，假如它的任一残缺元素都可以通过已给出的元素间接获得，否则就是不行接受的。简洁证明：一个残缺推断矩阵可接受的必要条件是除对角元素外，每行每列至少有一个给定元素，故至少要作(nJ)次推断。设。表示残缺元素，明显当.=。时%=夕定义2：方阵A能用行列同时调换化为D形式，则A称为可约L44矩阵。(否则称为不行约矩阵)12O例：,1 O2O O 1-1032OlOOIoil都是可约矩阵。33为了争论残缺矩阵的可接受性，先将残缺元素。看成0,则有:定理：一个残缺推断矩阵可接受的充分必要条件是A是不行约矩阵。*残缺矩阵排序向量计算方法特征根法:%aij0对

16、残缺推断矩阵A构造帮助矩阵C,使得：C=(%)=1i=jW,aij=OJj求C的特征根问题：Cvv=ImaxW等价于求矩阵N的元素为：因ai.O,zJ4=(%)=,1i=j,i=l,2,其中叫为A的第i行中叫+1%=b,ij残缺元素的个数，并且有：Aw=raxw,N称为A的等价矩阵。直接求印的特征根问题即可求得不完全信息下的排序向量。120例1：设A=2,这是一个可接受的残缺推断矩阵，帮助矩阵220A的等价矩阵12C与N有相同的主特征值4m和主特征向量W.解：AW=4aW,得:2max=3,W=(0.5714,0.2857,0.1429)*全都性检验X的全都性检验可用下面的公式：Cl=一%不一

17、,(-1)-ZS1CR=包如CRV0.1,则认为A的全都性问题可RI接受，否则需对A作适当的修正。当A残缺时，当其它非残缺元素有较协调的推断时，才能满足总体全都性的要求。2.群组决策(1)重视并做好专家询问工作(2)群组决策综合方法特征根法：方法一：加权几何平均综合排序向量法S个专家的推断矩阵4=(%/)分别计算出它们的排序向量：W=(恤，、，啖)Z=1,2,s.然后求出它们的加权儿何平均综合向量W=(吗,卬2，吗)丁,其中当4=4=4时吗=(Sl,吗2,n)，j=,2,几计算吗的标准差：.=(vv-uj)S-1A=I相应于新的总体推断矩阵A=(%=?)的总体标准差:产长久3个体标准差：=j=

18、gw*一吗）2当总体标准差满足要求时，这组群推断可采纳，当个体/）时认为第k个专家可通过，否则将信息反馈给有关专家，供修改时参考。方法二加权算术平均综合排序向量法将各专家推断矩阵得到的排序向量的加权算术平均作为综合排序向量W=（VVI,卬2,吗）即：吗=4wj+&叼2+儿Wj,j=1,2,hA=1Jt=I当4=4=4=日寸：VV-（VVWjlHFW）,J=1,2,72SSN同样可依据叩%3（人）计算标准差，并反馈给专家。四、几种方法的比较4.1 加性加权法是一种比较简洁易行的方法，给人以明白，直观的感觉，是人们最常常使用的多目标决策方法。使用加性加权法解决问题的关键在于确定指标体系并设定各最底

19、层指标的权系数。但是加权法常常被人们不适当的使用，这是由于使用加权法意味着承认以下假设：（1）指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关联；（2）每个属性的编辑价值是线性的（优劣与属性值的大小成比例），每两个属性都是相互价值独立的；（3）属性间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他属性来补偿。而事实上这些假设都过于抱负。4.2 线性安排法的优缺点在这种方法中，我们默认为每个方案必需也只能排在一个位置上，且每个位置也必需只能排一个方案。4.3 基于抱负解的优缺点用抱负解求多属性决策问题的概念简洁，只要在属性空间定义适当的距离测度就能计算被选方案与抱负解。但是，明显抱负解在

20、实际问题中一般是不存在的。4.4 层次分析法的优缺点层次分析法是一种将决策者的定性推断和定量计算有效结合起来的决策分析方法。它的分析和解决问题的方法具有系统、有用、简洁，的特征。（1）系统性层次分析把争论对象作为一个系统。依据分解、比较推断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后进展起来的系统分析的重要工具。（2）有用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广。同时，折中方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。（3）简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析的基本原理和把握它的基本步骤，计算也特别简便，并且获得的结果简洁明确,简洁为决策者了解和把握。但是它同时有存在一些局限性：第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新的方案；其次，它比较、推断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受。当然，实行专家群体推断的方法可以克服这一缺陷。