离散型随机变量的均值与方差(详解教师版).docx

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1、离散型随机变量的均值与方差一、考点、热点回忆【学习目标】I.理解取有限个值的离散型的机变量的均Ift或期望的慨念,会根据恐放型随机变I1.t的分布列求出均值或期望，并能解决一实际问造：2.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问时：【要点樵理】要点一、育敛型机变量的期直1.定义：一般地.假设黑敌型班机变盘岁的概率分布为X2七PPPP那么称E=X1.p1.+X2P2+.+xnPu+.为J的均值或数学期引，简称期轨要点诠的(1)均值(期里)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.(2) 一般地，在

2、有限取值离敌型随机变量S的概率分布中，令四=0=P，那么有p1=p,=.,=pn=1.tE=(x1.+.v,+.+x)1,所以S的数学期望又称为平均数、均值.”I1.(3) 1.机变敏的均佗与随机变出本身具有相同的冷位.2.性质，()=%+/：畦设=喈+Ha、b是常数)，是随机变状，那么也是IoI变版，有E(*+b)=aE+b;+Z)=。与+Z的推导过程如下：，7的分布列为xIX2X、Haxt+b3+b*ax1.+bPp,P2Pt于是EtJ=(ax1.+b)p1.+(OxI+b)p2+.+Utv1+b)pi+.=(x1pi+X2P2+.+xpi+.)+b(p1.+p2+p卢=aE+b.E(a+

3、)=aE+b，要点二：敛黄机知的方差与标准差1 .一IMc据的方差的概念，殂数据司，X2X“，它们的平均值为F,那么各数据与f的差的平方的平均数S2=匕-工)2+(工一二产+叫做这组数据的方差。n2 .高能堂.机变量的方差，一般地,假设肉敢型随机变量4的概率分布为再X2X、PPiPiP1那么称D=(Ai-E)2-P1.+(x2-E)2-P2+.+(xa-E)i-Pi+称为随机变O的方差,式中的E是随机变附4的期望.Of的算术平方根万三叫做随机变里岁的标准差，记作bS要点诠狎，的机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的：随机变埴的方差、标准差也是随机变价的特征数，它们都反映了随机变履取

4、值的例定与波动、集中与国放的程度：方差(标准差)越小,班机变量的取值就越稳定(越战近平均值).标准差与时机变质本身有相同的唯位，所以在实际问即中应用更广泛.3 .期望和方差的关Ih4 .方差的性质，假设，7=。+口、1是行数)，S是随机变吊，那么也是的机变崎，D=CXa+b)=a2D.要点三，常见分布的期与方差1、二点分布I锻设离散型阻机变玳服从多数为P的：点分布，加么期望E=P方差ZV=P(I证明：P=0)=q.P(=1)=p.Qp.p+q=I：.E=OX4+1XP=P2、二项分布，假设离散型的机变量S服从参数为,的二项分布,W-B(n.P).那么期里瑟=P方差=P(I-P)期不公式证明：P

5、(t(1.-P)I=C：p%.：.庭=OXOV+1XCdG+2C3qai+.+C*pt*+.+CV-!(一幻！(-1)(m-I)-(-I)!E=叩(C,pV-+C1.PzT+U*7F+Cq。)=wXp+)+(4a+)=1.又=3,即1.(a+Z)+2(2a+)+3(3+Z0+4(4+,)=3.解得a=0.1.,b=0,故a+b=0.1.例2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，好取到一个纵球记0分，好取到一个白球记1分,每取到一个红球记2分,用岁表示得分数.求:6的慨率分布列:6的数学期里。【思路点拨】此题求岁收各个值的概率.其类型显然是古典概型.【解析】依翘意4的取值为0、1

6、、2,3、4C14=0时,取褥2黑球，。佰=0)=二一C；6C-C11=IM.4=2时,J=3时,取得1黑球I白球，.P(=D=三券=取2白球或1红球1黑理，.P%=2)=皂+Gf=U,QQ36取1日球1红球，.PR=3)=Sa=Q6C2I取2红球，.PC=4)=涓=立，.4分布列为0I234_211_1Y6336636期望E=0+1.+2+3+4=.【总结升华】求宓散型随机变玳均值的关键在于列出概率分布表.举一反三，【变式1】随机的抛掷一个骰子.求所得般于的点数&的数学期望.答案拈一嵌于所得点数M的概率分布为I23456P666666所以=I+2+3-+4-+5-+6-=(1.+2+3+4+

7、5+6)-=3.5.6666666抛掷骰子所得点数4的数学期里,就是的所有可能取值的平均值.【变式2】甲、乙、丙、J独立地破谛一个密码，其中甲的成功率是1,乙、丙、丁的成功率都是1.23(I)假设玻洋密码成功的人数为X,求X的概率分布；(2)求破谛率码成功人数的数学期型.【答案】(I)破译密码成功的人数X的可能取值为0，I.2.3,4.P(X=O)=Ix(I)=A,P(X=2)=：XcXH)+c；x；)18P(X=3)=1.Cj+(1)1.75454P(X=4)=1=那么X的概率分布表为X0I234P85420541854754154Q,O1R7121由知E(X)=OX3+2上+3,+4-!-

8、=I=I.5,545454545454即破译密码成功的人数的数学期里为1.5.【变式3】交5元钱，可以参加一次抽奖，袋中有同样大小的球10个，其中有8个标布1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖者获利的故学期里.【答案】抽到的2个球上的钱数之和是个随机变量，其中自取每一个俏时所代表的随机事件的概率是容易获得的.此题的目标是求参加抽奖的人获利的数学期望,由4与，7的关系为=-5.利用公式E()=E代)-5可狭解答.设为抽到的2球钱数之和，那么的取伯如下；-2(抽到2个1元)，-6(抽到I个1元，I个S元),夕10(抽到2个5元).所以，由题底汨尸

9、G=2)=会=爱，P(=6)=-=.Pe=IO)=,=*,CK1.4CIO4CK1.4：.E(fg)=(,RX=2)=叫M所以X的概率分布如下表:XOI23P8383818(2)III(1)知E(X)=0J+1.3+23+31.=1.5.8888或由遨息X-Yf3-1 9E(X)=3x-=1.5,E(r)=3-=2.2 3【总结升华】在确定随机变衣服从特殊分布以后，可宜接运用公式求其均值.*-fi三.【变式I】有批数汆很大的商品的次品率为I%.从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品效的期望。【答案】设抽出次从数为g因为被抽商品数批相当大,抽20件商品可以百作2()次独立重红试验.所以。8(2

10、0.1%).所以=Iip=201%=0.2【变式2】一次单元测骁由20个选择SS构成，色f个选择时有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答窠得5分，不作出选择或选错不得分，总分值100分典:牛甲选对任一题的概率为09,学生乙那么在测验中对每起都从4个选择中随机地选择一个.求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望.【答案】设学生甲和乙在这次英语测脸中正确答案的选择题个数分别是或那么S-B(20.0.9),(20,0.25).由于答对每跑得5分.学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是和所以,他们在测脸中的成绩的期望分别是：类型二、离散型机交量的方差例&高效型Ki机变量W的概率

11、分布为1234567P77_77177离Iti型随机变限分的概率分布为与3.73.83.944.I4.24.3P77777_77求这两个随I【解析】EiOW=Ez=。2=01.变Jit期里、=2(1.-4)j3.7x1+3.8704,皈=J均方差与标准差.1r1“X+-+7x-=4；77(2-4)21+.+(7-4)I,r1,X+-+4.3-=4；77砥=0.2.?=4三若=2.【总结升华】此SS中的1和另都以相等的概率取各个不同的俯，但金的取伯较为分散，鼻的取俏较为集中.Eq=E叁=4.D1=4.D2=O.CH,方差比拟消建地指出了叁比取Gi更集中.2，i=O.2.可以存出这两个随机变盘以优

12、，其期望值的似差.举一反三：t变式1】随机变最4的分布列如下型-10IP21326(1)求E(),D(),:(2)设=2+3,求E(),D().【答案】(1)E()=xj+2P2+jP3=(-)-+O-+1.-=-：2363D(G=-1-E()Yp1.+X2-E(O)2-P2+.Vj-E()Ypi=,=D(7)=*(2)(7)=2)+3=1,D(Z7)=4ZX)=yi【变式2】设随机变htX的概率分布为XI2nPnn17求D(X)4【答案】此i考件方差的求法.可由分布列先求出X的期的E(X),再利用方差的定义求之.也可直接利用公式D(X)=E(X2)-E(X)F来解.解法一fm+i)1+i=X

13、-=，22.、+1YI+1Y1(+IYI.D(X)=1X+2X+nX(+1尸4/-1.12V2JI2)n(2)n=-(广+2?+/)一(+I)X(I+2+.+)+”n解法二：出斛法一可求得E(X)=X。2又f(XD=2J+221.+n21.=+22+,1.+1)n6。(X)=E(X。TE(X)F=S+D+D-包=之1.6412例5；有批数艮大的商品的次处率为1%,从中任意地连纵取出20件商品，求抽出次品数的期望与方差。【思路点拨】由于产品数用很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响非常小,所以可以认为各次抽言的结果是彼此独立的,可以看作20次独立理红试验.利用二项分布的公式解答.【

14、解析】设抽舟次品数为，因为被抽商品数砒相当大，抽20件商品可以看作20次独立或处试龄,所以68(20,1%),所以=p=20%=0.2【总结升华】1,解答此SS的关键是理解清楚；抽20件商品可以看作20次独立热红试骁，即4-3(201),从而可用公式：Egp./*=(I-P)宜接进行计算：2.以下抽查问四可以看作独立重复试验：(1)涉及产品数卡很大，而旦抽锂次数又相对较少的产品抽自何阳；(2)如果抽样采用有放回地从小数盘产品中抽取产品，那么各次抽样的次品率不变,各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件：但从小数量产品中任意抽取产品(即无放则地抽取)每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的

15、，不能看作独立曳复试验.【变式】假设某批产品共100件，其中有20件二等品，从中有放回地抽取3件，求取出二等品的件数的期望、方差.【答案】由SS知一次取出二等品的概率为0.2,有放回地抽取3件，可以看作3次独立Hi复试验，即取出二等品的件数f8(3,02).所以E=jp=3O.2=0.6.1.)=np(-p)=3().2(1-0.2)=0.48.EKMiIUtt离散型物机变状的均位。方圣408737例返I】【变式2)有10件产品,其中3件是次品.从中任取2件,假设抽到的次品数为X,求*的分布列,期里和方差.【答案】类型四、Mtt型IH机变量的期和方差的应用例6.甲、乙两种水稻在相同条件下各种植

16、100亩,收获的情况如下:亩产册300320330340亩数2()254015乙:亩产量310320330340亩数302040IO试评价哪种水稻的质I1.t较好.【思路点拨】此时是期望与方差的综合应用问题.要比拟甲、乙两种水稻的质量，需求出其平均Iii产后并对其稳定情况进行比拟.题中只给出了由产量与由数关系，所以应先列出甲、乙两种水稻的由产盘的概率分布再求其期望与方差.【解析】设甲、乙两种水稻的亩产量分别为X和Y那么P(X=300)=20I1=5251稣=32。)=而中P(X=330)=-,P(X=MO)=-=.I(X)5I(X)2()303IRP(F=310)=-=,Pr=320)=-=-

17、.100IO1.5w=33O)=rp,)=31()-+320-+330-+34()x-=323.1055IO即E(X)=E(Y),这说明两种水稻的平均亩产量相同,进一步求各自的方差,得i73D(X)=(3IO-323)2-+(32O-323)2-+(33O-323)2-+(34O-323)2-=171.54520ZXK)=(310-323):X+(320-323)2-+(330-323)2X-+(340-323)2X=1011()5510即VfX)V(Y),这说明乙种水稻的产盘较为稳定，因此乙种水稻侦显较好.【总结升华】期望(均值)仪表达了随机变量取值的平均水平.但如果两个曲机受砥的均伯相等，

18、还需比拟其方差，方差大说明随机变量的取值较分散(波动大)，方差小说明取值较集中、稳定.当我们布里实际的平均水平比拟理想时那么先求它的的均值,但不要误认为均值相等时,它们都一样好,这时.还应看它们相对于均1的偏志程度，也就是看哪一个相对稳定(即比拟方差的大小)，相劝检定者就更好.如果我们希望比拟稳定时，这时应先考出方差，再考虑均假是否接近即可.举一反三，【变武1】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境.且野生动物的种类和数址也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反保妒条例的事件次数的概率分布分别为【答案】甲保护区的Hi规次数X1的数学期望和方差分别为：E(X1)=00.3+1O,3+2O.2

19、+3O.2=1.3：D(X1)=(0-.3)20.3+(I-1.3)2O.3+(2-1.3)20.2+(3-1.3h0.2=1.21.乙保护区的违现次数置的数学期望和方差分别为：E(X)=00.1.+x0.5+20.4=1.3;D(X2)=(0-1.3)10.1+(1-13)-0,5+(2-1.3)-0.4=0.41.因为E(X1)=E(X2).D(X1)D(X2,所以两个保护区内每季度平均发生的违规事件次数是相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内发生的违规事件次数相对分散.波动较大.【变式2】根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01

20、,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失6(X)00元,遇到小洪水时要损失100oO”.为保护设备.仃以下3种方案：方案I：运走设备，班运费为3800元；方案2：建保护困墙,建设费为2000元,但圉墙只能防小洪水;方案3：不采取措施.布里不发生洪水.试比拟联种方案好.【答案】要比拟哪种方案好，只要把三种方案的损失的数学期望求出，做一个小，哪一个方案就好.用XcX”Xa分别表示三种方案的损失.采用方案I：无论彳!无洪水，都损失3800元，即X=38OO采用方案2：遇到大洪水时，损失200060000=620(元)：没有大洪水时，损失2000元，即J62000.有大洪水2 2000,无大

21、洪水.60000.有大洪水同样.采用方案3：有X、=J100oO,有小洪水.。.无洪水于是，E(Xi)=3800.E(X2)=620P(X2=620)+2000P(X;=2(XX)=62000x0.01+2000x(I-0.0!)=2600.EX)=6(XK)OXP(X3=60000)+1Oa)OXP(Xa=1.(XXX)+OXP(XE)=60000x0.01+1.(XKXM).25=3100.采用方案2的平均损失最小，所以方案2好.【高清课直：向微里随机变货的均值与方差108737例胭4】【变式3】某超市为了解地客的购物电及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顿客的相

22、关数据，如下表所示.一次购物JftI至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)A3025y10结算时间(分钟/人)I1.522.53这100位顼客中的一次购物砧超过8件的恸客占55%.3 )确定xy的值.并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望:&%中国定百出板网*#(II)假设某顾客到达收银台时前面恰干j2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等快时间下理可25分仲的概率.(注：物痂率视为概率)【解析】（I）由,得25+y+IO=55.x+y=35,所以x=15,y=2O.该超市所有顾客次购物的结灯时间祖成一个总体，所以收集的100位顾客次购物的结算时

23、间可视为总体的一个容量随机样本,符版率视为概率得X的分布为x的数学期qi为(X)=1.x+1.5-+2-+2.5-+3-=1.9.20IO45IO(11)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟“，X,(i=1.2)为该顾客瓶面第i位顾客的结算时间.那么P（八）=P(X1.=IJ1.X,=I)+P(X1=I1.U2=1.5)+P(X1=1,5f1.X,=I).由于顾客的结纾相互独立，且XrX2的分布列都勺X的分布列相同.所以3333339=X-+-X=.2()2020IOIO20809故该颐在结獴肺的等候时间不由过25分钟的概率为二.80三、课堂练习一、选界Je1.设随机变量X的分布

24、列如下表所示且E(X)=I6.那么ab=0X0123P0.1ah0.1A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.42.4的分布列为01PPq其中Pe(0,1),那么O(4)E=p.DE=Pq(B)EpD=pi(C)E=q,Dg=q2(D)Ef=I-p.D=p-p3.班机受后X的分布列为：P(X=k)=,k=1.、2、3,那么D(3X+5)=()A.6B.9C.3D.44. 一台机器生产某种产品,如果生产一件甲等品可获利SO元,生产一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元.这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1.那么这台机器每生产一件产品，平均预期可获得0A.

25、36元B.37元C.38元D.39元5. 一牧场有10头牛,因误食含行病毒的饲料而被绯染,该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为心那么D等于0A.0.2B.0.8C,0.196D.0.8046 .甲、乙两台自动车球生产同种标准件，X表示甲机床生产100O件产品中的次品数,Y表示乙机床生产100O件产品中的次品数，经过段时间的考杳，X、Y的分布列分别为X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20据此判断0A.印比乙质量好B.乙比甲质量好C.甲与乙旗做相向D.无法判定7 .某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了100O粒，对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的

26、种子数记为X，那么X的均值为0A.100B.200C.300D.4008.Ik乙、丙：.名射斯运发动在某次测试中各射的20次，一:人的测试成绩如下表:S1.S甲的成绩三名s乙的成嫡丙的成统川丧阳且次测泳牛领！耳)89101*S5B5尸S6IJ4664二、填空JB9,有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变相&、z.假设EG=Ez,DhD2,那么自动包装机的质量较好.10.的双斐辰的分布列如下：-101PabC其中a,b,C成等差数列.设4)=；,那么D()的值是.11.节I期间，某种鲜花进货价是彳叶束2.5元，销生价是辩束5元；节后卖不出的鲜花以狗束1.6元处F1.1，根据前力.年销竹情况

27、预测，节日期间这种鲜花的需求：X服从如表所示的概率分布：X200300400500P0.200.350.300.15线设进这种鲜花500束，那么期望利润是元.12 .某射手有5发子弹，射击一次，命中率是0.9,如果命中了就停止射击，否那么一直射到子弹用尽为止，设损耗子弹数为X,那么E(X)=.D(X)=.将确到0.01)三、解答题13 .盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次却衙要从中取出2个正品，姆次取出1个，取出后不放0,直到取出2个正品为山设为取出的次数，求的分布列及(.14 .设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检5金,每次抽取一个,并且取出后不再放Inh假设以X和V分别非

28、示取出次品和正品的个数.(1)求X的概率分布、期望值及方差；(2)求Y的概率分布、期望值及方差.15 .有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负击，政府到两建材厂抽样检查,他们从中各取等量的抨品：检告它们的抗拉强度指数如下:110120125130135P0.10.20.40.10.2n100I1.S12S130145P0.10.20.40.10.2其中E和分别衣示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在要求抗抗强度不低于120的条件下,比拟甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.【答案与解析】1.t答案】C1解析】i1.1.0.1+a+b+0.1=1.得a+b=08XE(X)=00.1+1.

29、a2b+30.1=1.6.a+2b=1.3,由解汨a=03,b=0.5.a-b=-0.2,故应选C2 .【答案】D【解析】,B(I.q).p+q=1.3 .【答案】A【解析】E(X)=(1.+2+3)=2.D(X)=(1.-2)2+(2-2)2+(3-2)2-=23,D(3X+5)=9D(X)=6.34 .【答案】B【解析】由题意如每生产一件产品，平均预期可茯利0.650+0330+0.1(-20)=37(元).5 .【答案】C【解析】根据.项分布的方差公式：DE=IOXO.02x0.98=0,196.6 .【答案】【解析】FX=0.70+1.0.1+20.1+30.1=0.6.Fy=00.5

30、+10.3+20.2+30=0.7.因为EXD2说明甲机包装H-家的差异大,不稳定.乙机质量好.10 .【答案】-【解析】依班机变量的分布列知a+b+c=1.,21依a.b.C成等差数列知2b=a+c,那么+c=二,b=。33又Ee)=；,那么-a+c=；.解得=1.,b=-.C=-.63211 .【答案】706【解析】节11期间鲜花预竹此为E(X)=2000.20*3000.35+4000.30+5000.15=40+105+120+75=340.那么期铤的利润Y=5X+1.6(500X)-50025=3.4X-450.,.E(Y)=3.4E(X)-450=3.4340-450=706故期期

31、利润为706元。12 .【答案】1.110.12【解析】的机变吊X限从却几何分布，根据公式：期里EX=1.方姓DX=P13 .【解析】好次取1件产品，二至少御2次，即f最小为2,有2件次品，当前2次取得的都是次品时，=4.所以，可以取2,3,4.nf,8728PI=2)=*-=：IO945827,28714,2814IP(4=3)=X*+X-X=：PI=4J=I=1098109845454515；1的分布列如下，234P28不14451-15E=2P(4=2)+3XP(=3)+4KP=4)14【解析】(1)X的可能取值为0,1,2.假设X=O.表示没有取出次品,其概率为P(X=O)=第1=9.

32、GJ11cC29CiC1同理，有P(X=I)=皆=3，P(X=2)=白。G；22G：22AX的概率分布为X012P色TT9五122=Ox-+1+2X1,=一,1122222DCX)=n1Y6(x1Y9n1Y1399152)11I2)22I2)2222888844(2)Y的可能取值为1.2.3,显然X=3.F(r=i)=p(x=2)=.,(r=2)=P(X=I)=-.2222P(Y=3)=P(X=0)=Y的概率分布为Y123PI229226TTA(r)=(3-X)=3-(X)=3-=-.22VY=-X+3./.V(K)=(-D2V(X)=-.4415.【解析】E()=1100.1+120x0.2*125x0.4+130x0.1+135x0.2=125.E()=100x0.1+115x0.2+125x0.4+130x0.1+145x0.2=125.D()=0.1(110-125)2+0.2x(120-125)0.4(125-125)0.1(130-125+0.2一(135125)2=50.D()=0,1(100-125)2+0.2(115-125)2+0.4(125-125)2+0.1(130-125)2+0.2(145-125)165.由于E()=E(),而D()