专题62 二次函数与圆综合性问题（解析版）.docx

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1、二次函数与网综合性问题【例1】.如图，抛物线的顶点为八（0,2）,凡经过点8（2,0）.以坐标原点。为Rl心的圆的半径r=E,OC1.AR于点C.1）求他物线的函数解析式.2求证：宜城八8与。相切.已知P为他物线上一动点，城段Po交OO于点M.当以M.O,C为顶点的四边形是平行四边形时，求Pw的长.解：（1）.ft9物线的正点为A.，可设抛物出的蟀析式为：.v=+2,:拊物线经过点82.0）,*4+2三0解得：”=-，2二粒物践的解析式为：Y=2+2C.W:0C=2VQO的半径r=2.oc是。的半径，flAB0。相切；,.,jJ,在描物设V=-yr+2I：.，可设。(,-2+2).以O.A,C

2、为顶点的四边形是平行四边形时，Jf!hAC=OM-2.CM=OA-2.Y点C是AH的中点，：.C(1.I).f(I.-I).设出线OM的解析式为y=Jtr,将点M(1.-1)代入.得：*=-I,Jl战OW的解析式为),=-.1,：点在。W匕.,.-.r+2=-X,耨得：X=l+V,X2-I-V.v=-1-VV2=-1+V.,.Pi.如图,当点P位于力位置时.OPy-(l+5)2+(-l-5)2V2(l-5)2近八V=2-10.：.PiM=OPi-o,w=2-l-2=l.ii,P(ARJ.何理可得：。%I5-2.MOPl-OM-41022-1022;丛上所述，/WK10或I5-22.A变式训练【

3、变17.如图,附物线y=v2+u+2与出线A8相交于A(-1.0),8(3.2).与X轴交于另一点C求描物戏的解析式：(2)在y上是否存在一点E,使四边形AHCN为矩形，若存在，请求出点E的坐标：若不存在，请说明理由;以C为硼心，I为半径作00,。为O。上一动点，求。八吗DB的最小值解：(I)把A(-1,()、B(3,2)代入y=x+2.f,ra-b+2=ol9a+3b+2=2.拊物线的解析式为J=2)存在.如图I,作AnA8交轴干点E.连结CE:作胪X轴于点尸.则F(3,0).当y=0时,由-+x+2=0.得Xi=1.j=4,：.C(4.0).：.CFAO-.AF=3-(-1)-4：XVfl

4、f=2.CFBF1二二,BFAF2：ZBFC=ZAFB=,：.4BFCs&AFB,KBF=NBAF,：.ZBC=/CBF+/ABF=/B4F+/AHF=90,.,.CAE.VZCF=90-ZHAc=ZEAO./8户C=NZ)A=90.:ZCm&EAo(.S).IBC=EA二四边形48CE是矩形：IOE=FRj二6.(3)如图2.作Z1.8C尸点心连结A1.CD.Ill2)得N8尸C=90.BF=2.CF=1.：.CF=CD,Cfi=l2+22=V：ZF1.C=ZBFC=W,/FCZ=NAb(公共角).FC1.flCF.C1.CF1-5CFCB5.C1.CD,5CD=CB5-Yndcl=Nbcd

5、(公扶用)，DCiCD.1.D_C1.5DB3CD-,：.1.D=VDA*.DA.,/.,DA+1.D1.即点。落在线段A1.上时，D-DBD+1.D=1.鼠小.-9=哈b=哈.名=续./=（噜）2：裂OO又.A2=22+42=2O.:A1.AB2+B1.2q20喈【例2】.如图I.在平面直角坐玩系中,她初观与X轴分别交于A、8两点，与y轴交于点C(0.6),1物线的顶点坐标为E(2,8),连结8C、BE、CE.来她物线的衣达式:判断CE的形状,并说明理由:,设该附物浅的衣达式为.v=(-2).；与)轴交于点C(0,6).把点C0,6)代入得；“=-/.影拊物般的衣达式为.V=J+2x+6;y

6、=0.WJ-(-2)2+8=0,解得：Xi=-2.x2=f.：.A(-2.0).B(6.0).BC2=6W=72.Cfa=(8-6)2+22=8.BN=2+82=80.BE2=BC2CE2.8d90.是色用三角形：OCl八”，吗种的仇心小I1.这个最小他短缘E.ffl,iliF:如图,在CE上核取CF=零即CF等于半径的牛)，连结BFgCJ,P.EP,则8F的长即为所求.理由如下:连结CP.YC为半径.CFCP.1.-，CPCE2乂；NFeP=ZPCE.:ZCPSAPCE.旦=瞿=J，BfJFP=.CPPE22：.BF:BPlE32由“两点之间.线段最短.”可得:Bl的长即HPEP为双小值.C

7、F-4-CE.E(2.8).4图2A变式训练图1【变2-1.在平面直加坐标系中,二次函数y=+尿+,的图般与X轴交于八(-2.O),4,0)两点.交y轴于点C,点P是第四象限内抛物线上的一个动点. 1)求二次函数的解析式：(2)如图甲,当4A”是以AC为直角边的比角三角形时.求点P的坐标：如图乙，过八，B.P三点作0M,过点P作Pf1.r轴，垂足为。.交OMF点点尸在运动过程中线段。E的长是否变化，若有变化，求出OE的取值范用：若不变，求OE的长.解：(I)把A(-2.0).B4.0)代入y=2+u+c=0(c=-4二二次函数的析式为y=#-X-4：.Ad-I-2-0)2+(0+4)2=20.

8、CP2=+(i-x)2.APt=2+2-4)2. AC/是以4C为之用边的直角：.角形.6+C产=A产，即20+/+-.r-x)2-(x+2)-+2.20+.+(i.r2-.v)2=x2+4+4+-2-):-8(.d-x)+16.解得X=O(与C蜜合，舍去)或x=3,-4).则D(n.0).2V4(-2.0.B(4.O).C=n+2.BD=4-nt.PD=-wr-m-4=-im2+wj+4.22(m2)(4-m)-m2+2m8Dk-=J-1上运动,当。与坐标轴相切时，网心P的坐标可以是（巫、2）或（-,2）或（2,1）或（-2,I）.解：分两种情况:或（-%.2）：当。的坐标是（小-2）B1.

9、将其代入=r-I.得-2=-l-I,无解.222）当OP与y轴相切时，；。尸的半径为2,/.当0与F轴相切时.点P到F轴的距离为2.J点的横坐标为2或-2,i=2时.代入y=-I可得y=I,当X=-2时.代入y=?-I可得yI.二点。的坐标为（2,1）或（-2,I）,绘上所述,符合条件的点/，的坐标是（V2）（-62）或2,I）或-2,1）；故答案为：（6.2或-62）或2,1或-2.I.2.如图1,撤物设y2-2与X轴交于。、A两点，点8为拊物跳的顶点，连接08.1求NA08的度数：2如图2,以点A为回心，4为半径作O八，点.”在O八上.连接。M、BM.当408M是以08为底的等腰三角形时，

10、求点Sf的坐标：如图3,取OW的中点M连接8N,当点M在OA上运动时，求线段8N长度的取值范用.解汨：X=O或8.,.A（8.0）.Q=8.：.B（4.-4）.过小8作81.6M点。.如图.则8=4,BD=4,：.ODBI).：.NAOB=NoBD=4S；.连接8C,如图,：.BC1.OA.JCO=CB=A.：.ACBO是以OB为底的等魔工角形.二点M与点C更合时,AMBo是以OB为底的等腹：用形.此时点M(4.0)：过点A作AMlX轴,交。八于点延长MA交OAF点E,连接8E,过点M作W轴广点匕如图.W1.V/8,4),E,F(0.4).MF=ME=8.Vfl(4.-4).11txl.：.B

11、E1ME,BE=A.：.ZBEM=ZMFO=90.BE=OF=4.在MO尸和AMSE中，MF=MENHFo=NBEB=90.OF=BEWOFfBESAS).二MBO是以OB为熙的等眼三角形.此时点M（8,4）；标上,当Z!O8M足以08为底的等腰用形时，点W的坐标为（4,0）或（8.4）：设0A与X轴交于点C,则C（4,0）.连接8C,CTV.AW.如图.VA（8.0）.，点C是OA的中点.ON为QW的中点,.C7v是awA的中位线.CN=当，2.2当点M在C）A上运动时.由三角形的三边的关系定理可知:BCCNWBNWBC+CN.VC=4.4-2WOVW4+2.戏段8N长度的取例范用为：2W6

12、NW63.如图，拗物线y=x2-2r-3储0）与K轴交于A,8两点（点A在点8的左边，与）轴交于点C且OB=OC.求柚物线的解析式：2如图I,若点尸是线段BC（不与从C用合上一动点，过点。作K轴的垂线交抛物线于Af点.连接GW.将APCW沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上,求此时点P的坐标；3如图2,若第四象附有一动点满足8E=08,过E作EF1.V轴于点八设F坐标为，0）,0r0)中令F=O褥：ax2-lax-3f-O.解得：i=3,.=1.：.A(-1.O).B(3,0).O8=3 ：OB=OC：,OC=3.C(0.-3). 3=3，.0=l. 拊物观解析式为：y=r-2-3.

13、2)设直线BC解析式为r=Hb.YB(3.0).C(0.-3),.(3k+b=0解触(k=l,lb=-3lb=-3宜找8C解析式为,F=X-3.设M点坐标为(/疗-2，”-3).:P(阴阳3)，.*.PM=n-3-聆12掰3)=，J3m,：OB-OC.NBeC-W.,.C-2.C,=2w.：PCM沿CM对折.点P的对应点N恰好落在y釉上.NPCM=NNCM.VAWy5,：.7NCM=ZPMC.：./PCM=ZPMC.PC=W.,.yj2m=-wr+3m整理得：，/+(&-3)/M=O.耨得：”“二。(舍去).w3-2.二当，二3-2ai./M-3-2：.P(3-2.-2).(3)如图2,连接8

14、/,0/.E1.作Zk08/的外接网OA/.连接。f.W/.CW.过M作MUy轴于小Hx釉，：.NBFE=90：1.NFBE+/FEB=%.,.8/汗的内心为/.,/7分别平分/F8E7FKR.：./IBE-ANFBE,/IEBZFEB.22/IBE+ZIEH-CNFBE+/FEB)=45.；./BIE=I35,在Z8)和位中.OB=EBZobi=Zebi.BI=BI：.ABlOWABlE(SS),二/8/0=/WE=I35,OM是。小的外接网.ZW=2IH0-NBMD=90.OM=SM=返08=,22,.Ml=OM=3V.,2NMcB=ZAfOH=A5.V .WWy4.ZIIOM=ZjVO=

15、45,.OH=HM=),W=.C=O+OC=W+3=?,22V C=HH2CH2=3V CGW-/.当且仅当C、M、/三点共线时.取制最小值.CI的最小位力3策-耳222K24.己知她物战y=x2-2n-1)a+411-6.试说明对于每一个实数，”,枪物线都经过X轴上的一个定点：2)设他物线与X轴的两个交点Ax,0)和8(m,0)(XlVx2)分别在原点的两侧.用4、B两点间的距罚小于6,求,”的取但范用；3拍物战的对称轴与X轴交于点C(在-,0).在=(x-2-2m+3),因此拊物战与K轴的两个交点坐标为；2,0)(2n-3.0).因此无论m取何值,褪物线总与X轴交于点：(2)令y=Q,有：

16、X2-2n-I)x+4m-6=0.则：.v+.V2=2r-1.XIM=-6：9：AB6:xi-Xi6.即(X2-)22-4xi.w36.即(2n-I)2-4(4/-6)36.22根据A、8分别在原点两例可知：AIX20.Q8J4m-60.w-.嫁令得VmV220.3ttCjtCD.因此BC=CD.OC=1.,CD=BC=OB-OC=I-1=1.,EC=C=5-.22224O/.MD”(上一5-纲1224易知：OD=ME,HPOAJ2=MB2ACD2-OCi=CM2-CEi.生王）2.1.）（1）2_（咨1.）2；2244科司W=符合，”的取值范围.6当C点在X轴负半轴时.X=i-0因此-Cm.

17、K=维.MD=。石=Z1.44同1叫求得OC上”,CD=AC=殳菖同理仃：Cir-OC2-MC2-C心(,52m)2-(,12m,)2=(Z)2_(l5-2m)22244化简汨：，=2,4因此这种梢况不成立.二，-埒，均不符合成的取值真僧,证明：该枪物线与X轴总有两个不同的交点：0.0,:,该摘物线iX轴总有两个不同的交点：令y=0.,.X2+nix-2m-4=0.-2)(r+=-2(m+2),：.C(0.-2),：.OC=2(m2),通过定点(O.D理由:如图.；点AB.C在。夕上.ZOCB=NOAF.在RIZS8OC中，tanZOCB=rt=-OC2(m+2)2.Rllan(M,-一一1O

18、A22.w=.点2的坐标为（0.1:如图1,由如，点尸（0,1）,VD.三DEr-“2275Tn.1133)n10+656 .如图所示，在平面直痢坐标系中，0C羟过坐标原点。,且与X轴，y轴分别相交于M（4,0）,N（0,3两点.已知他物线开口向上,与。C交于N.P三煎.为抛物线的原点触物线的对称轴经过点Cll垂直X轴于点/）.求线段CD的长及顶点P的坐标： 2）求搬物找的函数表达式：设拈物线交X轴干A8两点,在抛物纹卜.是否存在点。,使得S-用OPMN=&%08l1.eW。用V成立？若存在，请求出Q点的坐标：若不存在.请说明理由.；2Y抛物线的顶点为产(2,-I),.设拊物战的函数表达式为.

19、v=Cr-22-I.：附物纹过N0.3).：.3=a0-2)2-1,解得0=,二附物线的函数表达式为F=(x-2)2-1.即)=*7x+3:(3)在y=x2-4t+3中.令F=O可得()=x2-4x+3.解得x=1或x=3.(I,0).R(3,0),4ff=3-1=2,DN=3.OM-4.PD=I.:Sw.。PMN-S(3SOWV-OMPD4-1ov-1X4X1-143-8=8S4a.S.,0O=1.设Q.纵坐ly.M2y-l.解仃v1,v-I.当=1时.则AQAH为钝角：.角形,而。用V为直角；.角形，不令Sfi急.舍去.当y=-I时,可知尸点即为所求的Q点，为A8的中点.：.AD=BD=Q

20、D.QB为等腰直为：.角形，；ON=08=3,.08N为2专腋11珀三角形，：.4QABSACBN,琮上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(2.-I).7 .如图，已如二次脸数的图象顶点在原点，且点(2,1)在二次函数的图象上，过点F(0,D作X轴的平行戏交二次函数的图象于M、N两点.求二次函数的去达式；(2P为平面内一点，当/MN是等边三角形时，求点P的坐标：在二次函数的图象上是否存在一点E,使对以点E为圆心的阴过点F和点N,旦与直线y=-1相切.若存在,求出点后的坐标.并求的半径：若不存在,说明理由.解：(I)Y：次函数的图象顶点在晚点，卷改：次函数&达式为：、=“将(2.I)代入上式并解触

21、=4.故二次的数达式为：V=W:4f(O.1-23:=l时，求这个二次函数的对称轴的方程：若C=-Ib2-2,阿：b为何砥时,二次函数的图能与X轴相切？4若二次函数的图象与、轴交于点A(x.0),Bixi.0),Jlx10,与了轴的正华轴交于点M,以AH为点径的半回恰好过点M,二次函数的对称轴/与X轴、宣线8、直线AM分别交于点D、E、F.且湎足坐=5，求二次因数的表达式.EF3V二；*r-+/”+=.c=-b2-2b：.b为母,二次函数的图象1轴相切.Y8是半同)的H径.AW8=90,.,.ZOMZO.W=90e,VZAOM=ZMOB=s)i.ZOAM+ZOMA-90ff.：.N。MA-/(

22、)BM.0八MSAOA.OMOAOBOM.9.OM2=O()B.二次函数的图敦与X轴交于点AX1.O),B(X2.0O=-.ri.OB=zXiii+x2=bxx2-+l).VOM=c+1.：.c+l)2=c*l.解得：C=O或C=-I.c=0,OAf=1.微的小：二轴/1；C、门城门F.=-lEF3：.AD=BD.DF=4DE.DFOM,BDEsABOM.MOMSADF、DEBDOM_ClDOMOBDFADnP_BDnr_ADl)f-r)F=TOBOAADBD、/4OAOBOB-4OA.UP.=-4x.V12=*(=-I12=11XI=T2=2.：次函数的表达式为y=j,解得:x2=4x19.

23、已知他物线y=F+fer+c过点A0.2）.若该他物线上任意不同两点M（XI.Yi,N5,M都满足:当X122）0:当OVXlVX：时.（XI-.V2）（N-皆0.以原点”为用心.CM为半径的WI与拊物践的另两个交点为B,C.旦八BC有个内角为60.求抛物线的解析式:若点与点O关于点A对称,且N三点共线.求证：以平分NA卅M解：当XlV20时Xl-X2O.V7)0.y-.V2Klx的增大而增大.当OVXV”2时，MmV0，V(i-X2)(y-y2)O，当0时，lx的墙大而诚小.，拊物战关于),轴时称，Jb=O,：拊物设y=r2+b+c过点A(0.2).：.c=2.如图,连接“从OC.设8(：交

24、y轴于点D由对称性可知,ZXA8C为等腰三常形,又.1A8C有一个内角为60,.ABC是等边三角形.OD-O=1,CDM()l)V3：.B(-3.-1).C(3.-1).将C点坐标代入y=f+2可求得=1.，.附物纹的解析式为产-*+2设宜城OM的解析式为y=xVO,M.N三点共战.-x12+2-x22+211. xlx22(Xj-X2-1化为Xl-XJ-xlx2VxX2.n?=-2.2工.,.N(2+2).x2设点N关于y轴的对称点为N,24则N的林为(/-2+2)XlX1；点P是点O关于点的对称点,：.OP-2O=4,即点P的坐标为0.4).设宜线PM的耨析式为y=to+4.；点M的坐标为

25、(X,-x12+2),-x12+2=k2x+4122k2=-7T,i2+2(tPM的解析式为y=x+4*JT+2Hx12.P平分/.MPM10.如图，在平面H角坐标系Xoy中，。为坐标原点，点A(4.0),点8(0,4),Zi48O的中线AC与.轴交于点c，且。M钱过口&C三点.求明心M的坐标：若宜线ADfcjQAf川切于点A,交轴干点D.求直线AD的函数表达式：3)在(2)的条件下,在过点8且以网心M为顶点的拊物线上有一动点P,过点作/)轴交直线AO于点E若以PK为半径的。与出线相交于另一点F.当EF=逆时，求点尸的坐标.耨：(1)点8(0.4).则点。(0.2).；点A(4.0),则点M(

26、2.Ds应该是期M与百线八。相切.期NCAO=90设：ZCAO=a,则NCAO=NOCA=NPE=,3nCA0=an,则Sina=-,CoSa=OA254C=20.MlCD=-=10,Slna则点D(0.-8).将点人。的坐标代入次用数表达式：.v=w+并解汨:宜找4。的发达式为：y=2r-8:知物线的龙达式为：=y(2.I).11 .如图，拊物线严加心“(”为常数，”0)x轴交于。，八两点，点8为她物线的顶点，点。的坐标为r,O)-30),连接8。并延长与过八.8三点的0相交于点C.1求点A的坐标：2过点C作OP的切战CE交X轴于点E.如图I,求证：CE=DE;解：(I)令0r+6u=0.a

27、x(.r+6)=0.,A(-6.0)；(2证明：如图，连接PC.连接8.廷匕交X轴于点M过0、A、B三点，8为顶点，.,.PMlOA,P8O8)M=90,乂PC=PB.：.ZPCB=ZPBC.；C为切线.ZPC+ZECD=90o,又YNBDM=iCDE,：.NECD=WCDE,：.CE-DE.耨：设()E=m,点”的坐标为C.0).：ZCAE=ZCBO,NCAE=NOBE.；/CBC=ZEBO,山角平分线北匕例F可得；黑镖BEOE即:kltt2+21.sl.V（3m）2+27m.,1.t+6m6tJ_1.=J_.ODOEtmt+616t-1=1612 .拈物线产-0x-I与X轴交于点A.8（点

28、A在点8的左侧），与y轴交于点C其顶点为将拊物戌位于直线/：y=tr）上方的部分沿直i向下翻折，抛物代剩余部分与翻折后所得图形组成一个“AT形的新图象.”点8,。的坐标分别为（3,0）,（4,当）；4-24如图，枪物线网折后，点。落在点E处，当点E在八8C内（含边界）时，求，的取值范困：如图，当T=O时，点Q是M形新图象上一动点.直接写出A形图煞AH段的函数关系式：,B（3,O）.AO）.令K=0,则y=-l,C（0.-I）.Vy=-+Zx-=-2.-Z-+2,333424二顶点：/）（-）0）.（J424（2）YE与关于直线）=，对称.：.（.2孕）.424设内线RC的解析式为v=fcr+.

29、招B（3.0）.C3或ZnV3时，Q(.mE-1)VCP为直向三角形，.,.C2=CP2+PO2,RPm2+（42）7、11.-f-nt）-=广+1FM-D钠%“=/厘或”9厘，OO：.p(-S-.0或尸或尸0-13.已知抛物线y=r2+Zx+c过点A(0.2).若点(-&.0)也在该地物线匕求4.8满足的关系式:若该他物找上任意不同两点Af(x,y.N(.1都满足：当XlVX2-.w)0；当OVXlVm时，(X1.q)y-y2)0,以原点。为心，O八为半径的1与他物处的另两个交点为8.C.且4A8C有一个内角为60.求他物线的解析式:若点P与点。关于点人对称，且。，M.N三点共线，求证：以平

30、分NMPM耨：(1)；抛物线y=0+hv+r过点A(0.2).c=2.zv,f2+Z(-2)+e=0.：.2a-2n2=O(Q).(2)；当XlV20.j11-X2O.y-J2O：.当0时，ylx的增大而减小，跄物线的对称轴为,轴开口向下.h=().-OA为半径的IaI与抛物线的另两个交点为8、C.八8C为等腰三角形，乂；CABC有个内角为4)：.48C为等边：角形.设线段8C与)轴交于点。，则8)=CZ且NOe=3().又：。B=OC=OA=1.CD=Xcos30t=3OD=OCsin30t=1.不妨设点C在V轴彳i侧,则点C的生标为.：点C在抛物线上，且.I1.2(x1-2)x*X2=xl

31、x22，.V1X2=。2,即2=.xl24点N的坐标为(-三-,一-2).Xi,设点NxHr轴的对称点为点N.则力:1的坐标为（-.-2）.：点。足点。关于点A的对称点.：.OP=2OA=4.二点。的坐标为（0.4）.设且跷PM的解析式为y=Qx+4,；点力/的坐标为（.“-12+2.,.-X12+2fcr+4.x+2：.k2=,xIl2+2二在线PM的解析式为V=-i1I.Xx12+22-2(x12+2)+4x124：h4Ar-xlxlXJX.点M在直线PM上,.平分NMPMVj14.如图，己知:次函数.=l+恒+3(0)的图象经过点A(3,0),8(4,I)，且与.轴交于点C,连接A从AC,BC.求此二次函数的关系式；判断/M8C的形状：若八8C的外接19记为OM，清它接写出圆心.”的坐标；若将他物线沿射线8A方向平移.平移后点A、B、C的对应点分别记为点4、加、C.AC的外接圆记为0M,是否存在某个位火，使0.M经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式：若不存在，请说明理由.AA8C是H角三角形,过