专题01数与式、方程与不等式的性质及运算（讲练）（解析版）.docx

《专题01数与式、方程与不等式的性质及运算（讲练）（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题01数与式、方程与不等式的性质及运算（讲练）（解析版）.docx（67页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。

1、专题Ol数与式.方程与不等式的性质及运算目录一、考情分析二、知识建构考点一数与式的相关运算题型01实数的混合运算题型02整式的混合运算及化简求值题型03因式分解的运算及应用题型04分式的混合运算及化简求值题型05科学记数法题型06二次根式的混合运算及应用题型07比较大小【核心提炼查漏补缺】【好题必刷强化落实】考点二方程与不等式的相关运算【真题研析规律探寻】题型01解一元一次方程题型02解二元一次方程组及其应用题型03解分式方程题型04根据分式方程解的情况求值题型05解一元一次不等式题型06解一元一次不等式组题型07解一元二次方程题型08根据判别式判断一元二次方程根的情况题型09根据一元二次根的

2、情况求参数题型10一元二次方程根与系数的关系【核心提炼查漏补缺】【好题必刷强化落实】000考点要求命题预测数与式的相关运算中考中，数与式的相关运算主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算;而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察又占了大多数，同时试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现;但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分.方程与不等式的相关运算.

3、方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有：由实际问题抽象出一次方程（组）或分式方程，解方程（包含一次方程、二次方程、分式方程），一元二次方程的定义、解法及跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等.不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等式（组）及不等式（组）的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程（组）和不等式（组）的相关概念、性质、解法及应用.数轴相反数实数实数的相关概念绝对值倒数平方根、立方根实

4、数的非负性及性质实数的运算及运算顺序加减运算整式的运算乘除运算福的运算与式、方程与不等式的性质及运算数与式乘法公式因式分解方法分式的加减法运算分式的运算二次根式的运算方程与不等式分式的乘除法运算分式的乘方分式的混合运算乘法法则除法法则加减法法则分母有理化元一次方程步骤二元一次方程（组）分式方程步骤解法一元二次方程解法根的判别式根与系数的关系一元一次不等式（组）步骤题型01实数的混合运算题型02整式的混合运算及化简求值题型03因式分解的运算及应用题型04分式的混合运算及化简求值题型05科学记数法题型06二次根式的混合运算及应用题型07比较大小题型01解一元一次方程题型02解二元一次方程组及其应用

5、题型03解分式方程题型04根据分式方程解的情况求值题型05解一元一次不等式题型06解一元一次不等式组题型07解一元二次方程题型08根据判别式判断一元二次方程根的情况题型09根据一元二次根的情况求参数题型10一元二次方程根与系数的关系考点一数与式的相关运算真题研析规律探寻题型Ol实数的混合运算三w三1）常见实数的运算：运算法则特殊计算乘方(-a)n=ann为偶数(-a)n,arn为奇数(-1)n=ln为偶数(-1)n=-ln为奇数零次寻a0=l(a0)负整数的指数耗an=4(a0,n为正整数)na1=-(a0)a去括号-(a-b)=-a+b或b-a+(a-b)=a-b去绝对值符号|a-b|=a-

6、b,aba-b=O,a=b|a-b|=b-a,a1).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3,其面积分别为Si.S2.(1)请用含。的式子分别表示S1,S2;当=2时，求S+S2的值；(2)比较SI与S2的大小，并说明理由.【答案】(I)Sl=Q2+3q+2,S2=5+1,当=2时，S1+S2=23(2)S1S2,理由见解析【分析】(1)根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到Si,S2,51+S2,将。=2代入用=。2表示a+52的等式中求值即可；(2)利用(1)的结果，使用作差比较法比较即可.【详解】(1)解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S甲=q2,S乙=

7、,Siaj-=1,S1=S甲+3S乙+2S丙=2+3+2,S2=5S乙+5两=5q+1,*Si+S2=(a2+3c+2)+(5+1)=a?+8+3，当=2时，S1+S2=22+82+3=23；(2)SlS2,理由如下：V51=q2+3+2,S2=5+1，5S2=(o2+3q+2)(5+1)=t22+1=(1)2Va1,/.S1-S2=(-l)20,：SlS2.【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键.题型03因式分解的运算及应用概念把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形.基本方法提公因式法ma+

8、mb+mc=m(a+b+c)公式法运用平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).运用完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2进阶方法十字相乘法9a+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)【口诀】首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中.【特殊】因式分解：ax2+bx+c若a+b+c=0,则必有因式XT若a-b+c=0,则必有因式x+1分组分解法ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)换元法如果多项式中某部分代数式重复出现，那么可将这部分代数式用另一个字母代替.例：因式分解(2+5x+2)(2+5x+3)T2,设x2+5x+2=t则原式:1：(1+1)-12

9、=(53)仕+4)=(x+2)(x+3)(x2+5-l)一般步骤1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；3)检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.以上步骤可以概括为“一提、二套、三检查”.1 .因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;2 .因式分解必须是恒等变形,且必须分解到每个因式都不能分解为止.3 .因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化

10、为和差的形式.1. (2023河北统考中考真题)若&为任意整数，则(2k+3)2-4小的值总能()A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除【答案】B【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式.【详解】解：(2fc+3)2-4k2=(2c+3+2k)(2k+3-2k)=3(4c3),3(4k+3)能被3整除，工(2k+3)241的值总能被3整除，故选：B.【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为。2-82=9-6)(。+5)通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式.2. (2023山东统考中考真题)已知实数m满足7112-7n-

11、I=0,Wj2m3-3n2-m+9=.【答案】8【分析】由题意易得根2一巾=1,然后整体代入求值即可.【详解】解：r112-m一=o,m2m=1,：.2m3-3m2-m+9=2m(n2-m)-m2-m+9=2nm2-m+9=n-n2+9=-(m2m)+9=-1+9=8；故答案为8.【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值.3. (2021广东统考中考真题)若%+,=且OVHV1,则/一妥=.【答案】【分析】根据X+2=：，利用完全平方公式可得。一*)2=,根据大的取值范围可得无一2的值，利用平XoX36X方差公式即可得答案.【详解】Vx+-=X6(x-

12、y=Q+42_4Xq=备V0x1,Ax-X.15,X=，X62-=5+(*一=X(_=一暴故答案为：T【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键.4. (2023江苏苏州统考中考真题)已知一次函数y=依+b的图象经过点(1,3)和(一1,2),则1一b2=.【答案】-6【分析】把点(1,3)和(-1,2)代入y=k%+b,可得jj二2,再整体代入求值即可.【详解】解：一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(一1,2),.(k+b=3口rlfk+b=3*Lc+j=2,(2022内蒙古.中考真题)先化简，再求值：(一3-1)+三竽，其中 = 3.U-b=-2,*c2

13、炉=(k+b)(kb)=3X(2)6；故答案为：一6【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键.5. (2022四川内江统考中考真题)分解因式：a4-3a2-4=.【答案】(/+1)(+2)(-2)【分析】首先利用十字相乘法分解为(M+1)(4-4),然后利用平方差公式进步因式分解即可.【详解】解：dt-3a2-4=(a2+l)(a2-4)=(a1【答案】兰，-5+l)(+2)(47-2),故答案为：(fl2l)(+2)(-2).【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提

14、二套三检查.6. (2021四川内江统考中考真题)若实数X满足/一%一1=0,则/一2/+2021=_.【答案】2020【分析】由等式性质可得=+l,x2-=l,再整体代入计算可求解.【详解】解：*-x-l=0,%2=%+1,%2%=1,x3-2x2+2021=x(x1)-2x2+2021=X2+x-2x2+2021=x-x2+2021=-1+2021=2020.故答案为：2020.【点睹】本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为=x+l,M-X=I是解题的关键.题型04分式的混合运算及化简求值分式运算说明分式的加减法1)同分母：分母不变，分子相加减，即：-=.CCC2)异分母：先通分，化为同

15、分母的分式，再加减.即：W5=警.bdnd分式的乘除法D乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即：三：=鲁bdbd2)除法：把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘.即：T=:二普babebc分式的乘方把分子、分母分别乘方，即：(T=5分式的混合运算运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式.【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案.【详解】解：原式=三-例当二271.x-Ix-1J(X-Z)23-(xl)(x-1)X-I=x-1(x-2)24X2x1x1(%2)2(2+x)

16、(2-x)X-I=x-1(2-X)22x=2-x当=3时，原式=一5,故答案是：一5.【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键.2. (2023江西统考中考真题)化简(喜+喜),亍.下面是甲、乙两同学的部分运算过程：甲同学解.原式=,松嚏+称+1).日二野.厅八L(x+I)(x-1)(x+)(x-)JX解：原式=*r二二+ax+1Xx-1X言育.“0乙同学(1)甲同学解法的依据是,乙同学解法的依据是；(填序号)等式的基本性质；分式的基本性质；乘法分配律；乘法交换律.(2)请选择一种解

17、法，写出完整的解答过程.【答案】(1)，(2)见解析【分析】(1)根据所给的解题过程即可得到答案；(2)甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可.【详解】(1)解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：，：(2)解：甲同学的解法：后T_X(X-I),r(x+1)1X2-I以式=L(x+l)(x-l)+Ct+l)(x-l)J,X2-X+x2+X(x+l)(x-1)-(x+l)(x-1)

18、X_2x2(x+l)(x-1)(x+l)(x1)X=2x；乙同学的解法:*2T+X/-XX-IXX(x+I)(X1)X(xI)(X-1)+%+1Xx1X=x-l+x+l=2x.【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.(2023甘肃武威统考中考真题)化简:+2匕-b.02一匕2a+ba-2ba2-4ab+4b2【答案】冬【分析】先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解.【详解】解：原式=嘤-W7普a+ba-2b(+b)(-b)a+2ba2ba+ba+b_4ba+b【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解.4.(2023

19、内蒙古通辽统考中考真题)以下是某同学化简分式一(a-若Q)的部分运算过程fyjgTXQ-bQb.2Q匕一匕？解：原式=a+aaa第一步a-b1a-baF一.j=Chu2第一步aaa2ab-b,a-ba-b蛇一小=谟=ZN第二步(1)上面的运算过程中第步开始出现了错误;(2)请你写出完整的解答过程.【答案】(1)一(2)见解析【分析】(1)根据解答过程逐步分析即可解答；(2)根据分式混合运算法则进行计算即可.【详解】解：aaab (2023山东日照统考中考真题)芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管.目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶

20、体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为()A. 1.4x10-8b. 14x10-7c. 0.14 106 D. 1.4 IO-92abb2QkQaJa-ba22ab+b2)故第一步错误.故答案为：一.(2)解：等(若打)q-bIa22ab-b2aa)aba2-2ab+b2=：aaab(ab)2=：aaa-baXa(ab)2=JL.a-b【点睛】本题主要考套了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键.题型05科学记数法相关概念概念补充与拓展科学记数法科学记数法的表示形式为aXlOn的形式，其中IWa10,n为整数.用科学记数法

21、表示数时，确定a,n的值是关键当原数绝对值大于10时，写成aX10r的形式，其中IWlalV10,n等于原数的整数位数减1当原数绝对值小于1时，写成aXl(的形式，其中laV10,n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数(包括小数点前面的零).48小技巧：1万=10,1亿=1万*1万=10【答案】A【分析】科学计数法的记数形式为：10n,其中la10,当数值绝对值大于1时n是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，n是小数点向左移动的位数的相反数.【详解】解：0.000000014=1.4XlO-8,故选A.【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键.2. （2

22、022.广西贵港中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平己突破到28nm.已知Inm=IOTm,则28nm用科学记数法表示是（）A.28109mB.2.8109mC.2.8108mD.2.810lom【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为xln,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的O的个数所决定.【详解】解：Tlnm=IOfm,28nm=2.810-8m.故选：C.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为办10,其中1m10时，是正数；当原

23、数的绝对值Vl时，是负数.【详解】解：因为1亿=103所以Ilooo亿用科学记数法表示为LIXlo408=lxK）i2.故选：B.【点睛】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数.解题的关键是关犍知道1亿=108,要正确确定。的值以及的值.4. （2023河北统考中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46xl（）i2km.下列正确的是（）A. 9.46IO12-10=9.46IO11B.9.46IO12-0.46=9IO12C.9.46XIO1?是一个12位数D.9.46X1012是一个匕位数【答案】D【分析】根据科学记数法、同底数塞乘法和除法逐项分

24、析即可解答.【详解】解：A.9.46IO1210=9.46IOn,故该选项错误，不符合题意；B. 9.46IO12-0.469IO12,故该选项错误，不符合题意；C. 9.46x1012是一个13位数，故该选项错误，不符合题意；D. 9.46XIO1?是一个13位数,正确，符合题意.故选D.【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数累乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键.题型06二次根式的混合运算及应用1.在使用同=b(a0,bQ)时一定要注意Q0,b0的条件限制.2在使唠=/(心b0)时一定要注意a0,b。的条件限制.3 .合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被

25、开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变.4 .二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并.5二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式.6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式.1. (2023广东广州统考中考真题)已知关于X的方程(2k-2)%+/-1=0有两个实数根，则y(k-1)2一()2的化简结果是()A.-1B.1C.-I-2kD.2k3【答案】A【分析】首先根据关于X的方程/一(2k-2)xJc2-1=0有两个实数根,得判别式=-(2k-2)2-4

26、X1(k2-1)0,由此可得kl,据此可对(k-)2-(I)2进行化简.【详解】解：Y关于X的方程/-(2k-2)%+l-i=o有两个实数根，判别式=-(.2k-2)2-4l(k2-l)0,整理得：-8c+80,：.k1,：.k-10,2-k0,(k-l)2-(2)2=Tk-1)-(2-fc)=-1.故选：A.【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键.2. (2021.广.东统考中考真题)设6-IU的整数部分为小小数部分为4则(2+IU)b的值是()A.6B.210C.12D.910【答案】A【分析】首先根

27、据IS的整数部分可确定的值，进而确定力的值，然后将。与b的值代入计算即可得到所求代数式的值.【详解】V3104,：.26-10(2a+10)6=(22+l)(4-T)=(4+l)(4一l)=16-10=6.故选：A.【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6-历的整数部分。与小数部分b的值是解题关键.3. (2023内蒙古统考中考真题)实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：(m-2)2=.【答案】2m-m+2【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解.【详解】由数轴位置可知1VmV2,y(m2)2=m-2=2-m.【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质必=是关键.4

28、. (2023四川统考中考真题)先化简，再求值：(竽3+T)m,其中=8+1，y=3.-yyz-xzxzy-xyz【答案】朱萼【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解.【详解】解：(等+$7)JJyyJ/Vyry_3x+y-2xxy(xy)x2y2X2%+yxy(xy)-X(+y)(-y)2=:，当=75+l,y=5时，原式=更普=等.【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解.题型07比较大小实数比较大小的6种基础方法：1）数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总

29、比左边的点表示的数大.2）类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.3）作差比较法：若a,b是任意两个实数，则a-b06ab;a-b=0Ua=b;a-bOOab0ab对任意负实数a,b,若a2b2galb,abO,则a13ab,冢10ab3）任意负实数a,b,labI）D1. （2023浙江台州统考中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（）.A.7B.22C.13D.17【答案】C【分析】根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键【详解】解：V3=9,4=16,而2=,913”，V”或“=）.【答案】【分析】根据实数大小

30、比较解答即可.【详解】解一.俘)2/()2=M.2323故答案为：.【点睛】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答.3. (2022四川南充中考真题)比较大小：2一23.(选填,二,O【答案】V【分析】先计算2-2=；,3。=1,然后比较大小即可.【详解】解：2-2=：,30=l,4V-1,4.223,故答案为：b0,M=EN=11,试比较M与N的大小.bb+3小华：整式的大小比较可采用“作差法老师：比较/+1与力-1的大小.小华：V(2+1)-(2-1)=X2+1-2x+1=(x-I)2+10,*+12x1.老师：分式的大小比较能用作差法吗？请用“作差法”完成老师提出的问题.(2

31、)比较大小：-(填“”=”或“N(2)b0,MN；(2)解:232214951496686544204420故答案为：.【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法.核心提炼查漏补缺一、实数1、实数的相关概念相关概念概念补充与拓展数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴上的点与实数具有一一对应的关系.将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为X,y,若C是A、B两点的中点，C所表示的数为c,则有：2c=x+y.数轴两点距离二数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数(简称大数-小数).相反数只有符号不同的两个数称为互为相反数.若a、b互为相反数，则a+b=O(反之亦成立).互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0.(a+b)的相反数是-(a+b),(a-b)的相反数是-(a-b)或b-a.多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶