19相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（教师版）.docx

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1、专题19相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8OO字模型.A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型字模型【模型解读与图示】AZBCBA图1D字模型条件：如图1,2）反字模型条件：如图23）同向双“4”字模型条件：如图3,EF/BC-,结论：4上iCBDC图2图3DE/

2、BC；结论：AOEs2XA8CACDC，ZAE.DZB；结论：AOESacb=八二一人之一“：.ACbZCEGFGAGAEFABC,AEGABD,AGF圆EBFAFCFAFBFCFm*tDE AE 10=一BC AC 3解：由(1)得I司I,CGDE,国CE=CD=6.AE=3,AC=AE+CE=9.I3DE/BC,国.ADEABC.(3)解：如图，延长GE交AB于点M,连接历W,作MN_LBC,垂足为/.在|司HLBO=DO.ZABC=ZADC=45o.EGBD,田由(1)得ME=GE,FAf = FG = IO飞NEFM=/EFG.回N石G/=40。，QINfMr=40。，0ZEFG=5O

3、o.团尸G平分NE尸C,国NEFG=NCFG=50。,田NBFM=I80。-NEFMNEFGNCFG=30。.0.在.RFMN中,MN=FMsin30=5,FN=FMcos30o=53.用NMBN=45。,MN工BN,中BN=MN=5,BF=BN+FN=5+56.【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键.例5.（2023安庆一模）如图，在AABC中，点。、E、产分别在边8C、AB.CA,KDECA,DF/AB.（1）若点。是边BC的中点，且BE=CF,求证：D

4、E=DR（2）若LBC于O,且BD=CD,求证：四边形Aa尸是菱形；（3）若AE=Ar=1,求工+-L的值.ABAC【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是AABC的中位线，进而可得。E=尸G同理可得。尸=BE即可解答；（2）根据已知易证四边形AEQ尸是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得NB4O=NCAO,然后利用平行线的性质可得ED4=NCAO,从而可得N84O=NED4,进而可得EA=EQ,即可解答；（3）根据A字模型相似三角形可知aBEOSZXBAGCDCBA,从而可得迈AC=竺_,DF=CDt然后把两个式子相加进行计算，即可解答.BCABBC【解答】（1

5、）证明：Y点。是边BC的中点，DE/CAt点E是A8的中点，,OE是aABC的中位线，：.DE=AC,2Y点。是边BC的中点，广AB,点产是AC的中点，/.FC=-AC,：.DE=FC同理可得：DF=BE,YBE=FC,工DE=DR2（2）证明：.DECA,DF/AB,工四边形AEZ）尸是平行四边形，*：ADLBC,Bo=CO,JAo是BC的垂直平分线，：.AB=AC,JNBA。=/。!。，tDEAC,：.ZEDA=ZCAD,BAD=NEDA,：.EA=ED,上四边形AED尸是菱形；(3),JDECA.J-ZEDB=ZC,VZfi=ZB,:.abedsabac,.典=世，,dfab,：/b=/

6、fdc,ACBCVZC=ZC,：ACDFsACBA,.迈=型,.迈十亚=世+型=BDyD=匕ABBCACABBCBCBC四边形AEQ厂是平行四边形，：.DE=AFiDF=AE,VAE=AF=LADE=DF=L,-L+-L=l,，-L+-L的值为1.ABACABAC【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键.模型2.X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似

7、.图4条件：如图1, AB/CD；结论:AOBcri11X-XK./-/X-X2）反“8”字模型条件：如图2.,NA=NZ）:结论tAoBSDOC万万=石.3）平行双“8”字模型Kta-AAEBEAB条件：如图3,AB/CD；结论：=DFCFCD4）斜双“bJJ【点睛】本题主要考杳正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.例2.（2023黑龙江哈尔滨九年级阶段练习）如图，AB/CD,AE/FD,AE,产力分别交8C于点G,H,则下列结论中错误的是（）AF HGC.=CE CGFH BFAGFA【详解】解：0AB,CD3誓=震FH BH（3A

8、选项正确，不符合题目要求;DHCHGECG=B.=FHBHDFCB【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可.GECGEGDHAE7DF,00CGE=0C7f,(3CEG=(30,00CEG00CD,0=,0=DHCHCGCHMBCD，磷窄，回器=先，回嗡=筹，团噂=等，阳选项正确，不符合题目要求;CoDt4CnCdCGCtiDrCnAB7CD,AEDF,团四边形4EQ户是平行四边形，0F=DE,斯加普=翁团告=警此选项正确，不符合题目要求;0E7DF,幽87三38AG,0=AGABFHBF0BM,EIF7k1三D选项不正确，符合题目要求.故选D.AGF

9、A【点睹】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键.例3.(2021上海中考真题)如图，在梯形ABCD中，A08C,NABC=90。,AO=CRO是对角线4C的中点，联结B。并延长交边CQ或边与于R)(1)当点E在边CD上时，求证：DACs；OBC；若BE_LCZ),求的值;BC(2)若DE=2,OE=3,求CT)的长.【答案】见解析；：；(2)1+M或3+加【分析】(1)根据己知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导,zdac=zdca=zobc=ocb,由此可得二Z)ACSobc：若5E_LCD,那么在RLB

10、CE中，由N2=N3=N4可得N2=N3=N4=30。，作。”_LBC于，.设)AD=CD=Im,那么B=AD=2%根据30所对宜角边是斜边的一半可知C”=相，由此可得G厂的值BC(2)当点E在同上时，可得四边形ABCE是矩形，设40=8=X,在Rt.ACE和RtVQCE中，根据CE2=CE2,列方程62-(x-2)2=f-2?求解即可.当点E在CD上时，设Ao=8=x,由DACSoBC,得要=某，所以E=嗡，所以段=三OCBCtnBCBC2m由a0Cs&EC8得第=会=嗡，所以告=W=嗡，解出X的值即可.ECEBCBx-Lw+3CB【详解】(1)由AD=CZ),得N1=N2.由AD/BC,得

11、NI=N3.因为B。是RtAuABC斜边上的中线，所以O8=OC所以N3=N4.所以N1 = N2 = Z3 = N4.所以GaACS,08C.若 BECD,那么在 Rt.,8CE 中，由 N2 = N3 = N4.可得 N2 =/3 =/4 = 30。.作 OHJ.8C于”.设 A力=CO = 2m,那么 8 = 4O = 2m.在 RtAJXH 中，ZDCH =60, DC = 2rn f 所以 C = ?.An Jfrj 9所以 BC = BH+ CH = 3m.所以 % = = = ：.BC 3m 3(2)如图5,当点E在与上时，由A8C。是AC的中点，可得OB = OE, 所以四边形

12、ABCE是平行四边形.又因为NABC = 90。，所以四边形ABCE是矩形，设AO = CD = X,已知DE = 2,所以AE=JV- 2.已知O石=3,所以AC = 6.在 Rt ACE 和 RtVDCE 中，WCE2=CE2.歹IJ方程 6?-(x-2)? =f -2?.解得x = l + l?,或X = I-M (舍去负值).如图6,设Ao = Cf) = X,已知OE = 2,所以C = %2.当点E在CD上时,设 OB = OC = m,已知 QE = 3,那么 EB =m+ 3.方面，由,。ACjQBC，得票=写，所以土=桨，所以郡=:OCBCmBCBC2m另一方面，由N2=N4

13、,NBEC是公共角,得AEOCS乙ECB.EOECOCrcrl3X-2OC所以诙F=通所以口=Q=百等量代换，得SrE=器由白啮，得好彳Y2-7r3X2将二f代入二TQ,整理,得人61。解得x=3+Ji5,或x=3-J宙（舍去负值）.【点睹】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键.例4.（2022贵州铜仁中考真题）如图，在四边形48C。中，对角线AC与耳相交于点O,记ACOZ）的面-S1OCOD积为s,=AQB的面积为邑.（1）问题解决：如图，若ABCD,求证：U=CRD2UAUtS（2）探索推广：如图，若A8与。不平行，（1

14、）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（3）拓展应用：如图，在04上取一点E使OE=OC,过点、E作EFCD交OD于点、F,点、H为AB的中点,OH交EF于点G,且OG=2G,若经=:，求要值.OA6%【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）【分析】（1）如图所示，过点。作AfSAC于E,过点B作4C于尸，求出DE=ODsin/DOE,BF=OBSm/BOF,然后根据三角形面积公式求解即可;（2）同（1）求解即可；（3）如图所示,过点A作AM/EF交OB于M,取8M中点N,连接HN,先证明EIo7词0CZ得到OD=OF,OPOE5证明团OEF三1O

15、4M,Wl-设OE=OC=5m,OF=OD=5n,则OA=6?，OM=6n,证明OMOA6OGFmHN,推出ON=3F=包，BN=MN=ON-OM=-t则OB=QN+BN=9，由（2）结论222求解即可.【详解】解：（1）如图所示，过点。作AESAC于,过点8作用4C于凡DE=ODsinZDOE,BF=OBsmNBOF,Socd=51=OCDE=OCODsinZDOE,Sob=S2=OA-BF=OAOBDC=0OFE,0CDWEF,又用OE=OC,0Em0CD(AAS),QOAOF,BEF/AM,030Era30AM,E=-,OMOA6设QE=OC=56，OF=OD=5n,则04=6OM=6n

16、t回”是A8的中点，N是BM的中点，ISHN是的中位线,rrrJ,HN/AM/EF,OGFmHN,0=OHON2F2同OG=2GH,回OG=-OH,0=二一，3OHON3ON=-OF=-tBN=MN=ON-OM=,QoB=ON+BN=9n,222 (2)可知S1_OCOD_5m5n25sO)B67m954,【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键.模型3.“4Jr字模型（“A8”模型）【模型解读与图示】1）一“A”一“8”模型AZ）AEDEDFFE条件：如图1,DE/BC；结论：ADEBC,DEFACBFD

17、AB,/.I-=,ABDBI=IflB OF _ AO OE _ CO EO _ Bo cd =ac, AB =ca cd bbFQ OF OE EO = DO AO CO BOAB 4CD 4AB 4CD DB 4AC+CAkD.FoHJEEO11JF二AClKOBO+DO即变EF屈一CD=ACBD，AB+CD2(3)解：作。尸。8交。C于点凡连接TOC平分NAO8,ZAOC=ABOC,JDF/OB,ZDFO=ZBOC=ZAOC,ZXOO尸是等腰三角形，：.DO=DF=S,DFOE,:ADMFSAEMO,.EMEOEO63.公-3.也=DM=_DM_=I.而而而后NWDiDE-DJME一训总

18、DM7*：MN/OE,MNSZDOE,，蛔=IPI=A,MN：.MN=生.OEDE7677【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,对比例式进行恒等变形是解题的关键.课后专项训练1.（2021山东淄博中考真题）如图，AB,8相交于点石，且47瓦7）8,点。,8在同一条直线上.已知AC=P,E产=二08=q,则P应/之间满足的数量关系式是（D.1+1=【答案】CEF CF QUreEF EF=，然后IJ得十BD BCC BD1,FFRF【分析】由题意易得48ErSz8AC,.CE尸SJa）3,则有丹=ACBC进而问题可求解.【详解】解：中ACHE

19、FDB,EFBAC,CEFsCDB,CEFBFEFCFrEFEFBFCF.ACBCBDBCACBDBCBCrr111AC=P,EF=ryDB=q,0-+-=1,即一+二一：故选C.PqPqr【点睛】本题主要考杳相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.2. （2023秋山西阳泉九年级统考期末）如图，在四边形ABCQ中，AB=ACf对角线AC与BO相交于点E,DE=3BE,AClAD,NACB=75。，4E=33,则对角线AC与瓦)的长分别是(A. AC = 43, BD = 123 B. AC = QBD=419C.AC=6,D=83D.AC=8,BD=419【答案】

20、D【分析】过点B作80 AD交AC于点O,证明ClAEZ)o8,可求得0E=J,40=46,根据勾股定理求出BO的长，进而可求出AC的长，再根据勾股定理求出班的长，进而求出8。的长.【详解】过点8作80AD交AC于点0,如图所示：AEACAD,BO/AD,DAC=BOA=90o.ZAED=ZOEB,PAEDOEB,叁=M=毁.DEAEDADE=3BE,82二毁J0E=33,OOE=BBAO=43.AEDA3AB=AC,ZAe3=75。，回ZABC=ZACB=75。，0Z4C=3Oo,AB=IBO.在RtZA08中，BO2+AO2=AB即卜6丫+8。？=(2Bf,解得：BO=4,0AB=AC=8

21、.B6E=3,Bo=4RBE=/BO2+0E?=M，0DE=3BE=39,BD=BE+DE=4.故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE的长度.3. （2023福建福州校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝.在骨架设计中，两条侧翼的长度设计AB=AC=50cm,风筝顶角/朋C的度数为110。，在AB,AC上取）,E两处,使得AD=AE,并作一条骨架AFIz）E.在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B,C两点间的距离大约是（）（参考数据：s

22、in55o0.82,cos55o0.57,tan55o1.43）【答案】C【分析】设质与。上交于点G,连接耳,：交AF于点“，根据已知易证44）EsZaBC,然后利用相似三角形的性质可得NADE=NABC，从而可得OEBC,进而可得5C_LAF,再利用等腰三角形的三线合一性质可得BC=23,4A=1/84C=55。，最后在RlBAH中，利用锐角三角函数的定义求出的长,即可解答.【详解】解：设AF与OE交于点G,连接耳，交于点”，ADAE=ABAC,:AADEAABC,.ZADE=ZABC,:.DE/BC,AF.DE,:.BClAF,AB=AC,AFIBC,.BC=2BH,NBA=gNBAC=5

23、5,在Rt8A7中，AB=50cm,.,.BH=ABsin55o500.82=4Icm,.BC=2BH=82cm,：.B，C两点间的距离大约是82cm,故选：C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.4. （2022湖北十堰中考真题）如图，某零件的外径为IOCm,用一个交叉卡钳（两条尺长AC和8。相等）可测量零件的内孔直径A8.如果。4OC=OB:00=3,且量得C=3Cm,则零件的厚度X为（）A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.Icm【答案】B【分析】求出AAOB和AC。相似，利用相似三角形对应边成比

24、例列式计算求出A8,再根据外径的长度解答.【详解】解：00A:OC=OB:OD=3fOB=BCODf00AO03COD,OAfi:CD=3,0A8：3=3,M6=9(cm),13外径为IOem,019+2x=lO,3x=0.5(cm).故选：B.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长.5. (2022湖南怀化中考真题)如图，m8C中，点。、E分别是A8、AC的中点，若SAADE=2,则SMBC=DFI【分析】根据三角形中位线定理求得CO18C,芸=：，从而求得加。0M8C,然后利用相似二角形的性质BC2求解.【详解】解：团。、E分别是A8、4：的中点，则

25、DE为中位线,所以Daa8C,竺二L所以MD西28S三匹=(M)2=JBC2SabcBC4BSade=2,回58C=8故答案为：8.【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握.6. (2023广东梅州,九年级统考期末)如图，在&ABC中，点F、G在耳上，点、”分别在48、Ae上,AO是二48C的高，BC=15,AD=5,那么石的长为.【分析】通过四边形EpG为矩形推出E目,因此AAE“与18C两个二角形相似，将AM视为AMFHA”的高，可得出黑=黑，再将数据代入即可得出答案.ADBC【详解】解：设ADLJEH交于前M.E/印/BFDG

26、C团四边形FG是矩形，EH/三j,AEH(ABC,AMFH13A和AO分别是和.ABC的高，0=,DM=EF,ADBCAM=AD-DM=AD-EF=5-EF,回即二2七产，代入可得：=等，解得比=3,0EH=23=6,故答案为：6.【点睹】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键.7. (2023广东深圳校考三模)如图，在RLABC中，NACB=90o,AC=BC=6,。是48上一点，点七在司上，连接CZAE交于点尸，若NaTE=45。,8。=2AD,则CE=.【答案】2【分析】过。作垂直AC于H点,过。作DGAE交Be于G点，先利用解直角三角形求出C

27、力的长,其次利用ACZ)GS一CBZ),求出CG的长，得钳BG的长，最后利用ABz)GSB4E求出跖的长，最后得出答案.【详解】解：如图：过。作。垂直ACF”点，过。作。GAE交回G点,团在RLABC中，AC=BC=6，AB=yC2+BC2=62又用3Z)=2AD,0AD=22,用在等腰直角三角形47。中，AH=DH=2,0C=6-2=4,在RfCHD中,CD=JCH2+DH2=25aDGAE,ElNCTE=/CDG=45。，/8=45。，团NCDG=NB,又ZDCG=ZBCD,CDGCBD,0=,0Ca=CGCB,即20=6CG,0CG=y,EBG=BC-CG=6-y=,BDBG2又EIDG

28、/AE,RBDGs.BAE,又团BD=Q.AD,回/彳=/元=Q3又3G=0BE=BG-=4,0C=6-4=2,故答案为：2.32【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案.8. （2022四川宜宾中考真题）如图，MBC中，点E、尸分别在边A3、Ae上，N1=N2.若8C=4,AF=2,CF=3,贝IJEF=.Q【答案】IFFFFFAF【分析】a三AABC,得芸=芸即一=即可求解.BCACBCAF+CF【详解】解：001=02,aA=随，0AEABC,EFAFEFAF=,KP=BCACBCA

29、F+CFQQEF=,故答案为：.EF0BC=4,F=2fCF=3,0=4【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.9. （2022辽宁阜新中考真题）如图，在矩形ABCO中，E是耳边上一点，旦A=2。石，耳与CE相交于点尸，若。所的面积是3,则ABb的面积是./N【答案】27【分析】根据矩形ABCQ的性质，很容易证明二。KF团ZWC/,相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出NkBCF的面积.【详解】解：四边形A8C。是矩形，.AO=BC,ADBC;.NEDF=/CBF,NEFD=NCFB,NEDF=NCBF:.ADEFeABCF,AE=2DE，AD=BC,:.DE：BC=1：3,：.SDEF:SBCF=DE”：BC2,即3：SBCF=1：9,：.Sbcf=TJ.故答案为：27.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用.掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键.10. （2022湖北荆门中考真题）如图，点G为M8C的重心，D,E,产分别为8C,CA,AB的中点，具有性质：AG：GD=BG:GE=CG:G