微专题7 导数与函数的单调性、极值、最值.docx

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1、微专题7导数与函数的单调性、极值、最值高考定位利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.【真题体验】1.(2023新高考11卷)已知函数外)=浸一InX在区间(L2)上单调递增，则。的最小值为()A.e2B.eC.e-1D.e-2答案C解析因为函数外)=qex-Inx,所以)=er-1.因为函数/)=4e-Inx在(1,2)上单调递增，所以/(x)20在(1,2)上恒成立,即讹一320在(1,2)上恒成立，易知0,则0Wxev在(1,2)上恒成立.设g(x)=xex9则g0,g(x)单调递增，所以在(L2),

2、g(x)g(l)=e,所以we,即2:=e,故选C.ClCbc2.(多选)(2023新高考H卷)若函数Jx)=an彳+:+在。Wo)既有极大值也有极小人v值，贝|()A,.bcOB.abOC.+84c0D.ac0f产。，bn贝川加+也0,即J/Ulxx2O,-2c庐+80c0,IabOt所以C故选BCD.ac09bc%=(x+1)COSx,x0,2.令Fa)=0,解得工=一1(舍去)，jr3X=或x2因为y=cos+(j+l)sin5+1=2+；,()=cos多+怎+1)Sin争+1=-当，又JO)=CoS0+(0+l)sin0+1=2,/(2)=cos2(2l)sin21=2,TrTL所以

3、/U)max =/(1) = 2+,U)min=g)=一当.故选 D.314.(2022全国甲卷)已知=豆,1-41-4/!X.cbaB.bacC.abcD.acb答案A解析 因为 6=COS 1=12sin2,所以ba=-令y(x)=xsinx,则/(x)= 1 cosx20,所以函数7U)在R上单调递增,所以当心0时，yu)M)=o,即有xsinx(xO)成立，所以*sin上，得2sin2,所以比.1 - 4 n 4ta =4 1-4-1所以令g(x)=tan-X,cos2xsin2x1cos2x则g(kBT=Fr2，所以函数g(x)在定义域内单调递增，所以当心0时，g(x)g(O)=O,

4、即有tanxX(X0)成立，所以tan；不即4tan11,所以又比0,所以Ob.综上cb故选A.5.(多选)(2022新高考I卷)已知函数yU)=x3-+l,则()AU)有两个极值点Br)有三个零点C.点(O,1)是曲线y=(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线=U)的切线答案AC解析因为yu)=x3-x+,所以F(X)=3/一i.令F(X)=3一1=0,得X=坐.由/(x)=3x2-10得G坐或x一坐;由F(X)=3f10得一曰x坐所以yU)=%3x+在(坐，+8),18,一坐)上单调递增，在(一坐,坐)上单调递减，所以yu)有两个极值点，故A正确；因为T(X)的极小值周=惇一尊+1=1-苧

5、0,12)=(2户(2)+1=50,所以函数段)在R上有且只有一个零点，故B错误；因为函数g(x)=x3-的图象向上平移一个单位长度得函数兀v)=Rx+1的图象，函数g(x)=x3-的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)=0,所以点(0,D是曲线yu)=-+的对称中心，故C正确；假设直线y=2x是曲线y=y(x)的切线，切点为(X0,o),则f(XO)=3xo1=2,解得XO=1；若Xo=1,则切点坐标为(1,1),但点(1,1)不在直线y=2x上；若刈=1,则切点坐标为(-1,1),但点(一1,1)不在直线y=2x上，所以假设不成立，故D错误.故选AC.【热点突破】热点一利用导数研究函数

6、的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.考向1求函数的单调区间2例1已知/U)=(-Inx)+-7一,R.讨论/(x)的单调性.2 l 2(or22) (-1)f(x)=a解40的定义域为(0,+8),.v,若W0,当x(0,1)时，/(x)0,7U)单调递增,当x(l,+8)时，/()v,兀V)单调递减;a (-若 a0, f(x)=产x+当 x(O, 1)U当 x 1,时，/()o, yu)单调递减.当。=2时,当0o, yu)

7、在(0, 1=1,在X(0, +8)内,+8上单调递增,/()o,yu)单调递增.当。2时，O0,/)在 0,1时，o, 7U)单调递减.，+8)上单调递增,综上所述，当W0时，段)在(O,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减;当02时,内单调递增,1内单调递减，在(1, +)内单调递增.考向2单调性的应用例2(1)(2023西南大学附中质检)若函数应)=(-2CoSX)SinX+X在R上单调递增，则。的取值范围是（）八111lA.0,2B.22C.（-8,一；）D.O（2023河北名校联考）已知/（x）为7U）的导函数,满足tan上了（戏次幻,若Q=Z尼），）=例e），C=/住），则下列

8、大小关系正确的是（）A.abcB,acbC.bacD.cb(x),即tanx(x)/U)0,即黑点八功A)，gP-sinxf(x)-cosx(x)0,所以sin2x p(X)cos x sin X0,分析可得,当（,时，cosx0,y0,当Xg,，时，COSX0,fsi；）0（或/（x）0）在x。上有解.训练1（1）（2023晋中二模）已知=lnLb=竽c=,则下列判断正确的是（）A.cbaB.bacD.cabC.abo),则)=v当x(0,e),/(x)0,TU)单调递增；当x(e,+8)时，/()0,共功单调递减.6F=ln啦=；ln2=帛n2=1ln4=犬4),。1又b=J(3),c=(

9、e),e34,且r)在(e,+8)上单调递减，所以14)勺(3)勺(e),所以40,Sin(X+0,则la)V0；当w(亨,)时，ex0,SinLr+j0.危)在(0,Tr)上的单调递增区间为传，兀).(3) ,.x)=(-l)er-AZtr,(x)=xev-/H,;Z(X)在区间1,2上存在单调递增区间，(x)0在口，2上有解，即加e能成立，令g(x)=xex,x三l,2,则go恒成立，ga)=XeX在口,2上单调递增,*g(x)max=g(2)2e2,：n0且0l时,40存在一个极小值点xo,且xo3,求实数。的取值范围.解)=2Q足4+l)x+(2I)InX+2,、. l la 1f(x

10、)=a-(2a2 a+) +-加一(2/4H) + (2a1)X(or1)x(2-1)=x，由/(x)=0,解得X=5或=2-l,若0弓则2-l0,2,故当(o,3时，0,外)单调递增，所以/(x)有一个极小值点:，即XO=:，所以53,解得06t；若0l,贝1J02a-1o,段)在(0,2-1)和色+j上单调递增；当xE(2al,/I时，/(x)0,/U)单调递减，所以/U)有一个极小值点J,即XO=所以卜3,解得0,则00,Kr)在(0,0和(2。-1,十8)上单调递增；当xg,2。一1)时，/(x)3,解得42.综上，(,IjU(2,+).易错提醒1.不能忽略函数的定义域.2(xo)=O

11、是可导函数兀V)在x=xo处取得极值的必要不充分条件，即/(X)的变号零点才是/U)的极值点，所以判断7U)的极值点时，除了找/(x)=0的实数根刈外，还需判断7U)在xo左侧和右侧的单调性.3.函数的极小值不一定比极大值小.训练2(1)(2023成都模拟)若函数八)=尺1+。)2在工=1处有极大值，则实数。的值为()A.lB.1或一3C.1D.3(2)(2023盐城质检)若函数yU)=b-er+$3-依无极值点，则实数。的取值范围是.答案(I)D(2)(8,2解析()J(x)=x(x+a)29f(x)=(xa)2+2x(x+d)=(xa)(3x+a),j(x)=x(x+a)2在X=1处有极大

12、值，可得F(I)=(I+)(3+4)=0,解得a=1或=3,当。=1时，f(x)(-1)(3-1),当Xg,1)时/()v,当x(l,+8)时/()0,7U)在g,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，火方在X=I处有极小值，不合题意；当a=-3时，f(x)=(x3)(3X3),当X(-8,1)时/()0,当x(l,3)时/(x)0,yU)在(一8,I)上单调递增，在(,3)上单调递减，7U)在x=处有极大值，符合题意.综上，可得=-3.(2)若/(x)=ex-6一+/3x无极值点，则/(x)=+er+x2-。无变号零点，令g(x)/(x)CAevx2a,贝Ugx)=ev-e-r2x,当x

13、0时，Oexl,2x0,则e-e-A0,则g,(x)=ee-v2xO时，evl,Oe-0,则ex-exO,则g(x)=ex-。-”+2第0,则g(x)在(-8,0)上单调递减，(0,+8)上单调递增，即F(X)在(一8,0)上单调递减，(0,十8)上单调递增，在X=O处取得最小值,若Fa)=9+*+/一。无变号零点,则F(O)=e+e-+()2解得W2.热点三利用导数研究函数的最值求函数7U)在，句上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在3，力内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值式)，他)；(3)将函数7U)的各极值与y(),犬份比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例4(1)

14、(2022全国甲卷)当X=I时，函数TW=Hn%+取得最大值一2,则/(2)=()A.-1B.-2号D.1(2)(2023石家庄模拟)已知函数J(x)1nx-,(0,所以人(兀)在(0,+8)上单调递增,又以1)=0,所以当 Oxl 时，MX)0,即 gXr)0,即 gO, 所以当X=I时,g(x)取得最小值g(l)=l,所以671.【精准强化练】一、基本技能练1.(2023温州二模)已知函数TU)与Fa)的图象如图所示，则g(x)=71()lnx恒成立，则实数a的取值范围为()A.(-,1B.(0,1C.(,：D.(-8,0答案(I)D(2)A解析由大w)=g(),得e，+?=3，化简整理得

15、3/73m=em2m.令h(m)=e,w2m(mR),h,(ni)=ew-2,令2=0,解得7=ln2.当m(8,l112)时，(zn)09力(M单调递增；即h(m)mia=h(n2)=221n2,lc2故(一加)min=1(l-In2).(2)因为不等式x3-or22InX恒成立，所以不等式。x一在(0,+8)上恒成立，.InXm,x3-l+2InX令g(x)=Ly,则g=123-24-2+12X=12x(x2-2x+1)=12Xa-1)2,因为a-1)220(当且仅当=l时取等号)，则当x0时，/(x)0时，/(x)0,所以yu)的单调递增区间为(O,+),单调递减区间为(一8,0),所以

16、的极小值点为0,没有极大值点，即7U)有且仅有一个极值点.3.(2023三湘名校联考)已知函数yU)=53+3-1)f+没有极值，则实数Q的取值范围是()A.0,1B.(-,0Ul,+)C.0,2D.(-,0U2,+)答案C解析由/(x)=x3+(6F-l)x2+x1,得/(x)=x2+2(-I)X+1.根据题意得2(-1)尸一4W0,解得OWaW2.4 .(2023淄博调研)“mvl”是“函数7U)=2x2一mx+lnX在(0,+8)上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若r)=2x2-mx+lnx在(0,+8)上单调递增，则/(

17、x)=4-加+0在(0,+8)上恒成立，即m4x+;在(0,+8)上恒成立.因为g(x)=4+2/44=4,X1Ji当且仅当4x=1,即X=当时，等号成立，所以mW4.因为(-8,1)(8,4,所以“加e2023AO)B.fi2023)e2023AO)C(2023)=e2023(0)D./2023)与e2023AO)的大小关系无法确定答案B解析令函数g)=二,C.f(X)f(X)则gf(x)=-/.7W()，g()0，即函数g(X)在(一8,+8)上单调递减，/(2023)f(0)g(2023)g(0),/.2O23eo,2023)bB.bcC.c=aDcVa答案ADY解析令TU)=而，XE(

18、1，+8),则/U)=In X- 1(Inx) 2所以当Qe时，/(x)0,当lxe时，/(x)b,cb.2321n3-31n2In32-ln23In9-ln8又IihiiTI=In2ln3=In2ln3=In2ln3所以c.所以cb.故选AD.7 .函数y(x)=xsinx+cosx3x2的极值点为.答案0解析由已知得F(X)=Sinx+xcosxsin-6x=x(COSX6),当x0,当GO时，/(x)v,即/)在(一8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，JU)在X=O处取得极大值.8 .(2023全国乙卷)设(0,1),若函数於)=+(l+尸在(0,+8)上单调递增,则a的取值范

19、围是.答案产下一，D解析由题意得当x0时，f(x)=axna+(+ayn(+a)=axn+(+l)tln(l+)20.设g(x)=ln+(z+l)XM(l+),因为0,所以g(x)e.因为(O,1),所以ln(l+o)0,11,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，故只需满足g(0)20,即ln+ln(l+)=ln(+2)20,所以1,解得W1或L又OVaV1,所以、的取值范围为W?LD9 .函数於)=2-l-2InX的最小值为.答案1解析函数yu)的定义域为(0,+).当xg时，J(x)=2-121nx922(-1)所以)=2_=.当TaVl时，Q)1时，/()0,所以於)在，1)上单调递减

20、，在(1，+8)上单调递增，所以y(x)min=(l)=2121n11；当OaWg时，fix)=12-21nx9显然7U)在(o,当上单调递减，所以人r)min=y6)=-2Ing=2In2=In4lne=l.综上,y(x)min=1.10.(2023昆明模拟)若函数yu)=2x+cosx在定义域R上不单调，则正整数的最小值是.答案3解析因为yu)=2x+kcosx,所以F(X)=2SinX,2令f(x)=O,得n=,Jsnx因为SinX-1,1,且N*,所以22,当=2时，/(x)=2-2SinX20,则r)单调递增，2当n2时，当/(jv)=2SinxO时，sinx,所以人力不单调递增，所

21、以正整数的最小值是3.11 .已知函数yU)=Hn一3R,试讨论兀)的单调性.解r)的定义域为(0,+),-a,1ax+1且)=1+=若。20,则Fa)o,7U)在(O,+8)上单调递增.若0,令f(x)=0,得X=.当Xe(K时，八护；当X(，+8)时，f(x)0时，x(-8,一W)U(W，+8)时，/(0；r(-或，犯)时，f(x)O;故KX)在(一8,一/)和(、，+8)上单调递增，在(一g,5)上单调递减.(2)由(1)可知，当Wo时，危)在0,3上单调递增,g()=3)-0)=27-9由当皿23,即N9时，40在0,3上单调递减，g3)=A0)-A3)=9-27；当0g3,即09时，

22、/U)在0,犯)上单调递减，在(W，3上单调递增，于是式X)min=Z(W)=-2+0,又的)=,火3)=278”故当0v3时，g(4)=279。+2动；当3d9时，g(a)=2crjaf综上可得，27-9。，0,2792,03,Wm)=2cra939,0且W1)在(0,1)内单调递增,则的取值范围是()A.3,+8)B.(l,3C(O,乡D.*1)答案A解析令=g(x)=or-X3,则gf(x)=a-3x1t递增,当白l时，y=k)g,必为增函数，且y(x)在区间(0,1)内单调递增,此时g(x)在(0,1)上单调递增，则g(x)g(0)=0恒成立，当0al时，j=logu为减函数,且函数段

23、)在区间(0,1)内单调递增,所以，也W无解，0acA.abcC.bcaD.cba答案B解析将g用变量X替代，则a=SinJGb=ex-1,C=In(X+1),其中X(0,1),令yU)sin-ln(x1),贝IL=COSL*,令g(x)=7(x)=cosxJ、，则g(x)=-Sinx+.；)2,易知gO,g(l)=:-sinlO,/(X)单调递增；当x(xo,1)时，g(x)0,.,(x)0,次0在(0,1)上单调递增，次O)=0,即sinxln(xl),sinJlnact记a(x)=e-(SinX+1),x(0,1),则(X)=F-COSx0,z(x)在(0,1)上单调递增,又(O)=eo

24、-(sin0+1)=0,所以力(，人(0)=0,所以e；lsin所以ba,综上，bac.15 .（多选）（2023浙江义乌适考）当心1且yl时，不等式也；。恒成立，则自然数可能为（）A.0B.2C.8D.12答案BC解析由于Ql且1,所以Iny0,j停），构造函数/U）=*,g（y）=竽，.(2-n)e2x/(无)=尸;Iny(2Iny)g。)=，H当2,且N时，故当XV/(x)0,因此/U)在(一8,3单调递减，在g,+8)单调递增,故当X=时，凡r)取最小值2当00,g(x)单调递增,2当ye；时，g(x)g(V)max，e2A要使i怛成立，则需要fix) mi(X)max，当=0时，不妨

25、取x=2,y=ee2,则一(InB乎=1,而修)=L不满足旨用：故A错误;当=2时，y(x)minnC2,故满足题意，B正确;fln2芽7I=+2(-2)ln+(2)ln2恒成立.当=8时，8+261n8-61n2=121n2,C正确；2当=12时，In20.4ln2lne042ej25e2,IOln12-IOln2=IOln2+IOln3101n2+1014,D不满足题意,错误.16.(2023临沂模拟)已知刈是函数/U)=+2班+的一个零点，且xol,e,则M+及的最小值为.答案f解析Vxo是yu)的一个零点,L阳将(mb)看作直线x+2ym+e7=0上一个点的坐标，则原题就变为：求当xo

26、l,e时，点3,b)到原点距离的平方的最小值,1.却原点到直线x+2y屈+e；=0的距离为竺e2exev (4-3)引1，时)，gO ( l+4) 23当4时，g()O,g()是增函数，/1e.在X1,e时，g(x)min=g(l)=5.M+序的最小值为3Y17.(2023宁波段测)已知函数/U)=若曲线y=(x)在点(2,12)处的切线斜率为一1,求。的值;(2)若TU)在(1,+8)上有最大值，求。的取值范围.?12(X-ci)解(IVU)的定义域为4T户i),/(式)=(FT)2=-由已知可得/(2)=生齐=1,解得。=1.,一x2,-2ax-1(2)由(1)知/(X)=-7_)2令g(

27、x)=x1+2a-(x1).当W0时，对任意的xl,g(x)=2+2t-1VO恒成立,则Fa)V0,此时x)在(1,+8)上单调递减，没有最大值；当OVaWl时，g(x)=-f+2ax1在(1,+8)上单调递减,则g(x)Vg(I)WO,则/()vo,此时7U)在(1,+8)上单调递减，没有最大值；当白l时，方程一/+2Or1=O的两根分别为,2.则Xi+x2=2a,xX2=1,不妨设OX110,於)单调递增；X(X2,+8)时，/()0,yu)单调递减.所以=X2时，/(X)取得极大值即最大值.综上所述，实数。的取值范围是(1,+).加微ABCYZXT可联系我高中数学交流亲，微信扫一扫可以找

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