六年奥数综合练习题十二复习资料(比和比例关系).docx

六年奥数综合练习应卜二答案(比和比例关系比和比例，是小学数学中的最终一个内容，也是学习更多数学学问的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要便利敏捷得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.这一讲分三个内容：一、比利比的安排；二、倍数的变更：三、有比例关系的其他问题.一、比利比的安排最基本的比例问题是求比或比值.从己知些比或者其他数量关系，求出新的比.例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3：2,乙的长与宽之比是7：5.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是2.甲的长与宽分别是I与I,75乙的长与宽分别是看与合.甲与乙的面积之比是(x)：GXj)=864:875.答：甲与乙的面积之比是864：875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2如右图，是个梯形，E是的中点，直线把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10：7.Bz<求上底与下底的长度之比.解：因为E是中点，三角形与三角形面积相等.三角形与三角形高相等，它们的底边的比：三角形的面积：三角形的面积=(10-7)：(7X2)=3：14.答：3：14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲解并描述的重点.例3大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.假如记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大杯与中杯容量之比是5：2=10：4,中杯与小杯容量之比是4：3,大杯、中杯与小杯容量之比是10：4：3.*=(10X2+4X3+3X4)：(10×5+4×4+3×3)=44：75.答：两者容量之比是44：75.把5：2与4：3这两个比合在一起，成为三样东西之比10：4：3.称为连比.例3中已告知你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲：乙=3：5,乙：丙=7：4,3：5=3X7：5X7=21：35,7：4=7X5：4X5=35：20,甲：乙：丙=21：35：20.例4甲、乙、丙三人同去商场购物,甲花钱数的T等于乙花钱数的最乙花钱数的擀等于丙花钱数的?，结果丙比甲多花钱93元，问他们三人关47花了多少钱?解：依据比例与乘法的关系，甲数XJ=乙数X即：甲数：乙数=g：9=2：3.44乙数X：=丙数X彳，47即，乙数：丙数=：1=16：21.74连比后是甲：乙：丙=2X16：3X16：3X2=32：48：63.三人共花了93X32+48+6363-32=429（元）.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6：5,甲灯子的I钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5：4,而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是6份.那么甲在墙外的部分是6X(1-1)=2甲舒入墙内的部分是6xg=4,丙打入墙内的部分为X,满足比例式4：5：4.16X=亍因此丙的长度是92.乙与丙的长度之比是5：(y+2)=25：26,而甲与乙的长度之比是6：5=30：25.甲：乙：丙=30：25：26.答：甲、乙、丙的长度之比是30：25：26.设甲的长度是6,也就是把甲分成6份，以它的:作为长度单位.这样便利用1.1.知条件6：5,使大部分计算都整数化,这是解比例和分数问题的常用手段.例6甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果,在每种精果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是3-i-=275(元).+223033答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很简单列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22,30,33的最小公倍数330,乘这个繁分数的分子与分母，就有:3×33015+11+10=27.5（元）.事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330,马上可求出，所买数量之比是甲：乙：丙-15：I1.：10.平均数是(15+11+10)÷3=12.单价33元的可买】0份，要买12份，单价是33×15=27.5(元).1乙卜面我们转向求比的另问题，即“比的安排”问题，当个数量被分成若干个数量,假如知道这些数量:之比，我们就能求出这些数量.例7一个分数，分子与分母之和是100.假如分子加23,分母加32,新的分数约分后是I,原来的分数是多少？解：新的分数，分子与分母之和是(10+23+32),而分子与分母之比2：3.因此2分子=(100+23+32)×273=«.3分母=(100+23+32)=93.八的622339原来刀数是声友=互39管I原来分数是言.O1.例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，内需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应依据工作效率之比，按比例安排工作量.三人工作效率之比是z-=2824：21.33.54他们分别须要完成的工作量是22甲完成825X的了两=7。（个）.24乙完成侬5X和E=6。（个）.丙完成825X后%=525（个）.所需时间是700X3=2100分钟）=35小时.答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，须要35小时.这是三个数量按比例安排的典型例题.例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14：11,会员分成三个组,甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：12:13,乙：5：3,丙：2：1,那么内有多少名男会员？解：甲组的人数是100÷2=50（人）.全体男会员人数是Ie）OX尚=56（人）.甲组男会员人数是50XA1.F=24（人）.乙、内两组男会员人数是56-24=32（人）.乙组男会员占全组人数的三-122丙组男会员占全组人数的M=I如果丙组男会员也是占I，两组男会员只有50X=等，因此丙组总OOO人数是（32）÷（-）=18（人）丙组男会员人数是18X：=12（人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最终段，实质上与“鸡兔同笼”解法样，可以设想，“兔的蝌”是靠“鸡的财”是除“总弊”是32,“总头数”是50.例IO段路程分成上坡、平路、卜坡三段，各段路程长之比依次是I：2：3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4：5：6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.间小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、卜坡的速度之比是2.2.34'5-6平路速度是3X=（=弓（千米/小时）21下坡速度是3X3-9=6（千米/小时）.走完全程所用时间24SQX3T+1.+2+350×1.50X21+2+3'3+1.+2+3100+125+15036=o（小时）1o答：小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.1：2：3计算中用了两次,好像重且计算,最终算式也颇费事.事实上，敏捷运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.假如上坡用的时间是4份，全程都是上坡，所用时间是4X6（份），具体时间是?（小时）设小龙走完全程用X小时.可列出比例式：当=（4+5+6）：24×=×-1（小时）二、比的变更已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变更后，当然比也发生变更.通过变更的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例11甲、乙两同学的分数比是5：4.假如甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5：7.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变更.原来要分成5+4=9份，变更后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36,我们让变更前后都按36份来算.5：4=(5X4)：(4X4)=20：16.5：7=（5×3）：（7X3）=15：21.甲少得22.5分，乙多得22.5分,相当于20-15=5份.因此原来甲得22.5÷5X20=90（分），乙得22.5÷5×16=72（分）.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节全部问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x依据得分变更，可列出比例式.（522.5）：（422.5）=5：7即5(422.5)=7(522.5)1512×22.518.甲原先得分18X5=90（分,乙得18X4-72（分.例12有一些球，其中红球占提当再放入8个红球后，红球占总球数的,，问现在共有多少球1解：其他球的数量没有变更.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5：（14-5）=5：9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1 ：（3-1）=1：2=4.5：9.因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.现在总球数是5+98×=224（个）.答：现在共有球224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1：2写成4.5：9,就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（8） ：25：9.例13张家与李家的收入钱数之比是8：5,开支的钱数之比是8：3,结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采纳“假设”方法求解.假如他们开支的钱数之比也是8：5,那么结余的钱数之比也应是8：5.张家结余240元，李家应结余X元.有240：8：5,150（元）事实上李家结余270元，比150元多120元.这就是8：5中5份与8：3中3份的差,李家60×3=180180+270=450福份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出张家开支60X8=480收入480+240=720答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图:张X3二8份X3-jj*'240×3-、一5份X3季X3Q张家开支的3倍是（8份-240）×3.李家开支的8倍是（5份-270）×8.从图上可以看出5X8-8X3=16份，相当于270×8-240X3=1440（元）.因此每份是1440÷16=90（元）.张家收入是90X8=720（元），李家收入是90X5=450（元）.本题也可以列出比例式：（8240）：（5270）=8：3.然后求出X.事实上，解方程求X的计算，与解二中图解所示是同回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.例144和B两个数的比是8：5,每数都削减34后，A是B的2倍，求这两个数.解：削减相同的数34,因此未减时，与减/以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这点.8：5,就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2：1,两者相差1.将前项与后项都乘以3,即2：1=6：3,使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34：2=17.A数是17X8=136,B数是17X5=85.答：A,B两数分别是136与85.本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把削减后的2：1,改写成8：4.例15小明和小强原有的图画纸之比是4：3,小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5：2.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特别性.4+3=7,5+2=7,15-8=7.原来总数分成7份，变更后总数仍分成7份，总数多了7张,因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1,因此新的1份有15TX4=11（张）.小明原有图画纸11X5-15=40（张）,小强原有图画纸11X2+8=30（张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可采纳例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（事实上就是通分）4 ：3=20：155 ：2=20：8.假设小强也买来15X。=竽（张），那么变化后的比仍应是20：15,44但现在是20：8,因此这个比的每一份是（+8）÷（15-8）=1.1.小明现有20X=55（张），原有55-15=40（张）.小强现有8X?=22（张），原有22+8=30（张）.当然，也可以采纳实质上与解方程完全相同的图解法.解：Z：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2,小强现有的图画纸张数乘5,所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：小强X5二从图上可以看出,3X5-4×2=7（份）相当于图画纸15X2+8X5=70（张）.因此每份是10张，原来小明有40张,小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特别性，找到校简捷的解法，也启示一些见机行事的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不简单娴熟驾驭例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好驾驭，敏捷运用.从课外的角度，我们更应启发小同学擅长思索，去找灵活的解法，这就要充分利用数据的特别性.因此我们总是先讲解并描述灵活的解法，利于心算，促进思维.例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时,细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蝌烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？解：设粗、细蜡烛长度是1,每小时，粗蜡烛点去葭细婚烛点去54我们把问题变更一卜.：设细蜡烛长度是2,每小时点去;问过多长时间两支蜡烛长度相等.4现在两者相关是（2），每小时能缩小差距（?-；），因此两者相等须要时间是（2-1）+（2）=3黄小时）.答：这两支蜡烛点了3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2,使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思索就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍困难的例子.例17箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只,每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最终剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最终应剩51只.因为白球每次取7只，最终剩下3只，所以对3倍的白球，每次取7X3=21只，最终应剩3X3=9只.因此.共取了（51-3×3）÷（7X3-15）=7（次）.红球有15X7+53=158（只）.白球有7X7+3=52（只）.原来红球比白球多158-52=106（只）.答：箱子里原有红球数比白球数多106只.三、比例的其他问题比例关系可以用比表示，也可以用分数表示，例如，甲比乙的I多7，这里必需用分数来说，而不能用比.事实上它还是隐含着比例关系：（甲-7）:乙=2：3.因此，有些分数问题，就是比例问题.例18有一些画片，小明取了其中的;还多另长，小强取了剩下的g再加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？解：设这些画片是整体】小明取走;加3张，剩下的是I少3张,取剩下呜,就是取IW=|,少3X=1（张）.小强取到:加（33-1）张.因为两人取的一样多，g与!的差,相当于¢33-1）与3的差29.这些画片有29+（U）=261（张）.答：这些画片有261张.例19一个容器内贮有一些水现在倒掉其中处的水,剩下的水和容器共重72千克再倒掉剩下水的全此时水与容器的圭量，是原来（第一次倒掉水之前）的;问原来容器中有多少千克的水？解：设最初的水量是1,因此最终剩下的水是（1.-y）X（1-j）=券按照题目条件，亮的水加一个容器的重量与1的水加9的容器重量一乙1jj样重，就有I容器的重量W=Ir容器重量=;.因此原有水的重量是72-（泊）=8.4（千克）.答：容器中原来有8.4千克水.例18和例19,通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就便利些.例20有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个.为了使A堆中黑子占A堆的;，B堆中黑子占楙要从B乙H堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？解：要B堆中黑子占据，即黑子与白子之比是3：1.先从B堆中拿出黑子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）：100=3：1.再要从B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3：1的比.现在A堆已有黑子350+100=450个），与已有白子500个，相差50个要黑子占就是两种惧子一样多.从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3：1这个比，要拿出白子数是50÷（3-1）=25（个）.再要拿出黑子数是25X3=75（个）.答：从B堆拿出黑子175个，白子25个.例21高中学生的人数是初中学生人数的j,高中毕业生的人数是初中12毕业生人数的高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：17份初中g_§2。人F4高中g§20人j?竺寸6-5=1,相当于图中相差17-12=5（份），初中总人数是5X6=30份，因此，每份人数是520÷（30-17）=40（八）.因此，高、初中毕业生共有40×（17+12）=1160（人）.答：高、初中毕业生共1160人.解二，用J乘初中人数，应与高中人数一样多，就产生如下算式，可6计算出每份是（520-520×7）（17×7-12）=40（人）.66例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发觉？）解二是通常分数应用题的解法，明显计算不如解一简便.例18,19,20,21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于敏捷运用.例22张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的（王用了自己阕的"李用了自己钱数的马，各买了一支相同的钢笔，问张和李判4 3下的钱共有多少元？5-34-33-2=3-53-42-3解：设钢笔的价格是1.张有的钱数是1.王有的钱数是1-李有的钱数是1.这样就可以求出，钢笔价格是5 43108-（j+j+210+8+9=108-：6=24（元）张剩下的钱数是24×（|-1）=16（元）,李剩下的钱数324×（-1）=12（元），16+12=28（元）答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.作为这一讲最终的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.例23一头猪卖3u银币，一头山羊卖银币，一头绵羊卖银币.有人CJc用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉(17071783)提出的问题.解:每头牲畜的平均价是1猪每头3,比】多山羊每头比1多9而绵羊每头;，比1少；"多''要用"少”采补，才达到均价2：=5：1.1.头猪要5头绵羊来补.；：1=2：3,3头山羊要2头绵羊来补.我们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊缩为B组表示A组的数，B表示B组的数，要使(1+5)×+(3+2)XB=100,或简写成6A+5B=100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例17,很明显，A必定是5的整数倍=5,B=4,6×5÷5X4=50,50是100的约数，符合要求.A=5,猪5头，绵羊25头，4,山羊12头，绵羊8头.猪：山羊：绵羊=5：12：(25+8).现在已把1：5和3：2两种比，组合在一起通常称为混合比.买猪的头数100X577%=Io(头)，买山羊的头数100-5+1；+33=24(头)，33买绵羊的头数100XU2；W=66(头).要留意，这样的问题经常有多种解答.5, B=I4或=15,B=2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5：42：53或15：6：79.答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10,24,66：或者5,42,53：或者15,6,79.求混合比是一种很好用的方法，对数学有爱好的小学同学，学会这种方法是有好处的,会增加敏捷运用比例的技巧.通常求混合比可列下表：平均值名称单价多与少要另之的比组合混合比猪少W15611.1.J41少?3412尹羊21多2525433下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变更.例24某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买1件按定价，买2件降价10%,买3件降价20%.最终结算，平均每件恰好按原定价的85%出售，那么买3件的顾客有多少人？解：题目已给出平均数85%,可作比较的基准.1人买3件少5%X3；1人买2件多5%X2；1人买1件多15%XI.1人买3件与I人买1件成A组，即按1：1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2：3的比例.A组是2人买4件，每人平均买2件.B组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡免同笼型问题：总脚数76,总头数33,兔脚数2.4,鸡脚数2.B组人数是(76-2×33)÷(24-2)=25(人),其中买3件25><言=10（人）,买2件25X忘=15（人）A组人数是33-25=8（人），其中买3件4人，买1件4人.10+4=14（人）.答：买3件的顾客有14位.建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一样，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满意25B=33,还要从买的件数考虑满意4÷12B=76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.