专项06勾股定理之大树折断模型综合应用（2大类型）（解析版）.docx

专项06勾股定理之大树折断模型综合应用（2大类型）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自九章算术，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长三尺，其余两边长度之和为10尺.【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55尺.【解析】设折断后的竹子高度为X尺，则被折断的竹子长度为（10-x）尺.由勾股定理得x2+32=（10x）2,解得X=4.55.答：折断后竹子的高度是4.55尺此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为X,通过勾股定理建立方程，求出答案.【典例1】如图，一棵大树在离地面9米高的8处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处,则大树断裂之前的高度为（）A.9米B.15米C.21米D.24米【答案】D【解答】解：由题意得BC=9,在直角三角形A8C中，根据勾股定理得：=92+122=15米.所以大树的高度是15+9=24米.故选：O.【变式1】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖8恰好碰到地面，经测量A8=3米，则树高为()A.遍米B.I米C.4米D.(l÷l)米【答案】D【解答】解：RtZA8C中，AC=I米，A8=3米；由勾股定理，得：8c=Jac2+ab2=VI5米;，树的高度为：AC+BC=(l÷l)米；故选：D.【典例2】我国古代的数学名著九章算术中有这样一个题目“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在高木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索AC的长为尺.6【解答】解：设绳索AC的长为X尺，则木柱A8的长为Q-3）尺,在RtZXABC中，由勾股定理得，AC2-AB2=BC2,X2-（x-3）2=82»解得：尸巡，6答：绳索长为迢尺.6故答案为：Zl6【变式2】折竹抵地（源自九章算术）：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处3尺远.则原处还有尺竹子.（1丈=10尺）【答案】4.55【解答】解：设竹子折断处离地面X尺，则斜边为（IO-X）尺,根据勾股定理得：+32=（IO-X）2.解得：x=4.55.答：原处还有4.55尺高的竹子.故答案为：4.55.影【龈朦制称】1 .如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是./k12K>1【答案】18【解答】解：大树折断后形成直角AABC且BC为斜边，2+4C2=C2,.A8=5米，AC=12米，,BC=y蚣2十届2=13米，大树折断前的高度为A8+BC=5米+13米=18米.故答案为：18米.2 .九章算术中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为尺.【答案】4155【解答】解：设折断处离地面的高度为X尺，则折断的长度为（10-公尺，由勾股定理得/+32=（IO-X）2,解得x=4.55,，折断处离地面的高度为4.55尺，故答案为：4.55.3 .如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米，则【答案】13.6【解答】解：在RtZVlBC中，4。=6年”=7花-8.6米,5+8.6=13.6米.故答案为：13.6.I7*14 .如图，受台风影响，马路边一棵大树在离地面6?处断裂，大树顶端落在离底部8“处,则大树折断之前高为m.【答案】16【解答】解：设树的总高度为/?,由勾股定理得：bc2=ac2+ab2,c=AC2+AB2=62+82=10w*VAC=6w,.,.h=C+BC=10+6=6m.5 .如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处，树折断之前有一米.【答案】8【解答】解：V32+42=25,25=5,5+3=8w,，树折断之前的高度为8米.故答案为：8.6 .如图，一旗杆离地面6?处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8加处，旗杆折断之前的高度是tn.【答案】K【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为8?，旗杆离地面6m折断，且旗杆与地面是垂宜的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形.根据勾股定理，折断的旗杆为府花=10?，所以旗杆折断之前高度为10m+6m=16.故此题答案为16m.7 .如图，受强台风''罗莎"的影响，张大爷家屋前9山远处有一棵大树，从离地面6?处折断倒下，量得倒下部分的长是10?，大树倒下时会砸到张大爷的房子吗答：(“会”和“不会”请选填一个)【答案】土会【解答】解：由题可知大树倒下后树尖距树根的距离=JlO2_62=8V91,故大树不会砸到房子.8 .如图所示，某商场有一段楼梯，高BC为2米，楼梯最高点和最低点的距离AB为4米,如果在楼梯上铺上地毯，那么要使用的地毯长度是米.答案(22÷2)【解答】解：在RtZXABC中，BC=2,AB=4.二AC=1由2-BC2=V42-22=23-由题意可得，楼梯所有台阶的高度之和等于BC,楼梯所有台阶的水平距禽之和等于Ac，地毯的长度为：AC+BC=(23+2)米.故答案为：(23+2)米.9 .九章算术是我国古代最重要的数学著作之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少尺？C【解答】解：设绳索Ae的长为X尺，则木柱AB的长为（-3）尺，在RtZXABC中，由勾股定理得，AC2-AB2=BC2f即X2-（x-3）2=82,解得=迢，6答：绳索长为迢尺.610 .如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从高地面5米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？*5C=Vab2+ac2=13w,，旗杆的高=A8+8C=I3+5=18?.答：这根旗杆被吹断裂前有18米高.落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？2.8米I9.6米HiHiniiiiiniiHiiinmiiiiIIiiHiimnH【解答】解：旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形,5C=VaB2+AC2=2.82+9.62=l0w,/.旗杆的=AB+BC=2.8+IO=12.8?.答：这根旗杆被吹断裂前至少有12.8米高.12 .一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点8到树根C处的距离为4米，NABC等于45°,树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度为多少米？（答案保留根号）【解答】解；由题意得，在aACB中，ZC=90o/NABC=45°：NA=45°/.NABC=ZAAAC=BC（2分）VBC=4AC=4（3分）AC2+BC2=AB2A5=VaC2+BC2=42;（5分）所以此树在未折断之前的高度为（4+47历）米.（6分）13 .某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为7加的电线杆AC,被台风从离地面2机的8处吹断裂，倒下的电线杆顶部C'是否会落在距离它的底部4?的快车道上？说说你的道理.【解答】解：根据题意，AB=2m,则8C=7-2=5m,于是AU=6好=7元,又因为五4,电线杆顶部C1会落在距它的底部4m的快车道上.I免费增值服务介绍，V学科网(https:WWW3网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。V组卷网(https:ZUjU)是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复"ppt"免费领180套PPT模板回复"天天领券"来抢免费下载券