7.1角与弧度（八大题型）.docx

7.1角与弧度课程标准学习目标(1)知道弧度制是角的另外一种度量制，能说出以半径为基准度量角，知道度量单位即1弧度角是如何定义的，能画出1弧度的角，了解这样定义的合理性：能说出两种度量制之间的换算关系是180°=m*ad,并能准确进行角的两种度量之间相互转化；了解其中蕴含的数形结合的数学思想方法，和数学知识之间的联系性；(2)能感受到引入弧度制的意义，比如，可以使弧长公式和扇形面积公式变得比较简洁.(1)掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.(2)熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.(3)理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.(4)掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式.知识点Ol任意角的概念1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角：按逆时针方向旋转所形成的角.负角：按顺时针方向旋转所形成的角.零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角.知识点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2、终边相同的角、象限角终边相同的角为尸£0尸=2h+,k三Z角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.知识点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差360。的整数倍.3、常用的象限角角的终边所在位置角的集合X轴正半轴=A360ceZ)，轴正半轴=×360o+90o,ZX轴负半轴«=×360o+180o,&Zy轴负半轴=×360o+270o,keZX轴a=A:xl80o,攵Z)，轴a=Ar×180o+90o,Z坐标轴=×90o,&wZ是第一象限角，所以(2br<<2Qr+gr(AZ)a是第二象限角，所以2kzr+vv2Qr+)(AwZ)a是第三象限角，所以a2乃+;TVa<2kr+(AZ)a是第四象限角，所以a2Ar+r<<2k+2(kZ)j【即学即练1】(2023高一校考课时练习)已知集合A=O0为锐角,8=例。为小于90。的角,C=6为第一象限角,。=例。为小于90。的正角,则下列等式中成立的是()A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D【答案】D【解析】因为A=例。为锐角=e00<e<90°,。=6|6为小于90。的正角=付0。<6<90。,对于集合5,小于90。的角包括零角与负角，对于集合C，C=例夕为第一象限角=W360”<<90'+360",攵z,所以A二。，故选：D知识点02弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作Irad,或1弧度，或1(单位可以省略不写).2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：180°=万阳dlrat=f-157.30o=57o18,1°=0.01745(rad)1803、弧长公式：="(是圆心角的弧度数),扇形面积公式：STwIa|/.知识点诠释:(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-2万等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角。的弧度数的绝对值是：=i,其中，/是圆心角所对的弧长，r是半径.【即学即练2】(2023全国高一专题练习)把下列角度与弧度进行互化.(1)72°；(2)-300。；(3)2；(5)780°(6)-15600(7)67.5°(8)-y(10)4【解析】(I)72o=72o-=(6)1oU5(7)-1560o=-1560o-=-1800367.5°=67.5°=18008(8)1010Tl =Jl -600°.题型一：角的概念例1.（2023新疆塔城高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（）A.锐角是第一象限角B.终边相等的角必相等C.小于90的角一定在第一象限D.第二象限角必大于第一象限角【答案】A【解析】锐角是指大于。小于90的角，故其在第一象限，即A正确；选项B.终边相等的角必相等，两角可以相差360整数倍，故错误；选项C.小于90的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；选项D.根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误.故选：A例2.（2023高一校考课时练习）下列各命题正确的是（）A.第一象限角都是锐角B.三角形的内角必是第一，二象限角C.不相等的角终边必不相同D.相等的角终边相同【答案】D【解析】390。为第一象限角，显然不是锐角，A错误；90。为轴线角，不属于第一，二象限角，B错误：30。与390。的终边相同，C错误；两角相等终边相同，D正确.故选：D例3.（2023高一课时练习）射线OA绕端点。逆时针旋转120。到达03位置，由。8位置绕端点O旋转到达OC位置，得NAOC=-150。，则射线OB旋转的方向与角度分别为（）A.逆时针，270oB.顺时针，270°C.逆时针，30oD.顺时针，30°【答案】B【解析】由题意可得/403=120。，设NBOC=6,则NAoC=NAOB+NBOC=1200+6=T50°,解得6=-270。，所以射线。3绕端点。顺时针旋转270°,故选：B变式L（2023高一课时练习）下列说法正确的有几个（）（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于0。小于90。的角；A.0个B.1个C2个D.3个【答案】C【解析】第一象限角的集合为。|0。+人360。<。<90。+h360。,22,锐角是大于0。小于90。的角，锐角的集合为a0°<<900,所以（1）错误，（2）正确，（3）正确，故选：C.变式2.（2023高一课时练习）时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（）A.-660B.140C.-140D.660【答案】A【解析】50÷60=j,则360。X3=300。，66因为时针都是顺时针旋转，所以时间经过1小时50分钟，分针转过的角度是Y60。.故选：A变式3.（2023高一课时练习）手表走过2小时，时针转过的角度为（）A.60oB.60oC.30oD.30°【答案】B【解析】时针每小时转过的角度为30。，由于时针顺时针旋转，因此时针转过的角度为负数.所以手表走过2小时，时针转过的角度为-30o2=YO0.故选：B【方法技巧与总结】理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.题型二：终边相同的角的表示例4.（2023全国高一课堂例题）在区间便,360。）内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角.-80°（2）1600°；(3)-819o36".【解析】(1)因为-80。=280。-360。，所以在区间0。,360°)内，与-80°角终边相同的角是280。，它是第四象限角.(2)S1600o=160o+4×360o,所以在区间360。)内，与1600。角终边相同的角是160。，它是第二象限角.(3)因为-819°36'=260o24'-3x360°,所以在区间0°,360°)内，与-819。36'角终边相同的角是260。24',它是第三象限角.例5.(2023全国高一随堂练习)写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-7206<360的元素厂写出来:(1)60;(2)-45;(3)1303181;(4)-225.【解析】与60终边相同的角的集合为划尸=60+k360,kz,135由-72060+360<360,11JW-<7,66当2=2时，=60-2×360=-660,当M=T时，夕=60-360=-300,当A=O时，6=60,所以，适合不等式-720Q<360的元素/为-660、-300、60.(2)因为T5=315-360,所以，与T5终边相同的角的集合为伊/=315+%36OMZ,231由一720315+Ar360<360,OO当上=一2时，夕=315-2×360=-405,当k=T时，£=315-360=-45,当A=O时，夕=315,所以，适合不等式-720<360的元素仅为Y05、-45、315.(3)因为130318'=22318'+3360,所以，与130318,终边相同的角的集合为加忸=223185360次Z,由一7204223.3+%360v360(AgZ),可得=-2、T、0,当=-2时，4=223182x360=T96421当A=-I时，夕=22318-360=73642',当A=O时，=22318',所以，适合不等式不20夕V360的元素尸为-49642'、73642'、22318,（4）因为-225=135-360,所以，与-225终边相同的角的集合为伊忸=35+h360wZ,195由一720135+h360<360,可得一%<G,OO当左=-2时，夕=135-2×360=-585,当无=T时,6=135-360=-225,当欠=0时，0=135.所以，适合不等式-7207<360的元素夕为-585、-225、135.例6.（2023全国高一随堂练习）在0。360。范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：-5418'（2）3958'；（3）-119030'（4）1563.【解析】（1）-5418'=30542'-360，所以，在0。360°范围内，与-5418'终边相同的角为30542,且-5418'为第四象限角.（2）因为3958'=358'+360,所以，在0o360。范围内，与3958'终边相同的角为358',旦3958'为第一象限角.（3）因为T19030'=249304x360，所以,在0°360°范围内，与-119030'终边相同的角为24930',且T19030'为第三象限角.（4）因为1563=123+4×360，所以，在0°360。范围内，与1563终边相同的角为123,且1563为第二象眼角.变式4.（2023全国高一随堂练习）下列角中哪些角与30角的终边相同：（1）210；（2）-330:（3）390；（4）750.【解析】（1）Y与30。角的终边相同的角为a=30+A360Mz,当=210时，30+攵36O=210，解得k=g成Z,210角与30。角的终边不相同.(2) 与30。角的终边相同的角为Q=30+h360,2z,当=-33O时.，30+360=-330，解得Z=TZ,/.-330角与30。角的终边相同.(3) .与30。角的终边相同的角为Q=30+h360次z,当a二39O时，30+h360=390,解得左=IwZ,390角与30。角的终边相同.(4) 与30。角的终边相同的角为a=30+h360次z,当=750时，30+h360=750,解得A=2Z,/.750角与30。角的终边相同.变式5.(2023全国高一随堂练习)写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式72(6<360。的元素万：(1)130318'(2)-225.【解析】(1)根据题意可知130318'=22318'+3360，所以与130318'终边相同的角的集合为伊4=22318'+h360eZ,易知当Z=O时,J=22318'当:=T时,£=13642'；当&=-2时，£=-49647；所以适合不等式-720o<p360o的元素夕有：22318',T3642',-49642'(2)与一225终边相同的角的集合为力|尸=-225+h36,keZ,易知当我=-1时，/7=-585；当A=O时，/7=-225；当A=I时，/?=135：所以适合不等式-720。<夕360。的元素夕有：一585,-225,135:变式6.(2023.全国高一随堂练习)分别写出终边在y轴正半轴、y轴负半轴和)，轴上的角的集合.【解析】终边在5轴正半轴上的最小正角为则终边在>轴正半轴上的角的集合为xx=5+2E次Z.终边在y轴负半轴上的最小正角为,，则终边在y轴负半轴上的角的集合为口|X=存2E,AZ.故终边在y轴轴上的角的集合为WX=I+exz.变式7.(2023全国高一课堂例题)已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在0。360。范围内与其终边相同的角.405。；-45。；(3)495°；(4)-520°.【解析】(1)405。角是第一象限角，405。=45。+360。，所以在0。360。范用内，与405。角终边相同的角是45。角；(2)Y5。角是第四象限角，-45o=315o-360o,所以在0。360。范围内，与T5。角终边相同的角是315。角：(3)495。角是第二象限角，495o=135o+360o,所以在Oo360。范围内，与495。角终边相同的角是135。角；(4)520。角是第三象限角，520。=200。2x360。，所以在()。360。范围内，与520。角终边相同的角是200°角；综上，(1)第一象限，与45。角终边相同，(2)第四象限，与315。角终边相同，(3)第二象限，与135。角终边相同，(4)第三象限，与200。角终边相同.变式8.(2023高一校考课时练习)已知%=-570。,。2=750。,四二120,72=-60.(1)指出四，巴各自终边所在的象限；(2)在-720。0。内找出与4,终边相同的所有角.【解析】(1)a,=-570=-360-210,在第二象限；%=750=2×360+30在第象限；(2)4=120,与由终边相同的角为上360。+120。,ZwZ,取A=T2一720。0。范围内与它们终边相同的所有角有-240,-600.与河=-60终边相同的角为匕360-60,取&=T0,则-720。0。范围内与它们终边相同的所有角有-420。,-60。.【方法技巧与总结】在0。360。范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)把任意角化为+k360o(Z0oa<360o)的形式，关键是确定左.可以用观察法(的绝对值较小)，也可用除法.(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.题型三：角区所在象限的研究n例7.(2023全国高一课堂例题)若角。是第二象限角，试确定角20,1是第几象限角.【解析】因为是第一象限角，所以90。+-360。<。<180。+上360°(婕2),可得180。+2匕360o<2a<360o+2k360o,ZZ,所以2可能是第:象限角、第四象限角或终边在>轴非正半轴上的角.又由Jl120o+30o<-<Ar120o+60o,Z,3ari当K=3"4Z时，360o+30o<y<360o+60oZ,此时彳是第一象限角；当k=3"+l,AZ时，n360o+150o<y<360o+180oZ,此时?是第二象限角；CfCX当无=3v+2eZ时,360o+270o<y<w360o+300o,Z,此时是第四象限角.综上所述，W可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角.例8.(2023高一课时练习)若角。是第二象限角，试确定加，春的终边所在位置.【解析】由于角。是第二象限角，所以2A+<<2k+,所以4A+:v20<4A+2r,k+-<-<k+-,422所以角力的终边落在第三象限、第四象限或丁轴的负半轴，角今的终边落在第一象限、第三象限.例9.(2023高一课时练习)若=h360+24,kerL,试确定2a,5分别是第几象限角.【解析】由a=A360+24得：加=2h360+48(%Z),.2为第一象限角；由=h360+24得：=-'0-÷12(Z),当攵=2(eZ)时，掾="360+12("Z),则3为第一象限角；当A=2+l(eZ)时，j=n360+192(neZ),则券为第三象限角；综上所述：加为第一象限角；趣为第一或第三象限角.变式9.(2023高一课时练习)设6是第一象限角，试探究:(1) 2。一定不是第几象限角？(2)号是第几象限角？【解析】(1)因为。是第一象限角，即2A4v<2k+gk?Z,所以4k<2<4k+,k三Zt所以2。一定不是第三、四象限角；(2)因为。是第一象限角，即2版v<2kr+Jk?Z,2所以马k"qv马k"jkwZ,3336当A=O时，o<W<g,4是第象限；363当2=1时，<,?是第二象限；3363当北=2时，y<j<y,W是第三象限：当欠=3时，2笈<?<孚，4是第一象限；363综上：g是第一、二、三象限角.变式10.(2023高一课时练习)已知角。的终边在第四象限.(1)试分别判断券、2是哪个象限的角；(2)求号的范围.【解析】Qa是第四象限的角，.2k+<a<2k+2(kZ),2,3ca,八丁、.,.+-<-<+(EZ)f当A=2(？Z)时，此时多是第二象限；当上=2”+15Z)时，此时多是第四象限；又2k+<a<2k+2(kZ)2此时20是第三象限或笫四象限或歹轴的非正半轴;(2) 2k兀+:<a<2k+1(kgZ)2变式11.(2023全国高一随堂练习)已知角的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限:(Dy；2a；(3);(4)3a.【解析】(I)由于。为第四象限角，所以芳+2EVa<2+2E,kZ,所以电+E<4<兀+E,AwZ,42当左=2时，+2z<-<+2三Z,终边在第二象限，42当欠=2h+1时，+2三<-<2+2zz,wZ,终边在第四象限，42所以今的终边在第二或第四象限；(2)由(1)得3+4V勿v4+4A,keZ,所以2a的终边在第三或第四象限，也可在>轴的负半轴上.，、I.、ZrITr.2兀Cc2,2Ti._(3)由(1)得一+%<<一+k,kZ,23333当=3时，2n<<+2,neZ,终边在第二象限，233当Z=3鹿+1时，+2w<<÷2zi,zzZ,终边在第三象限，633当A=3k+2时，坐+2M<=<2+2”Z,终边在第四象限，63所以上的终边在第一、第三或第四象限；9兀it(4)由(1)得一+6女兀<3<6兀+6E,kZ,即一+4冗+6A<3<2+4+6E,keZ,22所以3a的终边在第二或三或第四象限，也可在苍V轴的负半轴上.【方法技巧与总结】已知的范围，确定区的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据欠的取n值进行分类讨论，以确定4的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意.n题型四：象限角的判定例10.(2023甘肃天水高一秦安县第一中学校考期末)若。是第二象限角，则180,+是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D【解析】由题意。是第二象限角，所以不妨设360°M+90°V<180'+3604,仕Z),所以360Z+270°<+180°V360"+3604,(AcZ),由象限角的定义可知180+a是第四象限角.故选：D.例IL(2023高一单元测试)若。为第二象限角，则攵18(+(kZ)的终边所在的象限是()A.第二象限B.第一、二象限C.第一、三象限D.第二、四象限【答案】D【解析】因为。为第二象限角，则280。+90。VaV2"180o+180o,"Z,因此(2"+A)180o+90o<hl80o+<(2"+A)180o+1800,“MeZ,而2为偶数，当女为奇数时，2+左为奇数，则h8(+(AZ)为第四象限角，当女为偶数时，2+人为偶数，则匕18(+(&Z)为第二象限角，所以h180。+(AcZ)的终边所在的象限是第二、四象限.故选：D例12.(2023辽宁辽阳高一统考期末)若。是第二象限角，则-是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】B【解析】ItIa与一。的终边关于X轴对称，可知若a是第二象限角，则-a是第三象限用，所以-是第二象限角.故选：B.变式12.(2023内蒙古呼和浩特高一呼和浩特市土默特中学校考期中)若角。是第二象限角，则角。-270。的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】角。是第二象限角，则90+360鞅VaVI80+360?%#?Z.所以一180÷360%<a-270o<-90o+360%,keZ,故角a270。的终边在第三象限，故选：C变式13.（2023江西景德镇高一统考期中）角-2023。是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】因为-2023。=137。-6x360。，根据终边相同角的集合知，-2023。与137。终边相同，又137。是第二象限角.故选：B.变式14.（2023辽宁大连高一大连二十四中校考期中）若=Y,则是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】B【解析】因为-g<-4<-,故是第二象限角，故选：B.变式15.（2023高一课时练习）已知角的顶点与原点重合，始边落在X轴的非负半轴上，855。是第几象限角（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】B【解析】因为855°=2360°+135°,所以855。是第二象限角.故选：B.【方法技巧与总结】判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法（1）若。的绝对值比较大，可通过加上或减去360。的整数倍得到0。360。内或一360。7）。内的一个角（2）判断4所在象限，则仅在第几象限，就在第几象限.题型五：区域角的表示例13.（2023高一课时练习）已知角。的终边在如图所示的阴影区域内，则角券的取值范围是.【答案】jy15o+90o-<52.5o+-90o,zj【解析】终边在30。角的终边所在直线上的角的集合为S=30o+Z18（MZ,终边在18（）。-75。=105。角的终边所在直线上的角的集合为5,2=aa=105。+A180o,ZcZ,因此终边在题图中的阴影区域内的角。的取值范围是。|30。+-180。工。<105。+八180。,&£2,所以角今的取值范围是言5。+上90。*<52.5。+人90。次2卜故答案为：15o+90o三<52.5o+A90o,Z例14.（2023高一课时练习）已知角的终边在下图中，所表示的范围内（不含边界），则角1的范围为【答案】÷,+¼Z）【解析】由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为卜+2<<z<+2Zu+2A<<-÷2k,A:Zf.3,.r7l=<a-+k<a<+k,gZ>.44J故答案为：（e+%E+,仅CZ）例15.（2023安徽芜湖高一校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是【答案】-50o+360o40o+360o,Z【解析】因为终边落在射线。A上的角的集合是为=-5（+A360。次Z,终边落在射线。8上的角的集合为=40o+Z360rZ.所以终边落在阴影部分处（包括边界）的角。的集合是H-50o+A360oK40o+h360"eZ.故答案为：-50o+h360o4（r+k360o,AZ变式16.（2023山东烟台高一校考期末）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角。的集合是.【答案】同90+180<a<120+k180,kz【解析】因为终边落在y轴上的角为90+180oeZ,终边落在图中直线上的角为120°+左360o=120c+2180。,eZ;300o+n-360o=120°+180。+2180o=120°+（2n+1）180°,Z,即终边在直线上的角为120°+hl80。，kwZ,所以终边落在阴影部分的角为90°+%180oa120o+A18（）oeZ,故答案为：90o+hl80o12（T+hl80MZ变式17.（2023黑龙江哈尔滨高一尚志市尚志中学校考阶段练习）如图所示，写出顶点在原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合.【答案】0k360o-300<<9<360o+75o,Z【解析】阴影部分内的角的集合为平360-30o<e<&360o+75oZ故答案为：Jk3600-30°ve<h3600+75oZ.变式18.（2023高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：.【答案】2-a2A÷j,zj>【解析】因为75°=75焉=工，-30。=-91SO12o结合图像可看作卷范围内的角，结合任意角的概念可表示为1.612a2kt-a<2k+-,k三z.612I故答案为:2-<a<2A + -Z612变式19.（2023山西太原高一太原五中校考阶段练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角。的集合是【答案】如系2向今入Z【解析】由题图,终边OB对应角为温兰且在Z'终边。4对应角为M+?且"Z'所以阴影部分角夕的集合是如一会内亍入Z.故答案为：2/人£变式20.（2023湖北武汉高一武汉中学校考阶段练习）集合。|左80。+45”。”/80。+90。,攵2中,角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是（填序号）.【答案】【解析】当Z=O时，集合45o90",当Z=I时，集合225*270。,则可得出角所表示的取值范围为.故答案为：.【方法技巧与总结】区域角的写法可(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角二,p,写出所有与夕终边相同的角;(3)用不等式表示区域内的角，组成集合.题型六：弧度制与角度制的互化例16.(2023全国高一随堂练习)把下列各角的角度化成弧度：(1)135:90;(3)60:(4)-420.【解析】(1)由角度制与弧度制的互化公式，可得135=135×-=.1804(2)由角度制与弧度制的互化公式,(3)由角度制与弧度制的互化公式,(4)由角度制与弧度制的互化公式, 可得 90 =90×-=-.180 2可得 60 =60×-=-.180 3可得-420 =-420×-.1803例17.(2023全国高一随堂练习)把下列各角从度化为弧度:(1)180°；(2)90°；(3)45°；(4)30°；(5)120°；(6)270°.【解析】(1)180°=180XT=.180(2)90o = 90×-=180(3)45o = 45×-180(4)30o = 30×-180(5) 120o=120×-=.1803(6) 270o=270×-=.1802例18.(2023甘肃武威高一统考开学考试)将下列角度与弧度进行互化:(3)10°(4)-855°【解析】(1)卫IxdIXI80 =1533077=×180=-1051212(3)100 = 10× = (4)-855o×-=-180(5)=×180 =69066【方法技巧与总结】在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住加%/=180。，lo=2rad这一关系.用弧度作为单位时,180常出现万，如果题目没有特殊的要求，应当保留"的形式，不要写成小数.角度制与弧度制不得混用，如。=24乃+30。，k三Z;J=360o+,kZ都是不正确的写法.题型七：扇形的弧长及面积公式的应用例19.(2023浙江宁波高一校考阶段练习)已知一扇形的圆心角为(>0°),周长为C,面积为S,弧长为/,所在圆的半径为广.(1)若=30°,r=8,求扇形的弧长;(2)若C=16,5=16,求扇形的半径和圆心角.【解析】(1)由已知得=830x左=当;IoO3C = 2r + = J6(2)由已知得fr = 4 = 8I18081803600.a=-×=×=r4即扇形的半径为4,圆心角为吧.例20.（2023山西晋中高三介休一中校考阶段练习）圆心角为2的扇形的周长为4,则此扇形的面积为.【答案】1【解析】设扇形的半径为，弧长为/,则/+2r=4,又l=2r,所以r=l,1=2,扇形的面积S=-Zr=L2故答案为：L例21.（2023山东枣庄高一统考期末）已知弧长为mcm的弧所对圆心角为则这条弧所在圆的半径为一36cm.【答案】2【解析】依题意把=f=g代入公式=r得9=解得r=23663故答案为：2.变式21.（2023重庆长寿高一重庆市长寿中学校校考期中）已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是2,则扇形的周长为.【答案】42【解析】设扇形的半径为L由题意可得;2=2,解得r=,所以扇形的周长为2x+2x=4故答窠为：4>变式22.（2023四川广元高一四川省苍溪中学校校考期中）半径为2cm,圆心角为60。所对的弧长为cm.【答案】争声【解析】由题意，圆心角=g,则弧长=R=2=曰（Cm）.故答案为：y变式23.（2023上海嘉定高一校考期中）已知扇形的半径为IoCm,圆心角为60。，则该扇形的面积为一CHl2；,小田Q50;T,50【答案】/33TTTr10jr【解析】圆心角为60。，即圆心角为三，该扇形弧长为IXlO=-（cm）,所以该扇形的面积为竽XIO=孚（CmD.233故答案为：甲变式24.（2023上海奉贤高一校考期中）已知半径为2的扇形的圆心角为90,则扇形的面积为【答案】几【解析】因为半径厂=2扇形的圆心角为90，则圆心角。=5，所以弧长=r=x2=,面积S=,7=.22故答案为：丸变式25.（2023甘肃定西高一统考期末）如图1,折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，初纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AO6,其中NAoB=I20,AC=2OC=4,则扇面（曲边四边形ABOC）的面积是.73232【答案】y2it【解析】120°=y,由题意可得，扇形AOB的面积是g争6=12兀，扇形COD的面积是g等22=3.则扇面（曲边四边形ABoC）的面积是12-g=等.故答案为：券.变式26.（2023内蒙古呼伦贝尔高一海拉尔第一中学校考期末）已知扇形的弧长/为圆心角。为，则该扇形的面积S为.【答案】/-【解析】由题意可知，扇形的半径为='=?x3=2,a34,_n,c1f12c2故该扇形的面积为5=7/r=；7*丁*2=丁.2233故答案为：-【方法技巧与总结】有关扇形的弧长/,圆心角a,面积S的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用=R,S=LR=!R2两组公式.22题型八：扇形中的最值问题例22,(2023辽宁沈阳高一校联考期中)已知扇形的圆心角为所在圆的半径为匚(1)若。=150。/=10,求扇形的弧长.(2)若扇形的周长为24,当。为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积.【解析】(1)设扇形的弧长为/.因为=15(F,即=2j=o,6所以=r=2l=u.63(2)由题设条件，知/+2r=24,则=24-2r(0<"12),所以扇形的面积S=q=5(242r)r=-/+12=(r6+36.