数值分析第二版(朱晓临)期末真题汇总.docx

第一章有效数字，相对误差限1、要使诟的近似值I的相对误差的绝对值不超过。.01%,求/至少应具有几位有效数字？解设/至少应具有/位有效数字.因为4<际、所以后的第一个非零数字是4,即一的第一位有效数字=4,根据题意及定理1.2.1知，三-11II.1I一X10“=X10z+,0.01%=1()7x2al2x4解得5-lg8a5-0.903=4.097故取/=5,即/至少应具有5位有效数字。第二章范数，Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法(G-S迭代)，收敛，迭代矩阵，迭代步数M=lx-ll=(lJ2)i一、i=l.i=l.W=maxX11llo°<inH=(kJprZ=I<=¾2Tk1=1产17.9nIl4=l¾jlull.Ji=列和；MlI8-Il4=三x,JT行和；口矶=W(A"A),其中而诟=憾同，4为AA的特征值,A)M矩阵的条件数=MMill1,谱条件数：c°&（八）=MI2A-1二、JaCObi迭代：A=L+O+U；”二(/一C.；GaUSS-Seidel迭代:-=-(L÷D'÷(L÷D)-'超松弛迭代1+,=+6y÷,"3-5'A=1、L"48，那么"Moo=12,Cond（八）l=39-23一A-.2、设X=Q,5,-7,3)；L4-5，那么ML百，"刈尸2+5+7+3,Cond（八）I=363、对以下方程组建立收敛的Gauss.SeidH迭代格式，并说明理由。k>nkuQnr"l925)/YE8.56cm-/i1.47/25故需要迭代49次。2O-423(2)要到达精度£=1。，试估计上述所建立的收敛的Gauss-Seidel迭代格式需要的迭(O)(O)(O)TZZx八AT代步数;取初值居n)=(X“°)(注：向量范数都用/范数)解(1)调整上述方程组的次序，得-10x-4x+x=5,2x+IOx2-Tx3=8,3x+2x+IOx=15.,23(*)据此建立Gauss-Seidel迭代公式(把等号右边的k+1换成k就是Jacobi迭代格式)*>1ISiit>cN=To(-4:+X、-5Y=吉(-2丁+7»+8),*o=(-3<1,-2<,÷15)因为调整后的方程组的系数矩阵是严格对角占优的，所以据此建立的Gauss-Seidel迭4、线性方程组-4xl+x2+2x3=2,V2xl+5x2-X3=0,3xl-2x2+6xi=-1.分别写出求解上述方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵必和叫(2)计算范数伊儿和阿L判断求解上述方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式是否收敛？假设都收敛,哪个迭代格式收敛速度更快？解(1)因为原方程组的系数矩阵代公式所产生的序列H1都收敛。因为方程组(*)的系数矩阵-1023-41021-7IO-IOOOO10OOO10-4OO所以求解上述方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为BgOBg=-(D+L)1U=OO-2/52/2513/1251/1017/25-83/500所以-7O4=11叫,=maxq+卜2/5|十MoIJq+225+1725,0+131.+D+UO1/42'-2/5O1/51/21/3O(L+()=Z-D1A=9】对角线上的元素正好是对应的原矩阵对角线上元素的倒数)BG=TD+L)'U1/41/2.-1/100-19/120-1/4Kii1=I<1OOO9“2的嘲融剧亚布泰,所以用Gauss-Seidel迭代法迭代一次得:xlh=(-0.5,0.9,1.47)T,h-0,=max-0.5-(),0.9-0,1.47-0)=1.47解原方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式都收敛。因为网IV怅IL,所以GaUSS-Seidel迭代格式比Jacobi迭代格式收敛速度更快。-10 -4.r, ÷ 士 = -1, « 2X + 10 - 7; = 2, 5、线性方程组÷2x2÷10xj=3.(1)写出求解上述方程组的Gauss- Seidel 迭代格式。 写出求解上述方程组的Jacobi迭代 格式的迭代矩阵当。(3)计算范数阿卜,判断上述Jacobi迭 代格式是否收敛？假设收敛,试估计要到达 精度I。4, Jacobi迭代法所需的迭代步数;取初值=© 0,0)T.解(1)求解上述方程组的Gauss-Seidel迭代格 式为110110110(2)因为原方程组的系数矩阵-10-41OOO-10OO210-7=2OOO10O32IO32OOO10A+OOO所以求解上述方程组的Jacobi迭代格式的 迭代矩阵为'O -2/5 1/10'Bj=-D(L + U) = I-DiA= -1/507/10-3/10 -1/50 J因为忸儿=910<l,所以解原方程组的Jacobi迭代格式收敛。用Jacobi迭代法迭代一次得：x,0 =(0.h 0.2, 03)M-MTl =max0.1-0, 0.2-(), ().3-0 = 0.3k>ln41117=目°7(”力。)ln2,97.84,-/"0.3/10故需要迭代98次。6、假设迭代函数风。在有限区团向上满足以下两个条件：对任意的Xea,b9有奴x)w,切；x)在上存在，且(x)O,I'(x)L<1O试证明：(1)对任意初值/Gm，由迭代格式人=风心)(女=1，2,)产生的序列K收敛到方程X=奴X)的根小、卜-凡卜-7jv"vx-.lq-(2)估计式1"成立。(3)函数9*)在区间1a，加上存在唯一不-4O O-7¾it/0JlE(1)因为E是方程X=奴X)的根，所以由条件(1)知，飞=娱)/%由微分中值定理及条件得：,-x4=,)-以玉T)=px-x4-1)lx'-x4.lI<心x-o因为LL,所以当左-8时，对任意初值X。",序列优收敛到X.(2)T=取x)-奴Xi)I=()(x*-xt-l)Lx-ViI=L(xt-xA._,)+(4-xt)x-xt.1+Lx*-xk,解得一k = 1,2,先证：不动点/存在性.记f(x)=x-(x)f由条件有f(a)=a-(a)O及f(b)=b-(b)O假设有上述2个不等式有一个等号成立，那么/S)=0或/3)=0,即*3有不动点;否那么必有3)fS)<0.因为/(X)=X-G(X)在S向上连续，所以由零点定理知，必有力，使f()=-(x)=0即x'=9""),这说明丁是9(x)的不动点.后证：/的唯一性.设UE引“向都是例X)的不动点，M=。(XI)，工2二夕()，且X那么由Lagrange中值定理，得重实根，那么求父的改良的NeWton迭代公式为=X2)二X2l-7xL+15yl-9'C八七|)13花|14玉7+5o(记得一9)2、方程2+3x-7=0.(1)取初值%=°S,用NeWton迭代法求包(2)取初值=°&x'=09,用弦截法求.解(1)f(x)=2x3+3x-7f/'")=6+3,据此建立Newton迭代公式/(七一|)=2匕7+3%-77)Z6心+3忖-闾=|。(匕)-奴E)ITdc)a；-芯)|TdC)Il械痂鼠中P'阊那IW-,矛盾！这说明M=E,即不动点是唯一的.第三章改良的Newton迭代法，二分法，迭代法求方程，Newton迭代法，二重根，弦截法1、设/是方程*)=°的3重实根，那么求X的改良的Newton迭代公式为XX3/(/T)&-12O(2)设X*=3是方程F-7f+15x=9的2X=XO一2x+3x0-72×0.81+3×0.8-7998lC.o-C-16%+36×0.82+32x13+3x1-71L2x1.3228-+3x1.32281-=1.322o1；6x；+36×1.322812+3(2)弦截法迭代公式为-1)-2)/(V.)(2/.1+3占_-7)-(2Xiy+3/_2取初值=0区X=°9,代入上式计算得:x2=1.28719,X3=1.177253、(1)设八叫d是方程Fa)=°代格式；并证明求X的改良的NeWton迭代法至少是平方收敛的。（2）用弦截法求方程E+D'T=°在。4附近的实根V的近似值与.（取初值x0=0.4,X1=0.45)(1)证()即f(x)=(x-x*)mg(x),lim×÷g(x*)0)由式(3.4.4),得/、f(x)G)=77,_("上)g(x)mg(x)+(x)g'(%)'容易验证X#是方程MX)=O的草根,对它应再NeWtol4山）随从而可构造迭代蛰式f(x)z(x)z(x)Z2-(x:fgf(Xk)k=根时是至少平方收敛的,所以=XLHa"-/(WGEJ因为Newton迭代法X也是至少平方收敛的解弦截法格式为I3”)1)-J取初值XL。"，=。*,代入上式计算得:X2=0.466615,怎=0.4655555、（1）用改良的Newton迭代法求方程f-3f+3f7=0的重根，取初值v=2,求0"（要求先验证重根的重数J用弦截法求上述方程的单根,取初值E=O.5,XI=O.4,求与4解记)=x4-3+3-"因为/(1)=-3×+3×1j-1=0,/(l)=4×f-9×f+6x1-1=0,/(1)=12x1：-18x1+6=0,*(1)=24x1-18=6/0,所以E=I是方程J-3/+3/-x=°的3重根。求X的改良的Newton迭代格式为r_rQ/(Y-)_a玉-1-3JT+3%_f«_“'lf,(xk-i)I4A-t-9xL1+6-.1-l,34xf2.(x)=4x2i=o()(2)设Za=°/，2,3)是互异的点，1.=O,1,2,3)是Lagrange插值基函数，那ZXi(Xi-1)=(X)=X(X-I)2.么T=(-2x+5)的:商U,2,3,4,5=取初值*。=2,代入上式计算得：设/(x)=6/-5J+7,那么差商i=1.14286,X2=1.00571f1,2,2015=$求X的弦截法格式为假设/3=-3+5/+7,那么差商Xl-%-2.)-1)7ga/0,1,2,，7=生，/0,l,2,8=q女= 2,3,、取初值=。5 A=。代入上式计算得:2 =0.761506, j =0.810598第四章Lagrange插值多项式，多项式，NeWtOn插值多项 式，差商表，三次Hermite插值多项式，带重节点 的差商表，三次样条，三次自然样条，第一边界条 件1、设(i = 0J2,3)是互异的点，/G)(i = 0J23)是 Lagrange 插值基函数， 那么为节点的二次Lagrange(<1-31+31-)-(<2-32+3砧函翻八幻以°2插值多项式p2()=fX二2/(0)+(.v-0)(x2)(x0Xx1)(0-1)(0-2)(1-0)(1-2)(2-0)(2-I)PMX)二11三4、(1)设函数)=e",P2(x)是以°,1'2为节点的/“)的二次Lagrange插值多项式，那么余项e-2x-P2M=-4e-2/3MX-I)(X-2),其中J介于0,1,2,X之间。(Lagrange插值余项rn(x)=f(x)-p11(x)=11(x)0n*1)()(n+l)!,n表次数)(2)设函数f(x)=cos2x,巴是以T°2为节点的/的3次Lagrange插值多项式，那么余项条:S(x)=O<xl,2+Z>(-1)+c(x-1)+(x-l),1X<2,2cos2/(x)-Pi(X)=(X+I)X(XT)(X-2).7、设S(X)是函数/S)在区间。，2】上满足第一5、用以下表中的数据求次数不超过4次的插值多项式“，使之满足P(M=人即，类边界条件的三次样条:S(X)=«i=0J2,和S0(x)=2-3x+4,Sl(X)=(X-I)a+b(x-I)2+cx-1)+3,1-2.Pa)=八七)，Pa)=raj.(要求写出差商求/(0),八2).解表)012/(Xj)237f,w12因为S(X)是。2上的三次样条，所以有3=G12=2b.解得c=3,b=6;代入S(X),得S*)=1 X 2.解根据表中的数据建立差商表Xo=O/()=2=/()=2=1X=If(x,)=3/(,a=1/j,1=OSeI(X)=2xi-3x+4,Si(X)=(X-I)3+6(x-I)2+3(x-1)+3,因为S(X)是函数/*)在区间。2上满足第一石=If(Xl)=3fx,XJ=2f",xJ=O5/x"0,闻=0磁边界条件的二次样条,所以(此步计算错误)%2=2/(x2)=7/x1,x,=4fxl,x1,x2=2/d,xpx1,2=那么所求插值多项式为P(X)=/+/,(-V-)+/¼X0,(x-)2+/,i(-)2U-i)+X0,X,X,X2(x-.=2+x+0+0.25/(X-1)+0,25x2(x-1)2=2+-0.25+0.25./'(O)=S'(O)=SXO)=40.75/0,XojXpXijXj=0.25/=S'(2)=S：(2)=13.c0)2(x-x1)28、设函数/(x)=sin2x,P2CO是f(x)的以S(X)=V6、三次样条50(x),0x<l,Sl(x),x20,005,0.1为节点的二次Lagrange插值多项式，求P2(°°3)至少有几位有效数字？结点XT处的连续性条件Sin0.060.05)964；要求用Lagrange插S：= Sf)(D, & =0,1,2.(2)设S是函数/在区间1°，2上的三次样值余项公式求。)解因8.5127.072，其中专介于/(0.03)=sin0.06=0.059964=0.59964×WlXQ=1,玉=2,X?=3,内=4;x4=5；y0=1.409,y=1.507,y2=1.738,y3=1.845,J4=2.011.,所以m二一1又因为(%,%)=Zlxl=5,(%,/)=ZlXXj=15,r=0J=O(%J)=i?Xy=0fM-N(X)=(X-0)(x-0.05)(x-0.1)=也唯/窈圜注粉Kr=55,4(0J)=fxJ-O3!潮去方程组=-4c°s2x(x-0.05)(X-0.1)解得c°=l2394,j=01542.于是，所求多项式所以存在。介于6°°5,°i与os之间，使得为PI(X)=I.2394+0.1542X(0.03)-p2(0.03)=-4c°s210.03(0.03-0.0i3Wl2324Qfb-Pu)=Z乃一(L2394+0.1542%,)=0.0033236.-×0.03(0.03-0.05)(0.03-0.1)-0=0.000056=0.056×W3<0.5XKT，=0.5x10*2,故Pz(003)至少有2位有效数字。2、（2次）最小二乘多项式，拟合多项式第五章拟合，1次最小二乘多项式，2次最小二乘多项式i01234Xi12345X 1.409 1.507 1.738 1.845 2.0111、（1次）求拟合以下表中数据的线性最小二乘多项式，取权4。i=°J234,并计算总误差。.解根据题意，得（m=4-l）w=3,n=1,夕O(X)=1,i(x)=x,pi三1(i=0,1,2,3)(i=0,1,234)Xi0.0.0.20.5,Oy1.0001.2211.6492J表5.2.1式，求积公式，代数精度，复化梯形求积公式，复化Simpson求积公式，数值求积公式，Gauss型求积公式，两点古典GaUSs,三点古典GaUSS求积公式Xo = 0.0, x1 = 0.2, X2 = 0.5, X3 = 0.7 yo = 1.000, y1 = 1.221, y2 = 1.649, y3故所求二次拟合多项式为p2(x) = 1.006 + 0.854% +表5.2.2给出了以丘芨画越画蓬1 、=U)1、求积公式E至少具有次代数精度。2、设函数/(139)=5.4706,/(1.40)=5.7978,/(1.41)=6.1653/用三点数值微分公式计算八I4)的近似值34.735,用三点数值微分公式计算八L4。)的近似值是403.m + 1 XXii = 0川mXi x? i=0i=0< =0mii = 0两点公式：/'(Xo)=；"(Xl)-/(/)-hmAiXi+1-i = 0/ = 0/'(匕)=y()-()+-hL三点数值微分：ri « P. i = 0E PiXi i0*ELj = Opiipi2ii=0i=0 Pi×2i PiX2-i0i=0 * PiXi"1 PiXi+2 加小8-3加M+4/-/优武Ih.1 l22/16/=J加4/闻+3佝+:第八章两点、三点、中点公式，步长h,三点数值微分公Ih33、(1)设=Jjk./(0)+f(2)=4,用=2(即将积分区间O21分成2段)的复化梯形求积公式计算/的结果与用Simpson求积公式计算/的结果相同，那么/()=2.(2)设J。'，假设用梯形求积公式计算/,结果是4；用SimPSOn求积公式计算/,结果是2.那么八1)=3.4、设，=筋'"/(0)=/(3)=a(a未知)，川)=2,/(2)=2.5,用=3(即将积分区间1°，31分成3段)的复化梯形求积公式计算/,得5.5；用Simpson求积公式计算/,得5,求。和/(1.5).解注意Xi+=½(×i+Xi+)复合梯形公式TnW4(。)+217)÷fW余项Rn=-;Eswr'(<，k三，/+1)辛普森公式Sb=汐+4£仁#&+0+22!(k)+W余项Rn=-击42=O/(4)(fk)»fke(k>rk+l)根据题意得复化梯形：T3=(0)+2/(1)+2/(2)+/(3)=+2×乙乙解得=L _n1S = -/(0) + 4/(1.5) + /(3) = -l + 4×(1.5) + l = 5 o29解得 L5) = 25、确定不“A，A,使以下求积公式为Gauss型求积公式 f(x)dv Af(xt) + AJ(X2)用中所得的求积公式计算/ = JpsiEdx的近似值(保存4位小数)。解(1)因为两点Gauss型求积公式具有3次代 数精度，所以上述求积公式假设是GaUSS型求积公式，那么当八AAL X' A'' J时，上述 求积公式应准确成立，由此得：2 = A, + A，O = A1X1 + Az， 4 2/3 = AM+ AdO = Ax' + A、x：, 故所求两点'()dx(-) + )因为AX) =/sin3" 所以用上述两点 Gauss公式计算 J' 'n"d'的近似值为： / AJ(XJ + AJ(Z) = F(一±)+ /(古)282084.6、确定小A，A,使下面的求积公式具有 尽可能高的代数精度。2 +f 7蓄酒外花胡)+ AJ(O) ÷ AJ(h2)(2)用两点古典Gauss公式计算=JYsind”的近似值。Simpson： 设上述求积公式对X) = L H厂准确成立,1、四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差是竺2,其整体截断误差是丝也.解上 4=46/3,2=i40+A1+A,<0=4(i2)+4M2),2"3=4(424)+2(肥/4).述方程组，A=-2/3,A2=4h3,2、求解初值问题"加外.°)=1的改良的EIlIer方法的增量函数奴人/:)=/(/,y)+f(t+h,y+hf>1)于是上述求积公式化为/(x)d"FJ-A3(去掉A2)/(-A2)-(0)+A(A2)(*)3、写出改良的Euler方法的增量函数Iy(O) = 1的解y在经验证，求积公式(*)对幻准确成立,但当X)=Xq时，(*)左边等于2/“5,而其右边用改良的Euler方法求解初值问题(Z)+ry(Z)-y=0,sin3F等于力/6；即求积公式(*)对Ax)='4不准确成立；于是求积公式(*)具有3次代数精度。(2)=0,/?=1,rl=-=,Q=金,As=A2=,/(x)=/=02L0.4处的近似值，要求小数点后保存5位数字(取步长=。2)。改良的Euler方法的增量函数为(t,y,h)=f(t,>1)+f(t+h,y+hf(t,)，).b-aa'=b-ax2=z2+_1=5一访114.223,故用上述两点Gauss公式计算=J>2sixdx的近似值:hH/A(-x)÷y(x2)1=2,xz-+,×4)oi,i245(2)一、4/f(r,y)=ty根据题设知y.,那么改良的Euler方法的计算格式为PN=L+/(&%)，Ml=XI+4'S*L)+，+J,由y0=y()=,/?=0.2,得y=y0+>yo)=1÷2×li-o×I=1,y=%+*/依，%)+/&,工)=+给-0×l÷4x0.21y2=y1+(r1,y1)=1.06+0.2×4×0?、-0.2x1.06=1.16854,1.06)= .06 +竽4x0.2 _ _ ,八八(4×0.4 C “，i .0.2 × 1.06 +0.4 × 1.168541.06) (1.16854第七章Eular,改良的Eular方法，三阶Runge-Kutta方法,四阶Runge-Kutta方法，初值问题I1%=y+(%M)+f(f2,%)所以，W)在"°2=°4处的近似值分别为y=I.06,y2=1.204454、(1)证明EUIer方法是1阶精度研究微分方程数值解法的误差时，为什么可以用局部截断误差代替整体截断误差。(2)用改良的EuIer方法求解以下初值问题，取步长/"OS.4=几+4八-X)，月=X1%=”+工)，上=】于是(1)证M)=-y(f)(i+y"),J(O)=LOWt:%=yu+A×/(,yo)=1-0.5×l×(1+0×1)=0.5,/:_0.5F=其+ff.,y11)+/(，);)=I-×fi×(i+o×i)+o.5×(i+o.5×o.5)o22 =yt+h× f(t ,y) 0.59375 - 0.5 × 0,59375 ×(l + 0,5× 0.59375) 0.20874.hE=X+-x"(,) + E)J2=0.59375- -×0.59375×(l + 0.5×0.59375) + 0.20874×(1 + I×0.20874) 2设那么血)=f("(G).将y(G在，处作Taylor展开,iy(fa.l)=y(r,+)=y(n)÷,y(f)+-y()fl,< < 匚、由 Euler5、用改良的EUIer方法求解以下初值问题,取步长力二。-5,=X+力/，>.)=)")+/9，>&)=W)÷y(Oy(t)-y上面两式相减得=y'(G=os')2*叶q,XD=2.解：(2)根据JS设知/(f,y) = 0则改迸的EUI于是p+=2=>P=L即EUler方法具有1阶精度。解记,y)=-y(+y),y0=,乙=。，力=。5那么”051,且改良的EUIer格式为五=%+"(jy)<D"+'，(J兄)+“L，且j，2=w+(,yj%="+Wf乙Jo=)=l.=0.5,得口=1，=三+*(Wo)=l÷-5×3×1TToh儿=No+5/(MNo)+/(不对=14%f+力加M=3+05XT%=弘+*/&乂)+，(5)=3三阶Runge-Kutta公式(RungerKuttafo11y11+=+Mkl+4Zc2+k3)9kl=f(tn,yf),gg%2=ftn÷专9,÷*心)，k3=f(tn+h,yrt-hk1+2hk2.步计算4次函数/(f,y)的值,那么可以导於KUtta公式.详细推导过程这里略去,本yn+=yrt÷¼(+2k2÷2k3÷kJ,0k=k2=ftn+弥1)，k3=/(rrt+÷4七卜C4=/(t>>÷-i-Vn_)ITfF茹三e-Kutta于法ZPSSiCalRun例7.3.2取步长h=0l,分别用三阶RUnge.KUtta方法(7.3典Runge-Kutta方法(7.3.14)求解初值问题：J(0=y+t2e,1r2,Iy(I)=0.解根据题设知卜二0."("=多+乃门三阶Runge-Kutta方法(7.3.13)的计算格式为 3 二 ?(yn -0,1fc +2×0.1× 幻)+ (tn +0.1 tn + 0.1 ,，6、取步长h=l,分别用三阶Runge-Kuttu方法和四阶经典Runge-Kuttu方法求解初值问题：四阶经典R-K方法(7.3.14)的计算格式为O1%+】=+皆X(的+2k2+2kk=-yn+de,",*-fc2=7.+o,2(y"+ll)+fc三=7-72(>,"+1×2)÷k4=0+0.1×3)+C初始值均为yo=y(D=0,将计算结果列于表7.3表7.3.2三阶R-K方法四阶经典R-KHt.X-y-010011.10.3456111O.3459i21.20.8594490.86662131.31.60604471.60718141.42.61862802.62031151.53.96528053.96760161.65.71782345.72087S71.77.95987977.96377181.810.788666110.7935091.914.317042914.32293102.018.675856818.68292从表7.3.2可以看出，三阶RK方法至少有3让本小右Urfr)Wr