指数函数知识点总结.docx

指数函数(一)指数与指数哥的运算1 .根式的概念：一般地，如果x"=,那么X叫做。的次方根，其中>1,且.负数没有偶次方根；O的任何次方根都是0,记作次=0。当是奇数时，海=，当是偶数时，t4a=a=a('0)-a("O)2 .分数指数累正数的分数指数第的意义，规定：man=,4a(a>0,m,nENn>)511.an=1,(>0,肛N",>1)7NamanO的正分数指数累等于O,O的负分数指数哥没有意义3.实数指数幕的运算性质(1) cr.ar=ar+"(4>O,r,sH);(2)(优)'=。"(4>0,swR);(ah)r=aras(>0,sR).(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数=/(。>0,且4/1)叫做指数函数，其中X是自变量，函数的定义域为R.注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在a,b±,£)='伯>0且£1工1)值域是任(2)1(明或任”)()(2)假设x0,那么f(x)wl;f(X)里遍所有正数当且仅当XcR；(3)对于指数函数£6)='(2>0且2。1),总有£(1)=2；指数函数例题解析【例1】求以下函数的定义域与值域:(l)y=32-(2)y=2x+2-1(3)y=3-3-,解(1)定义域为XWR且x2.值域y>0且yl.(2)由2X+2-120,得定义域xx2-2,值域为y0.(3)3-3x1>0,得定义域是xxW2,V03-3-l<3,，值域是OWyVVL练习：(1)y二2±；(2)y=()w;(3)y=4v+2j+,÷l;【例2】指数函数y=aX,y=bx,y/x,y=dX的图像如图2.62所示，那么a、b、c、d、1之间的大小关系是A.a<b<l<c<dB.a<b<l<d<cC.b<a<l<d<cD.c<d<l<a<b练习：指数函数/(乃=加g。)="图2 . 6-2满足不等式】 > 万 >掰>U ,那么它们的图象是().解选(c),在X轴上任取一点(x,0),那么得bVaVlVdVc.【例3】比拟大小：(1)2sy2>V?、V8nM石的大小关系是：_43-(2)0.65(一)2(3)4.5413.736LI234解,=2"班=",V4=27,8=28,V16=2,函数y=2j,2>1,该函数在(-8,+8)上是增函数，又;+：.正返返限曰,i3-解(2)V0.65>1,1>(一)2,3 3-10.65>(一)2.2解(3)借助数4.536打桥，利用指数函数的单调性，4.541>4.536,作函数y1=4.5x,y2=3.7x的图像如图2.6-3,取x=3.6,得4.536>3.7364.541>3.736.说明如何比拟两个哥的大小：假设不同底先化为同底的基，再利用指数函数的单调性进行比拟，如例2中的(1).假设是两个不同底且指数也不同的第比拟大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2).其二构造一个新的易作桥梁，这个新的哥具有与4.5人1同底与3.736同指数的特点，即为4.536(或3.7虫1),如例2中的(3).练习：(1)L725与1.73(2)O.8o,与0.8o2(3)1.7(U与0.9x,(4)3.5和2.7【例4】比较大小11WT7与/(a>O且aWl,n>l).当OVaVl, Vn>l,n(n -1)>0,.a时VI,na7<Va;zr当a>l时，Vn>l,!->0,n(n-1)a而>1,【例5】作出以下函数的图像：(Dy=()x+,(2)y=2x-2,(3)y=2x1(4)y=l-3x解（l）y=（g）%的图像（如图2.6-4）,过点（0，g）及（一1,1）.是把函数y=（；）X的图像向左平移1个单位得到的.解（2）y=2X-2的图像（如图2.65）是把函数y=2X的图像向下平移2个单位得到的.解（3）利用翻折变换，先作y=2x的图像，再把y=2x的图像向右平移1个单位，就得y=2xT的图像（如图2.6-6）.解（4）作函数y=3X的图像关于X轴的对称图像得y=-3X的图像，再把y=-3*的图像向上平移1个单位，保存其在X轴及X轴上方局部不变，把X轴下方的图像以X轴为对称轴翻折到X轴上方而得到.（如图2.6-7）ax-1【例8】已知f（x）=丁一7（a>l）（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的值域；（3）证明f（x）在a+1区间（-8,+8）上是增函数.解(1)定义域是Rf(x) =a-x -1ax +1.,函数f()为奇函数.a'1 1 V "H 1(2)函数.yWl,有a* = -= f>O=>-l<y<l, a +1y-11-y即f()的值域为(一 L 1).(3)设任意取两个值町、×2 (, +8)且XlVX2 f(xpf«2)avl ax2-l = 2(ax>-ax2) 前一正L(a+l)(aX2+i)Va>l, x1<x2, ax,<ax2, (ax,÷l)(aX2 + l)>0, .f(x)Vf(x2),故f(x)在R上为增函数.单元测试题一、选择题：1此题共12小题，每题5分，共60分)结果是(3、假设4>lgv,且/ + i=20那么一。”的值等于()D、D、a2A. 6B、±2C、-2D、24、函数/。)=(/一1)、在R上是减函数，那么。的取值范围是(A、时>1B、同<2C、<JD、1<4<J55、以下函数式中，满足F(X+l)=gF(X)的是()A、(x+1)B、XHC、2vD、2'246、以下/(x)=(l+诡>是()A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数7、a>b,ab3 以下不等式(1) a2 >b2； (2) T > 2h ； &-<- a bI 1(4)凡中恒成立的有()A、1个B、2个C、3个D、4个2x-l8、函数)，=-；是()2r÷lC、既奇又偶函数D、非奇非偶函数A、奇函数B、偶函数9、函数y=L的值域是(2x-lD、(, 1) U(, ÷)A(o,l)(-,0)(0,+oo)C、(-l,+)10、OVqVl力一1,那么函数y="+力的图像必定不经过()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限11、/(X)=(I+/J(jHo)是偶函数，且f()不恒等于零，那么/(幻()A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%,那么年后这批设备的价值为()A、na(-boo)B、a(-nboo)C、al-(/?%)"D、a(-boo)n二、填空题：此题共4小题，每题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上)13、假设10'=3,10'=4,那么I(Ty=14、函数y=(g)(-3WxWl)的值域是o15、函数丫=32-3/的单调递减区间是16、假设/(52i)=x-2,那么/(125)=三、解答题：(此题共6小题，共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17、设Ovovl,解关于X的不等式/an/+?-。18、19、x-3,21,求f(x)=-4+1的最小值与最大值。l42(12"÷ci220、/ 1 xx2+2x+5 函数y=j,求其单调区间及值域。21、假设函数)，=4' -3.2' +3的值域为1,7,试确定X的取值范围。22、函数/(X)=ax + (67 >1) (1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明/(乃是R上的设.WR-(X)=F-MH),试确定。的值，使幻为奇函数。增函数。指数与指数函数同步练习参考答案题号123456789101112答案ACCDDBCADAAD二、13、-471、914、jJ，3。，令。=一2/-8工+1=-2*+2)2+9,:一3Wxl,.-9WU9,又y=(g)为减函数，(g)3<315、(0,+),令y=3",U=2-3d,<y=3"为增函数，工y=32-3,的单调递减区间为(O,y)。16、0,/(125)=/(53)=/(52x2-1)=2-2=0三、17、YOvavl,y=在(yo,+8)上为减函数，Va223x+2>a22x3,2x2-3x+2<2x2+2x-3=>x>118、/(x)=-+1=4-v-2x+1=2-2x-2-r+1=f2"x->I+-,J4*2XI2J4V-3,2,28.那么当2一'=；,即X=I时，/a)有最小值;；当2'=8,即4=一3时，/(幻有最大值57。19、要使/(幻为奇函数，YxR,需V)+(r)=0,而二O2a+12x + 1222x+,/(x)=a,f(-x)=a=aJ2r+2-+l2v+lIa-2(2r + l)2v + l20、令y=(,J,C=x2+2x+5,那么y是关于U的减函数，而U是(十,一1)上的减函数，(-l,+)zx2+2x+5上的增函数，y=("J在(TGT)上是增函数，而在(一1,+8)上是减函数，又.zxx2+2x+5t=x2+2x+5=(x+l)2+4>4,=的值域为21、y=4"-32'+3=22x-32'+3,依题意有. 22 'W4或 0<2 '1,(2*)2-32+3W7-12a4即4(2a)2-32a+3122或2'1由函数y=2'的单调性可得(-oo,01,2.22、Y定义域为X/且/S)=Wh察="AX)是奇函数;/(X)=V9=1一，1"+1>1，0</1<2,即/3的值域为(一1,1)；(3)设3,%2R，且玉<“2，ax -1 /(1)-(2)0t2-l优,+I2/-2/2 +l)(*+i)<0 (分母大于零，且<"f(x)是R上的增函数。