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抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等)，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型：特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k0)f(x+y)=f(x)+f(y)基函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)或f(2)=3yf(y)指数函数f(x)=ax(a>0且a#l)f(x+y)=f(x)f(y)或fJ_y)=If(y)对数函数f(x)=logax(a>0且a#)f(xy)=f(x)+f(y)或.二)=f(x)_f(y)1y正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanxf(x+y)=,f()+f(y)1-f(x)f(y)余切函数f(x)=colxf(x-,y)l-f<×>f<y>f()+f(y)目录：二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题八、综合问题一.定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求。例L假设函数y=flx)的定义域是-2,2,那么函数y=f(x+D+f(xl)的定义域为一1X1°解：f(x)的定义域是意思是凡被f作用的对象都在-2,2中。评析：f(x)的定义域是A,求/(dx)的定义域问题，相当于解内函数9(x)的不等式问题。练习：函数f(x)的定义域是,求函数/,og(3.)的定义域。U例2：函数/(log?%)的定义域为3,11,求函数f(x)的定义域o1,Iog3Il评析：函数/(8CV)的定义域是A,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数°(x)的值域。练习：定义在(3,8上的函数f(x)的值域为-2,2,假设它的反函数为fT(x),那么y=fT(2-3x)的定义域为,值域为。(l,(3,8二、求值问题抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验；例3.对任意实数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(l)WO,那么f(2001)=.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：=r,y=,f(n÷1)=f(n)+2(1)2,令x=0,y=l,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2,令x=y=0,得：f(0)=0,.f(l)=L即f(n+l)-Rn)=±故f(n)=.f(2001)=a”.2222R上的奇函数y=f(x)有反函数y=P(x),由y=f(x+l)与y=fq(x+2)互为反函数，那么f(2009)=.解析：由于求的是f(2009),可由y=P(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+l)=f(x)2又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.f(x)是定义在R上的函数，f(l)=l,且对任意xR都有f(x+5)2f(x)+5,f(x+l)Wf(x)+l.假设g(x)=f(x)+l-x,那么g(2002)=.1解由g(x)=f(x)+l-x,得f(x)=g(x)+x-l.而f(x÷5)f(x)+5,所以g(x+5)+(x+5)-lg(x)+x-l+5,又f(x+1)f(x)+1,所以g(x+l)+(x+1)-1g(x)+x-l+1即g(x+5)g(x),g(x+l)g(x).所以g(x)Wg(x+5)Wg(x+4)g(x+3)g(x+2)Wg(x+l).故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.练习：1.f(x)的定义域为(0,m),对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2,那么/(戈)二)2.如果f(X+y)=f(x)f(y),且f=2,则普+譬+粤+警町的值是。2000f(l)f(3)f(5)f(2001)/5) = 2",原式:16)2(1)+(2)i/2(2)+/(4)/2(3)+/(6),/2(4)+/(8)/(D/(3)/(5)/(7)3、对任意整数x,y函数y=f(x)满足:/(+y)=(x)+(y)+l,假设/(1)=1,那么/(-8)=CA.-lB.lC.19D.434、函数f(x)为R上的偶函数，对xR都有+6)=(x)+(3)成立，假设/(1)=2,那么/(2005)=()(B)A.2005B.2C.lD.05、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=P(Xr又Y=f(x)过点(2,1),Y=f(2x)的反函数为Y=(2x),那么Y=F(16)为()（八）A) -B) C) 8 D)8166、已知为实数，且O<<lJ(x)是定义由0,1 上的函数，满足f(0) = OJ=L对所有Xy, 均荀(手)=(1 - )(x) + af(y)求的值(2)求的值三、值域问题165、(1) /(；) = a (5) = a?, /弓)=(1 一 )“ + a1 3XA(y) = /(A) = (1 - / + aa + «(1 - ),可解痴=-2IIO H I Q匆勺)=b, WJ(-) = /(-y2) = - f(-)/(y) = 2"同喇(5)= 3ft. ,(1) = Ib例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在N%,使得/(X1)/(x2),求函数f(x)的值域。解：令x=y=O,有f(O)=O或f(0)=1。假设f(0)=0,那么f(x)=f(O+x)=f(x)f(O)=O恒成立，这与存在实数百,使得/()成立矛盾，故f(0)0,必有f(0)=lo由于f(+y)=f()f(y)对任意实数x、y均成立，因此，“幻=(/(1)o,又因为假设f(x)=0,那么f(0)=f(X-X)=f(x)f(-X)=O与f(0)0矛盾,所以f(x)>0.四、解析式问题(换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例5.f(I+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)解:令u=l+sinx,那么SinX=U-I(OWUW2),那么f(u)=-u，3u+l(OWUW2)故f(x)=-43x+l(OWUW2)小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的根本方法.例6、设对满足xz0,xWl的所有实数X,函数f(x)满足，/(6+(±l)=+,求f(x)的解析式。解:.f(x)+f(土二i)=l+x(xO且XWI),(1)一用忙1代换看导：/(£11)+_!_)=吐1/2)XXXI-xX再以一代换(1)中的X得：f(-J-)+O)=2W.(3)由+得:f()='=X、I(XHo且XHI)l-x1-XIX22x-2x小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保存一个变量，是实现这种转化的重要策略。例7.f(x)是多项式函数，且f(x+l)+f(x-l)=224x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c(a0),代入比拟系数得:a=l,b=-2,c=-l,f(x)=x2-2x-l.小结：如果抽象函数的类型是确定的，那么可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题,例8.是否存在这样的函数f(x),使以下三个条件：f(n)>O,nN;f(ni+n2)=f(m)f(n2)m,n2£N*;f(2)=4同时成立?假设存在,求出函数f(x)的解析式；假设不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(l+l)=4,解得f(l)=2.又f(2)=4=2"(3)=23,由此猜测:f(x)=2x(XWN*)(数学归纳证明略)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例9、/(x)是定义在R上的偶函数，且/(x-)=(x+g)恒成立，当x2,3时，/(x)=x,那么当xw(-2,0)时，函数f(x)的解析式为(D)A.|x2jB.x+4C.2÷x÷1D.3x÷1|解：易知=2,当xw(-2,1)时,x+4w(2,3),.(x+4)=x+4=(x);当X£(-1,0)时2-X(2,3),/(2-x)=2-x=f(-x)=f(x).应选D。小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到区间，利用区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。练习：1、设y=f(x)是实数函数:即x,f(x)为实数),且f(x)-2f(3=x,求证:If(X)I2IX3解:用L代换X,得f(L)-2f(x)=L,与己知!得2+3Xf(X)+2=0，由之。得9f2(x)-4×20,.Jf(x)2.XXX32.12006重庆)定义域为R的函数f(x)满足用()-x2+x)RW-2+x.(I)假设(2)=3,求川)；又假设7(0)=,求取);(II)设有且仅有一个实数为，使得兀Co)=即，求函数兀0的解析表达式。角军：(/)因为对任意XWR，宜f(fg-2+)=/O)-2+所以x(2)-22+2)=/(2)-22÷2又ll(2)=3,彳郎(3-22÷2)=3-22÷2,B11y(l)=1三i(O)=",贝V(-O2÷O)=a-O2÷O,艮2)=a(11)因为对任意XR，(x)-x2+x)=/M-X2+X.又因为有且只有一个实数知使版(XO)=Xo所以对任意X/?,有Y(X)XZ+X=X0在上式中令X=Xq,<Z(X0)-Xo+xO=xO再代/(XO)=X0,得Xtl一片=0,故X(J=O或=l若O=0,贝Q/Xx)2+X=O,HP,(-)=X2X但方程V-X=X有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故与工0若Xo=1,则有了(K)-+=1,艮Iy(X)=X2-X+易验证该函数浦足题设条件。综上，所求函数为f(x)=2一+l(XGR)3、函数/G)对一切实数x,y均有+y)y)=+2y+l)x成立，且/(D=0,(1)求F(O)的值；(2)对任意的玉e(0)，x2(0,-),都有f(3+2"og内成立时，求。的取值范围.解:(1)由等式f+y)-f(y)=+2y+l)x,令X=1,y=O得/-/(0)=2,Xv/(l)=0,/(0)=-2.(2)由f(x+y)-(y)=(x+2y+l)X,令y=O得/(x)-(0)=(x+l)x,由(1)知/(O)2、：./(x)+2=x+R.丁项W(O_L),，/(X)+2=x；+W=(x+)'-7在.W(0,)上单调递增，.f(1)÷2(0,).要使任意玉(O,/),/(0,5)都有f(V)+2Vlog“电成立，必有31131log,X2时，IogaX2<l0g.5,显然不成立.当0<。<1时，(logttx2>)logrl-»解得<1"的取值范围是:，1).方法提炼怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;(2)小题中实质是不等式恒成立问题.五、单调性问题(抽象函数的单调性多用定义法解决)例10.设函数f(x)对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),假设x>0时f(x)<O,f(l)=-2,求f(x)在-3,3上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设X1<X2,那么f(X2)=f(X2-XI+xI)=f(X2-X1)+f(xI)<f(Xl).(VX2-Xl>0,*f(X2-Xl)<0)所以f(x)是R上的减函数，故f(x)在-3,3上的最大值为f(3)=f(l)+f(2)=3f(I)=6,最小值为f(-3),令x=y=O,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(O)=O,即f(x)为奇函数.f(-3)=-f(3)=6.练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时,f(x)>l,且对于任意实数x、y,有f(x+y)=f(x)f(y),求证：f(x)在R上为增函数。证明：设R上XKX2,f(x2-)>1,f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(xi)，因为f(x)的正负还没确定)。取x=y=O得f(0)=0或f(0)=l;假设f(0)=0,令x>O,y=O,那么f(x)=0与x>0时，f(x)>l矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>l>0,x<0时,一>0,f(-)>l,=/(-)=1>O,'/(-X)故f(x)>O,从而f(x2)>f(x).即f(x)在R上是增函数。(注意与例4的解答相比拟，体会解答的灵活性)例11、偶函数F(X)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意xbx2都有/(x1x2)=/(x1)+/(X2),且当x>l时/(x)>0,/(2)=1,(1) /G)在(0,+8)上是增函数；(2)解不等式/(2f-1)<2解：设>e>°'那么电)-/(项)=f(V玉)T(X)=(G+"%-"E)=m)XX1-V1Vx2>x1>0,/(>0,即/(工2)/()>0,，/(冗2)>/(XI)/(X)在(0,48)上是增函数.(2) /(2)=1,/(4)=/(2)÷(2)=2,lf(x)是偶函数二不等式f(2-1)v2可化为3考一萼目争/(2x2-l)<(4),又函数在(0,+oo)上是增函数，,02f-1<4,解得:练习：函数兀O的定义域为R,且对加、七R,恒有yo+)=ys7)t/s)1,且大一；尸0,当x>J时,4r)>0.求证：兀0是单调递增函数；证明：设XlVX2,那么X2XI-'>一',由题意凡¥2*1)>0,222r11rIr,*7(-2)-J(x)=f(X2-Xl)+l/()=j(X2X)+(x)-1-v)=ly2X1)1=fiX2X)+/()一1寸(X21X1)->0,f()是单调递增函数.例12、定义在R+上的函数f(x)满足：对任意实数m,f(m)=mf(x);f(2)=l.证明f(x)是R+上的单调增函数;求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立;(3)假设f(x)+f(x-3)W2,求X的取值范围.解:令x=2m,y=2n,Xm,n为实数,那么f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m÷n.又f(x)+f(y)=f(2")+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)证明:设0<XI<X2,可令m<D且使X=2n,X?=2",由得汽KX)=f(=f(2m-n)=(m-n)f(2)=m-n<0X2故f(X)<f(X2),即f(x)是R+上的增函数.(3)由f(x)+f(x-3)W2及f(x)的性质，得fx(-3)W2f(2)=f(2),解得3<xW4.练习1：已知(x)是定义在(0,+8)上的单调增函数，对于任意的7、。九(0,+8)满足f(m)+f(n)=/(5),且a、b(0<a<切满足(a)=f(b)=2f()(1)求/(1);C)(2)=1,解不等式AX)<2;.求证3<b<2+yf2A?:(1)/(1)=0(2)(x)<2的角孕集为(0,4)练(3);/(1)=0,/(4)在(0,+8)上单调递增,.*6(0)时，f(x)<0,x(l,+8)时，/(x)>0习又()=/S)I且0VaVb,:.f(a)=-f(bW(ab)=0,:.ab=I:.0<a<<b1.r2、Iz>z.xc+a+br-r.小久/a+b、rtz+Zjx2)=2/(-)，->yah=.,f(b)=2/(-)=f(-)-./?=(-)2%.a2=4b-h2-2,三0<a<:.0<4b-b2-2<1又b>.3<h<2+41义在R上的函数)可(X),f(0)#0,当x>0时，fW>1,且对任意的a、b三R,有f1a+b)=f(a)/.(1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意的xR,恒有/5)>0；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)假设f(x)/(2x-2)>1,求K的取值范围.(1)证明:令=b=0,那么f(0)=f2(0).又f(0)0,：.f(0)=1.证明：当XVO时，-x>0,/(0)=f(t)f(.V)=1.(X)=1>0./(X)又KNO时f(x)Nl>0,.xR时，恒有f(x)>0.(3)证明：设XlVX2，那么由一(A2)=f(X2X+X1)=f(X2Xl)/(Xl).*.*2-X>0.'.ftxi-Xf(XI)>0.*./(2-Xl)/(XI)>f(X1)(X2)>f(XI).*(X)是R上的增函数.(4)解：由/(x)/(2-2)>1,f(0)=1得/(3-2)>f(0).又f(%)是R上的增函数，.*.3-2>0.0<x<3.关键点注:解此题的关键是灵活应用题目条件，尤其是ttf(2)=r(2-i)+用”是证明单调性的关键,这里表达了向条件化归的策略练习3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a,b,当a+bO,都有/()+/S)>0a+b(1) .假设a>设试比拟f(a)与f(b)的大小；(2) .假设fl®，)+y(3x-9x-2)VO对x-1,1恒成立，求实数k的取值范围。(由S>+,(H>>0可得f(a)>f(b).k<2尬-1)练习4、函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)WO,当x>l时,f(x)<l.试判断f(x)在(0,+8)上的单调性,并说明理由.解:对XwR'有f(x)=f(777)=f2(4)0.乂f(x)x.故f(x)>O»设X,R,K,VX,则辽>1,则,xIf(x,)f,jf)f<x)x,所以f()>f(X2),故f(X)在R+上为减函数.三-I()<If(X)f(X)f(×l)Xl练习5、奇函甄(X)在(一8,0)上单调递减，目2)=0,则(X-I)/(x+1)>0的解集为(C)A-2,-l)u(l,2)B-3,l)u(2,+oo)C-3-l)D-2,0)u(2,÷)练习6、.函数/(幻的定义域为0,1,且同时满足：对任意x0,l,总有/(x)2;(2)/(1)=3(3)假设天0,x20且石+电WL那么有/(玉+)Nf(Xl)+/(工2)一2.求/()的值；(11)求f(x)的最大值；(In)设数列an的前项和为S”，且满足Stl=-j(an一3),N.求证：/(l)+f(a2)+f(a3)+/(4)?+2一=F.解：令X=X2=0，由,那么/(0)2/(0)-2,.()2由对任意X0,1,总有/(x)2,/(0)=2(2分)(II)任意X,/且芭<%2，那么0人2一引41，/(工2一%)之2f(x1)=f(x2-Xi+1)/U2-Xi)+/(-V,)-2/(x1).fmax(x)=(i)=3(6分)(III)Sn=(zj3)(n7V*)/.SzIT=T(%_-3)(N2)an=3an-(九2),.4=10.an=R(8分),/(a11)=(5)=f(*+*+*)N)+/(y)-23f(*)-4()/()+号，即/()F+,。J(%)*/(*)+抬*/(%-2)+/史4,(q)+*+÷y÷3=2+故/(q)2+*./(q)+f(a2)÷+f(all)2n+、竿即原式成立。(14分)六、奇偶性问题例13.(1)函数f(x)(xO的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),试判断函数f(x)的奇偶性。解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(r)与f(x)的关系：取y=-l有f(-)=f(x)+f(-l),JRx=y=-l有f(l)=2f(-l),取x=y=l有f(l)=O.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。(2) y=(2x+l)是偶函数，那么函数y=(2x)的图象的对称轴是(D)A.x=lB.x=2C.X=D.22解析：f(2x+l)关于x=0对称,那么f(x)关于x=l对称，故f(2x)关于2x=l对称.注:假设由奇偶性的定义看复合函数,一般用一个简单函数来表示复合函数,化繁为简。F(x)=f(2x+l)为偶函数，那么f(-2x+l)=f(2x+l)ff(x)关于x=l对称。例14：函数f(x)的定义域关于原点对称且满足(I)F(X-y)=等竺乂，(2)存在正常数a,使f(y)-f*)f(a)=L求证：f(x)是奇函数。证明：设t=x-y,那么/(T)=(y-x)二等皆桨=一等图桨=-/")，所以f(x)为奇函数。例15：设/(X)是定义在R上的偶函数，且在(一8,0)上是增函数，又/(2/+。+1)</(3/一加+1)。求实数。的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：/(X)在(0,+oo)上减，而2。2+。+1>0,3。2-2。+1>0,所以由f(2a2+l)<(3a2-2+l)得2?+.+1>3a?一2+1,解得0<<3。(设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以此题弹性较大，可以作一些条件变换如I：f(a+1)<f(l)或f(4+1)<f(1一24)等；也可将定义域作一些调整)例16：定义在R上的单调函数/3满足f(3)=og23且对任意彳，)都有八户力=/6)。).(1)求证/G)为奇函数；(2)假设/(3)+(3-9v-2)<0对任意XGR恒成立，求实数女的取值范围.(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x,yR)-一令y=-x,代入式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(O),令x=y=O>代人式，得f(O+O)=f(O)+f(O),即f(0)=0.即f(-x)=-f(x)对任意XWR成立，f(x)是奇函数.(2)解：f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(l)f(x)是奇函数.f(k3x)<-f(3r-9x-2)=f(-3x+9r+2),k3'<-3x+9x+2,32x-(l+k)3'+2>0对任意XeR成立.令t=3*>0,即t?-(l+k)t+2>0对任意t>0恒成立.(O=2-(I+k)f+2,其对称轴X=工当二VO即AV-I时，八0)=2>o,符合题就：故：k<T+2>f,f(k3')+(3'-9"-2)<0对任意xR恒成M。当甘皂OI忖.fl+£>o对任意，>0,/")>0恒成立。2一(=(1+Jt)2-8<O解得1<-l+22说明：问题的上述解法是根据函数的性质f()是奇函数且在XWR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t2+k)t+2对于任意t>0恒成立.对二次函数f(t)进行研究求解.此题还有更简捷的解法：别离系数由k3*<-3+9'+2得左V3'H-1,Tfijw=3'H-121,3v3要使对xR不等式女<3*+之-1.恒成立，只需求2点一13x上述解法是将k别离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖.练习：1、f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a).求f(0),f(l)的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论；(3)假设f(2)=2,un=f(211)(11£?4*),求证：1111+1>1111(nN*).解:、令a=b=O,得f(0)=0a=b=l,得f(l)=0.(2)、令a=b=",得fGl)GD=f(-DW),f(D=O,故f(-x)=f(-l)(x)=-f(x)+xf(-l)=f(x),故f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明:Un=fQn)>O(nN*)(略)2.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数X,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x>0时f(x)V0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；假设函数f(x)在-3,3)上总有f(x)W6成立，试确定f(l)应满足的条件；(3)解关于X的不等式,1?(2*2)-£(*)>,1*(22*)-1*(2),(11是一个给定的自然数<0)nn解：同例16(略)(2)设任意X,x2eR且XlVX2，那么X2xi>0,'f(×2lVo,而f(2x)=f(X2)+f(-Xp=f(X2)一f(XI)<0；f(x)>f(x2),即f(x)在(-8,+8)上是减函数.f()在卜3,3上的最大值为f(3).要使f(x)6恒成立，当且仅当f(-3)W6,又'Y(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-f+f(1)=-f(1)+f(1)+f=-3f,f(1)-2.(3)f(ax2)-f(x)>f(a)x)-f(a)=f(ax)-f(ax)>nf(x)-f(a)nnnf(axW>nf(x-a)>由得：fn(x-a)=nf(x-a)Af(ax-a)>fln(x-a)9onVf(x)在(8,+8)上是减函数.ax'-a"Vn(x-a).即(x-a)(ax-n)<0,Va<0»：.(x-a)(x)>0,a讨论：(1)当aV2V0,即aV-石时，原不等式解集为xx>2或Va;aa(2)当a=2v即a=-6时，原不等式的解集为小；a(3)当RVaVo时，即-石VaVo时，原不等式的解集为xx>a或V2aa3、()是定义在-1,1上的奇函数，且y11)=l,假设。力一1,1,+b0时，有J"。+"”>0.(1)判断函数於)在-1,1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式：x÷<-);2x-l(3)假设/(x)Wm2-2Pm+1对所有XW-1,1,p1,1(/?是常数)恒成立，求实数，的取值范围.解：设任意汨/2G1,1,且X1<X2.由于/(x)是定义在-1»1上的奇函数，/2)A11)=r2)t(-XI).因为XIa2,所以X2+(Xl)0,由有2)十/(一E)>0,.2+(-Xi)=2->OX2÷(f)E)t-T)>0,即於2)习3),所以函数兀r)在-L1上是增函数.(2)由不等式人计一)V/(一2X-1X+21-1JV111L,解得一1<水0,即为所求.J2X1(3)由以上知/U)最大值为F(I)=I,所以要fJ)W-2加1对所有x-1,1,p-1,1S是常数)恒成立,只需1W-2夕4恒成立，得实数m的取值范围为后。或wN22七、周期性与对称性问题(由恒等与简单判断：同号看周期，异号看对称)编号周期性对称性1f(x+a)=f(x-)-T=2aN+4=(7+)f对称轴x=au>y=/卜+力是偶函数；k+4)=-(-x+q)f对称中心(a,0)Oy=/(x+)是奇函数2f(a+x)=f(b+X)-T书-af(a-X)=f(b+x)一对称轴X=；"；/(-X)=-/(+x)f对称中心(,0)；3f(x)=-f(x+a)->T=2f(x)=-f(-+a)f对称中心,04/(+x)=(>+x)-*T=2-f(a+X)=-/(6-x)-对称中心(702)5f(x)=±-4-fT=2同/()I1f(x)=b-f(-x+a)一对称中心(ab6f(X)-I-加+3期)T-3a.结论：(1)函数图象关于两条直线x=a,x=b对称，那么函数y=f(x)是周期函数，且T=2a-b(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，那么函数y=f(x)是周期函数，且T=2ia-b(3) 函数图象关于直线x=a,及点M(b,O)对称，那么函数y=f(x)是周期函数，且T=4a-b(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别：hahCLy=f(a+x)与y=f(b-x)关于x=-对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点(,0)对称(可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法那么下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法那么不同表达式的函数，对应法那么下的两式相减等于0,解得的X为对称轴)例17：定义在R上的奇函数f(力满足F(X+2)=-/U),那么f(6)的值为(B)A.-1B.0C.1D.2解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,又T=4,所以f(6)=f(2)=-f(0)=Oo函数f(x)对于任意的实数X都有f(l+2x)=f(l-2x),那么f(2x)的图像关于对称。(x=l2)练习：(2010重庆)函数”x)满足：/(1)=,4(x)(y)=(x+y)+(x-y)(x,y?),那么/(2010)=.解析：取X=Iy=O得/()=；法一：通过计算/(2),/(3)J(4)寻得周期为6法二：取x=ny=l,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),IrJ三f(n+1)=f(n+2)+f(n)联立得f(n+2尸f(n-l)所以T=6故/(2010)=f(O)=；例18.函数y=f(x)满足/(x)+(T)=2002,求广。)+广<2002-1)的值。解：由式知函数的图象关于点(0,1001)对称。据原函数与其反函数的关系，知函数y=fFx)的图象关于点(1001,0)对称,所以广(/+WOl)+尸(I(X)I-X)=O,即广(x)+尸(2(X)2-x)=0例19.奇函数F(力定义在R上，且对常数Tt>0,恒有F(X+7)=fW,那么在区间0,27上，方程f(x)=0根的个数最小值为()CA.3个个个个解：Vf(O) = O-*X1= 0,又F(27)=f(T)=f(Q)=OTxT,M=27：又因为f得(9=G卜噌卜/卜娉)=0.(此题易错选为A)例20.f(x)满足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),假设f(a)=f(2000),a5,9且f(x)在5,9上单调。求a的值。解：:f(x)=-f(6-x)f(x)关于(3,0)对称又丁f(x尸f(2-x)：,f(x)关于x=l对称T=8f(2000)=f(0)又.f(a)=-f(2000)f(a)=-f(O)又:f(x)=f(6x)f(0)=-f(6)f(a)=f(6)a=6设y=f()是定义在-1,1上的偶函数,函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=l对称,且当XW2,3时,g(x)=2a(-2)-4(-2)3(a为常数且aWR)(1)求f(x);(2)是否存在2,6或ad(6,+8),使函数f()的图象的最高点位于直线12上？假设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由.解：(1)设点M(x,f(x)为函数y=f(x)图象上任意一点，那么点M关于直线X=I的对称点为N(2r,f(x).y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线X=1对称.点N(2-,f(x)在y=g(x)图象上.由此得f(x)=g(2-x)(利用结论4的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2r)的图象关于直线x=l对称)设Xe-1,0,那么2-xC2,3.此时£6)=8(2-乂)=-2乂+4乂3又f(X)为偶函数。f(-)=f(x),x-1,1.，当x0,llt,f(x)=2a-4X3-2x÷4x,xc(-1bQ)/(j)三.(20x-4?.Xe0.1注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在0,1上的最大值.(i)a(2,6时，由0×1得a-2z>,03x2jjx>+2'+2XL)2tjr2f(x)=2x(a-2x2)三Vxr=:*"(当且仅当刀=a-2,即=60,1时等号成立).由题意知,f(x)的最大值为12,令;而=12得=486>63,6,这与86(2,6矛盾,故此时满足条件的a不存在.(ii)当a=2且OWXWI时，f(x)=4x(l-N2)202而-JXf-X5)f随22同理可证f(x)=、9(当且仅当2彳=I-X,即X=3时等号成立)，也与矛盾.(iii)当a6时,设0“,那么f(X】)-f(x2)=2a(xl-x2)-4(x-x)=2(xl-X2)