11-2离散型随机变量及其分布列、均值与方差-2024.docx

11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差基础篇考点离散型随机变量及其分布列、均值与方差考向一离散型随机变量的分布列、均值与方差1 .(2013广东,4,5分)已知离散型随机变量X的分布列为X123331P510To则X的数学期望E(X)=()35A.-B.2C.-D.322答案A2 .(2023届辽宁渤海大学附中月考,2)己知随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=2,则O(X)=()X123P13mnA.-B.-C.-D.2333答案A3 .(2022辽宁锦州质检,6)随机变量X的分布列是X-1121Pab3若E(2X+1)=2,则O(X)=()AjB.4*盛答案D4 .(多选)(2023届山西长治质量检测,9)以石墨烯电池、量子计算、Al等颠覆性技术为引领的前沿趋势,正在或将重塑世界工业的发展模式,对人类生产力的创新提升意义重大.我国某公司为了抢抓机遇,成立了4、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关,攻克技术难题的小组会受到奖励.已知A、B,C三个小组攻克该技术难题的概率分别为且三个小组各自独立进行科研攻关.下列说法正确的有（）A.三个小组都受到奖励的概率是:B.只有A小组受到奖励的概率是；C.只有C小组受到奖励的概率是高D.受到奖励的小组数的期望是答案AD5 .（多选）（2022湖北襄阳五中模拟，10）设离散型随机变量X的分布列如表,若离散型随机变量Y满足y=2x-,则下列结论正确的是（）X01234-Pq0.40.10.20.2Aq=O.2B.E（X）=2,D（X）=1.8C.E（X）=2,D（X）=1.4D.E（W=3,D（r）=7.2答案BD6 .（2020课标HI理,3,5分）在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p"2,p3,4且i=lPi=I,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是（）A.p=p4=0.1,p2=p3=O.4B.p=p4=0.4,p2=p3=O.1CwI=P4=02p2=p3=O.3D.p=p4=0.3,p2=p3=O.2答案B7 .（2014浙江，12,4分）随机变量4的取值为0,1,2.若。（勺0）卷£©=1,则O©=.答案I8 .(2022河北开学摸底，18)甲、乙、丙三台机床同时生产一种零件,在10天中，甲、乙机床每天生产的次品数如表所示：第I天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天甲O1O223312O乙2411O211O1(1)若从这10天中随机选取1天,设甲机床这天生产的次品数为X,求X的分布列；已知丙机床这10天生产次品数的平均数为1.4,方差为1.84.以平均数和方差为依据,若要从这三台机床中淘汰一台,你应该怎么选择?这三台机床你认为哪台性能最好？解析(1)依题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=O)=P(X=2)=0.3,P(X=D=P(X=3)毛=。2故X的分布列为XO123P0.30.20.30.2(2)土甲=×(0+1+0+2+2+3+3+1+2+0)=1.4,x7=X(2+4+1+1+0+2+1+1+0+1)=1.3,乙10=Vx3x(0-1.4)2+2x(lL4)2+3(21.4)2+2x(3-L4)2=24,=×2×(O-1.3)2+5×(1-1.3)2+2×(2-1.3)2+(4-1.3)2=1.21.乙10因为土甲=三丙S需S.S；,所以次品数的平均数最小的是乙机床,稳定性最好的也是乙机床,稳定性最差的是丙机床，故应淘汰丙机床，乙机床的性能最好.考向二超几何分布1. (2022济南历城二中3月模拟,4)从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为高则E(5+D=()A.2B.lC.3D.4答案C2. (2021浙江，15,6分)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为$若取出的两个球都是红球的概率为一红一黄的概率为W则加63=,Ed)=.答案1I3. (2023届江苏海安月考，19)某药厂研制了治疗一种疾病的新药,该药的治愈率为85%.现用此药给10位病人治疗,记被治愈的人数为X.(1)若X=6,从这10人中随机选3人进行用药体验访谈,求被选中的治愈人数Y的分布列和数学期望；(2)当攵为何值时,概率尸(XF)最大?并说明理由.解析(1)治愈人数y的可能取值为0,1,2,3.P(y=0)=3=±,P(N=I)=譬=芥P(y=2)=等=ap(y=3)=旨=所以y的分布列为Y0123P1303101216所以Y的数学期望EW=OXW+1×+2×+3×=;.3010L65依题意，知XB(10,0.85),则P(X=Z)=C%0.85仪(1-0.85),o(O<A<1O,AM).也<KQHP(X=k+l)=C转b85"+i15i=1710-Tj,P(X=Z)-Cjo×O.85k×O.1510-fc-3k+1*若七8,%N,则9X映>1,故尸(X=M)>P(X=Ic).若SX警1,故Ov"FA5K*T.P(X=9)>P(X=10).所以当&=9时,概率P(X=k)最大.4. (2023届辽宁六校期初考试,20)新高考的数学试卷第1至第8题为单选题,第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意,其评分标准如下:全部选对得5分,部分选对得2分,选错或不选得0分.在某次考试中,第U、12两题的难度较大,第11题正确选项为AD,第12题正确选项为ABD.甲、乙两位同学由于考前准备不足,只能对这两道题的选项进行随机选取,每个选项是否被选到是等可能的.(1)若甲同学每题均随机选取一项,求甲同学两题得分合计为4分的概率；(2)若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项,记甲同学的两题得分为X,乙同学的两题得分为Yi求X,V的期望并判断谁的方案更优.解析(1)因为甲同学两题得分合计为4分,所以这两道题每道题得2分，所以甲同学两题得分合计为4分的概率为竽=.1.48(2)甲同学两题得分X的可能取值为0,2,4,P(X=O)=iP(X=A)=朱*=3t>4L40L4*-*48P(X=2)=1-P(X=O)-P(X=4)=l-i-=882所以X的分布列为X024P113828因此E(X)=OX=+2×+4×1=2.5(分),oZ8乙同学第11题可能得分为八p(y,=0)=+¾=Ip(r=5)=乙同学第12题可能得分为y2,p(y2=o)=l=ip(y2=2)="乙同学两题得分Y的可能取值为0,2,5,7,P(y=0)=P(y=0)P(Y2=O)=-×-=,6212P(r=2)=P(=o)p(h=2)=4×=6212p(y=5)=P(r1=5)P(K2=O)4×I=0ZTNp(y=7)=p(=5)p(y2=2)=7×=77,6Z12所以丫的分布列为Y0257P512512112112因此E(y)=O×+2×+5×+7×=”(分)，121212126因为E(X)>E(y),所以甲同学的方案更优.5. (2017山东理，18,12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗TrC的作用.现有6名男志愿者Ai,Aa,A3,A4,A5,Ag和4名女志愿者BtB?,B3,Bb从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含4但不包含场的概率；用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).解析(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含a的事件为M则由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=O)=3=WP(X=I)=萼=cIO42cIO21，c三o21,P(X=3)=警=另尸(X=4)=浮=5ozLlO44因此X的分布列为XO1234P1510514221212142X的数学期望是E(X)=O+l×+2×i7÷3×+4×=2.21212142综合篇考法求离散型随机变量的均值与方差的方法1. (2019浙江,7,4分)设0<vl,随机变量X的分布列是XOa1111P333则当。在(0,1)内增大时，()AQ(X)增大BQ(X)减小CQ(X)先增大后减小DQ(X)先减小后增大答案D2. (2020浙江,16,6分)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为乙则P(E)=,E©=.答案j13. (2022全国甲理，19,12分)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分,负方得O分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项R的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.解析(1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件AjG=I,2,3),“甲学校获得冠军”为事件E则P(E)=P(A1A2A3)+/5(AiA2Z3)+P(Ai¾A3)+P(Z1A2A3)=-×三×-+-×三×-+-×-×25525525l+l××i=3甲学校获得冠军的概率为*(2)记“乙学校在第/个项目获胜”为事件由。=1,2,3).X的所有可能取值为0,10,20,30.则P(X=O)=P(F1F2S3)=1×I×H*P(X=lO)=P(B1F2F3)+P(瓦B2瓦)+P(瓦瓦B3)1241134,12111=-×-×-+-×-×-+-×-×-=-,25525525525P(X=20)=P(BiB2B3)+P(B万283)+尸(BiB2B3)134.121,13117=-×-×-+-×-×-+-×-×-=-,25525525550P(X=30)=P(BiB2B3)=I×I×I=X的分布列为X0102030P42511251750350E(X)=O×-+10×-+20X+30X=13.252550504. (2021新高考1,18,12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得2()分,否则得。分;B类问题中的每个问题问答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列；为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.解析(1)由题易知X的所有可能取值为0,20,100,P(X=O)=l-O.8=O.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列为X°20100P0.20.320.48(2)由可知E(X)=OXO.2+20x0.32+100x0.48=54.4.假设小明先回答B类问题,其累计得分为Y,则y的所有可能取值为0,80,100,P(y=0)=1-0.6=0.4,P(y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(K=100)=0.6×0.8=0.48,所以y的分布列为Y08()I(X)P0.40.120.48所以E(y)=0×0.4+80×0.12+1OoXo.48=57.6,所以E(y)>E(X),所以小明应选择先回答B类问题.5. (2022北京，18,13分)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望£(肌(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)解析(1)设事件力为“甲在校运动会上获得优秀奖”.根据题中数据，甲在10次比赛中，有4次成绩在9.50m以上.所以Pa)估计为V设事件月为“乙在校运动会上获得优秀奖”，事件。为“丙在校运动会上获得优秀奖”根据题中数据,p®估计为:=I，P(C)估计为:=6242根据题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X=Q)=P(ABC)=P（八）P(B)P(C)；P(X=I)=PCABC+ABC+ABC)=P（八）P(B)P(C)+P（八）P(B)P(C)+P（八）P(B)P(C);P(X=3)=P(ABC)=P（八）P(B)P(C);P(X=2)=I-P(X=O)-P(X=I)-P(X=3).所以,尸(X=O)估计为P(X=I)估计为盘；P(X=3)估计为卷;P(X=2)估计为看所以EX估计为0x+lx5+2x+3x5=：.在校运动会上,丙获得冠军的概率估计值最大.6. (2023届重庆八中入学考,20)某单位为了激发党员学习党史的积极性,现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛,活动规则如下:一天内参与“四人赛”活动,仅前两局比赛可获得积分,第一局获胜得3分,第二局获胜得2分,失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为夕(0<KD,且各局比赛互不影响.(1)若若,记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为求才的分布列和数学期望；(2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为f(p),试问当P为何值时J(P)取得最大值？解析(1)由题意可知,X的可能取值为2,3,4,5.因为Pq所以P(X=2)=i×i=iP(X=3)W×i=iP(X=4)=×=iP(X=5)=2×=3,故X的分布列为X23451111P6633则E(X)=2×-÷3×-÷4×-+5×-=-.66336设一天得分不低于4分为事件A,则P（八）="舁，则f(p)=Cp3(l-p)2=10p3(l-p)2,0<p<1,则f,(p)=30p2(l-p)2-20p3(I-P)=IoP2(1-p)(3-5p).当(XPq时,1(p)>0;当<pvl时,r(p)<0,所以/(P)在(0,|)上单调递增,在(|,1)上单调递减,故当Pq时J(P)取得最大值.7. (2023届辽宁丹东阶段测，19)为树立“优先公交、绿色出行”理念,市政府倡议“少开一天车,优先选择坐公交车、骑自行车和步行出行”，养成绿色、环保、健康的出行习惯.甲、乙两位市民为响应政府倡议,在每个工作口的上午上班(记为上班)和下午下班(记为下班)选择坐公交车(记为A)、骑自行车(记为8).统计这两人连续100个工作口的上班和下班出行方式的数据情况如下：上班下班出行方式(AtA)(A,B)(RA)(B,B)甲30天2()<40天10天乙20天10天30天40天设甲、乙两人上班和下班选择的出行方式相互独立，以这100天数据的频率为概率.(1)记M表示事件:一天中，甲上班和下班都选择坐公交车、乙上班和下班都选择骑自行车,求P(M);(2)记X为甲、乙两人在一天中上班和下班选择出行方式的个数,求E(X);(3)若甲、乙两人下班时都选择骑自行车,请问哪个人上班时更有可能选择坐公交车?说明理由.解析(1)记。表示事件“一天中甲上班和下班都选择坐公交车”，O表示事件“一天中乙上班和下班都选择骑自行车"，则M=CD由题意知P(C)=0.3,P(D)=0.4,于是P(M)=P(Cz)二尸(C)P(Z)=O.12.(2)X可取1,2X=1就是甲、乙两人在一天中上班和下班都选择坐公交车或者都选择骑自行车，因此P(X=I)嗯×+×盘=0.1,P(X=2)=1O1=O9于是E(X)=IXo.1+2x0.9=19(3)记E表示事件“甲下班时选择骑自行车”，豆表示事件“甲上班时选择坐公交车”，尸表示事件“乙下班时选择骑自行车”，Q表示事件“乙上班时选择坐公交车”，20IO那么P(EIiE)=里霭=,P(RlF)=啸12=IJIoo100因为:>M所以若甲、乙两人下班时都选择骑自行车,则甲上班时更有可能选择坐公交车.8. (2023届河北秦皇岛部分学校摸底,20)“斯诺克(SnoOker)”是台球比赛的一利,意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球,是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲、乙两人进行比赛，比赛采用5局3胜制,各局比赛双方轮流开球(例如:若第一局甲开球,则第二局乙开球，第三局甲开球)，没有平局.已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为今在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权.(1)求甲以3：1赢得比赛的概率；设比赛的总局数为V求Eg).解析(1)设事件“甲在第i局比赛获胜”为4,Al,2,3,4,5,由已知可得P(Ai)P(A2)P(A3)P(A4)=,P(A5)4J/JJ甲以3：1赢得比赛,则前3局中甲赢得了2局且第4局甲获胜,所以甲以3：1赢得比赛可表示为IIA2A3A4+4112344+4142彳344,其中A1A2A3A4,Ai4A认4,A2A3Aa互斥,A,A2»A3,Al相互独立，所以P(A1A2A3A4+力1彳2力3A4+AlA2A3A4)=P(A1A2A3A4)+P(AA2)+P(AiAA3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(Z2)P(A3)P(A4)+P(Ai)P(A2)P(A3)P(A4)2111.1111.11215=×-×-×-4-X×-X+×-×-×-=32323232323236所以甲以3：1赢得比赛的概率为白36(2)j的可能取值为3,4,5,设甲获胜的概率为Pb乙获胜的概率为P2,P.(e=3)=××1_2_318，P2(=3)=-×-×-=-;、3239P(3)=-+三=-；s18918P1(=4)=-×-×-×-+-×-×-×-+-×-×-×-=-；>32323232323236P2(<J=4)=-×-×-×-+-×-×-×-+-×-×-×-=-;、3232323232329PG=4)=卷+则P(«5)=l-P("3)-P(勺4)二/一葛二则的分布列为345P51313183636所以E(04+4噂+5x总咤9.(2016课标I,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了10()台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：频数I：lll1:更换,的易损零件数以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(X<n)>0.5,确定的最小值；以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与=20之中选其一,应选用哪个？解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22,P(X=I6)=0.2x0.2=0.04;P(X=I7)=2x0.2x0.4=0.16;P(X=8)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列为(4分)X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由知P(X18)=0.44,P(X<19)=0.68,故n的最小值为19.(6分)(8分)(3)记y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当二19时，E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08÷(19×200+3×500)X(10 分)0.04=4040.当n=20时，E(K)=20x200x0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.可知当=19时所需费用的期望值小于=20时所需费用的期望值,故应选=19.（12分）