专题06 解三角形（周长（边长）问题（含定值最值范围问题））(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx

专题06解三角形（周长（边长）问题（含定值，最值，范围问题）（典型例题+题型归类练）一、必备秘籍核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）利用基本不等式，石工孚，在结合余弦定理求周长取值范围；2核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）利用正弦定理=2RSinA,b=2RsinB,代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.二、典型例题例题1.在ABC中，角A,8,C的对边分别为,力,c,且而=/+从_02.(1)求角C;（2）若ABC的面积S=±S,且U=登，求ABC的周长.4因为"入»一,由余弦定理，得到C=色萨4又O<C<,所以C=1；(2)因为A6C的面积S=亚，且U-卷，C=?43所以有S=-ahsinC=ab='2,ay=a>2-21,244ab=5-=>联立+=26'则o'+£=所以ABC的周长为+b+c=6+J例题2.已知448C中，角A,B,C的对边分别为。，b,。，且加in8-sinA=S-c)sinC.(1)求角A的大小；若z1BC的面积LBC=学，且。=5,求Hc的值.第（2）问思路点拨：由知4 =弥，且 = 5,S =”也要求8+c,可利用面积公式S=生也AAoC 4AjwC 4求出儿,再由余弦定理求出/+/=50,联立，可求出b+c解答过程:【答案】(2)10(1)解：I大I为加in3-sinA=(0C)SinC,由正弦定理可得从一"2=S-c)c,即o2=及+°2_儿,b2+c2-a2=bc,r余弦定理可得cr=h2+c2-2bcCQSA，故COSA=<t=-=»因为A(0,r),所以A=f.2bc2bc23(2)解：因为,M=gbcsinA=；XbXCX乎，所以bc=25,再由/=廿+。2一从，即25=从+c?从，所以从+c2=50,所以b+c=J(b+c)=Jb2÷c2+2bc=10.例题3.在“IBC中，角AABC所对的边分别为凡4c,已知=6,A=2.若sin8=得，求SinC；求b+c的最大值.123÷526(I),.'snA=-''sinB=-<sinA,/.B<A<fcosB=-213213所以SinC=sin(A+8)=×-+×-=213213(2)在中由余弦定理可知a2=3=b2+c2-2反CoSA=b2+c2-be二S+c)2=3+36c3+3(”+°)-Hc2g4当且仅当b=c=6时，b+c的最大值为2J例题4.在中，角A,B9C的对边分别为。，b9ct且。=2acosAcosC+2ccos2A(1)求角A;若=4,求c-制的取值范围.【答案】?(2)(-8,4)(1)W：因为人=2。COSACOSC+2CCOS2A,Itl正弦定理得sin8=2sinAcosAcosC+2sinCcos2A,即sinB=2cosA(sinAcosC+sinCcosA),即sinB=2cosAsin(A+C),因为A+8+C=兀，所以A+C=-8,所以SinB=2cosAsinB.因为Bw(0,),所以sinBO,1JT所以8SA=5,因为A(O,),所以4=§.(2)解：由正弦定理得，=随，sinA3所以C一给二(SinC-2sin8)=卜n(兀一方一8)一2sin883f3R3.JR_.=cosBsinB=8cosBcoscosBsin,3(22)V33j所以。- 28 = 8cos所以 8 + (,所以cos,+扑卜用，所以c-2(-8,4).例题5.在“IBC中，内角A5,C所对的边分别为。也c,且加in弓一=sinB.（1）求A角的值；若为锐角三角形'利用（1）所求的A角值求空的取值范围.ZX第（2）问思路点拨：由（1）知，X=W且A4"C为锐角三角形，要求?的取值范围，不适合直接3b利用基本不等式解决问题，当涉及到有约束条件的三角形（锐角三角形）优先考虑利用正弦定理化角.解答过程：直接化角由知伫£=而4-血C=S叫一叫丁刃（注意到B+C=与'统一化成一个角）bsinBsin5；先拆，后合（辅助角公式），化简XiZ:如一:SinJe"CosS1（注意到此时分子分母都含有角B，不容易直接求范围）bsin52SillB2化半角，继续化简，直到角，函数名统一r1fl2si112Jn1R=-必一L9tan"L（角，函数名统一，问题转化为求tan?的取值范围）b2oBB22222稿取值范围2sn-cos22B求tan巴取值范围2啥衿，2-3<tan<l0<B<-2r.2n0<B<32-2<TtanI"1F的取值范围是3-2,b6-12【答案】(I)A=9(2)6-2,(l)Esin=tzsinB,所以sin8cos=SinAsin8,因为B(0,乃)，/sinBO,A.AAxznA1COS-=ZSin-COS-,.*A(O.,.cos0,.*.sin=-222222因为。W后一A=(2)由止弦定理，- h.sinSinA-SinC_3sinBsinB33d1.dCOSDsinB/7-,d1222_31-cosB1的取值范围是3-2,例题6.已知MBC的内角A民C所对的边分别是,b,c,(+?)(SinA-sinB)=(-C)SinC.(1)求角B?(2)若A5C外接圆的周长为2折，求AABC周长的最大值.【答案】(I)B=I2)9由正弦定理可得(+")(-b)=(-c)c,ac=a2+c2-b2.由余弦定理得cos8=Y+d=J,2ac2又5(0,r),所以8=q.(2)因为A8C外接圆的周长为2代,所以AABC外接圆的直径为2L由正弦定理得导=2L贝Jb=2Jx亭=3由余弦定理得9="+2_玄侬夕因为3c=(+c)2-93S;”,所以;(+c)29,即+c6,由三角形性质知3<+c6,当且仅当二c时，等号成立.所以6<。+6+9故4ABe周长的最大值9.例题7.已知的内角A8,C的对边分别为,b,c,且。-人=C(CoSB-CoSA).(1)判断的形状；(2)若“Z>,c=4,求“18。周长的取值范围.JT根据8的取值范围，求出sin(8+X)的范围4因为BG,fc5 + y 4 4,2 32,T,得sin + ?)e 孝,140SinlB+-+4【答案】(1)直角三角形或等腰三角形(2)(8,4+4近)(1)“8C为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由b二c(cos3-COSA)及正弦定理得，sinA-sinB=sinC(sB-cosA),即sin(B+C)-sin(A+C)=sinC(cosB-cosA),即sinBcosC+cosBsinC-SinAcosC-cossinC=sinCcosB-sinCcosA，整理得sincosC-sinAcosC=O,所以cosC(sinJB-SinA)=0,故SinA=Sinb或CoSC=0,又A、B、C为“8C的内角，所以=人或C=f,因此为等腰三角形或百.角三角形.由(1)及知C为直角三角形且不是等腰三角形,且A+8=5,C='故Aq-B,且8工(，ABC周长=+8+c="+b+4=4(cos8+sin8)+4=4忘Sin(B+(J+4,得 Sin(B+ j)e 492去1 ,所以4sisin 4,2 37,T(8 + ?) + 4(8,4应 + 4),所以“IBC周长的取值范围为(&4a+4).三、题型归类练1.aA5C的内角A,BtC的对边分别为,。，c,已知(2。-C)SinA+(2。一。的inC=2Z>sin8.(1)求B若为锐角三角形，且c=2,求周长的取值范围.【答案】8=；(3+JJ,6+2.在4BC中，由正弦定理及(2-c)sinA+(2c-)sinC=2bsin8得：(2a-c)a+(2c-a)c=2b2,整理得：a2+c2-b2=ac由余弦定理得：cos6=+-J,而0<8<,解得3=?,Zac23所以84.(2)由(1)知A+C=,即A=与C,因“8C为锐角三角形，即'八 2 0<C < 32J ,解得o<c<-2由正弦定理就T忌=Ue得:a+h+c _ csin A+sin B+sin C sin C<C<高亭亭COSTSine)-+sin(-C)+sinC=sinC23C=3 +G(ZcosC)3严2c%a6SEC2sin-cos-tan-222l,CCI<C<一时，<一<一,tan<tan<tan-,j6212241224BP2-3<tan<l,因此，+则3+J<+"c<6+2有，2an7所以周长的取值范围是(3+I6+23).2 .请从下面的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.3 1(l)cos2C+2cos(A+B)+-=0；的面积为5c(sinA+bsin8-CSinC)；(ccosB-gb)=c?-Z?2.在中，内角A,B,C的对边分别为小b,c,若.求角C：(2)若C=J通配0,求的取值范围.【答案】(I)C=方(2)(JI33选，cos2C+2cos(+B)+-=O,得2cos2。12COSC+g=0得coSC=T,而C为三角形内角，故。二，选，SAABC=JaOsinC=Jc(sinA+bsin8CSinC),由正弦定理化简得Mc=S?+从C-/,得8sC="+-c'2=J.,Iab2而C为三角形内角，故C=方，选，FtlaccosB-ab=c2-b2,U11-(«2+c2-b2)-ab=c2-b2,222得CoSC=立'C=而C为三角形内角，故C=g,Iab23(2)由(1)知C=:故上t=4=*=2,3SinASinBSinC故a+b=2sinA÷2sinB=2sin(-)+2sinB=GCoSB+3SinB=23sin(B+-),36而而灰0,故cos80,n,2,C兀,2花5兀、,8不工-),B+-,),+b("325oJo3 .在小ABC中,内角4B、C的对边分别为ab,3bcosC-a=c,求昆设b=L求4A6C的周长的取值范围；.【答案】(1)3弋(2乂2/36(1)由余弦定理知CoSC=色互二所以6+力'a'：。,2ab2ab2整理得。2+。2一从=。，所以COSB='+C2-="Iac2因为Be(O,),所以8=1：(2)由(I)知从=2+C?一c=(+c)2-34c,+c)2="：),当且仅当时，等号成立.因为b=JJ,所以(+c)212,即+cW2L又因为+c>0=6，所以>J<+c2-73，所以26<+8+c3J,所以aAbc的周长的取值范围是(25,3G;综上，5=pdBC的周长的取值范围是(2l35.4 .在中，角A,B,C所对的边分别为a,。,c,已知(8§八-瓜1114卜058=85(4+8).求角4的大小；(2)若4+c=l,求的取值范围.【答案】呜(2)；)(1)/(cosA->/3sinA)cosB=cos(A+i?),cosAcosB->3sincosB=cos(A+B)»即cosAcos->3sinACOSB=cosAcosB-sinASinB,."sinAO,tan=V3,.Be(09)t.B=-.3(2)由余弦定理可知从=/+c2-2ccos>代入可得/=+c2-c=(+c)2-3acl-3x()=l-3x(g)=；,当且仅当=c=g时取等号，.力;,又力v4+c=l,b的取值范围是pl).5 .记锐角ZMBC的内角A,8,C的对边分别为",c,且cos3B=88sA(4cos2"l),Bq.A求G的值；D求?的取值范围.O【答案】93(2,J+1)由题意得SinACoS38=SinBCOSA(cos2B+2cos2B)=CosA(sinBcos2B+cosBsin2B)=cosAsin3B,得SinACOs3B-cosAsin38=sin(A-38)=O,因为A,8都是三角形内角，8<g,所以A=38,即4=3；3D(2)由(1)得f=4cos26-1,b0<A=3B<-2因为AABC为锐角三角形，所以0<B<-,得生<B<生,3860<C=-4B<-2Ey乃C271,.-i71_"CCCZ因为COSa=2cos，所以4cos?-=2COSl+2=2+j2，所以4cos?工-l=2<4cos?B-I<4s2-1=VJ+1,68故关的取值范围为(2,+1);综上，*3，勺取值范围为(2,员1)6 .设aABC是锐角三角形，内角4瓦。所对的边分别为也。，且A=,=G.求证：6c的最大值是3：求b+c的取值范围.【答案】证明见解析；(2)卜,201由余弦定理知：3=b2+c2-2bc=b2+c2-bcf所以3=从+c2-bc2hc-bc=lc即bc3,当且仅当b=c=石时取等号，且此时是锐角三角形，所以儿的最大值是3；(2)由正弦定理得b=2sinB,c=2sinC=2sin(-B)=2(-cosB+-sinB)322+c=2(sinB+-cosB)=23(-sinB+cosB)=2>3sin(-+B)222260<B<-A8C是锐角三角形0o2og<B<J八一2r620<C=<-32<>-<-+B<-<sin(-+B)13<2sin(-+B)2>,363266所以b+c的取值范围是(3,26.7.在锐角“IBC中，角A,B,C的对边分别为。,b,J设而=(1M),=(3sinC,h-6rcosC),m!n(1)求角A;求2的取值范围.C【答案】(I)A=套-14,平、6cI23J(1)由加得至Jb-cosC=<VJsinC,sinB-sinAcosC=-VJsinAsinC,sin(A+C)-sinAcosC=sinAsinC即sinAcosC+cosAsinC-sinAcosC=QSinASinC，'cosAsinC=>3sinAsinC,又C为三角形内角，故SinC0,cosA=有SinA,故tan4=,A=J.36llbsinB(2)-=,cSinC.a.csinf-clIcosC+-SinCA.at£_SlnB_16)_223+»csinCsinCsinC22tanC又“8C是锐角三角形，8e且C(,'即O<京/r-C<且O<C<,cCL,.-<C<-,/.tanC>3.32.旦或-咨即纥侔¥1222tanC3c238 .已知a,b,c分别为"lC三个内角AB,C的对边，而=(,b+c),日=(l,cosC+SinC),且nn，求A；(2)若=4,求6+c的取值范围.【答案】(I)Aq(2)(4,8(1)由题意得：acosC+y3asnC-b-c=Or由正弦定理得：sinAcosC+VJsinAsinC-sinB-sinC=O,因为SinB=Sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以QSinASinCCoSASinCSinC=0»因为C(0,),所以SinC0,所以QsinAcosA=1,即2sin(A-)=1,Sin(A_聿=J因为A(0,),所以A=(-*裔,所以A-=，A=g663b_c_a_4_8小(2)因为=4,所以由正弦定理得：si11-sinCsinA-，sin3b+c=-(sn8+sinC)=pin+c)+sinC=cosC+sinC+sinC=8SinC+2)，因为Ce(0,/),所以C+台信裔,所以8sin(c+"(4,8,HC的取值范围是(4,89 .“IBC的内角A、B、C所对边的长分别为。、b、%已知&J=JJCCoS8+bsinC.求C的大小；若“IBC为锐角三角形且c=J,求M+/的取值范围.【答案】(I)C=W(2)(5,6(1)由JJa=JJCCOS8+力SinC及正弦定理可得sinSsinC+3cosSsinC=>3sinA=3sin(B+C)=3sinBcosC+5/3cosBsinC,所以sin8sinC=GSinBCosC,因为8、C(0,4),则SinB>0,有COSC=SinC>0,则tan。=有，故a_b_c_73z,(2)依题意，a4BC为锐角三角形且C=有，由正弦定理得=N-嬴万一嬴一道一J"T所以=2sinA,=2sin8=2sin(A+C)=2sin(A+?),1f0.2/、1cos2AH协'a2+/?2=4sin2A÷4sin2fA÷-l=4×1-c°s+4×I3)22=2-28s2A+2-2cos(2A+三)=4-2cos2A-2-cos2A-sin2Aj=4-2cos2A+cos2+*73sin2A=6sin2A-cos24+4=2sin(2A-:1+4,0<A<一由于A+B=§,所以2,解得/Av,3cl620<A<32所以g<2A<),<2A-<,所以Sin事.£?箝事，36669672E所以2sin0A-"e(l,2,所以2sin(2A-5)+4w(5,6.所以/+6的取值范围是(5,6.10 .已知ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,。，且满足2叵SinC-2cosA=丝土3be求角3的大小；若8为钝角，4ABC为等腰三角形，且BC边上的中线长为近，求a48C的周长.【答案】3=已或(2)4+25由余弦定理得：2叵SinC2乂七士工=匕五，所以拽SinC=£,32bcbe3b由正弦定理得：sinC=-,因为C(0m),所以SinCW0,3sinB所以SinB=立，0<B<f即5=g或4233(2)设等腰三角形腰长为X,即AB=BC=K,CM=1x,且由于4=C=J,B=竺,263在“IBC中，cosB=x+x'ac',解得AC=6c,2×x×x在AACM中，由余弦定理得：AM1=AC2+CM2-2ACCMcosC，即7=(L)2+;Y-J,解得：x=2,所以AB=BC=2,AC=23则“IBC的周长：4+23.11 .已知4BC的内角A,B,C的对边分别为,b,c,且。=3,cos2B=cos(A+C).求8；求周长的取值范围.【答案】(1)W;(2)(6,9.在中，2cos?B-I=cos(-B),即2cos?8+cos8-I=O,解得cos8=g,而0vB<,所以+ c2 - 2ccos B = (a+ c)2-1, 退= -( + c), 4(2)-C,由余弦定理得:9=Z?2当且仅当=c时取"=，即有0v+c6,因此，当o=c=3时，(+c)ma=6,而+c>8=3,即3v+c6,6<a+b+c9,所以“8C周长的取值范围是(69.12 .设的内角A,B,C的对边分别为,b,c,且加in8+si11A=用sinA+csinC.(1)求角C；若c=2？,求。+6的取值范围.【答案】(I)C=A(2)(2J,4相(I)M-:由正弦定理=及bsinB+sinA=bsinA+csinC,sinAsinBsinC所以/+M=b+C2.所以由余弦定理得CoSC=/C=T'又C«0,乃)，所以C=?.(2)解：因为c=2J,C=T,由余弦定理可得cosC=.+"一=L32ab2可得(+b)22"12=，所以(+6)2-i2=363(),卜，+)2'可得+b4L当且仅当=b时取等号，又由三角形三边关系得+b>c=2>,所以1+b的取值范围是(2",4".13 .已知a4BC的内角A,B,C的对边分别为e,b,c,且bsinC=ccos(8-7).O求角B；(2)若方=4,求周长的最大值.【答案】(1)8=(：(2)12.因为8SinC=CCOS(8-令，则bsinC=c(cosB+-sinB),在AABdL由止弦定理得，sinBsinC=sinC(-cosB+-sin),lf11C(O,),即SinC>0,22整理得SinB=cosB,即tan8=L又B(O,t),解得B=,所以8=去(2)在中，由余弦定理从=+c2-24c8s3得：16=/一4，即一6=3c,而讹(等)2,于是得(+c)264,当且仅当=c=4时取"=，因此，当a=c=4时，+c取最大值8,从而+c取最大值12,所以周长的最大值为12.14 .在z8C中，sin2C=3SinC.求NC：(2)若6=6,且“IBC的面积为6L求的周长.【答案】丁6+6#O(I)W:因为CW(O,4)，则SinC>0,由已知可得JJSinC=2sinCcosC,可得cosC=3,因此，C=1.(2)解：由三角形的面积公式可得SinC=66,解得"4J由余弦定理可得。2=/+/_2曲COSC=48+362x46x6x3=12，,c=232所以，45。的周长为+8+°=66+6.15 .在4/WC中，角A,8,C的对边分别为,),c,且sin3=>cosA.求角A；(2)若=JLb=l,求“8C的周长.【答案】(I)A=9(2)3+6由正弦定理得：sinAsinB=>3sinBcosA».B(0,-),.sinBO,.sinA=VJcosA>则tanA=有，又Ae(O,4)，.A=。.(2)由余弦定理得：a sin AcosA-SinBcosC = SinCcosB.=b2+c2-2bccosA=l+c2-2ccosy=3,即/y2=0,解得：C=-I(舍)或c=2,.ABC的周长为+8+c=3+J16 .在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为,btc.在至4=二；cosBcosA,八GCbcosCCCOS8-OCOSCCCoS8、一AR“上”，山coosA=2bcosA-4cosC：2=2a=这二个条件中任选cosAcosAcosAcosA一个补充在下面的问题中，并解答.若，求A；在第(1)问的前提下，若a=l,求ABC的周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析，A=y(2)(2,3选.由在!=，一及正弦定理得2sinC-jnB=sin,cosBcosAcosBcosA(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB,.2sinCcosA=sin4cosB+cossinB=sin(A+)=sinC,由于AABC中，sinCO,A(0,乃)，2sA=L即8sA=L2.A=.3选.hcoosA=2Z>cosA-acosC及正弦定理得SinCcos=2sinBcosA-sinAcosC,.2sinBcosA=SinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,由于AABC中，sin8w,A(0,v),2cos = l,即 cos A选.,.zbcosCCCOSBrrr.,BRC.SinBcosCSinCcosB由2a=-及正弦定理得2sinA-=-cosAcosACOSAcosA.2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,由于AA8C中，A(O,),SinA0,2cosA=l,即8sA=?，2.*.A=.3(2)由将4ng,a=l代入余弦定理/=6+。2一CCOSA得I=6+/一儿，(Z?+c)2=1+3hc,即bc=-,由于警痴得AU,24.("+。TWR+£)：,解得b+c2,(当且仅当b=c=l时取等)34又b+c>a=l,lv+c2,BP2<c7+Zj+c3,.求4人8C的周长的取值范围是(2,3.17 .在锐角“IBC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,S为的面积，B.2S=a2-(b-c)2求SinA,CoSA的值(2)求二的取值范围2c【答案】SinA=W：cosA=;(2)偿J3IlU07(I)/2S=a2-(b-c)2,S=gbcsinAbcsinA=/-(b-c)2,.+C2-fl2)aOa=2-snA=2cosA.be:.cosA=1sinA,2X,sin2A÷cos2A=I»sin?4+(I-TSinA)=1.sinA(；SinA-I)=0,4SinA=O(舍)，SinA=W,又.“IBC为锐角三角形，/3cosA=-sin=55 sin C ABC为锐角三角形,C<90o, A+C>90o,A=-.(2),'A+B+C=,sinB=sin(A+C),bsinBsinAcosC+cosAsinC=3-10 +C2 - 5 n2c2sinC2sinCcosC+-sinC.C>90o-,tanC>tan(90°-A)=CoSA3-7二:，SinA4.o<-!<-,tanC32OWatanC15b2ci),r,uC八sin4+sn13a,b,C分别为A,BtC所对边，tanC=cosA+cosB（1）求CoSC的值；若SinA=短，求&的值.7C【答案】（1）；（2）生包221,CSinA+sinBsinCsinA+sinB(I)FhtanC=可得-=-cosA+cosBcosCCoSA+COSB则SinC(CoSA+cos8)=cosC(sinA+sin),由正弦定理得c(cosA+cos)=(a+b)cosC= (a + b)a1+b2-c2Iab/.2722121人4BRb+c-a'a+c-b由余弦定理得C+2bc2ac整理得（a+。）,-+。一1一油）=O,乂+b>O,则?+从一c。一a/?=0则cosC=a2+b2-c22abab_12ab2(2)由(1)可知COSC=J,又0<C<,则C=1,由SinA=2红工1,可知角A为钝角或锐角7若A为钝角，则SinA=<=sin-=>AA+C>7233这与内角和为汽矛盾，即A不能为钝角,.A为锐角，由SinA=27,可得COSA=一红. SinB = Sin(A+ C) =sin ACoSC+ cos AsinC =串%4号率"陋=也B=返cSinC14321sinB2SinB2l-fl-2sin*2y22sincos22为锐角三角形，工<B<彳，H有<彳<丁，2-3<tan<1>6212242.3-2<tan-l<)2222