2022-2023学年南京市第十三中学高第二学期3月月考.docx

2022-2023学年南京市第十三中学高第二学期3月月考卷一.选择题（共8小题）1.已知A：-C；+0!=4,则m=()A.0B.lC.2或3D.32 .从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有（）A. 140 种B. 84 种C. 35 种D. 70 种3 .从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出的产品中无次品的概率为（）A.-LB.1?.C.殁D.四353535354 .己知m，"N*,下列排列组合公式中，不一定正确的是（）A.C. =Aen n!D.1 A m+1 An n-m n5 .某校IOoO名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示,则成绩X位于区间（51,69的人数大约是（）6 .三棱锥A-BC。中，AB=AC=4O=2,NBAQ=90°,NBAC=60°,则标比等于(A. -2C. -23D. 237 .在如图所示的四棱锥P-ABCD中，AB/CD,NPAD=&L，附J_AB,PA=AD=2,3AB=yCD=2*且BC=6Z则直线PO与平面PBC所成角的正弦值为（）rl的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A.工B.AC.AD.-L64312二.多选题（共4小题）9.有下列四个命题，其中正确的命题有（）A.已知4,B,C,。是空间任意四点，则标+五+而+五=0B.若两个非零向量标与而满足标+而=R则标而C分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量D.对于空间的任意一点。和不共线的三点A,B,C,若而=xXty而+?灰（心y,zR）,则P,A,B,C四点共面10.已知空间中三点A（0,1,0）,B（2,2,0）,C（-1,3,1）,则下列结论正确的有元与'正是共线向量与AB共线的单位向量是（1,1,0）版与皮夹角的余弦值是-近巨11D.平面ABC的一个法向量是（1,-2,5）11 .6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为（）12 .已知正方体ABCO-AiBiCid的中心为O,则下列结论中正确的有（）A. 0A+OD与OB；+OC；是一对相反向量BOB-OC与OA；0D；是一对相反向量C. 0A+0B+0C+OD与0A；+0B；+OC；+OD；是一对相反向量D. OAjOA与OC-Oc；是一对相反向量三 .填空题（共4小题）13 .在空间直角坐标系中，已知点A（l,0,2）,B（1,-3,1）,点M在），轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是.14 .已知随机变量X服从正态分布N（0,。2）且p（-2WXS0）=0.4,则P（X>2）=.15 .任意选择四个日期，设X表示取到的四个日期中星期天的个数，则E（X）=,D（X）=.16 .已知一个袋子中装有1个黑球、2个白球、3个红球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，则摸出白球比黑球多一个的概率为,记摸到的白球的个数为X,则随机变量X的数学期望是.四 .解答题（共6小题）17.已知（片+1）展开式中各项系数之和等于（42+J）5的展开式的常数项，而（M+i）5«的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54,求。的值.18.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表所示的数据:元件制造次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率.19.为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A县推进光伏发电项目,在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.用电量（度）(0,200(200,400(400,600(600,800(800,1000户数51510155（Z）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X,求X的数学期望;（）己知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购.经测算以每T-瓦装机容量年平均发电Iooo度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？20.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490,495,（495,500,.，（510,515,由此得到样本的频率分布直方图如图.（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列，并求其均值.21 .如图，已知四棱锥P-ABCf)的底面为直角梯形，AB/DC,ND48=90°,B4_L底面ABCD,且¾=AO=OC=1,A8=2,M是尸8的中点.(1)证明：平面附O_L平面PCz)；(2)求AC与PB所成的角的余弦值.22 .某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节.已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图.(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(,。2),其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且。2=362.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；(3)预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均为100分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量%每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格，规定答第4题时“花”掉的分数为0.M(A=l,2,，)；每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；答完题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩.己知学生甲答对每道题的概率均为0.7,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量应为多少？(参考数据：36219:若ZN(p,o2),贝UP(-。VZV+o)七0.6827,P(-2。<Z<+2。）NO.9545,P（-3。<Z<+3。）0.9973.2022-2023学年南京市第十三中学高第二学期3月月考卷叁考答案与试题解析一.选择题（共8小题）1 .已知，则m=（）A.0B.lC.2或3D.3【解答】解：鸳一+0!=4=8'=6=m-2或3故选：C.2 .从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有（）A.140种B.84种C.35种D.70种【解答】解：根据题意，从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部,共有Cg3=84种选法；其中只有手机的选法有C43=4种，只有电脑的选法有C53=10种，则有8410=70种;故选：D.3 .从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出的产品中无次品的概率为（）A.-LB.1?.C.殁D.35353535【解答】解：记事件A为“取出的产品中无次品”，则P（八）-c13-13×12×11=22CK15×14×1335,Iu故选：C.4.已知"N*,下列排列组合公式中，不一定正确的是（）A.Cm 一 厂 Ij JD ncnH1C.Cm=-d.-Jm+1=Arnn!n-mnn【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A,由组合数公式可得Cm=Cnf,A正确;nn对于B,Am=,而CmAm=显Xm!=撩,B正确；n(n-m)!nmm!×(n-m)!(n-m)!对于C,Cm=11_=l,C错误；nm!X(n-m)!m!对于£>,Am=Q-,_Lm+l=_l显=_皂,故Am=-Lim+1,n(n-m)!nmnn-m(n-m-1)!(nm)!nn-mnO正确；故选：C.5 .某校IOoo名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间(51,69的人数大约是()A.997B.954C.800D.683【解答】解：由题意可知，XN(,。2),其中=60,。=9,P(Il-OX+)=P(51X69)=0.6826,故成绩X位于区间(51,69的人数大约是0.6826X1000=682.6七683.故选：D.6 .三棱锥A-BC。中,A8=4C=4Q=2,NBAQ=90°,ZBAC=6O0,则标比等于()C. -23D. 23【解答】解：VCD=AD-AC»AABCD=AB(AD-AC)=ABAD-ABAC=2×2×cos90o-2×2×cos60o=-2.故选：A.7 .在如图所示的四棱锥P-ABCD中，AB/CD,NPAD=附J_AB,PA=AD=2,3AB=yCD=2j且BC=BD,则直线PQ与平面P8C所成角的正弦值为()A.®B.返C.亚D.&55510【解答】解：取Co的中点E,WBELCD.因为A8CO且AB=OE.所以四边形ABEO是矩形，所以ABLA。.因为朋LAB且AOAP=A,所以AB_L平面布O.以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，A。所在直线为)，轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则P(O,-1,3),D(0,2,0),B(2,0,0),c(22,2,0),所以？5=(0,3,-3),BP=<-2,-1，M)，BC=(2,2,0),设平面PBC的法向量为三=(%,y,z),j(nBC=2x÷2y=0,取X得短(后.匕旦nBP=-2-y+V3z=03设直线PD与平面PBC所成角为,则sin。=ICOSe而，I=蔡蒲=故选:A.8.在二项式（4）口的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A. 1B. AcId）r的展开式中，前三项分别为：（F）L3n-8.（4）黑（十）即nk, C：（4）n-2（£二）2即嗯豆、丁前三项的系数成等差数列,2×%=+ri T)乙O化为： - 9n+8=0,解得"=8.由通项公式可得：THl=Cr （F）8可知当r=0, 3, 6时，为有理项，其余6项为无理项.有理项都互不相邻的概率P=故选：D.二.多选题（共4小题）6 6A 9 93 7 AA9.有下列四个命题，其中正确的命题有（）A.已知A, B, U。是空间任意四点,则屈+近+而+五=OB.若两个非零向量标与而满足标+而=元，则标而C.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量D.对于空间的任意一点。和不共线的三点A,B,C,若而=xX÷yS+z友J,y,zR),则P,A,B,C四点共面【解答】解：A.己知4,B,C,。是空间任意四点，则标+正+而+X=6因此不正确；B.两个非零向量旋与M满足标+而=工，可得标=-无，则标无，因此正确；C.表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量，正确；D.空间的任意一点。和不共线的三点A,B,C,若而=示+向法：羽(My,zR),满足x+y+z=l,则P,A,B,C四点共面，因此不正确.故选：BC.10.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的有()A.薪与正是共线向量B.与标共线的单位向量是(1,1,0)C.屈与沅夹角的余弦值是-近£11D.平面A8C的一个法向量是(1,-2,5)【解答】解：空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),对于A,AB=(2,1,0),AC=(7,2,1),凝与正不平行,，标与正不是共线向量，故A错误；对于8,与屈共线的单位向量是土萍一=土(上，土，0),故8错误；IabI55对于C,BC=(-3,1,1),，标与它夹角的余弦值是：cos<T前>=吃=16+二=_运,故C正确;cos&AB,瓦I尿I511U对于。，设平面48C的法向量n=(x,y,z),则:"2x+y=°,取=,得;=(1,-2,5),故D正确.nAC=-x+2y+z=0故选：CD.11. 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为()A.1B.2C.3D.4【解答】解：按要求最多有C需=15种交换，此时每位同学有5份纪念品，因为实际进行了13次交换，故可能是某一位同学与另两位同学各少一次交换，此时另两位同学还剩四份纪念品，故B正确：或其中四位同学分两组，每一组少一次交换，则该四人都剩四份纪念品，故。正确.故选：BD.12.已知正方体A8-AiBiCiOi的中心为O,则下列结论中正确的有()A. OA+OD与OBJOC；是一对相反向量B. OB-OC与OA；-OD；是一对相反向量C. 0A+0B+0C+OD与OAOB；+OCOD；是一对相反向量D. oa；-OA与OC-Oc；是一对相反向量【解答】解：在正方体ABCO-AiBiCId的中心为O,如图所示：对于4：如图所示：OA+OD与OB；+OC；是一组相反向量，故A正确；对于B：CIB-OC=CB与oa；-OD；=D1A；是一组相同向量，故8错误；对于C：OA+0B+0C+OD与oa；OB；+OC；+od；是一组相反向量，故C正确；对于西-忝二丽与Od-Oel'=“是一组相反向量，故。正确故选：ACD.三.填空题(共4小题)13 .在空间直角坐标系中，已知点A(l,0,2),B(1,-3,1),点M在)，轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是(0,1,0).【解答】解：设M(0,y,0)由12+÷4=1÷(y+3)2+1可得y=-1故M(0,-1,0)故答案为：(0,-1,0).14 .已知随机变量X服从正态分布N(0,2)且P(-2WXW0)=0.4,则P(X>2)=0.1.【解答】解：随机变量E服从正态分布N(0,2),且P(-2WXW0)=0.4,AP(OWXW2)=0.4：.P(X>2)=0.5-0.4=0.1故答案为：0.1.15 .任意选择四个日期，设X表示取到的四个日期中星期天的个数，则E(X)=A7D(X)=建.-49-【解答】解：任意选择四个日期，取到星期天的概率为工，所以XB(4,1),77所以E(X)=4X4号，D(X)RXaX(T)嗡故答案为：A；24.74916 .已知一个袋子中装有1个黑球、2个白球、3个红球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，则摸出白球比黑球多一个的概率为J-,记摸到的-20-白球的个数为X,则随机变量X的数学期望是【解答】解：设“摸出白球比黑球多一个的事件“为A,则A包括两种情况：一种是摸一个白球，两个红球；另一种是摸一个黑球，两个白球.p1p2p2p1：.P (A)=C620由题意可得：X=O, 1, 2. P (X=O)b2b3+b2Ll73Q1Q2=T=LP(X=I)=24一2,p(X=喘5喘566p2p12) =±C65可得分布列：X012P53_55：E(X)=OXI+lxS+2X工=1,555故答案为：2_,1.20四.解答题(共6小题)17.已知(/+1)展开式中各项系数之和等于(乌2+土)5的展开式的常数项，而(j+1)54”的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54,求的值.【解答】解：由(&+土)5得，54Tr+=C5r(l?)5"(工)r=(Ii)5-r.c5r.2pz5r5452令TrH为常数项，则205r=0,，厂=4,，常数项7=C54Xa=I6.5又(«2+1)展开式的各项系数之和等于2。由题意得2"=16,=4.由二项式系数的性质知，(/+1)展开式中二项式系数最大的项是中间项为，C44=54,*ci=±V18 .某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表所示的数据：元件制造次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率.【解答】解：设在仓库中随机地取一只元件，它是次品为事件A,所以P（八）=0.02×0.15+0.01×O.8O+O.O3×0.05=0.0125.所以在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.0125.19 .为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A县推进光伏发电项目.在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.用电量(度)(0,200(200,400(400,600(600,800(800,1000户数51510155(/)在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X,求X的数学期望；()已知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购.经测算以每千瓦装机容量年平均发电Iooo度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？【解答】解：(/)记在该县山区居民中随机抽取1户,其年用电量不超过600度为事件A.由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X服从二项分布，即XB(10,S),故E(X)=IOX>6.(6分)D()设该县山区居民户年均用电量为E(丫)，由抽样可得E(Y)=100X-+300×来+500X普+700×米+900X-=500DUDU3UbUDU(度)(10分)则该自然村年均用电约150000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150(X)O度，能为该村创造直接收益120000元.(12分)20 .某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495,(495,500,.,(510,515,由此得到样本的频率分布直方图如图.(),050.04(),0°v4904955(X)505510515匝&/克(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设y为质量超过505克的产品数量，求y的分布列，并求其均值.【解答】解：（1）质量超过505克的产品的频率为5X0.05+5X0.01=0.3,质量超过505克的产品数量为40X0.3=12.（2）质量超过505克的产品数量为12,则质量未超过505克的产品数量为28,X服从超几何分布，X的取值为0,1,2.P(X=O)=罩=里P(X=I)=¾k=型,P(X=2)=隼=旦,C2130C265C2130404040X的分布列为：XO12P63130286511130:E(X)=OX63+x&+2xU=130651303.5（3）根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为403910从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看二项分布，质量超过505克的件数y可能的取值为0,1,2,且YB(2,A),p(y=o)=(I-L)2=-lL,p(y=i)=以且x-Z-=21,p(y=2)=(_5_)101002101050102=9"o,.y的分布歹IJ为:YO12P4921910050100E(Y)=OX494IX+2X9=3.10050100521 .如图，已知四棱锥P-ABCo的底面为直角梯形，AB"DC,ZDAB=90o,布_1底面ABCD,且勿=AO=QC=1,AB=2,M是PB的中点.（1）证明：平面RlQ_L平面PCQ：<2）求AC与P8所成的角的余弦值.B二二/ZV/Z、/zDC【解答】(本小题满分12分)证明：(1),ABDC,NOA8=90°,DC±AD,又B4_L面ABCD,M±DC,DClffiMD,又OCU面尸。C,平面B4O_L平面Pa)；解：(2)以A为原点，AD,AB,AP分别为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0),B(0,2,0),AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1),设AC与PB所成的角为。(0<<90o)cos=cos<AC>PB>I=ICP巴I=I2=.1 IacI-IpbI1,251522.某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节.已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图.（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N（,。2）,其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且。2=362.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均为100分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第攵题时“花”掉的分数为0M（k=l,2,，）；每答对一题加L5分，答错既不加分也不减分；答完题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.7,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量应为多少？（参考数据：36219;若ZN（,。2）,贝IJ尸（-<Z<+）*0.6827,P（-2<Z<+2o）Po.9545,P（U-3。VZVU+3。）0.9973.【解答】ft?： （1）由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有:(0.0125+0.0075)X20X 100 = 40 人,其中成绩优良的人数为0.0075×20X100=157k,记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件C,则恰有1人预赛成绩优良的概率:P(O=25*52（2）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为:X=10×0.1+30×0.2+50X0.3+70×0.25+90×0.15=53,则=53,又由。2=362,=19,P(Z>91)=P(Z>+2)=-.p(-2+2,)j2275,J估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数为:8000×0.02275=182,即全市参赛学生中预赛成绩不低于91分的人数为182.(3)以随机变量f表示甲答对的题数，贝代B(加0.7),且E=0.7m记甲答完题所加的分数为随机变量X,则X=L5f,fX=1.5=1.05/?,依题意为了获取答题的资格，甲需要“花”掉的分数为：0.1×(1+2+3+)=0.05(n2+n),设甲答完题的分数为M()，则M()=100-0.05Cn2+n)+1.05=-0.05(n-10)2+105,由于N*,当=10时,M()取最大值105,即复赛成绩的最大值为105.若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量应该是10.