复变函数与积分变换试题及答案19.docx
复变函数与积分变换试题与答案一、题判断(每题2分，共10分，请在正确的题后打"J",错误的题后打"X")1、/(Z)=SinZ是有界函数。()2、函数/(z)=e，是以Lri为周期的周期函数。()3、如果ZO是/(Z)的奇点，那么/(Z)在Zo不可导。()4、假设函数F(Z)在ZI)处解析，那么尸")(z)也在z“解析。()5、的假设"(x,y)与V(X,y)都是调和函数，那么/(z)=w(x,y)+ix,y)是解析函数。()二、填空题(每题4分，共16分)1、设Z=2-那么IzI=,argz。1+Z2、(I+*,(1+0,=o3、Ln(3i)=,主值In3/)=。4、f(I)=t2+te,+e2'sin6/,那么/(f)的拉氏变换是。三、解答题(8分+12分=20分)1、求卜/+,.y)/,其中C是沿曲线y=/由点z=0到点z=l+iC2、根据R的取值不同，讨论并计算积分的值。其中C是不经过Z=-IJz2(z+l)(z-2)和z=2的正向圆周IZl=R(R>0)o四、解答题(每题8分，共16分)1、U(X,y)=V-3y是调和函数，求其共辆调和函数v(x,y).2、/(Z)=/-)在何处可导？何处解析？并在可导处求/"(z).五、解答题(1、2题每题8分，3题6分，共22分)II万1、求将单位圆Z<1内保形映照到单位圆IWl<1内，且满足/()=0,arg/,(一)=-的分式线性映照。2、将/(z)=?在l<z<3上展开成罗朗级数。(z-l×z-3)3、指出/(z)=在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数六、计算题(每题8分，共16分)1、求正弦函数/(r)=Sino/的傅氏变换。2,利用拉氏变换求解微分方程答案一、题判断(每题2分，共10分，请在正确的题后打"J",错误的题后打"X")1、/(Z)=SinZ是有界函数。(×)2、函数/(z)=e：是以2%i为周期的周期函数。()3、如果ZO是/(Z)的奇点，那么/(Z)在Z(I不可导。(X)4、假设函数/(Z)在Zo处解析，那么r")(z)也在ZO解析。()5、的假设"(x,y)与V(X,y)都是调和函数，那么/(Z)=MX,y)+iv(x,y)是解析函数。(X)、填空题(每题4分，共16分)、设Z=2"那么Z=V,argz=。1+j4-(2"J)万ln22、(1+j)6=-(1+犷=乙423»Ln(3/)=ln3+(2-y)/,主值In(3i)=ln3-yi.4、/=r+r+e2in6r,那么f的拉氏变换是之+-+s(S-I)(S-2)"+36三、计算题(每题8分，共16分)1、求正弦函数/(r)=sin/f的傅氏变换。解：方法1F(/)=玩b(<y+0o)-b3+/)方法2F/=；SinBf9ttdt(.-C2(-t0)ei"1'd=eia,'a+eii'vdt=2-11j)2,利用拉氏变换求解微分方程y"y'+3V=eliMO)=MO)Ml”解：52r(5)-5y(0)-y,(0)+45y(5)-(0)+3r(5)=-$+1y(f)=ResY(s)e",-l+Resy(6)e",-3四、解答题(1,3,4,5,6：8分；2：12分；7：6分)1,求卜2+iy)dz,其中C是沿曲线y=x?由点z=0到点z=l+i°C解：C：即Z=r+/原式=<(f+"2)(l+2ri)df0=(+)J3+2AW=d+j)lio2,根据R的取值不同，讨论并计算积分的值。其中C是不经过Z = -I和 (z + l)(z-2)z=2的正向圆周z=R(R>0)当1<R<2时当R>2时解：当R<l时=OJJz=-It2i=-ir(z+l)(z-2)z-2Z3f122dz+Idz=2iz11=0n(z+l)(z-2)几(z+l)(z-2)333U(X,y)=V一3)是调和函数，求其共掘调和函数V(X,y)。III"一包一“n-一-3Z+心)yx又因为=(3/3犬)即3y2+cr(x)=-3y2÷3x2xydv=-dx-dy=(-3y2+3x?)ri+(-6jy)dvxGy4、/(z)=/-iy在何处可导？何处解析？并在可导处求/'(z)解：令H(X,y)=xv(x,y)=-yw(x,y)?n(x,y)可微，Ll)且酒足-=_Txoyy汝即FAT0=0.仅在X=-I直线上可导(5')且F(Z)=-I无解析点5、求将单位圆z<1内保形映照到单位圆w<l内，且满足/(与=0,arg/'()=f的分式线性映照。解：vv="H由d)=o得W=尹况2I-IzJ2又arg'-即arg,*/=>8=三6、将/(z)=?在l<z<3上展开成罗朗级数。(z-l×z-37、指出/(Z)=在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。解1：Z=O为/(Z)的孤立奇点，IimL：-=iim=8nZ=O为极点工T)ZE4z"一2已又lim-z3=lim=-2=>Z=O为三阶极点z0】1一1/工R咏h，°F叫丁厂43解2："、1(2z)(2z>(2z)3(2z). Z=O为三阶极点,且 Res(f,0)=j=-§/(z)=-1-(1+-+-+-+)J1!2!3!4!
