线性代数期末考试试卷-答案合集详解.docx

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分）1.1一305-12X-2r1+x2+x3=02.若齐次线性方程组+x2+x3=0只有零解,x1÷x2+x3=0则/1应满足3.已知矩阵A,B,C=(Cij)siinf满足AC=C8,阶矩阵。4.矩阵A=qIa2。21。22aia32)的行向量组线性5.阶方阵A满足A2-3A-E=0,则AT=二、判断正误（正确的在括号内填“7”，错误的在括号内填“X每小题2分，共10分）1.若行列式。中每个元素都大于零，则。0。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组。1，。2中，如果与4对应的分量成比例，则向量组叩。24线性相关。4.010010000 00 I00,则A05.若;I为可逆矩阵A的特征值，则A-的特征值为4。（）三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分）1 .设A为阶矩阵，且网=2,贝"AA=（2n2'i 2,+,）。2 .维向量组四,4（3sn）线性无关的充要条件是（1,2,巴中任意两个向量都线性无关a1,a2,巴中存在一个向量不能用其余向量线性表示a1,a2,巴中任一个向量都不能用其余向量线性表示a1,a2,%中不含零向量3 .下列命题中正确的是（）o任意个+1维向量线性相关任意个+1维向量线性无关任意+1个维向量线性相关任意"十1个维向量线性无关4.设4,8均为n阶方阵，下面结论正确的是（）。若4,8均可逆，则A+8可逆若4,8均可逆，则AB可逆若A+8可逆，则A-B可逆若A+B可逆，则A,3均可逆5.若匕，y2,v3,匕是线性方程组AX=O的基础解系，则匕+%+%+匕是AX=O的()解向量基础解系通解A的行向量四、计算题（每小题9分，共63分）x+abCdax+bcd1.计算行列式Oabx+cdabcx+d解.x-abcdx+匕+c+dbcdax+bcdx+a+Z?+c+dx+bcdabx+cdx+a+b+c+dbx+cdahcx+dx+a+b+c+dbcx+d1bcdbcd1x-L?cd0x00=(x+a+b+c+d)=(X+8+c+d)=(x+a+b+c+d)x -1 -12 -2 -1-1 1 11bx+cd00x01bcx+dOOOx301、2.设AB=A+28,且A=110解.(A-2E)3 = A(A-2E)1 =、014,5-2-2B=(A-2E)iA=4-3-2-223a4.问。取何值时，下列向量组线性相关？ =2,火< 2>zI-100)(2134)3.设8=()010-101-1,C=00201231且矩阵X满足关系式X(C-8)'=E,求、°001。002)Xoxx+x1+X3=2-35. /1为何值时，线性方程组x1+r2+x3=-2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有x1+x2+Ar3=-2无穷多解时求其通解。当义工1且4工一2时，方程组有唯一解;当4=-2时方程组无解当4 = 1时，有无穷多组解，通解为X6.其余向量用该极大无关组线性表示。求此向量组的秩和一个极大无关组，并将00、7.设A=O10,求A的特征值及对应的特征向量。、021,五、证明题(7分)若A是阶方阵，且AAT=/,IH=-L证明a+=o°其中/为单位矩阵。××X大学线性代数期末考试题答案一、填空题1.52.13.s×s，n×n4.相关5.A-3E二、判断正误1.X2.3.4.5<三、单项选择题1.2.3.4.5四、计算题1.x-abcdx+a+b+c+dbcdax+bcdx+b+c+dx+bcdabx+cdx+a+b+c+dbx+cdahcx+dx+a+b+c+dhcx+d1bcd1bCd1x-L?cdOOO=(x+a+b+c+d)1b=(X+b+c+d)A-O=x+a+b+c+d)x'x+cdUU1bcx-dOOO-2.-2-1-f(A-IE)B=A(A-2E),=2-2-1,-111-2-32-2-2 35B=(A-2E)1A=4-21234101232C-B=0D12,(C-B)=300O1_4'1000'(c-4)T=-211-201OOX01-21000100210321ooo-=e(c-b),=-21001-21001-21线性相关。1 a2当;1=1时，有无穷多组解，通解为X =6.312131 2131001-4-201-4-2-70 -3 -4 -100 0 -16 -16-70 -3 -1 -70 0 -13 -13='(2+l)2(2。-2)当4=一,或。=1时，向量组q,a2,825.当几1且4-2时，方程组有唯一解;当4=一2时方程组无解l00-20102'00110000则r(avq)=3,其中q,Cl2f生构成极大无关组，4=-2q+24+% 12E-A= OOA+Z = A÷, = 力。+A)=OOO-O=(2-l)3=021000"1-()特征值4=4=4=1，对于入1=1,A1E-A=000,特征向量为A0+/00-2001五、证明题一、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设A,8为n阶方阵，满足等式AB=0,则必有()（八）A=O或8=0；(B)A+B=O;(C)=O或同=0;(D)A+B=0o2、A和/3均为阶矩阵，fi(A+B)2=A2+2AB+B2,则必有()（八）A=E;(B)B=E;(C)A=B.(D)AB=BA93、设A为2矩阵，齐次方程组Ar=O仅有零解的充要条件是()（八）A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；(C)A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.4、阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是()（八）A的秩小于n；(B)0;(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、填空题(本题共4小题，每题4分，满分16分)5、若4阶矩阵A的行列式同=-5,A”是A的伴随矩阵，则lA=。6、A为X阶矩阵,T7、已知方程组223ari=3无解，贝!“fiA2-A-2E=0,贝()(A+2E)T8、二次型/(x1,x2,x3)=2x12+3%2+txj+2x1x2+2xlx3是正定的，贝!/的取值范围是o三、计算题(本题共2小题，每题8分，满分16分)1+x111、iMrm1I_X119、计算行列式O=11+y11111-y10、计算阶行列式X+3x2O=Xlx2+3XnMX2Xn+3四、证明题(本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程)11、若向量组a1,4，%线性相关，向量组%，%，4线性无关。证明：(1)必能有线性表出；(2) %不能由即%，。；线性表出。12、设A是阶矩方阵，E是阶单位矩阵，A+石可逆，fi（八）=(E-A)(E+A,证明(1) (E+()(E+)=2E;(2) f(f（八）)=Ao五、解答题(本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)200、13、设4=032,求一个正交矩阵尸使得PTAP为对角矩阵。N23,xl+x2+x3=O14、已知方程组，x1+2x2+axi=0与方程组+2工2+工3=。一1有公共解。X1+4x2+672X3=O求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知名,生,%是它的三个解向量，且求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、Ao二、填空题5、-125;6、-；7、-1；8、t>-o25三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：xxOO11-x11D=OOyy1111-yXOoO第二列减第一列，第四列减第三列得：Q=Irl（4分）OOyO101-y按第一行展开得-X10D=xOyO01-V按第三列展开得X O 2 2D = -xy =x y o"1 y（4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子（g>,+3</=1,再通过行列式的变换化为上三角形行列式1X"1 2+3 xll1 x2 + 3X?×n3003=3"TI（4 分）（4分）四、证明题11>证明：（1）、因为a2 , %，%线性无关，所以a2，。3线性无关。，又名 ,4，%线性相关，故生能由%，4线性表出。（4分）r（al,a2,a3）=3,（2）、（反正法）若不，则%能由4,%，%线性表出，不妨设«4=ka+k2a2+。由（1）知，al能由线性表出，不妨设%=，1%+t2%。所以%=KQIa2+t2%）+&%+43。3，这表明%，。3,4线性相关，矛盾。(1) (E+/（八）)(£+A)=E+(EA)(E+A)T(E+A)=(E+A)+(F-A)(E+A)T(E+A)=(E+A)+(E-A)=2E(4分)(2) /(/()=E-（八）E+（八）,由得：E+"A)"=g(E+A),代入上式得/(/（八）)=E-(E-A)(E+A)-1(E+A)4(A)-(E-A)(E÷A)-1(E+A)=-(E+A)-(E-A)=A(4分)22五、解答题13、解：（4分）（1）由日£一川=0得A的特征值为4=1，4=2,=5o（0、（2）4=1的特征向量为A=T，l4=2的特征向量为多=H,4=5的特征向量为4=1O（3分）<1>（3）因为特征值不相等，则刍,$，及正交。（4）将。君24单位化得PI =（2分）（2分）(5)取P = (Pl,P2,P3) =01飞1o_l_l72'1 0(6) P 1AP= 0 2 0、0 0 5,(1分)14、解：该非齐次线性方程组Ax=力对应的齐次方程组为Ax=O因R（八）=3,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。(5分)另一方面，记向量J=27-(%+%)，则A=A(2一3)=-Az/2-=2b-b-b=0直接计算得4=(3,4,5,6)7O,J就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为9 ke Ro(7分)3)45G15、解：将与联立得非齐次线性方程组:x1+x2+x3=0,X1+Ix2+OX3=0,x1+4x2+CTx3=0,X1+Ix2+x3=4-1.若此非齐次线性方程组有解，则与有公共解,且的解即为所求全部公共解.对的增广矩阵A作初等行变换得:'1110、rI110、12a001a10A=a2.(4分)14000(a-2)(-l)0J210-aa-x>1°当=1时，有NA)=Nm=2<3,方程组有解，即与有公共解，其全部公共解即为的通解，此时'101()、-OlOOA->90000WOOo,-则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为：0J>所以与的全部公共解为A,A为任意常数.（4分）2°当2时，有厂=（）=3,方程组有唯一解，此时rIOOWO1OOOO1O0、1-1°,故方程组的解为：1,即与有唯一公共解弋=（4分）线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式3,2=m,a,3a"=n,则行列式""2+'3等于(a21a22a23a2la21a22+a23A. m+nC. n-mB.-(m+n)D.m-n100、则AT等于（2 .设矩阵A=020<003；3-12、3 .设矩阵A=10-1,A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1,2）的元素是（）<-214，A.-6B.6C.2D.-24 .设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC则必有（）A.A=OB.BhC时A=OC.A0时B=CD.A0时B=C5 .已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（At）等于（）A.IB.2C.3D.46 .设两个向量组,2,（Is和B,力，B、均线性相关，则（）A.有不全为0的数人2,»入S使入1a+入2。2+入Sas=0和入IB+262+入、B、=0B.有不全为O的数1，入2，入S使入1（a+BI）+2（a2+B2）+入S（as÷s）=OC.有不全为O的数入I，2,入S使入I（ILBI）+2（a2-2）+s（aS-Bs）=OD.有不全为。的数人,入2，3和不全为O的数口1，口2，人使人a+入2<>2+人SaS=O和IXIB1+22+.+ss=07 .设矩阵A的秩为r,则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有一1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于OD.所有r阶子式都不为O8 .设Ax=b是一非齐次线性方程组，11,的是其任意2个解，则下列结论错误的是（a. n + n 2是Ax=O的一个解c.nn2是AX=O的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（A（A）nCA=OB.- n 1+- 112是 Ax=b 的一个解 22D.2 n I - n 2 是 Ax=b 的一个解)B.秩(A)=II-ID.方程组AX=O只有零解10.设A是一个n（23）阶方阵，下列陈述中正确的是（A.如存在数人和向量使Aa=,则a是A的属于特征值人的特征向量B.如存在数和非零向量a,使（E-A）a=0,则人是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量入2，D.如入2,入3是A的3个互不相同的特征值，a,a2,a3依次是A的属于入1,3的特征向量，则,。2,a 3有可能线性相关11 .设入0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入0的线性无关的特征向量的个数为k,（ ）则必有A. k3C. k=3B.k<3D. k>312 .设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（a.aF必为1C.A-1=AB.A必为1DA的行（列）向量组是正交单位向量组13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAc.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（A.3'B.C.0<002-30、-35>D. 0 2；第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11115.3569253616.设A=1-111I-I.则A÷2B=17.设 A=(a)3 X 3，A=2,Aij表示IAl中元素aij的代数余子式（i,j=l,2,3）,则(alA2+a2A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23>:18 .设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关，则a=.19 .设A是3X4矩阵，其秩为3,若明，的为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20 .设A是mXn矩阵，A的秩为r(<n),则齐次线性方程组AX=O的一个基础解系中含有解的个数为.21 .设向量a、B的长度依次为2和3,则向量a+B与a一B的内积(a+B,a-)=.22 .设3阶矩阵A的行列式A=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.23 .设矩阵A=1-3-3,己知a=-1是它的一个特征向量，则a所对应的特征值为.24 .设实二次型f(X,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为.三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)25 .®A=340,B=(O4J求(1)AB；(2)4A.26.试计算行列式3-52-1327.设矩阵A=28.给定向量组a产0-53、03,0<3>2-4-1-3，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B-323'02-L0、-14<9>试判断是否为a”a2,(13的线性组合；若是，则求出组合系数。'1-2-102、-2426-629 .设矩阵A=.2-102333334；求：(1)秩（八）；(2) A的列向量组的一个最大线性无关组。'0-22、30 .设矩阵A=-2-34的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-IAT=I).24-3；31 .试用配方法化下列二次型为标准形f(x,X2,X3)=×+2x2-3x3+4x1x2-4xX3-4x2X3，并写出所用的满秩线性变换。四'证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32 .设方阵A满足A?=。，试证明E-A可逆，且（E-A）-,=E+A+A 4A=43A=64A,而.33 .设no是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，,S2是其导出组AX=O的一个基础解系.试证明（1） 11=no÷1,n2=n0+，均是Ax=b的解；（2）no,n,n?线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.BILA12.B13.D14.C二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)(337、15.616.口23717.418.-1019.n+c(n2-nD(或2+c(n2-n),c为任意常数20. n-r 21.-522. -223. 124. zj" + 2 + Z3 - z；三、计算题（本大题共7小题,每小题6分，共42分）2 OV 225.解(1) ABr= 3 4 0 3I-I 2 )818、3611010>26.解3-523-1110-5-13132-4-1-35-110-527.解AB=A+2B即(A-2E)(A-2E)-,=11.l2-12所以4A=64(-2)1-11301-53B=A,而1-1005-11-5-4-56所以B=(A-2E)-,A=1-5-31-164=-12811-5-3、-34>23、1023)32-22-58-912-6、-69,2-5=30+10=4().28.解一-2130、1-3 0-10224< 34-19>,10 0 2、0 10 1TOOIl<0 0 0 0>rO -5 3 -2>1-3 0-10 1120 13 -1 12；'1035、O 1120 088、0 O -14 -14;'1 0 3 5、 0 112 OOll<0 0 0 a尸所以4=2 +2+3,组合系数为(2, 1, 1).解二 考虑 a 4=x a +2 a 2+x3 a 3,2x + x 2 +3X3 =0即 x3x2=72x2 +2x3 = 43x +4x2 -X3 = 9.方程组有唯一解(2, 1, 1) ,组合系数为(2, 1, 1).29 .解 对矩阵A施行初等行变换( -2 -1 O 2)p -2 -1 O 2( -2 -1 O 2)O O 0 6-20 3 28-3O 3 2 8 -3A>>>=B.O 32 8 -2OOO 6 -2O O 0 3-1l 9 6 3 -2)1.0 O O -21 7 J<0 O O O O J（1）秩（B） =3,所以秩（A）=秩（B） =3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最 大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是）30 .解A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为2石/5、 1=(2, -1, 0),2=(2, O, l).经正交标准化，得 n= -552 石/15、 2= 4515、石/3,/1 （1/3、入=8的一个特征向量为 3= 2 ,经单位化得113= 2/3 k-2yI-2 /r255所求正交矩阵为T= -55OX21515 1/3、4515 2/353-2/3,'1 O 0、对角矩阵D=Olo<0 O -8；255215151/3、(也可取T=O-532/3.)k55-4515-2/331.解f(xi»X2,X3)=(X1+2X2-2X3)2-2X22+4X2X3-7X32=(X|+2X2-2X3)2-2(X2-X3)2-5X32.y =X +2X2 -2x3设丫2 =×2 -×3 ,)3 =X3xi =y -2Y2即卜 2=丫2+丫3X3 = 丫3rI-20、,因其系数矩阵C=011可逆，故此<00L线性变换满秩。经此变换即得f(x,X2,X3)的标准形y2-2y22-5y32.四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)32.证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以EA可逆，且(EA)7=E+A+A2.33.证由假设AnO=b,A1=0,A42=0.(1)A11=A(110+C1)=A11o+A=b,同理An2=b,所以n,是Ax=b的2个解。(2)考虑/0no+n1+/2n2=o,即(/0+/1+/2)0+Z1+62=0.则o+2=O,否则no将是AX=O的解，矛盾。所以Zli+22=0.又由假设，H，线性无关，所以/1=0，/2=0,从而4)=0.所以no,111,仙线性无关。