圆锥曲线大题训练.docx

解析几何大题专练1 .(本小题共13分)在平面直角坐标系Xoy中，动点P到定点尸(0,3的距离比点P到X轴的距离大!，设动点P的轨44迹为曲线C,直线/:)，="+1交曲线C于AB两点，M是线段AB的中点，过点M作X轴的垂线交曲线C于点N.(I)求曲线C的方程；(II)证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；(IH)若曲线C上存在关于直线/对称的两点，求A的取值范围.2 .(本小题满分14分)已知桶圆加：与+1=1(。人0)的离心率为丝，且椭国上一点与椭圆的两个焦点构成的三ab3角形周长为6+4.(I)求椭IIM的方程；（三）设直线/与椭圆M交于AB两点，且以48为直径的圆过Iffi圆的右顶点C,求8C面积的最大值.3 .(本小题共13分)已知椭圆4÷=l(«>>0)的离心率为好,斜率为k*0)的直线/过椭圆的上焦点且与a2I22椭圆相交于P0两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(O,m).(I)求椭圆的方程；(II)求梅的取值范围；(IlI)试用加表示AMPQ的面积，并求面积的最大值.4 .(本小题共14分)X2v231已知椭圆c：+=1(a>b>O)经过点M(1弓),其离心率为-.CrbZ22(I)求椭圆C的方程；(11)设直线/：)，=履+机(l%lg)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OAO8为邻边作平行四边形OAPBf其中顶点P在椭圆C上，。为坐标原点.求IOH的取值范围.5 .(本小题共14分)已知点A(T,O),B(l,0),动点P满足IPAI+P3=2石，记动点尸的轨迹为W.(I)求W的方程；（三）直线y=履+1与曲线W交于不同的两点CDt若存在点M(m,0),使得IeM=IoM成立,求实数小的取值范围.6 .(本小题满分14分)已知椭圆。：马+斗=1(人0)经过点4(2,1),离心率为”过点8(3,0)的直线/与椭圆Cab2交于不同的两点M,N.(I)求椭圆C的方程；(II)求8M3N的取值范围；(III)设直线AM和直线AN的斜率分别为(W和心N，求证:原M+2.为定值.已知椭圆+=l(Q>b>O)经过点P(坐,；)，离心率为暗，动点M(2,)(>0).(I)求椭Ii的标准方程；(11)求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；(IIl)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的国交于点N,证明线段ON的长为定值，并求出这个定值.8(本小题满分14分)已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为耳(-i,o)尸2.，°)，离心率是孝。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于X轴上方的动点，直线AS,BS与直线/:X=-与分别交于M,N两点。(1)求椭图C的方程；(2)求线段MN长度的最小值；(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：ATSA的面积为试确定点T的个数。已知点A(1,J5)是离心率为旧的椭圆C：W+27=l(>6>0)上的一点.斜率为行的直线2b2a28。交椭圆C于8、拉两点，目4、B、O三点不重合.(I)求椭圆C的方程；(11) A45。的面积是否存在最大值若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由(In)求证：直线A3、4。的斜率之和为定值.10体小题13分)已知楠圆C的中心在坐标原点，焦点在龙轴上，它的一个顶点B与抛物线f=4)，的焦点重合，离心率e=与(I)求椭圆C的方程；(11)是否存在直线/与桶圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点/恰为BMN的垂心(三条高所在直线的交点)，若存在，求出直线/的方程,若不存在，请说明理由.解析几何大题参考答案:1 .(共13分)(I)解：由已知，动点P到定点尸(0,；)的距离与动点P到直线y=-；的距离相等.44所以曲线C的方程为)，= /.3分由抛物线定义可知,动点P的轨迹为以(O,')为焦点,直线y=为准线的抛物线.(II)证明：设A(X1,y),B(x29y2).由y='得/一五1=0.y=H+l,所以%+%2=&，X1X2=-1设M(X0,%),则o=.因为MV_Lx轴，所以N点的横坐标为上由y=/,可得y=2所以当x=4时，y'=k.所以曲线C在点N处的切线斜率为与直线AB平行.8分(III)解:由已知，k0.设直线/的垂线为/'：y=x+b.k代入y=f,可得父+!工一匕=0(*)K若存在两点。(七，%)，Ea4,%)关于直线/对称，2k则，江&=八22k27又中中上，22所以白+。=&(-白+L22k由方程(*)有两个不等实根所以A=(1)2+4b>0,即4+2-2>0KKK所以r<2,解得女<一*或女>*.13分222.（本小题满分14分）解：（I）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4历,所以2+2c=6+4,1分又椭圆的离心率为孚哈事所以C=乎。,2分所以=3,c=22.4分2所以6=1,椭圆M的方程为5+y2=i.5分(II)方法一：不妨设BC的方程则AC的方程为y=-L(x-3).ny=n(x-3由“V-2得(F?")x"-6/?x÷91=0,6分÷y2=l99设4再，),B(x2,y2)981n2-99n2+l所以“2=27n2-39n2+l7分同理可得项=23),9+h2所以IBa=E罚,AC=Vl + w2 62 n 9÷ /?210分= BCC=2(+ 一) . 64' (n + -y+-n 912分则STV + 一9- 813分O当且仅当/=§时取等号，14分3所以A3C面积的最大值为三.8方法二：不妨设直线43的方程X=6+z.x=ky+m,ffiX29消去X得(F+9)+2加zy+39=0,6分l+y=L设A(XQi),B(x2,y2),-2km2-9八则有y+%=一后而，%=中7分因为以48为直径的国过点C,所以CACB=O.由CA=(xl-3,y1),CB=(x2-y2)t得(玉-3)。2-3)+Xy2=08分将药二物+见/=机+加代入上式，得(k2÷l)yly2+k(m-3)(1+2)÷(-3)2=0.将代入上式，解得加=葭或机=3(舍).10分1212所以根=M(此时直线AB经过定点。(三,0),与椭圆有两个交点)，所以SMfC=JDGy12分13ry925(+9)-144-×-(y1+>2)>>>2-5V25(k2+9)2*2513所以当，=(0,-时，SgBC取得最大值d14分Zoo9o3.(共13分)C2解：(I)依题意可得，=，b=c,a2又=Zj2+c2t可得b=l,0=应.所以椭圆方程为4+f=.(II)设直线/的方程为y=Ax+1,y = kx + l,y ,+ X2可得(公+ 2)/+2h一 1 = 0.设 P(X,y), (x2,y2),-2kF72,可得 y + % = &( +¾)+2k2+2-k 2设线段PQ中点为M则点N的坐标为(再5"),2tn2可得QtZ.2二一1.K+2可得根=I又左o,所以0根， 2(III)设椭圆上焦点为尸,则 S&WPQ = TMMHXT2卜IxI x2 = (xi +)2-4ix2 =8(公 + 1)(公+2)2 '由m二，可得42 + 2 = Ir +2m所以归-Zlf8(-1) J=8w(l-w).又IFM卜1-"2,所以ssmpq=2n(l-w)3所以M尸。的面积为&mA(Ovm<g).设f(m)=m(l-m)3,则/'(zw)=(-zw)2(-4m).可知/（在区间（O,1）单调递增，在区间（1,）单调递减.4421127所以，当Z=:时，有最大值/（二）=7y.44641O所以，当机=:时，MPQ的面积有最大值Y-.484.（本小题满分14分）解：（I）由已知尸（5,0）,设A（X,y）,贝!2=2",国心坐标为（£A）,圆心到y轴的距离为名产，2分圆的半径为"=玉一（-§）="£,4分2224所以，以线段FA为直径的园与y轴相切.5分（II）解法一：设尸（0,%）,8（工2，%），由E4=4",8#=4E4,得（4一5，y）=4（一石，为一乂），（一，一%）=4（一,y）,6分所以-=-4%,y=4（%一X），-2=（1-y）,y2=-y1,8分由为=-4加得£=若才.又q=2P玉，y=Ipx2,所以=若.1。分代入一天=4（为一争,得5-好王=-9,（i+4）=玉4（1+4）,整理得X=鸟，12分代入 X-g = x，得白22Z = _A£222所以1 = 1一冬,13分因为今U,所以z的取值范围是弓,2.14分解法二：设A（Xl,必）,8（，必），B.x=my+t将戈=my+代入V=2px,y2-2pmy-p2=0,所以（*）,6分由e4=4AP,BF=A2FAt得（X-多y）=4（一Wof）,或一私一%）=4（%一§,），7分8分10分12分13分14分所以，为一万=-4不，y =4（%一乂）， -x2 =（X1-）,y2=-A2y1,将必=一4%代入（*）式，得J：=今，所以2p%=?，xi=- Z2 ，七代入玉一£二一4不，得;=1 一因为?所以4的取值范围是g,2A7 4 232j2«6.解：（I）由已知可得/=二二二:，所以3储=4从1分a4319又点M。,三）在椭圆C上，所以+言=12分2a4Zr99故椭圆C的方程为5+弓=L5分由解之，得M=4,/=3.（II）y=kx+m,2214 3土+匕"消y化简整理得：（3+4&2）x2+Skmx+4-12=0,=64A2w2-4（3+42）（4w2-12）=48（3+4A:2-/w2）00设A,B,P点的坐标分别为(x1,X)、(乙,%)、(Xo,%)，则9分8kmfz、c6m=1+=-,y0=y1+y2=(x1+x2)+2m=-7.D十rK，I22由于点P在椭圆C上所以等会“10分从而6k2m212m(3 + 4公)2 +(3 + 4 攵 2)2=1,化简得4加2=3 + 4公，经检验满足式.又IoP=府房=64k2m236m2(3+4/2)2+(3 + 4公)2'4m2(16/:2 +9) (3 + 4标)2+ 92÷34-舟12分I33因为KK 得3<4二+34,有二77l7<1,1 1 24 4+314分(11)另解:设A,8,尸点的坐标分别为(,X)、*2，必)、(X0，%)，3x2+4v2=12(T)由48在椭圆上，可得,2,2二6分3x22+4y22=12一整理得3(x1-x2)(xl+x2)+4(yl-y2)(y1+y2)=07分X.+Xy=Xn由已知可得OP=QA+03,所以120Y8分.X+%=%由已知当Z=2L二匹,即y-必=&(M-为)9分Xr2把代入整理得3%=-4ky010分，。，9与3j+4)=12联立消/整理得%2=疝口11分tKID由3/2+4)，。2=12得/2=4TyO2,所以OP2=2+为2=4-：2+%2=4_:升=4-疝112DDrKIJ分I332-'44F+3 ,故 GOP 浮.13 分5.（本小题共14分）因为k得34+34,有二r7l,解：（I）由Iffi圆的定义可知，动点P的轨迹是以A,B为焦点，长轴长为26的椭圆.c=l,a=6b2=2.卬的方程是三+乙=1.4分32（II）设C,。两点坐标分别为C（M,，）、D（x2,y2）fC,。中点为N（Xo,%）.当&=0时，显然6=0;y=kx+由VX?y?得(3k÷2)x+6Ax3=0.I=1xl +x2 _ 3k2 - 3+2UUIM6k所以+%=-素0，f,2十际.故所求机的取范围是-6.（本小题满分14分）解：(I)由题意得解得b=6c_忘."T,故椭圆C的方程为4+二二L(II)由题意显然直线/的斜率存在，设直线/方程为=攵。-3),y=k(x-3ffi X2162得(1+2/口2一1222工+1822-6二0因为直线/与椭圆C交于不同的两点N.所以A=144-4(1+2Z2)(18Z2-6)=24(1-Z2)>o,解得TvAvl.6分设M,N的坐标分别为(M,y),(x2,y2),贝U内+/ =18/2-6IT至，中2二不亦,y=网内一3), y2=k(x2-3).7分所以BMBN=(%3)(/-3)+乂必=(1+2)x1x2-3(x1+2)+93+3F+2k233I22(1+2F)3因为TVZVL所以2< +2(1 + 2/)故BMBN的取值范围为(2,3.(III)由(II)得阳M+Kn=4+(AXl-3kl)(x,2)+(kx、3kl)(x-2)(%-2)(x2-2)_2kxix2-(5k+I)(Xl+x2)+12A:+4x1x2-2(x1+x2)+4_2kQ8/-6)-(5及+1)2+(12&+4)(1+2/)182624女2+4(1+242)-4k2+4_=-2.2k2-2所以您的+Kn为定值2.14分7.石景山一模当r2<X=L即01,同理可知，g(x)在区间(1,+8)上.有g(x)W(g(l),+8),也不合题意S10分若;时，则有20-l0,此时在区间(l,+oo)上恒有g'(x)<0,从而g(x)在区间(1,+8)上是减函数；要使g(x)<0在此区间上恒成立，只须满足g(l)=-a-0=>-,22由此求得1的范围是L12分22综合可知.当wH时，函数J(x)的图分恒在直线y=2x卜方.4413分19.(本小题满分13分)解：(I)由题意得£=a2因为椭圆经过点尸(当,；).所以*+g=又=b2+C2由解得a2=2,b2=c2=l.所以椭圆方程为二+/=L3分2(Il)以OM为宜径的圆的圆心为(1,；),半径r=方程为(X1)2+(y-4)2=J+5分24因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=户工=-.2高三数学(理科)答案第5页(共8页)所以B二2,=1,解得/=4.52所求圆的方程为(X-Iy+-2)2=5.9分<11I)方法一：过点尸作OM的垂线,垂足设为K,由平儿知：|。Nf=IoKllOM.则直线OM：y=gx,直线FN：=-(x-l)Il分所以线段ON的氏为定值JI.13分方法二：设N(XO,4).则丽=(XO-I,%)，0=(2)tMN=(XO-2,yoT)ON=(XC.VFVlCW,2(。-1)十仇=0.12xo+O,o=2.Il分又W1CW,Xo(XO-2)+y°(%T)=0,'V÷2=2x0+(y0=2.I加I=JXo21=41为定值.13分20.(本小题满分14分)解:(1)由已知q=/(4)fan)一/(¾.)=Hafi-%)(=2,3,4,),得一一6=/)-/(%)=/-%)5=2,3,4,)由数列%是等差数列，得一。“=勺一QTS=2J,4,).高三数学(理科)答案第6页(共8页)解(1)因为£=f,且。=仃，所以a=2S=J42-c2=1a2所以崛C的方程为5+yI3分(2)易知椭圆C的左，右顶点坐标为A(-2,0),3(2,0),直线AS的斜率攵显然存在，且Z>0104故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而M(§2)y=c(x+2)由'X22(l+4jt2)x2+16)t2x+162-4=0+y=14-IAjt2 -4设S(2),贝心加二='得七二2-8公 1+4&24kT÷4p，即 S(2-Sk21 + 4公又相故直线BS的方程为八一2a-2)10 4,所以N(F京10一 34 一弘- - -X y、2)a-10一 3I 一必- X -S-33k又上>o,所以IMM 二83ic4当且仅当;二”时，即Z=I时等号成立33kQ所以R=I时，线段MN的长度取最小值§.9分(3)由(2)知，当线段MN的长度取最小值时，k=l64此时AS的方程为x-y+2=0,5(-,-),所以4S=警,要使ATSA的面积为I,只需点T到直线AS的距离等于一，4所以点T在平行于AS且与AS距离等于孝的直线，上设/':x-y + f = O,则由k-2-22 X 2 +y-y+=0得 5/+ 5 = O由于A = 44>0,故直线，与椭圆C有两个不同交点时，由，2X2 +y2=5 x-y + -2得 5/+20/ + 21 = 0 =0由于 = 20v0,故直线，与椭圆C没有交点综上所求点T的个数是2.14 分/r ,9.解：(I ) Y e = 丁 = £2 a12 12 .22H7 = 1，a = b + c' b a. = 2, b = y2 , c = V24(II)设直线BD的方程为y = y2x + b丁比 Ax32.4 = 0. A = -8Z?2+64>0 =>-22<j<225分Xlf=-%，一Z?2 -4vBD = 1 + (2)2x1-x2 =6&=6叵迎=旦瓜-b2trb设d为点A到直线BD：y=x+人的距离，d二拮SAA一=；忸Z)J=亨J(8-从屹2&，当且仅当b=±2时取等号.因为±2(-2,2i),所以当=±2时，A3O的面积最大，最大值为210分(In)设O(XQ3B(x29y2)f直线A8、A力的斜率分别为：kAB、kADf则.y-V2y2V22x+Z?V2yflx1+bV2kAD+kAB=+=!+=x1-lx2-1x1-1x2-1=22+¼X芋-2一一*将(U)中、式代入*式整理得x1x2-(x1+x2)+122+;菁：-_2J=。,x1x2-(xl+x2)+l即kAD+kAB=G14分10. (I)设椭团方程为(a>b>0),1分抛物线V=41的焦点坐标为(0,1).b=2分由已知的等二I仁二3分解得 a = J, c -14分1一椭圆方程为万+。=15分(II)设M(X,M),B(x2,y2),F(l,0),B(OJ),kBF=-1尸是垂心，,KMN=I设MN的方程为y = x+/,7分代入椭圆方程后整理得：3f+4+2-2=08分4rx1+x2=-2r-2卬”了9分将X=y一"弋入椭圆方程后整理得：3y2-2"+"一2=O10分It/一2y+%=y,My2二尸是垂心，.MFI.BN.fF=(l-j,-j1),BN=-:(l-x1)x2-y1(y2-l)=0,11分整理得：x1+x2-xlx2-y1y2+r=04rTL = °Q"4 = 012分4：t=-jt=（舍）4存在直线I,其方程为y=使题设成立。13分