第3节方阵的行列式.ppt

第三节 方阵的行列式,一、二、三阶行列式,二、排列与逆序,三、n阶行列式的定义,四、行列式的性质,五、行列式按行（列）展开,六、行列式的计算,七、方阵的行列式,广 东 金 融 学 院,一.二阶、三阶行列式,1.二阶行列式,消元法,(1)定义：二阶行列式:,第三节 方阵的行列式,二阶行列式计算方法:,广 东 金 融 学 院,（2）用二阶行列式求解二元线性方程组,广 东 金 融 学 院,例1,解,广 东 金 融 学 院,2.三阶行列式,消元法,（1）三阶行列式:,广 东 金 融 学 院,注意:1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,2.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,三阶行列式计算方法:(对角线法则),例2.,解：,广 东 金 融 学 院,例3,解,方程左端,广 东 金 融 学 院,（2）用三阶行列式求解三元线性方程组,例4.解线性方程组,解：,广 东 金 融 学 院,二.排列与逆序,1排列定义,例如:321是一个3级排列，23541是一个5级排列.,注意:一个n级排列其实就是正整数1,2,n的一个全排列，故n级排列共有n!个.,例:用1,2,3三个数字,组成的3级排列有多少个？分别为？,分析:分别为：1 2 3；1 3 2；2 1 3;2 3 1;3 1 2;3 2 1 共6个.,由正整数1,2,n组成的一个有序数组称为一个n级排列.,广 东 金 融 学 院,2、排列的逆序数,定义:在一个排列 j1 j2 js jt jn 中,若数 jsjt,则称这两个数组成一个逆序.,例如:排列32514 中,我们规定各元素之间有一个标准次序.以 n 个不同的自然数为例,规定由小到大为自然次序.,3 2 5 1 4,定义:一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,前面的数比后面的数大,逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,广 东 金 融 学 院,解,广 东 金 融 学 院,三.n阶行列式的概念：,概念引入,注意:每项都是位于不同行不同列的元素的乘积，共n！项,广 东 金 融 学 院,1定义,广 东 金 融 学 院,广 东 金 融 学 院,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,四.n阶行列式的性质,(1).性质1:,(一).性质,广 东 金 融 学 院,(2).性质2:互换行列式的两行（列）,行列式的值变号.,例,推论1 如果行列式D有两行（列）完全相同，则D=0.,广 东 金 融 学 院,(3).性质3:行列式D的某一行（列）中所有元素的公因子都可以提到行列式符号的外面,广 东 金 融 学 院,(4).性质4:行列式关于它的一个行(或列)是可加的.,注意:每次只能分拆一个行(或列).,广 东 金 融 学 院,例2,例1,广 东 金 融 学 院,推论2:行列式D中如果有两行（列）元素成比例，D=0,由行列式性质(2)(3)(4),有下列结论成立:,推论3:把行列式D的某一行（列）的各元素乘以数k然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式D的值不变,广 东 金 融 学 院,(二).行列式性质的应用,计算行列式常用方法：,例,解,广 东 金 融 学 院,广 东 金 融 学 院,例2,广 东 金 融 学 院,例3 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,（行等和行列式）,广 东 金 融 学 院,广 东 金 融 学 院,例4,广 东 金 融 学 院,例5,（可以化为箭形行列式）,解,（箭形行列式）,广 东 金 融 学 院,广 东 金 融 学 院,例6,（循环行列式或行等和行列式）,解,广 东 金 融 学 院,练习,15,广 东 金 融 学 院,五.行列式按照行或列展开,(计算行列式的第2种方法),1.余子式,代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例1：,广 东 金 融 学 院,例2：,定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,2.行列式按行(列)展开的法则,广 东 金 融 学 院,例1：,广 东 金 融 学 院,例2：,广 东 金 融 学 院,例2解法2：,广 东 金 融 学 院,例3：,广 东 金 融 学 院,例3解法2：,广 东 金 融 学 院,广 东 金 融 学 院,例4：,证明范德蒙(Vandermonde)行列式,广 东 金 融 学 院,范德蒙(Vandermonde)行列式的应用,广 东 金 融 学 院,定理2 行列式D的第i行各元素与第j()列元素对应的代数余子式乘积之和等于0.即:,例：,广 东 金 融 学 院,小结:(总结定理1和定理1)（拉普拉斯定理特殊情况）,3.用归纳法与递推法计算行列式,广 东 金 融 学 院,六.方阵的行列式,1.方阵的行列式的性质,2.非奇异矩阵：,奇异矩阵：,又称为非退化矩阵,又称为退化矩阵,广 东 金 融 学 院,广 东 金 融 学 院,