分形综述论文.docx

1/f分形噪声理论及其在信号处理中的应用讨论综述杨冬云6王司U(1.黑龙江工程学院电子工程系，黑龙江哈尔滨15005()：2 .哈尔滨工业高校信息工程系，黑龙江哈尔滨150001；3 .哈尔滨工业高校掌握科学与工程系，黑龙江哈尔滨150001)摘要：从1/f分形噪声模型、分析方法、分形估量、1"分形噪声产生的根源以及在信号处理中的应用等方面，对1/f分形噪声理论和应用讨论状况进行了综述，介绍了有关的基本概念、理论和方法。关键词，1"噪声：分形噪声：分形布朗运动：信号处理1/fFractalNoiseTheoryandIfsApplicationtoSignalProcessingYANGDong-yun2,WANGSi,3(1.DepartmentofElectronicEngineering,HeilongjiangInstituteofTechnology,Harbin150050,China;2. DepartmentOfInformaiionEngineering,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China;3. DepartmentofControlScienceandEngineering.HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China)Abstract:Thispaperdescribesthestudiesof1/ffractalnoisetheoryandit,sapplicationwithrespectto1/fnoisemodel,analysismethod,fractalestimation,1/ffractalnoisegeneratingmechanismandit,sapplicationtosignalprocessing.Itpresentsthebasicconcepts,theoriesandanalysismethodsinvolvedin1/ffractalnoise.Keywords:1/fNoise;FractalNoise;FractionalBrownianMotions;SignalProcessing0引言1/分形噪声(也称1/噪声)是分形噪声中较重要的一类噪声。它是依据其功率谱密度S()或S(G)曲线的外形而定义的一种随机过程，其功率谱密度与1/1或3成反比，其中它首先是由JohmSOn在电子管中发觉的，当时被看作是一种超低频噪声。后来，在实践中发觉，它不仅作为一种噪声存在于电子管、晶体管等电子器件和装置中，而且作为一种随机波动形式(或随机过程)广泛存在于音乐、气象、交通、水文和经济等领域中，因此，它成为信息处理领域中讨论的一个重点内容。它具有不同于高斯白噪声和马尔可夫过程的统计特性，已经成为一种广泛应用的随机过程模型。其主要特性是长期(长程)相关性（无限记忆）和统计意义上的自相像性（自仿射性）。由于1/7噪声的功率谱密度是不行积分的，其功率谱密度值随频率/的降低快速增大，通常称这种现象为红外突变（infraredcatastrophe）,这意味着1/噪声是非平稳的。1噪声模型的分类常用噪声模型分为四种：（1）白噪声。它是最具有随机性的噪声，也称°噪声。其功率谱密度S（F）在全部的频率重量/上保持不变，即S（F）与°成比例。电路中的热噪声可看作是白噪声。（2）粉红噪声（PinknoiSe）或模糊噪声（flickernoise）,也称1/噪声。它的功率谱密度与l'（0</2）成比例。（3）布朗运动或随机行走噪声，也称为1/72噪声。它的功率谱密度与I/2成比例。（4）黑噪声。假如噪声的功率谱密度与1/7，成比例（y>2）,则称为黑噪声。2国内外讨论状况近年来，国内外对1/噪声进行了广泛的讨论。国外的讨论起步较早，取得了许多有价值的成果。国内的讨论较晚，取得的讨论成果也较少。对1/噪声理论和应用的讨论主要集中在以下几个方面。2.1 产生1/噪声的根源到目前为止，对产生1/噪声机理的熟悉还不是很深化，还没有一个公认的理论能够解释1/7过程普遍存在的根本缘由。文献从量子论和电动力学角度研讨了1/波动作为混沌的一种普遍形式而存在的缘由，认为：非线性和同质性（homogeneity）的普遍存在是产生1/噪声的根本缘由。文献3认为：分形噪声的物理本质是受到非线性随机力作用的布朗粒子随机振动，是非线性因素作用的结果。在自然界中，许多物理系统的混沌时间序列表现为/-丫形式的功率谱。2.2 1/噪声模型1/噪声模型大致可分为两类：物理模型和统计模型。物理模型是建立在产生噪声的物理过程的微观讨论理论之上的。微观讨论主要集中于产生噪声机制的微观细节和整体性质两个方面。然而，物理模型的通用性越强，与试验吻合的效果越差。换言之，详细问题必需通过特别的物理模型来解决。统计模型是依据“现象学”建立的模型。建立统计模型的方法是忽视微观细节，而只讨论独立于噪声产生气制的宏观行为。统计模型可分为三类：自回归滑动平均(ARMA)模型，分形积分模型和基于小波的模型。在早期，建模的方法是假设一个ARMA模型，在某种意义下产生1/7,形式的谱，也即通过有限个线性时不变系统来近似一个转移函数1S*2,通常使用有限个一阶高斯马尔可夫过程来近似(称之为"SuperposilionofLorentzianspeclra"其数学表达式为这个模型存在三个缺陷：一是为精确产生I/，谱，需要无限多个极点，不便处理。二是用马尔可夫过程描述低频发散行为时，极点必需连续地放置，使模型不便于应用。三是模型不具有尺度不变性。以上三个缺陷使ARMA模型的应用受到很大限制。基于小波的模型是最近在信号处理领域中使用比较多的模型。通过选择适当的小波基、系数和足够的项数，可以以任意精度靠近I/谱。这共性质与ARMA模型是一样的。此外，基于小波的模型还具有保留尺度不变性的优点。其缺陷是当选取有限项进行靠近时，1/，谱曲线有波纹。分形积分模型是使用比较多的一种模型，分形布朗运动(FraCIiOnalBrOWnianMliOnS)模型(简记为FBM)是其典型例子。FBM模型是Mandelbrot和VanNeSS在布朗运动模型的基础上提出来的，它是布朗运动模型的推广。定义1：满意下列条件的零均值随机过程称为布朗运动过程BQ)a)B(O)=Ob)即)-8(s)是零均值的平稳正态过程，其方差与卜-Sl成正比(sf)°C)B(t2)-Ba)B(t3)-即2)，,Ban)-)是相互独立的(tlt2<-tnb)和C)意味着布朗运动过程具有独立平稳的增量。布朗运动过程也称维纳(Wiener)过程。定义2：给定一个常量0<”Vl,那么具有HUrSt参数”的分形布朗运动BHa)为BHQ)=Lj-f-sh2-5h2)dB(s)+Z-5h2dB(s)其中8(三)为布朗运动。从这个定义可以看出，分形布朗运动过程是布朗运动过程的H-Al2次分形积分。当H=I/2时，即等于一般布朗运动过程3«)。其中HUrSt参数”大体上代表了分形布朗运动过程的特性。FBM模型可以被看作是白噪声的滑动平均(movingaverage),其中过去的增量通过核。-的人"？被加权。FBM具有如下阅历形式的功率谱密度S(f)=lfr其中y=2”+1,即具有1/功率谱密度的形式。当OVHVl时，l<y<3。当=1/2时，y=2,因此，FBM运动模型只描述了1</<2时的1/噪声。当”=1/2时，y=2,布朗运动模型就是I/?噪声模型，因此称I/?噪声为布朗运动噪声或随机行走噪声。功率谱指数/、HUrSt参数H及分维数。之间的关系为：/=5-20=1+24。定义3：假如一个连续时间随机过程)，«)满意a) Ey(t)=a'HEy(at)b) Ryya,s)=E)C)y(s)=a""Ryy(at,as),t,sR,0>O则称y(t)为统计自相像过程或自仿射过程。其中E表示数学期望。按上述自相像过程的定义，FBM的增量是自相像的，即有如下等式上式是在概率分布相等的意义上成立的。增量的方差为4蜃(±)-蜃=端忖2FBM的相关函数为,s)=EBw¾=(p2).r÷r-rrl其中2l7d/1、八。口COS伽H)%=VarBf1()=(-2H)TrH即其相关函数随时间而变化，FBM本身并不是平稳过程。FBM实质上是具有平稳的、高斯的、自相像的和长期相关的增量的随机过程。由于分形布朗运动是非平稳过程，没有适合的谱分析方法对其进行分析，因而在应用中有肯定的局限性。此外，由于FBM是高斯过程，所以不能用其描述非高斯过程。因此，文献5提出了一类二阶自相像过程作为1/噪声模型，FBM模型是它的特别状况，但它突破了FBM的上述局限性，能够很好地描述1/噪声。文献提出了用于描述H=0(7=1)时1/过程模型，该模型是基于二阶尺度平稳过程和线性尺度不变系统建立的，称之为尺度不变回归(SI-AR)模型。文献提出了基于小波的1/噪声模型，并证明白采用正交小波基可以对1/f噪声进行最优描述，该模型的特点是便于进行数学处理。文献网提出了采用Shannon小波表示1/噪声的方法。2.3 1/噪声的分析方法1/过程是非平稳过程，而FOUrier分析方法只适用于平稳过程，因此从理论上来说，用谱分析方法来分析1/噪声是不合适的。1/噪声的统计自相像性使它表现出丰富的统计行为。虽然它是非平稳的，但通过线性时不变滤波器进行观看时，它却表现出平稳的特性。在已知二阶矩的条件下，分析一个随机过程的常用方法是使用闻名的Karhuncn-Loeve(K-L)变换。对于在长时间观看下的平稳过程，K-L变换转变成FOUrier变换。在某些状况下，可以使用离散余弦变换(DCT)近似代替KL变换。在许多状况下，进行K-L变换是很困难的，甚至是不行能的，又由于1/7噪声是非平稳的，因此，假如对短时间内一批数据进行K-L变换，那么其结果是与时间有关的。为此，许多讨论者使用了小波分析方法，它可以把非平稳过程分解成一系列平稳过程,这些平稳过程可以分别使用处理平稳过程的工具进行分析，然后再采用小波反变换进行重构，从而得到所需要的1/过程。文献9对基于小波的方法进行了理论分析。结果表明，虽然基于小波的方法具有较低的计算简单性以及可以处理沉没在白噪声中的1/噪声两个优点，但是只有在7W(0,1)时，基于小波的方法才是收敛的和有效的。当/>1时，假如量测数据被噪声污染，它不收敛于正确的估量结果。这个结论与以前的讨论结论是冲突的。针对FBM本身是非平稳的过程，提出了Wigner-Ville谱(WVS)的概念。设一个非平稳过程Mf)的相关函数为R(f,s),则称叱“，切=窘氏(/+”而公为WVS谱。它是功率谱密度的自然推广。当Xa)为平稳过程时，Wr(八。)就是功率谱密度。对于FBM来说，其WVS谱为）=（1-25cos2"）7寸文献10就是基于上述WVS谱对FBM进行时间频率分析的，同时还用小波变换对FBM进行了时间尺度分析。文献11使用4阶相关函数对1/7波动形式进行了分析。结果表明：在1/7过程具有相同的功率谱时，存在着几种不同的1/7波动形式。为了进行区分，提出了一个新的特征相关函数。指出了1/波动在较高阶相关函数中存在着特征时间，并且在实际中至少存在两种类型的1/7波动形式。2.4 分形估分形估量的主要任务是估量分形尺度参数（HUrSt参数）又称余维数）。估量方法可分为两类：一类是基于1/7功率密度谱模型的最优估量算法，另一类是基于FBM模型的近似或次优算法。Wornell和OPPenheim提出了基于1/功率密度谱模型的估量H算法，该算法只适用于较长的FBM数据状况。文献12运用Haar小波基对FBM的增量（离散分形高斯噪声）进行了离散小波变换，得到了弱相关的小波系数，其方差与变换尺度有关。在此基础上对Womell和OPPenheim提出的用于估量Hurst参数的算法进行了改进，使其适合于中等长度的FBM数据。但该估量算法对于具有加性噪声的较短长度的FBM数据仍旧是不行靠的。文献13提出了基于多尺度树形框架估量参数的方法。该方法可以直接用于或经过简洁修改后用于估量非规章采样数据和非平稳量测噪声。2.5 在信号处理中的应用在以往的分形信号讨论中，主要侧重于白噪声中分形信号的波形与参数估量以及信号分形特征分析等。噪声中谐波的提取是常见的一类问题。1/噪声中谐波的提取讨论相对较少。文献14从信号滤波角度采用1/7噪声的小波系数是弱相关或不相关的特性，引入自适应自调整滤波器组，进行1/噪声与谐波信号的自动分别，提出了相应的滤波算法。该算法能消退1/噪声的长程相关性，可以在未知谐波信号学问的状况下，得到信号的较好估量。针对沉没在1/噪声中的有用信号恢复问题，文献15提出了基于双正交小波变换与Wiener滤波的多尺度滤波算法，设计了多尺度Wiener滤波器。主要步骤是：首先，采用双正交小波变换将带有1/噪声的信号分解成多尺度的子带信号，通过小波变换对1/噪声的白化作用，消退1/噪声的非平稳性、自相像性和长程相关性。其次，在小波域内，采用Wiener滤波器分别噪声和有用信号，估量出各子带中的有用信号，最终，采用双正交小波重构有用信号。该算法能有效的抑制1/噪声，显著地提高信噪比。文献16讨论了从被噪声污染的线性失真(linearlydistorted)信号样本中估量随机信号的问题。针对由模糊函数(burringfunction)引起的病态(i11-posedness)问题，把1/7过程作为基本过程的模型加以处理，并重点讨论了模型不匹配效果和参数估量问题。结果表明，估量器的均方误差对模型参数的选择不敏感，当基本过程不是1/7过程时模型仍具有肯定的鲁棒性。在信号处理技术中，离散时间系统的输出y()通常可以表示为输入信号x()和系统脉冲响应g()之间的卷积，即y()=g()*x()，其中*表示卷积运算。在不同的详细问题中，要求依据输出信号y()来估量输入信号x()(即进行去卷运算)或估量系统的脉冲响应。在输入信号为自相像信号时，可以使用多尺度Wiener滤波器和小波变换进行去卷运算,但这两种方法应用的前提是必需已知尺度参数和输入信号的方差。而在实际问题中这两个参数往往是未知的，因此有的讨论者提出了一种新的近似去卷方法，该方法采用最优化技术和1/7信号的小波系数的方差对数曲线的线性性质建立了一个最优估量滤波器。文献17针对1/分形信号传输系统提出了去卷滤波设计方法，它是基于多尺度Kalman滤波器组并辅以小波滤波器组进行的，通过对1/f信号进行小波变换使其白化，用以消退它的自相像性和长程相关性，其优点是对信号可以进行时实处理。文献18提出了评价人的语音和自动发声系统的语音质量的方法。认为，1/波动形式的声音使人具有抠意感和舒适感，并以此为基础建立了语音质量评价方法，开发了语音质量改进系统。3结论本文从1/噪声模型、分析方法、分形估量、1/7噪声的产生根源以及在信号处理中的应用五个方面对1噪声理论及其应用进行了综述。由于1/7过程的广泛存在，以及近年来受分形理论的影响，1/过程已经成为一种非常重要的随机过程。虽然目前从理论到应用都取得了重要的讨论成果，但是在以下三个方面还有待于做进一步的讨论。一是还需要寻求便于处理的简洁而便利的数学模型。二是理论分析方法需要进一步改进。三是对于1/7噪声产生气理的熟悉还不深化，还需要进一步讨论。弁考文献1 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