英才学院机械工程控制基础教案04系统的频率特性分析.docx

Chp. 4频率特性分析基本要求1 .掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应函数和微分方程 之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求法；掌握动刚度与动柔度的概念。2 .掌握频率特性的Mq图和HSe图的组成原理，熟悉典型环节的q"isf图和BOde 图的特点及其绘制， 掌握一般系统的Nyquist图和BOde图的特点和绘制。3 . 了解闭环频率特性与开环频率特性之间的关系。4 .掌握频域中性能指标的定义和求法；了解频域性能指标与系统性能的关系。5 . 解最小相位系统和非最小相位系统的概念。重点与难点本章重点1 .频率特性基本概念、代数表示法及其特点。2 .频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系统频率特性的两种 图形的绘制。3 .频域中的性能指标。本章难点1 . 一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。2 .频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。§1屐一、领域法的特点：系统分析法：时域法、频域法 仅数学语言表达不同：将I转换为3,不影响对系统本身物理过程的分析；时域法侧重于计算分析，频域法侧重于作图分析；工程上更喜欢领域法优点：a）系统无法用计算分析法建立传递函数时，可用频域法求出频率特性，进而 导出其传递函数；b）验证原传递函数的正确性：计算法建立的传递函数，通过实验求出频率特性以验证；C）物理意义较直观。缺点：仅适用于线性定常系统工程上大量使用频域法。二、基本概念：1、频率响应：定义：系统对正弦（或余弦）信号的稳态响应。输入：Xi（t）=Xisin 31输出：包括两部分：瞬态响应：非正弦函数，且t- 8时，瞬态响应为零。稳态响应：与输入信号同频率的波形，仍为正弦波，但振幅和相位发生 变化。巴 49 匕 R砌049)0+8©fig4.1.1讨论：a)频率响应仅是时间响应的特例；b)频率响应反映系统的动态特性：输出随3变化(非t)；C)为何选简谐信号为输入？原因：工程上绝大多数周期信号可用F变换展开成叠加的离散谐波信号；非周期信号可F变换展开成叠加的连续谐波信号。f用正弦信号作输入合理。2、频率特性G(j3)：(为幅频特性和相频特性的总称) 定义：频域中，系统的输入量与输出量之比。S)-5同罂i讨论：G(j3)是复数，可写成：GG)=u()+jv() GQ) e'c" =A() Z () u();为G(jco)的实部 一实频特性；v()j为G(js)的虚部虚频特性。 幅频特性I ：输出量的振幅与输入量的振幅之比。*卜/=挈GG) I反映输入在不同下，幅值衰减或增大的特性。IGGa) I 是 GG6模：IfVeM相频特性/(3)：定义：输出量的相位与输入量的相位之差。 () Z. ()=t÷ZG()- ta) NG(3)反映频率特性的幅角；« Db)符号： (3)逆时针方向为正；系统(3)一般为负。原因：系统输出一般滞后。结论：频率响应实际上可由频率特性描述，而频率特性可由幅频特性和相 频特性表达。三、频率特性获取：1、L 逆变换：因为 X (s)=G(s)X (s)“八 X1 " Xt (f) = "5r若 Xi(I)=XiSin tr 4>'则心& = O(A P - ZTI ,Wp 1(例)2、用j3替代S：求出G(S)后，用ja替代s即可。(证明，例)3、实验方法：不能用计算方法建立系统数学模型时尤其适用。方法：改变输入信号频率3,测出相应输出的幅值和相位画出儿(3)/X与曲线一获幅频特性画出(3)与3曲线f相频特性系统数学模型获取方法：p.89 四、频率特性的特点：1、G(ja)是 w(t)的 F 变换。因为 X)(s)=G(s)X (s) X： (t)= (t) (s)=l f Xj (t)=w(t)所以，Xo (j)= G(j)即 Fw(t)l= G(j)结论：对系统频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。2、G(j3)在频域内反映系统的动态特性。G(j3)是谐波输入下的时域中的稳态响应，而在频域中，系统随3变化反映系统动态 特性。3、频域分析比时域容易。a)分析系统结构及参数变化对系统的影响时更容易分析；b)易于稳定性分析；c)易于校正，使系统达到预期目标；d)易于抑制噪声，用频率特性易于设计出合适的通频带，抑制噪声。§2频率特性的NyqUiSt图(极坐标图)频率特性分析常用图示法：极坐标图(Nyquist),对数坐标图(BOde)一、极坐标图的绘制：Nyquist图：当3由Of 8时，G。)(矢量)的端点在GG。)复平面上所形成的轨迹。 矢量：即为频率特性G(j)对= 1在实轴上投影：G(j3)实部，u()=u()在虚轴上投影：G(j)虚部，v()=v(1)G(j 1)= u(1)+ jv( 1)模 IO(JfloIr (6 )x' (G)相角11Nyquist图既表示实频和虚频特性，也反映幅频和相频特性。绘制步骤：由GGG)列出I G(ja) I和GG)表达式；角NG(js)走向：逆正顺负3在0, 8取不同值，代入gG3) I、NGG3)，获得相应值;在相应于NGG 3)射线上，截取I G(j) I值；将G(j3) I线段的终点连接起来，即获得G(j)的极坐标图。二、典型环节的NyqUiSt图：1、比例环节：G(s)=K频率特性：G(j) f GG) 14 u()WZG(j)=Ol v()=0轨迹：一条与实轴重合的直线。结论：比例环节的幅、相频率特性与3无关；输出量的振幅永远是输入量振幅的K倍，且相位永远相同。2、积分环节：G(s)=ls频率特性：G(j)=lj - I G(j) | =1/ u()=0 ZG(j)=-90f' v()=-1/ 变化：3=0I GQ) I =oo ZG(j)=-9013=8 I G(j) I =OZG(j)=-90轨迹：一条与负虚轴重合的直线，由无穷远点指向原点，相位总是-90°结论：低频(3 0)时，输出振幅很大，高频(3 8)时输出振幅为0； 输出相位总是滞后输入90 o3、 微分环节G(s)=s频率特性：GG)=J - G(j) I = u()=0 ZG(j)=90 v() = 变化：=0G(j) I =OZG(j)=90= I GQ) =8 ZG(j)=90轨迹：与正虚轴重合的直线，由原点无穷远点指向无穷远点，相位总是90结论：低频(3-0)时，输出振幅为0,高频(3 8)时输出振幅很大;输出相位总是超前输入90' o4、惯性环节：GC1) =7 + 1j);-=乎ZG(j) =-arctgT NGG3)4ZG(j)45uZG(j)=-90变化：3=0lG(j)I =k=lTI G(j)| =0. 707k=I G(j)I =0轨迹：四象限内的一半圆。(图4.21)结论：f氐频端(30)时，输出振幅等于输入振幅，输出相位紧跟输入相位，即 此时信号全部通过；随3 t ,输出振幅越来越小(衰减)，相位越来越滞后；高频端( 8)时输出振幅衰减至0,即高频信号被完全滤掉(实际上是一个低通滤波器)5、 一阶微分环节：G(S)RS+1G(j)=jT+l -*u()=l v() T3t 5 ,fl+>14ZG(j) =arctg T变化：=0I GQ)=1ZG(j)=Oo=lTGQ)I =l.414kZG(j)=451'=lGQ)=ZG(j)=90轨迹：始于正实轴点(1, j),且平行于虚轴，在第一象限内的一条直线。结论：高、低频信号都能全部通过，频率越高，增益越大，相位越超前。6、振荡环节：,11二,1苧'fl-1) + 2 " -4V+4f141 2 fl-41 + 4141, 1-/,-2a“3” (15皿 所飞"+EI-Ji变化：3=0(=0)= n(=l)3=8(=oo)G(j)=1ZG(j)=O"G)=12ZG(j)=-90lIGO)I =OZG(j)=-180轨迹：在三、四象限内的曲线。起点(1, j),终点(O, j)(图4.2.6)讨论：取值不同，Nyquist图形状不同；(图4.2.7)值越大，曲线范围越小。固有频率3”：曲线与虚轴之交点，此时幅值lG(js) =12 i皆振频率M：使G(j) I出现峰值的频率。Efc 吃叽。丸虫 r.-.JT2fr(*1 李】在,卅 p""aNG(".) -ctg 3r3d：欠阻尼下，谐振频率总小于有阻尼固有频率。7、延时环节：G(s)3t= G3GG3) =1 ZGG)= T (图 429)三、Nyquist图的一般形式：*Q+nsX+巧 J)传递函数：t(l+7J(l+ 石 0 (1+7L)8+j呻>+jf>+j%)3 厂一“+S:+M)+JrTLJ式中，k=ba,分母次数n,分子次数m,1、 O型系统(V=O):当 =OI G(j) I =kNG(j)=(= I G(j) ! =OZGG)=(j-n) X90在低端，轨迹始于正实轴，高端时，轨迹趋于原点(由哪个象限趋于原点？)2、 I型系统(v=l)：当 3=0 I G(j) I =ZG(j)=-90= I G(j) I =OZG(j) = (m) X90低端，轨迹的渐近线与负虚轴平行，高端时，轨迹趋于原点3、 II 型系统(v=2)：当 =0 I G(j) I =ZG(j)=-18013=8 I G(j) I =OZG(j) = (m) X90低端，轨迹的渐近线与负实轴平行，高端时，轨迹趋于原点 可见，无论0、 I、II型系统，低端幅值都t艮大，高端都趋于O f控制系统总是具有低通滤波的性能。四、例题：1、 已知系统的传递函数 ' 'E+n试绘制其Nyquist图。(图4.3.1)OW J2、已知系统的传递函数 S G+1X7+1)试绘制其Nyquist图。(图4.3.2)0(«) K (方.+D CTIA 霏)3、已知系统的传递函数G+D ,试绘制其NyqUiSt图。(图4.3.3)§ 3 BOde图(对数坐标图)将幅、相频率特性分开画：对数幅频特性，对数相频特性，统称BOde图。一、坐标构成：1、对数幅频特性图：横坐标：对数分度：Ig 1/ ¾标示：Ig 单位：rad/s或s 1纵坐标：线性分度，20Igl G |, 单位：分贝(dB)2、对数相频特性图：纵坐标：6仃3)的相位/6(3),单位：度 横坐标：同对数幅频特性图3、优点：简化计算：将串联环节的幅值乘除法简化为对数域的加、减法。 简化作图过程：对环节的幅值BOde图，先用渐近线表示，再修正曲线， 可获得较精确的幅值BOde图。 叠加：叠加法将各环节幅值Bode图进行累加，获得整个系统的Bode 图。 便于对系统的性能进行观察和分析：横坐标用lg3d作分度，扩展 了低频区，缩小了高频区。(系统主要性能表现在低频区)二、典型环节的BOde图：1、 比例环节：GQ)= GQ) I=K 201gG(j) =201对数幅频特性曲线：一条水平线，分贝数201gKK值大小使曲线上下移动。ZGG)=arctg(0A)=与。线重合，与K值无关。(图4.4.2)2、积分环节,9DU 1&201gG(j)=-201g 线性关系=l (lg=0)201gG(j) =OdB=10 (lg=D201gG(j) =-20dB曲线通过(1, 0)、(10, -20)斜率：-20dB/dec令 y=20igGG3) |, X= Ig 3 ,则 y=>-20x= pcto = "90*u与无关过（0, 90 ）平行于横轴的直线。Gv<2>)若(k D R 土J9则，"I201gGQ) I= 201gk-201g 相当于 y=b-20x3、微分环节G） j |GG3)= 201gIGQ)为一条斜率20dBdec的直线I= 201g =l (lg=0)201gG(j) =0dB f直线通过(1, 0)NG(Je) 电一 9010与3无关惯性环节:u)=1÷bc<rtl=-7-=S (令叫三幅频特性：¢+(町0+%20acfl>)- 20ig % - 20讨论：a）非线性，用渐近线表示。b） 3T （低频渐近线）：201gIGQ ） I 201g 1-201g<> =0 一条与OdB线完全重合的直线，止于（3 r, 0）c） 3 （高频渐近线）：201gG（j） ¾201g 1-201g 截距 201g<,>,斜率-20dBdec,始于（3 ，0）d）转角频率低频渐近线与高频渐近线的交点e）低通滤波特性：低频输出较精确反映输入。高频输出很快衰减。f)误差：渐近线与精确对数曲线的差值e()低频：气到=2G柩.- 201g十一高频：(。), 201g 0 - 20g+了修正曲线：最大误差在M处，e()=-3dB相频特性：0G(7C = -arctsaf = -OrCtsl 一跖=0ZG()=03= 3 ×G( )=-45=ZG()=-90曲线对称于点(3 r, -45'),低频段，输出与输入的相位相同，高频段，输 出相位滞后于输入90 .1%)二 6 35、振荡环节：fc+2zar + fli120igc)l- -20U 出-爽十房 金讨论：a)非线性，用渐近线表示。b) ll ( 0)(低频渐近线)：201gG(j) |=0为OdB渐近线，止于(3n, 0)C)> 30(大大于D (高频渐近线)：201gG(j) I -401g =-401g+401g n为一直线，斜率-40dBdec,始于(3 ” 0)d)转角频率3tl:低频渐近线与高频渐近线的交点e)低通滤波特性：低频输出较精确反映输入。高频输出很快衰减。f)修正曲线：OV CVl时系统会振荡，主要表现在33n附近，C越小, 振荡越大。(图4.4.10)由芦振顺率3J 如利E会产制陵'%.g?Tg)l自振频率3r：7r< n C越小，3r越接近3n谐振峰值： 27Gr 随变化（图4.4.11）L-20fe J-）"d/ . 20Ie上在M处误差最大， IZCh）截止频率3N在幅频特性上，当幅值由零频值A（O）卜.降到0.707 A（O）时所 对应的频率。带宽：0 b ,带宽越宽，系统快速性越好。 4 JHM-4a+"相频特性：NG（Je） -arctg 2a,=0=0ZG（）=03= n =l ZG（）=-90= = zG（ ）=-180曲线对称于点（3 2 T（T）,低频段，输出与输入的相位相同，高频段，输出相位滞后于输入180 O四、多环节Bode图绘制：复杂系统Bode图可由各环节Bode图叠加。1、 关于对数幅频特性：找出各环节转角频率3t：积分和微分环节：=l惯性和导前环节：T振荡环节：3产n 用渐近线分别作出各环节的对数幅频特性图：积分和微分环节：在作斜率-20dBdec （积分）或+20dBdec （微分）惯性、导前、振荡环节：在（3 , 0）左边作与OdB重合直线， 在（3 , 0）右边作，-20dBdec （惯性）+20dBdec （导前）-40dBdec （振荡）按误差修正曲线对各渐近线进行修正，得出各环节精确曲线： 按3由小到大顺序，将各段曲线叠加，获得整个系统对数幅频特性曲线；若系统有比例环节K,则将曲线上提升（K>D或下降低（K<l 201gKdB2、关于对数相频特性：分别作各环节的对数相频特性曲线：积分：过-90U水平线微分：过+90°水平线惯性：在0-90o变化，对称于（3 , 45。）导前：在090o变化，对称于(3 , +45°)振荡：在O-180°变化，对称于(3 , -90°)将各环节对数相频特性曲线叠加，得系统的对数相频特性曲线;若系统有延时环节，则相频特性上须加上一 o3、例题：(2(+43)(+mo+2)化成标准形式：ri+txo.02+次心=呷+四网频率特性：*J, Z '5U 4 J UE) (fig.4.4.15) §4最小相位系统和非最小相位系统1、最小相位传递函数：若系统G(S)在s复平面上右半部既无极点又无零点，则G称为最小相位传递 函数。例：5-ST二者的对数幅频特性相同，但对数相频特性不同。(图 4.7.2)讨论：最小相位系统相角变化范围最小；最小相位系统满足3-8时，相角为90"(mn)。非最小相位系统在高频时相角滞后大，启动迟缓，反映速度差。非最小相位系统产生原因：a) 由系统中的非最小相位环节产生；b) 由系统中不稳定的局部闭环产生；c)由非最小相位系统的延时环节产生。2、延时环节对系统的影响：G(s>e s 201gI e心,=20Igl e-jo |=0对系统的对数幅频特性无影响。将G(S)=C 's辕级数展开，会使系统G(S)传递函数的分子出现正根而变成非最小 相位系统。NeT 3,A >57.3 3 ,使系统相位滞后增大，对启动不利。2、延时时间常数的求取：对数幅频特性曲线在高频段的斜率，就是系统中延时环节的时间常数 ,即由 高频段斜率确定<.