平面向量易错题解析汇报.doc

平面向量易错题解析1.你熟悉平面向量的运算和、差、实数与向量的积、数量积、运算性质和运算的几何意义吗？2.你通常是如何处理有关向量的模长度的问题？利用；3.你知道解决向量问题有哪两种途径？向量运算；向量的坐标运算4.你弄清“与“了吗？问题：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1） 在实数中：假如，且ab=0,如此b=0,但在向量的数量积中，假如，且，不能推出.（2） 实数，且，如此a=c,但在向量的数量积中没有.（3） 在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.5.正弦定理、余弦定理与三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？向量可以平移。如A1,2，B4,2，如此把向量按向量1,3平移后得到的向量是_答：3,02零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4相等向量：长度相等且方向一样的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量也叫共线向量：方向一样或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！因为有)；三点共线共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如如下命题：1假如，如此。2两个向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点一样。3假如，如此是平行四边形。4假如是平行四边形，如此。5假如，如此。6假如，如此。其中正确的答案是_答：45：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向一样的两个单位向量，为基底，如此平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标一样。：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使e1e2。如1假如，如此_答：；2如下向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D.答：B；3分别是的边上的中线,且,如此可用向量表示为_答：；4中，点在边上，且，如此的值是_答：0：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向一样，当<0时，的方向与的方向相反，当0时，注意：0。：1两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。2平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积或内积或点积，记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如1ABC中，如此_答：9；2，与的夹角为，如此等于_答：1；3，如此等于_答：；4是两个非零向量，且，如此的夹角为_答：3在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如，且，如此向量在向量上的投影为_答：4的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，如此：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：；。如1，如果与的夹角为锐角，如此的取值X围是_答：或且；2的面积为，且，假如，如此夹角的取值X围是_答：；3与之间有关系式，用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小答：；最小值为，：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法如此进展，但“平行四边形法如此只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法如此：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法如此：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点一样。如1化简：_；_；_答：；2假如正方形的边长为1，如此_答：；3假如O是所在平面内一点，且满足，如此的形状为_答：直角三角形；4假如为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，如此的值为_答：2；5假如点是的外心，且，如此的内角为_答：；2坐标运算：设，如此：向量的加减法运算：，。如1点，假如，如此当_时，点P在第一、三象限的角平分线上答：；2，如此答：或；3作用在点的三个力，如此合力的终点坐标是答：9,1实数与向量的积：。假如，如此，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设，且，如此C、D的坐标分别是_答：；平面向量数量积：。如向量sinx，cosx, sinx，sinx, 1，0。1假如x，求向量、的夹角；2假如x，函数的最大值为，求的值答：或；向量的模：。如均为单位向量，它们的夹角为，那么_答：； 两点间的距离：假如，如此。如如图，在平面斜坐标系中，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：假如，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，如此P点斜坐标为。1假如点P的斜坐标为2，2，求P到O的距离PO；2求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。答：12；2；：1交换律：，；(2)结合律：，；3分配律：，。如如下命题中：； 假如，如此或；假如如此；。其中正确的答案是_答：提醒：1向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；2向量的“乘法不满足结合律，即，为什么？8.向量平行(共线)的充要条件：0。如(1)假如向量，当_时与共线且方向一样答：2；2，且，如此x_答：4；3设，如此k_时，A,B,C共线答：2或119.向量垂直的充要条件：.特别地。如(1)，假如，如此答：；2以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，如此点B的坐标是_ 答：(1,3)或3，1；3向量，且，如此的坐标是_ 答：教材未有内容，适度补充1定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，假如存在一个实数 ，使，如此叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；2的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段 PP的延长线上时<1；当P点在线段PP的延长线上时；假如点P分有向线段所成的比为，如此点P分有向线段所成的比为。如假如点分所成的比为，如此分所成的比为_答：3线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，如此，特别地，当1时，就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如1假如M-3，-2，N6，-1，且，如此点P的坐标为_答：；2，直线与线段交于，且，如此等于_答：或：1一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2，特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比拟类似).3在中，假如，如此其重心的坐标为。如假如ABC的三边的中点分别为2，1、-3，4、-1，-1，如此ABC的重心的坐标为_答：；为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；3假如P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，如此，特别地为的中点；4向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，两点,假如点满足,其中且,如此点的轨迹是_答：直线AB例题1向量,且求 (1) 与; (2)假如的最小值是,某某数的值. 错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度; (2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 答案: (1)易求, = ;(2) = = 从而:当时,与题意矛盾, 不合题意; 当时, ; 当时,解得,不满足;综合可得: 实数的值为.例题2在中,且的一个内角为直角,某某数的值.错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而无视对诸情况的讨论.答案: (1)假如即 故,从而解得; (2)假如即,也就是,而故,解得; (3)假如即,也就是而,故,解得 综合上面讨论可知,或或例题4向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且·=-1，(1)求向量；(2)假如向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C为DABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值X围。解：(1)设=(x,y)如此由<,>=得：cos<,>=由·=-1得x+y=-1 联立两式得或=(0,-1)或(-1,0)(2)<,>=得·=0假如=(1,0)如此·=-1¹0故¹(-1,0)=(0,-1)2B=A+C，A+B+C=pÞB=C=+=(cosA,2cos2) =(cosA,cosC)|+|= = =0<A<0<2A<-1<cos(2A+)<|+|Î()例题5函数f(x)=m|x-1|(mÎR且m¹0)设向量)，当qÎ(0，)时，比拟f()与f()的大小。解：=2+cos2q，=2sin2q+1=2-cos2q f()=m|1+cos2q|=2mcos2q，f()=m|1-cos2q|=2msin2q于是有f()-f()=2m(cos2q-sin2q)=2mcos2qqÎ(0,) 2qÎ(0, ) cos2q>0当m>0时，2mcos2q>0，即f()>f()当m<0时，2mcos2q<0，即f()<f()例题6ÐA、ÐB、ÐC为DABC的内角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2(1)当f(A、B)取最小值时，求ÐC(2)当A+B=时，将函数f(A、B)按向量平移后得到函数f(A)=2cos2A求解：(1) f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1 =(sin2A-)2+(sin2B-)2+1当sin2A=,sin2B=时取得最小值，A=30°或60°，2B=60°或120° C=180°-B-A=120°或90°(2) f(A、B)=sin22A+cos22()-= =例题7向量m为常数，且,不共线，假如向量,的夹角落<,>为锐角，某某数x的取值X围.解：要满足<>为锐角 只须>0且= = =即x (mx-1) >0 1°当 m > 0时x<0 或2°m<0时，x ( -mx+1) <0 ，3°m=0时只要x<0综上所述：x > 0时，x = 0时，x < 0时，例题8a=cos，sin,b=cos,sin，a与b之间有关系|ka+b|=|akb|，其中k>0，1用k表示a·b;2求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。解 1要求用k表示a·b,而|ka+b|=|akb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=(|akb|)2k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b22ka·b)8k·a·b=(3k2)a2+(3k21)b2a·b =a=(cos，sin),b=(cos,sin)，a2=1, b2=1,a·b =2k2+12k，即=，a·b的最小值为，又a·b =| a|·|b|·cos，|a|=|b|=1=1×1×cos。=60°,此时a与b的夹角为60°。错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算一样，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b。例题9向量，求的值；假如，且，求的值解,. , ,即 . . ，.例题10O为坐标原点，点E、F的坐标分别为-1，0、1，0，动点A、M、N满足，求点M的轨迹W的方程；点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，假如，某某数的X围解：， MN垂直平分AF又， 点M在AE上， 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距， 点M的轨迹W的方程为设，由点P、Q均在椭圆W上， 消去并整理，得，由与，解得 根底练习题=(2，1)，=(，1)，假如与的夹角为钝角，如此的取值X围是 A、 B、C、 D、答案：A点评：易误选C，错因：无视与反向的情况。2.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,如此P的轨迹一定通过ABC的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心正确答案：B。错误原因：对理解不够。不清楚与BAC的角平分线有关。3.假如向量 =(cosa,sina) ， =， 与不共线，如此与一定满足 A 与的夹角等于a-bBC(+)(-)D 正确答案：C 错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法如此来处理问题。O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P线段AB上且 =t (0t1)如此· 的最大值为 A3B6C9D12正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP|cosa最大时，· 即为最大。中,如此的值为 ( )A 20 B C D 错误分析:错误认为,从而出错.答案: B略解: 由题意可知,故=.6.向量 =(2cosj，2sinj)，jÎ()， =0,-1)，如此 与 的夹角为( )A-jB+jCj-Dj正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值X围在0，p。，那么 A B C D在方向上的投影相等正确答案：D。错误原因：对向量数量积的性质理解不够。如此向量的夹角X围是 A、/12，5/12 B、0，/4 C、/4，5/12 D、5/12，/2正确答案：A错因：不注意数形结合在解题中的应用。=(x1，y1)，=(x2，y2)，如此如下与共线的充要条件的有 存在一个实数，使=或=； |·|=| |； (+)/()A、1个 B、2个 C、3个 D、4个答案：C点评：正确，易错选D。10.以原点O与点A5，2为顶点作等腰直角三角形OAB，使，如此的坐标为 。A、2，-5 B、-2，5或2，-5 C、-2，5 D、7，-3或3，7正解：B设，如此由而又由得由联立得。误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。，如此是的 条件。A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要正解：C假如如此，假如，有可能或为0，应当选C。误解：，此式是否成立，未考虑，选A。OAB中，假如，如此= A、 B、 C、 D、正解：D。LV为与的夹角误解：C。将面积公式记错，误记为，假如与的夹角为钝角，如此的取值X围是 AA、 B、2，+ C、 D、-错解：C错因：无视使用时，其中包含了两向量反向的情况正解：A是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：假如不平行其中正确命题的个数是 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个正确答案：(B)错误原因：此题所述问题不能全部搞清。=，=，且，的夹角为钝角，如此的取值X围是_. 错误分析：只由的夹角为钝角得到而无视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的X围,导致错误. 正确解法:，的夹角为钝角, 解得或 (1) 又由共线且反向可得 (2) 由(1),(2)得的X围是答案: .A、B、C满足的值等于 C A25B24C25D24为方向向量的直线. 1假如过点A的抛物线的切线与y轴相交于点C，求证：|AF|=|CF|； 2假如异于原点，直线OB与m相交于点P，求点P的轨迹方程； 3假如AB过焦点F，分别过A，B的抛物线两切线相交于点T，求证：且T在直线l上.解：1设A，因为导数，如此直线AC的方程：由抛物线定义知，|AF|=+，又|CF|=+，故|AF|=|CF|. 2设由得. 直线OB方程：直线m的方程:， 由得y=p，故点P的轨迹方程为y=px0. 3设如此因为AB是焦点弦，设AB的方程为：得由1知直线AT方程：同理直线BT方程：所以直线AB方程：，又因为AB过焦点，故T在准线上.18.如图，直线l与半径为1的D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，假如 求点P的轨迹方程； 假如轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足，求以P、G、D为项点的三角形的面积.解：点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆. 由 以CD所在直线为x轴，以CD与D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系.所求点P的轨迹方程为 G为椭圆的左焦点. 又 由题意，否如此P、G、M、D四点共线与已经矛盾 又点P在椭圆上， 又O是ABC所在平面内的一定点，动点P满足,，如此动点P的轨迹一定通过ABC的DA内心B垂心C外心D重心是两个不共线的非零向量, 向量满足.如此向量用向量一定可以表示为 CA.且. B. C.D., 或