学生用函数.docx

函数及其表示本节主要知识点：函数的概念，函数的定义域、值域、解析式的求解，简单的分段函数一、函数的基本概念1、下列说法正确的是()（八）函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应。(B)函数的定义域和值域可以是空集。(C)函数的定义域和值域一定是非空数集。(D)函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了。2、已知函数()（八）3(B)2(C)1(D)O3、下列函数图像中不能作为函数的图像的是()4、已知函数,求二、求表达式:提醒：因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同函数，因此求函数的解析式时,如果定义域不是使表达式有意义的X的取值，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误.L换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知，求.2 .配凑法：在已知的条件下，把配凑成以表示的代数式，再利用代换即可求。例2：已知，求3 .待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3.已知二次实函数，且+2+4,求.4 .利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数，当0时,，求5、方程思想例5.一已知为偶函数，为奇函数，且有+,求6、赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式例6：设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求三、求简单函数值域的方法(1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)换元法.例7、求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；四、分段函数1、设函数则不等式的解集是().B.C.D.练习：1 .函数f()=+lg(l+)的定义域是()()(-8,1)()(1,+8)(C)(-1,1)U(1,+)(D)(-8,+8)2、若，那么等于()A.1B.3C.15D.303、函数y=x+的图象为()4、若集合M=yy=2',xR,P=xy=,则MP=()(D)0,+)0(1,+o°)01,+o0)(C)(O,+8)5、设，则的值为()C.D.6、已知函数f(x)=,则f(2013)=()()2OlO()2011(C)2012(D)20137、函数尸的值域为()O(-,+o°)O(-°o,o(C)(-,-)(D)(-2,08、(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函数，且满足，求；(4)已知满足，求；(5)若,求9、设XNO时，；XVo时，又规定：(x>0),试写出的解析式，并画出其图象.函数的图象与性质一、函数的单调性(1)单调函数的定义设那么上是增函数；上是减函数.(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数的单调性两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定。(3)奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。因此，具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性。(4)复合函数的单调性(5)应用函数的单调性可求解的问题例1、(1)函数的单调增区间是.(2)判断函数在(-1,+8)上的单调性.(3)已知函数是偶函数，在0,2上是单调减函数，试比较的大小.例2、已知函数对于任意,总有，并且当时，(1)求证：在R上是增函数；(2)若，解不等式；(3)(选)若关于X的不等式f(n-2)+f(-2)V2恒成立，求实数n的取值范围.练习：1.关于函数的单调性的叙述正确的是()（八）在(-8,0)上是递增的，在(0,+8)上是递减的()在(-8,0)10,+8)上递增(C)在(-8,0)和(0,+8)上都是递增的(D)在0,+8)上递增2 .函数当x-2,+8)时是增函数，则m的取值范围是()（八）(8,+8)()8,+8)()(8,8(D)(-,83 .函数的单调减区间为()（八）(-8,+8)()(0,4)和(4,+8)O(8,4)和(4,+8)(D)(0,+o°)二、函数的奇偶性1、奇偶性定义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数。关于y轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数。关于原点对称2、奇偶函数的性质1)、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性it圆，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反2)、在公共定义域内，(1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；(2)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；(3)一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。注：以上结论在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用。3)、若是奇函数且在x=O处有定义，则4)、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称5)、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；6)、可逆性：是偶函数；奇函数；7)、等价性：8)、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.例1、(1)设是定义在R上的奇函数，当XWO时，=,则()-3()-1Ol()3(2)若函数为奇函数，则a=()(3)已知偶函数在区间0,+8)上单调递增，则满足的的取值范围是()练习：1、相同下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()ABCD2、设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是().+11是偶函数.Tl是奇函数.Il+是偶函数.是奇函数3、若函数为偶函数，则实数.4、f(X),g(x)都是定义在R上的奇函数,且F(数=3f(x)+5g(x)+2,若F（八）=b,则F(-a)=()()-b+4()-b+2()b-4()b+2三、函数的周期性、对称性及其应用1、关于周期函数的常用结论：对于函数(1),则的周期T=;(2),或，或，则的周期T=;(3),则的周期；(4)则的周期T=2、函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称(2)函数的图象关于直线对称恒成立,则函数的对称轴是直线(3)若，则函数关于点成中心对称3、两个函数的对称性(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(2)函数与函数的图象关于直线对称.(3)函数和的图象关于直线对称.例1：(1)已知实数，函数，若，则的值为(2)若是定义在R上的奇函数，且，贝练习1、设函数是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0,1时，f(x)=x+l,则2、函数的图象关于()Ox轴成轴对称图形Oy轴成轴对称图形0直线y=x成轴对称图形()原点成中心对称图形3、定义在R上的函数在区间(-8,2)上是增函数，且的图象关于对称，贝U()（八）OO(D)课外练习：1、若f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且f(x)-g(x)=e',则有()()f(2)<f(3)<g(0)()g(0)<f(3)<f(2)0f<g(0)<f(3)()g(0)<f<f(3)2、若函数f(x)=(kT)a'-0,al)在R上既是奇函数,又是减函数，则g(X)=IOga(X+k)的图象是()3、已知偶函数在区间单调增加，则满足的X取值范围是（八）(,)(B),)(C)(,)(D),)4、对于函数(其中，25R,cZ),选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是()A.4和6.3和1.2和4D.1和25、已知函数f(x)在R上是单调函数,且满足对任意xR,都有,则f(3)的值是.6、函数的定义域为R,若都是奇函数，则()A.是偶函数B.是奇函数C.D.是奇函数二次函数L二次函数解析式的三种形式-*般式：；(2)顶点式：=；零点式：2.二次函数的图象与性质(1)二次函数的图象是一条抛物线，对称轴：=；顶点坐标：；开口方向：时，开口，时，开口值域：时，时，；单调性：时，在上是减函数，在上是增函数；时，在上是，在上是(2)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数的零点是相应一元二次方程的3 .二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的或二次函数的处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.4 .一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设是实系数一元二次方程的两实根，则的分布范围与系数之间的关系如表所示.根的分布(m<n<p且m,n,p均为常数)图象满足的条件xl<x2<mm<xl<x2xl<m<x2f(m)<Om<xl<x2<nm<xl<n<x2<pm<xl=x2<n只有一根在区间(m,n)内f(m)f(n)<Of(m)=O(f(n)=0)时，需检验方程f(x)=0的另一根是否在(m,n)内类型一求二次函数的解析式例1、已知二次函数满足，且的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.练习：已知是二次函数，且对xR恒成立,，方程的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式.类型二二次函数的图象例2、已知二次函数满足且，那么它的图象是下图中的()练习：在同一坐标系中，函数与的图象只可能是()类型三二次函数的最值例3、已知，求的最小值.练习：设函数在区间t,t+l上有最小值，求的解析式类型四二次方程根的分布例4、已知关于的二次方程.(1)若方程有两根，其中一根在区间(一1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求的取值范围.练习：已知二次函数满足，且关于的方程的两个实数根分别在区间(一3,-2),(0,1)内，求实数b的取值范围.练习1 .若函数f(x)=(m-l)x2+(m2-l)x+l是偶函数，则在区间(一8,0上f()是()A.增函数B.减函数C.常数D.可能是增函数，也可能是常数2 .如果函数f(x)=2+bx+c对任意的实数X,都有f=f,那么()A.f(-2)<f(0)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(-2)3.函数f(x)=2x2mx÷3,函数，则f(l)等于(8. f(0)<f(-2)<f(2)D.f(0)<f(2)<f(-2)当X-2,+8)时是增函数，当X(-8,2时是减)A.-3B.13C.7D.54 .已知函数f(x)=若f(0)=2f(1)=1,则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为()A.1B.2C.3D.45 .已知函数f(x)=X?-2x+3在区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是()A.1,+)B.0,2C.(8,2D.1,26 .函数在区间0,1上的最大值为2,求a的值.基本初等函数(一)指数函数7 .根式(l)n次方根：如果，那么X叫做a的,其中n>l,且nN*.当11为奇数时,正数的11次方根是一个数,负数的11次方根是一个数，这时a的n次方根用符号表示.当n为偶数时，正数的n次方根有个，这两个数互为.这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示.正的11次方根与负的11次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.0的n(nN*)次方根是,记作.(2)根式：式子叫做根式，这里n叫做,a叫做.(3)根式的性质：n为奇数时，=;n为偶数时，=.8 .幕的有关概念及性质(1)正分数指数幕：),(2)负分数指数幕：)(3)有理指数幕的运算性质注：无理数指数幕a°(a>0,是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕.3.指数函数的图象及性质定义一般地，函数y=ax(a>O,且al)叫做指数函数图象a>l0<a<l定义域值域性质过定点在R上是在R上是(二)对数函数1.对数对数：如果，那么X叫做以a为底N的,记作X=.其中a叫做对数的，N叫做.(2)两类重要的对数常用对数：以为底的对数叫做常用对数，记作自然对数：以为底的对数称为自然对数，记作.注：(i)负数和零没有对数，（三）(3)对数与指数之间的关系当a>0,al时，.(4)对数运算的性质：如果a>0,且al,M>0,N>0,那么：=J=;=;一般地，;(5)对数恒等式：=；换底公式：IOgaN=,特别地，IOgab=.9 .对数函数的图象及性质定义一般地，函数y=logax(a>0,且al)叫做对数函数图象a>l0<a<l象定义域值域性质过定点在(0,+)上是在(0,+oo)上是(三)幕函数1 .幕函数的定义：一般地，函数叫做幕函数，其中X是自变量，是常数.2 .几个常用的幕函数的图象与性质定义幕函数y=x(R)图象>0<0性质(1)图象过点图象过点(2)在第一象限内，函数值随X的增大而增大，即在(0,+)上是在第一象限内，函数值随X的增大而减小，即在(0,+8)上是在第一象限内，当>1时，图象下凸；当0VaVI时，图象上凸在第一象限内，图象都下凸(4)形如y=或y=x(m,n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m,n都为奇数时，幕函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幕函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幕函数在定义域上为偶函数.题型一指数、对数运算例1、求下列各式的值:(1)(2)(3) =.题型二函数的图象及其应用例2、(1)如图，曲线是幕函数在第一象限的图象，已知n取2,3,一1四个值，则相应于曲线G,C2,C3,C4的n依次为.函数的图象如图所示，其中a,b为常数，则下列结论正确的是()A.a>l,b<0B.a>l,b>OC.O<a<l,b>OD.O<a<l,b<O(3)设，贝U()A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c(4)已知实数a,b满足等式=,下列五个关系：OVbVa；®a<b<0；OVa<b；(4)b<a<0;a=b=0.其中不可熊成立的关系有()A.1个B.2个C.3个D.4个练习()已知X=InjT,y=log52,z=e,贝U()A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x题型三指对数型复合函数的定义域和值域例3、求下列函数的定义域和值域.(1);(2)；(3)练习：求下列函数的定义域和值域.(1);(2)；(3).例4、已知函数(1)若，求的单调区间；(2)是否存在实数a,使的最小值为0?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.类型四指对数函数的综合问题例5、已知函数，x-l,1,函数的最小值为.求；(2)是否存在实数，同时满足以下条件：；当的定义域为时，值域为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.例6、已知函数是奇函数(a>0,al).(1)求的值；判断在区间(1,+8)上的单调性；当时，若对于3,4上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.练习：1、若点(a,9)在函数y=3x的图象上，贝Utan的值为()A.OB.C.1D.2、设P=yy=,xR,Q=yy=,R,贝U()A.PQB.QPClRPD.rQ3、设a=log2,b=log,c=,贝!()A. a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c4、已知函数则。等于B. 1或B.C.1D.1或一5、函数在0,1上的最大值与最小值之和为m则。的值是C. 2B.C.4D.6、函数的递增区间是.7、=8、设函数满足，贝仁9、已知关于X的方程a4'+b2'+c=0(a0)中，系数a,b同号而b,C异号，则下列结论中正确的是()A.此方程无实根B.此方程有两个互异的负实根C.此方程有两个异号实根D.此方程仅有一个实根10>对于函数定义域中任意的X1，X2(XlWX2)，有如下结论：当时，上述结论中正确结论的序号是O11、设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，则，的大小关系是A.B.C.D.12、已知函数.(1)若。=1,求人¥)的单调区间;(2)若有最大值3,求的值.13、已知函数，.(1)当时，求的定义域；(2)若恒成立，求的取值范围.抽象函数的题型与方法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。常用方法：I、直接法：根据已知条件，进行推理、判断、计算、证明2、赋值法3、拟合函数法4、图像法常见题型：1、求定义域例1.函数的定义域为，则函数的定义域是2、判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。例2、已知的定义域为R,且对任意实数满足，求证：是偶函数。3、判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例3、如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5,那么在区间上是（）A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为4、求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例4、已知的定义域为，且对一切正实数都成立，若，则c例5、（2011级重庆）已知函数满足：，则.5、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例6、已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，且，则的大小关系是O6、讨论方程根的问题例7、已知函数对一切实数X都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是O7、解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“力转化为代数不等式求解。例8、奇函数在定义域（-1,1）内递减，求满足的实数的取值范围。例9、已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数X,不等式恒成立，求k的值。8、几种常见的拟合函数例10、已知函数对任意实数，均有，且当0时，求在区间2,1上的值域。例H、设/(x)是定义在(0,+8)上的单调增函数，满足，求：(1)；(2)若，求的取值范围。练习：1、已知函数的定义域是1,2,则的定义域为O2、已知定义域为的函数，同时满足下列条件：；，贝U,3、已知偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。