行列式的计算.docx

行列式的计算方法摘要：行列式计算的技巧性很强.理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的.本文在总结已有常规行列式计算方法的根底上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨.总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径.关键词：行列式计算方法行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程，以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点，采用相应的计算方法.这里介绍几种常见的，也是行之有效的计算方法.1 .对角线法那么对角线法那么是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法.2 .定义法根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少（一般不多于2个），可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比拟低（一般是2阶或者3阶）.如果对于一些行列式的零元素（假设有）分布比拟有规律,如上（下）三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解.3 1计算行列式OOOl002003004000这是一个四级行列式，在展开式中应该有4!=24项.但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了.我们具体地来看一下.展开式中项的一般形式是aija2j2a3j3a4j4-显然，如果力4,那么4力=0,从而这个项就等于零.因此只须考虑力=4的那些项；同理，只需考虑=3,J3=2,£=1这些列指标的项.这就是说，行列式中不为零的项只有%4。23。32%1这一项，而c（4321）=6,这一项前面的符号应该是正的.所以0001后十0020原式二=1234=24030040003.化为三角形计算法19137-25-133-15528-7-10解:1-91371-91371-9137-25-130-1325170-1325173-15-5026-34-260016828-7-10026-39-240017101-91371-91370-1325170-132517=31200-1-200-1-2001710000-24这个例子尽管简单，但化三角形这一方法，在计算行列式中占有十分重要的地位，而化为三角形的方法又有很多种，下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段，当然它们除化为三角形外，还有其它的作用.3.1各行（或列）加减同一行（或列）的倍数适用于加减后某一行列诸元素有公共因子或者三角形的情形例3计算行列式l+%l+¾y21+再l+2¾l+x2y2l+2ynd=l+%l+¾y21+乙力解：当3时，各列减去第一列得：1 +七x(%一%)¾(-¾)l+x2¾x2(y2-¾)(-¾)d=,.I+%(%)%(%-%)之所以等于零，是因为有两列成比例.另外，当=2时，+¾¾i+¾+¾y2+y2这个例子还附带说明，有时题目并没有指定级数，而行列式之值与级数有关时，还需进行讨论说明.3. 2各行（或列）加到同一行（或列）上去适用于各列（行）诸元素之和相等的情况.例4计算行列式CoSa12=2cos2_i+(1严2cos.1=2CoSaDM1 2cosO11采用第二数学归纳法证明=1时，D1=cos,结论成立.设"左时，结论成立.那么当=左+1时，有Dk+1-2cosaDk-DkT=2COSaCOSk”cos(左一l)=cos(k+1)。,故有归纳假设知Dn=CoSMQ4.3HeSSenberg型行列式形如：的行列式，即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外，其余元素全为零的三线型行列式，称为HeSSenberg型行列式.这一类行列式可以直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶.例11计算阶行列式X-1X-1D=*1yn,X-1arana2x+a1解按第一列展开得1=xD1+(-r(-r=xD1+X=+¾(-r1于是DrI=XDe+ar=(皿_2+a1)+an=x2Dn_2+an_xx+an=xn1D1+a2xn2H+an=xn+a1xn1-FQLLX+%当Q三时，解得Drl=(-iy-ia2(an-2+an-2+an-2+an-2)=(一1尸9.递推与归纳这种方法是根据行列式性质，把一个M阶行列式表示为一个或假设干个具有相同形状但阶数较低的行列式的关系式，再利用关系式推出这个阶行列式的值.一般情况下，主要方法有：递推法1）递推公式法就是先将行列式表示两个（或几个）低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D的值.该方法适用于行（列）中O较多的或主对角线上、下方元素相同的题型.归纳法2）当行列式已告诉其值，且值与自然数有关时，一般用数学归纳法证明结果的正确性.如果未告诉结果，也可由递推关系式和前面几个低阶行列式的值，通过观察猜测原行列式的值.然后用数学归纳法证明猜测的正确性.1利用已给的行列式的特点，建立起阶行列式与"-1阶行列式或更低阶行列式之间递推关系式，利用此关系式求行列式的值.降阶递推法，常见的有两类：D"De型,此时根据递推关系有：Dn=1Dl2Dn=PDa+qD%252,q0）型,此时我们不妨设口,乃是方程V乡=O的根，那么由根与系数的关系，得a+B=p<o=q,将其带入Ql=JPOM中，有：DrDr=网一2）二=DJ（1）DLDX=0（DilDQ=21D-aDrQ=n-2（D2-aD1）（2）下面分两种情况进行讨论：CaSeLa由（1）和得0;匕以配竺"3a-CQSe2:。=民由（1）和（2）Dri=aDn_x+6zn2（D2-aDi）=aDn+2an-D2叫）=anlD1+（孔+l）cr"2（D2-aD1）利用力,2_1进行递推例25计算行列式Xaia2araiXa2anDn+1=：%出3X解：2+1=Xala2C2a?CL3d?CL3¾+°¾+¾+°an+(x-an)1：aIala2Xa223。234an:4N1：aIala2Xa223000x-anXala21x-alCLy-%2a31alXa210x-a2。2一31二an+(Xf)Dfl二二册+x-an)DrCL?ci310001CL?ci310001n=anY(x-ai)+(x-an)Drz=lD2=a1(x-a1)+(x-a1)x=(x-a1)(x+a1)D3=a2(x-a1)(x-a2)+(x-a1)D1=a2(x-a1)(x-a2)+(x-a2)(x-a1)(x+a1)=(x+a1+a2)(x-a1)(x-a2)根据递推关系式可得Dn=(x+ai+a2HF2)(XI)(X_/)(%_*2利用力,。_1，。_2进行递推例26求行列式210,001210001200D=n00021000,12解：由于2_2；那么不妨设。，乃是方程2x+l=0的根，那么:a=/3=于是：Dn=ln-1D1+(n-l)ln-2(D2-ID1)=(2-n)D1+(Tt-I)D2其中:2=2=2,3=41=3所以:Dn=(2-n)D1+(-1)D2=4-2n+3n=n+l即2)归纳法例27计算行列式Dn=解：按一行展开得a+Dn=Qa+121O121O12原行列式二:OOO0OOa+aO1a+aO1a+OOOIa00a+00- 00- 00- 00.=n+l- 21- 12000000a1 a+1 a000a+00-a.OO1a+后一行列式按第一列展开，得递推公式Drl=(a+)Drlj-aDr-2(易于算出2一3一,da-代入递推公式得a4-4D4=(a+)-匕-aa-n-100-1a+。a>3)(1)'a-a3-3a5-5CCCL于是自然猜测an+1-n+1U=a-证实这个结论，可以利用第二归纳法.此处从略10 .作辅助行列式例28设力（%）,力（%）,/（%）为次数不超过2的函数,设%,电，%为任意数，证明:工3）工(%)心）A(i)启)11于2（an）力Q)(¾)1,K)解法一设fl(X)=anx+Cli2X-Fa,n_2X+ain-I那么，由工(4)力Q)力(%)工(X)力(%)启)力(%)fnan)DnM=工(X)工（密）,工（应）力(X)力（密）,f2K)W/（的）.,AK)n-2n-2八,一2aaUain-2aIn-I°a4一31a2an32anan-3na2122a2n-2ain-aia2%an%2ann-2吁1°111000力（）马上得证.解法二刚刚是作两个辅助行列式，现在作一个新行列式由题设不难得知是X的不超过2次的一个多项式，然而它有-1个根所以：DnM=O特别有DngI)=/3)A(i)工（火）,力（%）,力(%)A(¾)=0力（*）力（。2）-1*/M)证毕.11 .滚动消去法当行列式每两行的值比拟接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的假设干倍，这种方法叫作滚动消去法.一般利用此方法后，最好在化简后行列式的第一行或者列能产生较多的零，以便利用降级法来做.例29计算行列式12D=3n解：从第二行开始每行减去上一1 232 12D=3213 n1n21 23n-n2 OOO-2212n-14亍，有 n1 n2 Yi3 2321112nn1Tl211221OCn-1nn-2n-1n-3n-2211231-1-1=11-1111>nnIOOn1n -11 11 11=22011112.特征值法O211=2"2O1OOOOOO1O=(-I)11+1(11+l)2n-2设4,4,4是级矩阵A的全部特征值，那么有公式IA|=44X全部特征值，那么就可计算出A的行列式.%.故只要能求出矩阵A的例30假设4,4,，4是级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全部为证明：因为IAI=那么A是可逆的OlAlWO410o40('=L)13.微积分法例31计算行列式X2OOOOX2OODn=OOOOOOO'X22OOOX解：易知Dn的结果是一个关于未知参数%的多项式，根据M阶行列式求导公式:11(x)力2(%)-*九Zu九-几ddxZlW1,fin。)n=z=l；fii(x)dxdx,Jfin(X)dxZd(X)fn2(X)'*九W力2。)*,加下面对它求导:ddxX2OOO%2OOOX2OOOX2OnnOO%O=z=lOOO1O,11-1WT=/X=WCz=l2OOX2OOOX设Dn=/(x),那么/'(x)=M,所以:f(x)=Jf,(x)dx=xn+c又当X=O时，/(O)=(-112所以c=(-l)n-i2n故原行列式的值为2=Xzl+(-IF1214.换元法这种方法应用于当以同一个数改变行列式的所有元素时，其各元素的代数余子式容易计算的情形.它基于下面的性质，设aIlan,1an+xan+x11+XD=22.,a2n,DI=a21+x%十1,1%"+x%an2.,ann%十%2+X,1ann+xn其中4是元素%的代数余子式.那么JDl=JD+%Z4,i,j=l例32计算行列式Xa1XDn=XXa3XXX解：把2的所有元素都加上-X得:ci-xOOOcxOD=.OOdn-xD的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其余元素的积.所以，Dn=(1%)(%x)+%Z("%)(q-x)(%)(%一%)i=l(111)X)(%X)(%X)1F,H'(Xal_%an-xy例33求证x2baf(b)-bf（八）a-b,/(x)=(x1-x)(x2-%)xn-x)(ab)证明作行列式。JX1+Xa+xa+xa+xb+xX2+Xa+xa+xD(X)=b+xb+xX3+xa+xb+xb+xb+x.%+%可见。()=/()，。()=/(».根据行列式的性质可知0(%)是X的一次多项式，所以可令。=cx+d,又因为Z)=d=。，所以7v7D(-)=-ca+D=f（八）;D(-Z?)=-cb+D=f所以:D=af(b)-bfa-b注释：以上几种方法已将n阶行列式的计算方法大局部囊括在内，虽然方法很多，但不难掌握.我们解答问题时，要重视方法分析，着重培养解决问题的能力和技巧，形成良好的数学思维，在今后的数学学习中应该多多注意.参考文献：1王萼芳，石生明.高等代数第三版【M.北京：高等教育出版社，2003:181-320.2钱吉林.高等代数解题精粹修订版)【M.北京：中英民族大学出版社，2002:189.3钱吉林.行列式的计算技巧【J.华中师院学报，1840,VOLI6(3):103-111.4张军生.一类递归沂列式的计算方法【J.唐山师专学报，1998,Vol.20(5):1516.5徐安德.行列式的两种计算方法探究【J.科技信息,2011(33)：288-335.6杨鹏辉.行列式的计算技巧【J】.宜春学院学报，2011,Vol.33(4)2730.7丁冰.三线型行列式的计算【J.科技通报,2012,VOL28(2):15178樊正华,徐新萍.浅谈行列式的计算方法江苏教育学院学报(自然科学),20n,VoL27(l):1516.9王正文.高等代数分析与研究M.济南：山东大学出版社，1994.10张禾瑞,郝新.高等代数M.北京：高等教育出版社，1983.130.11吴赣昌.线性代数国.中国人民大学出版社，2009.12陈志杰.高等代数与解析几何：上册M.2版.高等教育出版社，2009.13段向阳.浅谈行列式的几种计算方法J.湖南冶金职业技术学院学报，200812)：42-45.