函数的单调性与曲线的凹凸性.docx

§3.4函数的单词性与曲线的凹凸性一、函数埴词性的判别法定理I设/(X)在区间/上可导，则/(X)在/上递增(减)的充要条件是/'(.r)0(0).证若/为增函数，则对每一Xoe/,当XWXO时，有Mz)>0令x”,即忠/'(n,)20.反之,若/()在区间/上恒有/'(x)20.则对随意,与w/(设马<v2),应用拉格朗日定理，存在,使得/(a2)-(x1)='Xx2-a1)0,由此证得f在/上为增函数.定理2若函数f在(&)内可导.则/在(0,b)内严格递增(递减)的充要条件是：(IDXGs/)有/'(.v)0(0);(2)在3,%)内的任何子区间上/'(X)H0.推论设函数在区间/上可微.若r(x)>0(x)<0),则/在/上(严格)递增(逐减).注1若函数f在(。,)内(严格)递增(递减),且在点“右连续用/在必力)上亦为(严格)递增(递减)，对右端点可类似探讨.注2假如函数/(X)在定义区间上连续，除去有限个导致不存在的点外，导数存在且连续，那么只要用方程/'(X)=O的根及/'(X)不存在的点来划分函数/(x)的过义区间就能保证/'(X)在各个部分区间保持固定符号，因而函数/(x)在每个部分区间上单调.留意：假如函数/(x)在区间|外以上连续，在(”,)内除个别点处阶号数为零或不存在外,在其余点上都有/'(x)>0(或/'(x)<0),那么由于连续性，/(x)在区间m,与上仍IH是单调增加(或单调削减)的.例如.、=不的-阶导数)，=3,除在X=O点等于零外,在其氽的点都大于零.函数在整个区间(一oc.+oo)内取调增加。又例如.y=x%,它的一阶导数又卜除在X=O点不存在外,在其氽的点都大于零.从而函数在整个区间(-8,+30)内电调增加.例1设/(X)=X3-X4试探讨函数/的单调区间。/'（八）0.7递增.利用函数的单调性，可以证明些不等式,例1证明不等式ex>+x.xO证设/(X)=/-x,W'(x)=ejt-).故当*>O时，,(x)>0,/严格逆墙；当<0时，/'(X)<0,/严格递减，又由于/在X=O处连续，则当*工。时f(X)>f(0)=0.从而证得e,>1+X,X0.二、曲践的凹凸性与拐点函数的单调性反映在图形上,就是曲城的上升或卜降.但是，曲她在上升或卜降的过程中.还有一个弯曲方向的问题.曲线的弯曲方向我们用曲线的凹凸性来表述.下面我们就来探讨曲斑的凹凸性及其判定法.在有的曲践弧上，假如任取两点,则联结这两点间的弦总位于这两点间的地段的上.而有的曲线弧.则正好相反.曲找的这种性质就是曲线的凹凸性.因此曲线的凹凸性可以用联结曲线上题就两点的弦的中点与曲线弧上相应点(即具有相同横坐标的点)的位置关系来描述,下面给出曲线凹凸性的定义.定义1设f(.r)在区间/上连续假如对/上随意两点X,.0恒有x1.+xi/(占)+/(巧)72-,2,那么称/(x)在/上的图形是(向上卅I的(或凹弧);相应的函数称为凹函数：假如恒有/卢+8)>"V)+f(Xz)那么称/()在/上的图形是(向上)凸的(或凸加),相应的函数称为凸函数.图342假如函数/在/内具有二阶导数.那么可以利用.阶导致的符号来判定曲线的凹凸性.定理3(曲或凹凸性的判定定埋>设f为区间/上的二阶可导函数，则在/：/为凹(凸)函数的充要条件是f,'(x)<O(,(x)>O).X几何说明：()>On)，=/(X)是凹弧：即(r(x)>>0=>()单冏增加.r(x)<o=)，=/(»是凹瓠：即(r(x)k0=>r()单调削减。即曲城如y=(x)是凹(凸)孤的充要条件是：切战与X轴正向夹角陵X增大而地大(M小)。设r,W连续.若r'()经过点/变号,则r'(6=o例1探讨函数/(x)=arctanx的凹凸性区间解由于f'()=-2,因而当xO时/"(x)0:当.rO时/"(x)0,从(1+)而在(-8,0上f(x)为凹函数,在,o)上/Cr)为凸函数.定义2设曲线y=/(x)在点(%),/(M)处有穿过前筏的切跳旦在切点近旁,曲线在切级的两例分别是凸的和凹的.这时称点(虫),/(M)为曲线>-=/(x)的拐点.山定义可见.拐点正是凸和凹曲线的分界点.拐点亦称扭转点.有关拐点的定理图3-4-4定理4若/在Z)二阶可导.则(0,/(0)为My=/(x)的拐点的必要条件是/"(A0)=0.定理5设/在N)Ur号.在某邻域U°(%)内二阶可导.若在U(x0)和ui.(xo)上/"()的符号和反.则(分,/(XD)为曲线y=/()的拐点.必雷指出:若(Xo,/（三）)是曲规y=/(x)的一个拐点,>=/(x)在X0的导数不肯定存在,请考察函数y=底在K=O的状况.判定区间/上的连续曲线y=(.v)的拐戊的步骤：(I)求r,(x)；(2)令/"()=o.解出这方程在区间/内的实根.并求出在区间I内/"(X)不存在的点；解_T(X)=O.得/,不占，并求出/内()不存在的点:备，。看2,；(3)对中求出的好一个实根或:阶导致不存在的点出.检杳/"(X)在Xo左、右两侧邻近的符号.那么当两f«的符号相反时.点(风,/&I)是拐点,当两(W的符号相同时.点（%,/（q）不毡拐点,考察/”（x）经过内.内.，部.窈.,时是否变号。例2求曲线,y=3x4-4i+1的拐点及凹凸的区间.解函数y=3.t4-4.vj+1的定义域为（一oc,÷x）,y,=12a3-12x2+1.,v"=36-24a=36x-解方程y"=0Vix1.=0,x2=1,2是这曲线的两个拐点。30,|卜.v"0.因此在右J,轴,这曲线是凸的.（0,11把函数的定义域（-8,+CQ）分成三个部分区间（一8、01。在（oo,及；：.+8）上,这曲线是凹的.在例3问曲城.y=/是否有拐点？解y=4xy=12x明显，只有X=O是方程,”=0的根.但当XHO时,无论x<0或x>0都有y”>0.因此点（0.0）不是这曲规的拐点.曲线y=没有拐点，它在（一8,+）内是凹的.例4求的觌y=我的拐点.价这南数在（-8,48）内连续,当XHO时，V=12赤一9.WP当K=O时.义）1"都不存在.故二阶导数在（一4+»）内不连续且不具有零点.但X=O是不存在的点，它把（-8,+8）分成两个部分区间（-8,0、0.+O）,（-.1.>'?0.曲纹是凹的,在+oo）.y"<0.这曲线是凸的.X=O时，V=O,点（0,0）是这曲战的一个拐点,