函数的单调性与最值(含例题详解).docx

函数的单词性与量值一、学问糖理1 .增函数、诚函数一般地，设函数凡C的定义域为人区间X/，假如对于随意内，qG。，且司。”则有：(Iyu)在区间。上是增函数<U也：(2求外在区间D上是减函数Ubn>g).2 .单调区间的定义若函数.v=J1.x>在区间D上是地函数或战函数.则称函数.v=U)在这-区间上具有(严格的1项调性.区间。叫i¾y=()的单网区间.3 .函数的最值前提设函数y=r)的定义域为/.假如存在实数M满意条件对于随意XW/.都有以匕M：存在使得对于随意xc人都有凡iRM存在X(IG人使得NmJ=M站论M为城大俏M为地小值««1I.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间只能用区间表示，不健用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号Pr联结,也不能用一或”联结.2.两函数凡0,W(X)在XC(“，力上都是增(减)函数.则A0+g(x)也为增(减)函数,但AO3x>,Jr等的通谓性与其正负有关，切不行盲目类比./()I试一试I.下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是()A.y=1.n(.t+2)B.y=-x+1cH?dy=x+x解析：选A选项A的函数y=1.n(x+2)的增区间为(一2,+«),所以在(0,+s)上肯定是墙函数.2.函数Nx)=F-须G2,4)的单调地区间为：.WX)13=.解析：函数/U)的对称轴x=1.,单园增区间为1,4,/(x)mx=1.-2)=4)=8.答窠：U.4)8二、方法归纳1 .推断函数单两性的四种方法(1)定义法：取他、作差、变形、定号、下结设：(2)更合法：同地异然,即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：假如人"是以图像形式给出的，或者;(x)的图像易作出，可由图像的宜观性推断函数单调性.(4)导致法：利用导函数的正负推断函数单调性.2 .求函数戢值的五个常用方法(I)单调性法：先确定函数的单网性，可由项W1.性求最(ft.(2)图像法：先作出函数的图像，再视察其般高点、最低点,求出地伯.(3)换元法：对比较困难的函数UJ通过换元转化为熟识的南数，再用相应的方法求最假.(4)基本不等式法：先对解析式变形,使之具器“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出生值.(三)导数法：先求导,然后求出在给定区蒯上的极值,最终结合端点值,求出最值.提示：在求函数的值域或最(Iti时.应先确定函数的定义城.练一练I1 .下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递减的是()A.y=B.y=cj,C.y=-+1D.F=IgH答案：C2 .函数.AQ=V1.在区间2.3)上的最大值是最小值是.答案:I三、考点精练考点一求函数的单调区间I、函数/(x)=1.og、(2x+1)的单调墙区间是.解析：要使F=IogS(2x+1)有意义则2t+1>0.即X>-：.而y=1.og$“为(0,+OO)上的增函数，当x>-1时，,=2v+1.也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是2k)答案：f-.+2.函数）=-1.-M的单调地区间为作出该函数的图像如图所示.由图像可知.该函数的单调地区间是（-8.1.答案：（-8,113 .设函数y=Kr）在（to,+8）内有定义.对于给定的正数k,定义函数4(X)=/()()<A-k,f(x)>k取函数/（x）=2÷1.,当&=；时，函数匕（,r）的单调递增区间为A.(-oo.0)B.(0.+oo)C.(-00,-I)D.(1.+oc)解析：选C1.71.x)>.ft)1.<.v<1.由Kt旦，得好一I或后1.2x所以/1.(X)=-,-<x<,故/(x)的单调递增区间为(一处-1).222,x-1.I解册通法1求函数单调区间的方法与推断函数单调性的方法相同即:（1）定义法：（2）复合法：（3）图像法：（4）导数法.考点二函数单调性的推断典例1试探讨函数/（x）=x+?QO）的单调性.解法一：出解析式可知，函数的定义域是（fo.o）u（o）.在（0,+8）内任取司，X2,令玉v.q，那么ISJO<i<x2,所以占-x>0，xx?>0.故当司,与(4,+8九/(xJ<(2),即函数在(灰,+8)上雎调递增.当XMWMJr)时，/(%)>/(七),即函数在(。，4)上单网递减.考虑到函数(x)=x+±仅>0)是奇函数，在关于端点对称的区间上具彳曲炯的单调X性，故在(-8.-4)单调递增，在(-J7.o)上单调速战.综上，函数凡。在(-8.-4)和(返.+8上单调递增，在(-4,o)和(o.JT)上单调递减.解SS通法11 .利用定义推断或证明函数的单调性时，作差后要留意差式的分解变形彻底.2 .利用导致法证明函数的单调性时,求导运第及导函数符号推断要精确.针对训阳推断函数g(x)=含在(1,十8)上的单调性.解：任取x,xj(1.+，J1.x<rj.则g(x)_g(W)=三一舍XITx2i(XIT)(X2"d)由于1<5'所以X1.X2<0，(X1.I)Uj-()>0因此g(H)以&)<0,即g(x)<gS)故式r)在(1.+)上是增函数.考点三曲数单HI性的应用角度一来函数的值城或量值1.已知函数儿0对于fijftx,yCR,总有£0+3=JIH»,且当Qo时，*)<0,川)=-率(1)求证：况幻在R上是减函数:(2)求Jrtx)在-3,3上的最大值和最小(ft.解：证明：；函数9)对于随怠和yeR,总有U)+b,)=AK+),)，二令X=F=().斜,40)=0.再令F=-x.得/-X)=-*D.在R上任取Xt>Xj,则X1.M>0,A")-«>=tr)+H-&)=一&).又.当QO时，HX)<0,而M-X2>0，JU1-X2><°即/Ui><Wm>因此/U)在R上是战函数.(2).U)在R上是战函数.凡。在-3.3)上也是减函数，.Ax)在-3.3上的最大值和最小值分别为人-3)与/3).而贝3>=MU)=-2,-3)=-3)=2.；.儿0在-3.3上的G大值为2,以小值为-2.角度二比较两个的数值或两个自知的大小2 .已知函数."x)=1.og»+1.：若XIe(1.2),X2(2.+cc).则()A.v)<0.凡理)<0B.NsM),fix2)>0C.n)>0.fi2)<0D.*)>0.HMXJ解析：选B.函数/U)=1.og1x+±i¾a+上为增函数,且21=0,.当X6(1.,2)时，人X1.Xrt2)=0,2(2,+8)时，<故)*2)=Q,即人xX0,财)>0.角度三解的效不等式3 .已知函数/(.r)='?'则不等式M-4)nA3G的解集为()A.(2.6)B. (-1.4)D.(-3.5)解析：选B作出函数,弁X)的图像,如图所示，则函数从。在R上班单诩递减的.由-4)3«).可福。2-4<3,整理得炉一3“一4<0,BP3+i-4)<0,解得一IVa<4,所以不等式的解集为(-1.41.角度四求一&的取值范图成值4.已知函数/(.<)=-I.X<2满意对1.意的实数X尸出，都有小匕g<o成立，则实数。的取件范围为（X1.T2C. （-50,2JD.y.2j解析：选B函数凡。是R上的减函数，«-20于是有I、11Y由此解得昌，（-2）×2J-18即实数。的取位范困是（£.（解题通法J1.含“/不等式的解法首先依据函数的性质把不等式转化为cv）次Mm的形式，然后依据函数的单调性去拉7",转化为详细的不等式（组），此时要用懑g（x）与MX）的取值应在外层函数的定义域内.2.比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变属的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同,个总调区间上iS行比较，对于选择鹿、埴空题能数形结台的尽诚用图像法求斛.巩固练习一、选算题I.“。=1”是“函数贝x）=f-2r+3在区间”+8）上为增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：/U）对称轴K=/当g时/10在1,+8）上单调递墙.=1”为NxH1.+8）上递增的充分不必要条件./+41.VO2.已知函数/（H=（,若,2一02）次“），则实数”的取值范围於（）4-,x<0A.（-8,-I）U（2.+）B.（-1.2）C.（-2,1）D.（-«>,-2）U（I.+«>）答案：C解折：出题知HK）在R上是增函数，由SS得2-a”,解得一2J<1.3 .用min.b>表示",b,c三个数中的最小值,设HX）=min（23x+2.10x（x？O）.则/U)的最大值为A.4答案：C解析：中题通知函数八。是三个函数.v=2”=k+2,»=10一工中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图思(如图中实线部分为/U)的图象)可知A(4,6)为函数贝X)图象的G高点.4 .若r)=-F+2r与g(x)=M在区间1,2上都是诚函数,则。的取(ft范用是()A.(-1.0)U(0.1.)B.(-.0)U(0,1C.(0.1)D.(0.1答案：D解析巩丫)在小+上是减函数，对于8(x),只有当a>0时，它有两个减区间为(-8,-DfiK-I.+8),故只需区间1,2是/U)和必)的城区间的子集即可,则。的取值葩的是0w1.5 .已知定义在R上的增函数/U).满意1.-)+Hx)=O.M,X2xjR.且不+小乂).xj+x,>O,xj+iX).则/。+刈)+Nq)的值()A.肯定大于0B.甘定小于0C.等于0D.正负都有可能答案：A解析：.J(-x)+U)=0.弁-X)=-KV).X'Ki+m>0,X2÷XX>O,>+x>0.,.>-2X2>-J.XJ>-X1.又.z)习?-M)=-Kr力fi.X2)>fi-Xy)=-fixj)>fix3>>fi-t)=-fix)+/U”+凡0)>-Kr1.),*)÷U2)+xs)>O.I二、填空题6,函数y=-(-3>M的通烯区间是.7 .设.我处是增函数则下列结论肯定正确的是(炕序号).X=(*)F是增函数：.V=是娥函数：y=-Kr)是减函数：)=x>是增函数.八”22Io.解析:-(-3)x(.v0)(-3)(<0)面图象如图所示：可知通增区间为(0.¼8 .设()<z1.则函数二：+占的最小值是.答案：4解析y=÷td当O<Z1时M1.-©=-(X4)2+；S；，yN4.三、解答现9 .已知函数加)=0一.(I)求证：函数y=x)在(0,+8)上是增函数：(2)若fix)<2x在(1,+B)上恒成立，求实数的取向范困.(1)证明：当XG(0+oc)Br.0=0-7设(K<m则XIx2>0刈-H>0.I111X1-X21.)-)=-)-(-)=-7=-r<0；AXI)勺IvD,即在()+上是增函数.解：由题怠”-32x在(1,+0c)上恒成立.i殳W*+；,则MA(X)在(I.+oo)上恒成立.'(x)=2-J,(I,+00),2-p>0.*x)在(1,+上单调递增.故0(1.),1.W03.“的取伯莅第为(一00,31.10.1.I/.)=A*+v+3-.若XW1.2Z时，启启OtR成立.求0的取值范用.解：设/U)的最小值为g(。),则只需须凶,由趣息知，r)的对称轴为一£(1)当一%-2,即X时.()=f1.-2)=7-311().f!J<.又“X,故此时的“不存在.当一养1.22,即一物0时，或“)=黄一马=3_“一会0得一62.又一44.故一4rtS2.(3)当一f>2,即v-4时,的)=W2)=7+应O得-7.又4.故一73<4.综上得所求的取优范围足一72.II.已知/U)是定义在-1,11上的奇函数，且/U)=1.,若小fr-1,b。+屁0时,八)+小)t+b>0成立.(1)推断贝X)在(一Ij上的单调性并证明它:(2)价不等式：凡t+3"±);若/U)"2-%”|+1对全部的C-1.,恒成立，求实数用的取值范困.解：任取X”2(-IJb且内<X2，则一.v2w-1.1.,/«)为布函数fM-fMfM+f(-5)=""T-X?)a+(-Xj由已知得/yr)>o.x1.，。，x+(rjm)-4k><0，即Kn>m).凡。在-1.1上单调递增."x)在-1.1上球调递增，(3)<D=1.A*)在1.IjJ上单调递增.½(-U±,1.问咫转化为>r-2z7wi+1>I.即mt2am>.对w-1,1iRC.下面来求阳的取值范I乩设（八）=-2ma÷«r>0.若,”=0.则双")=00.自然对。句一1.1恒成立.若m0则&(“)为。的一次函数，若g(0)O.对。目一141恒成立，必需双一1以)，且以1)加，.*,11-2.或切之2.,m的取(ft范围是m=0n>2.