等比数列知识点并附例题及解析.docx

等比数列知火点并附例题及解析1、等比数列的定义,乡=q(,w)(之2H.gN),g称为公比a.12、通项公式，c1.t=a1.qn,=-qn=4-n(i<70.4-0),首项：6；公比：q推广：4=%('=?oq="-衽3、等比中项,(1)如果4.)成等比数列，那么A叫做。与方的等差中项，即：A?=ab或A=±必注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(2)数列同是等比数列o凡2=,1y.4、等比数列的前“项和S”公式，(1)当4=1时，Se=Mrt1(2)当时，S”=也出=幺二里""q-q=乌-q"=A-A,'=A1.v-A'(A,8,A',8'为常数)"q1.-5、等比数列的判定方法：(1)用定义：对任意的，都有4“=Wn或也=q(q为常数，40)=11为等比%数列(2)等比中项：Y=%(4MW0)o叫为等比数列(3)通项公式：q=AB"(AB0)q为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：假设詈=q(q0)(“2,且”M)或a-=q'=au为等比数列7、等比数列的性质：(2)对任何).*,在等比数列«,中，有4=%f-(3)假设"r+"=s+(A"),那么"j,q=,q.特别的，当】+=2A时，得j,q=<注：«r«w=«,n-1=5rt.2(4)数列®,也为等比数列，那么数列&，伙q,<,代“以，知味为非零常数)均为等比数列。(5)数列q为等比数列，每隔%伏w)项取出一项SBIMKU,4.2ZagM，)仍为等比数列(6)如果1,是各项均为正数的等比数列，那么数列og"J是等差数列(7)假设6为等比数列，那么数列5.，S2n-Sa,SM-S2.,，成等比数列(8)假设q为等比数列，那么数列qq外，2n,%心成等比数列f1>0,则%为递增数列(9)当g>I时，½1<0.则应J为递减数列q>0,则%为递减数列当0<g<1.时，tq<O,则&为逆增数列当g=1.时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列)；当q<0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列伍中，当项数为2俄6，)时，&=?snq二例题解析【例1】Sn是数列(ar)的前n项和，Sn=pn(pR.nN*),那么数列ar1.(A.是等比数列B.当p0时是等比数列B.C.当PWO,pHI时是等比数列D.不是等比数列【例2】等比数列1,X,X2，X2n，2,求XX2'X3×2n【例3】等比数列aj中，(1)已知叼=4,a,=-g,求通项公式：(2)«3“4”5=8,求a2a3a4a5a6的值【例4】求数列的通项公式：(I)(w),ft=2»<i+=3ap4"2(2)(aJ中,aj=2,a2=5,Han+2-3an+2an=0三、考点分析考点一，等比数列定义的应用1、数列q满足/=一；1|（,吐2）,=.那么=.2、在数列”“中，假设=1，%=M+1.（n1）,那么该数列的通项4=考点二：等比中项的应用1、等差数列4的公差为2,假设为，&,（成等比数列，那么的=（）.-4B.YC.-8D.-IO2、假设“、b、C成等比数列，那么函数y=+加+c的图象与X轴交点的个数为（.OB.1C.2D.不确定3、数列q为等比数列，,=2,q+q=等，求4的通项公式.考点三，等比数列及其前n项和的根本运算1、假设公比为二的等比数列的苜项为？，末项为那么这个数列的项数是（）383A.3B.4C.5D.62、等比数列q中，&=3，11,=384,那么该数列的通项01,=3、假设/为等比数列，K24那么公比g=,4、设,”,外，牝成等比数列，其公比为2,那么必±2的值为（2%+%A.-B.iC.-D.I4285、等比数列瓜中，公比q=；且“?+4+aro=30,那么a/H：+aw=.考点四；等比数列及其前nJ三和性质的应用1、在等比数列0,中，如果=6,4=9,那么%为(A.4B.-C.D.2292、如果一I,a,b,c,一9成等比数列，那么().b=3,ac=9B.b=-3,ac=)C.b=3OC=-9D.>=-3ac=-93、在等比数列“中，=1.,q>=3,那么4/七44/44等于.(.81B.21i21C.3D.2434、在等比数列“中，a9+at0=（O）>%+%=£>,那么%+/0等于（5、在等比数列*中，4和%是二次方程.F+依+5=0的两个根，那么火”,缘的值为（.25B.55C.-55D.±556、假设q是等比数列，且4>0,假设%/+24%+4%=25,那么4+勺的值等于考点五:公式巴/5.(=1)IS,-S"“2)的应用1、假设数列的前n项和SEaI+a满足条件10gS=n,那么an是（）.公比为2的等比数列B.公比为;的等比数列C.公差为2的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前n项和S.=211,那么前n项的平方和为（）.(2n-1.)2B.-(2'-D,C.4n-1.D.-(40-1.)333、设等比数列aj的前n项和为S=3"r,那么r的值为一、等差和等比数列比拟：等差数列等比数列定义3-a”=dS=%递推公式"11="n-+<:«n=om.u-¥mdJV-11h=11-i<7三%=4M通项公式an=a1.+(n-1.)<u=w"1.(tt.<Z0)中项a=*、(MWNFAAAO)G=±J"dEAo)(小&waRaO)前“项和S«=彳(4+0/Hzt-1)S"=呵+,dr1.(<7=1)S小亚1.g1.q22>-q-q重要性质M+/=%,+%(m.r,p.qGN'.n+n=p+q)-4=4q(m.n.p.qwN.m+n=p+q>二、等差敷列的定义与性质定义：Id为常数)，通项：an=ai+(j-1)</等差中项：X,A,)，成等差数列o2A=X+y前项和：邑=驾M=K+券性明：q是等差数列(1)假设+"=p+q,那么an,+n=4+4：(2)数列®1,%J仍为等差数列，SjSin-Sn.S3n-S2n仍为等差数列，公差为"d：（3）假设q,2是等差数列，I1.前项和分别为S,，Tn,那么色=A”,2m.1.（4）q为等差数列OS（I=M（,6为常数，是关于"的常数项为0的二次函数,可能有最大值或最小值）（5）项数为偶数2的等差数列,有SU=n（ai+a211）=n（a2+2.1）=«（«”为中间两项）sasa=M.y1.=-SJ11.项数为奇数2-1的等差数列上,有527=（2-网（4为中间项）,S1.Sa=（，1.=-V5g-1三、等比数列的定义与性质定义：&=q（4为常数,0）,通项："n=q等比中项：x、G、），成等比数列=>G?=冲，或G=±而前"项和:Mf1.1(7=1)%0T')"q(<71)（要注意q!）1、性质：4是等比数列（1）假设，"+”=p+g,那么（2）S*,S2ii-Sm,SMF仍为等比数列.公比为四、数列求和的常用方法:的前n和是：392781(1.÷2÷3+4+)+(1.+1.+±+1.+.)3927812、错位相减法I凡等差数列同噂比数列对应项例!瞅构成的数列求和时用此方法.例：求：Sn=x+3x2+5x3+(2n-5)xn-2+(2n-3)xn-1+(2n-1)xn(x1)解：Sn=x+3x2+5x,+(2n-5)x1."2+(2n-3)x04+(2n-1.)x"(xI)xSn=x2+3x,+5x4-+(2n-5)x",+(2n-3)xn+(2n-1.)xn'1(xI)减得：(I-X)S11=X+(2x2+2xj+.+2xn1.+2xn)-(2n-1.)xn,2-(1.-xn,)=x+-(211-1)x11m从而求出力.错位相成法的步焉(D将要求和的杂数列前后各写出一：项，列出式：(2)将式左右两边都乘以公比q,得到式；(3)用-，错位相减：(4)化简计算。3、倒序相加法I前两种方法不行时考虑倒序相加法例I等差数列求和：S.=a1.+a,+a3+.+an.2+a.1+ans=a11+an-1.+a11-2+aj+a2+a1两式相加可得：2S11=(a1+an)÷(a2+an.1)+(a3+an.2)+.+(a,+an.2)+(a2+an.1.)+(a,+an)即：2S,=n(a+an)-11(a,+an)所以弘=-2等比数列例AM惭【例I】Sn是数列怙浦的前n项和，Sn=pn(pR.nN*),那么数列(af1.(1A.是等比数列B.当PKo时是等比数列C.当pK0,p1.时是等比数列D.不是等比数列【例2】等比数列I,xp2t''x2n,2，求xX2'3'2n【例3】等比数列归中，（1）已知22=4,as=-g,求通项公:（2）33°a4,a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例4】a>0b>0Hab.在a,b之间插入n个正数x.x2,.xn>使得a.x.，xrb成等比数列，求ia+b证”MfV丁.1例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b-cp+(c-a)2+(d-b)2=(a-dp.例6求数列的通项公式：(1.)anp1.,.a=2,an+=3an+2(2)ant1.a1=2.112=5.11.an+2-3an+2an=0【例7】若实数即、a2.a3.a,都不为零，且满足（a：+a；就一2a?（a1+a、）a,+a；+a；=（"1.：a、a2,a、成等比数列，且公比为a【例X】假设a、b、C成等叁数列,且a+1.、b、C与a、b、c+2都成等比数列,求b的值.例9等差数列(an)的公差和等比数列%的公比都是d,又知d1.F1.4=b4.aIO3zbIO:求a与d的值:(22坨是不是C"中的项？M1.O1.设an是等差数列，产，已知E+b?+b、=1,求等差数列的通顼.O【例11】三个数成等比数列，假设第：.个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数.r例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与笫四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.【例13】三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到8S,76.84.求这两个数列.【例14在数列an中,a卜»2»a3成等差数列，a2、a?、叫成等比数列,a?、3、a5的倒数成等差数列,证明：“、a?、a5成等比数列.【例15(bc)1.ognx+(c-a)1.ogny+(a-b)1.ogmz-0.(1)设a.b.C依次成等差数列,且公差不为零求证：X.y.Z成等比数列.(2)设正数X,y,Z依次成等比数列，且公比不为I,求证：a,b.c成等基数列.等比数列例Jn呻【例1】Sn是数列出)的Inn项和，Sn=Pn(PER，nN1*).那么数列).I1A,足等比数列B.当p0时是等比数列C.当pKO,PW1.时是等比数列D.不是等比数列分析由Sn=PnSWN*),有a=S=p,并且当n32时,an=sn-sn-1=pn-pn,=(P-I)Pn'1p0故啊=(P-I)p,因此数列a11成等比数列Op-0(P-I)PZ_P(PT)(p-2)p"-2"P但满足此条件的实数p是不存在的，故此理应选D.说明数列a4成等比数列的必要条件是如<neN*),还要注意对任nN*,n2.-J都为同一常数是其定义规定的准确含义.a11-【例2】等比数列1,X,，X2r2,求XX2X3*2n解VUX,x2n,2成等比数列，公比qXX2X3X2n=qq2,q3-q2n=<1.,+2+3+,"+2n2M1.+2n>=q-=q,*,2n+"=2n【例3】等比数列aj中，(I)已知a?=4,as=-,求通项公:(2)aja4,a$=8,求a2a3a4a5的假.解a$=a?q'2an=a2q=4(-)"-2=(-)114Ya,a5=a;a,a4a,=a；=8.114=2又aa6=aM=a：.,.a,a,a4a5a6=a：=32【例4】a>().b>0且aWb在ab之间插入n个正数x2xn*使得5,，xrb成等比数列，求Fza+bV12,1<-证明设这n+2个数所成数列的公比为q那么b-Wq=-aH”x2Xn=Vaqaq:aqn=aq1=如等【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b-cp+(c心十一b)2=(a-dp证法；a、b、c、d成等比数列,abc-=-bedb2=ac.c-=bd.ad-be.左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+(j22bd+b2=2(bac)÷2(c-bd)+(a-2bc÷d2)=a2-2ad+<1.2=(a-dp=右边证毕.证法二Va.b.c,d成等比数列,设其公比为q.那么:b=aq.c=aq-,d=aq,二左边=(aq-aq2)2+(at2-a+(aq3-aq)2=a2-2a2q3+a2q6=(a-aq3)2=(a-d)2=右边证毕.说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相琮合的跑目.证法一是抓住了求证式中右边没有b、C的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的IKC的路证法二那么是把a、b、c、d统一化成等比数列的根本元素a、q去解决的.证法.稍微麻烦些，但它所用的统,成根本元泰的方法，却发证法一的方法具有坤论性.【例6】求数列的通项公式：(1.)an'>,a=2.an+=3an+2(2)antj.a=2.a2=，B.an+23ao+j+2an=0思路：转化为等比数列.解()三bh=3a.+2anM+1=Xa0+1).an+)是等比数列an+1=331.,'an=3n-1(2)a11.,-3an.,+2an=0=>an.2-an.1.=2(an>1-aft).ar+-an是等比数列.即an+1-an=(a2-a)2n-,=32n-1再注意到a2-a=3,a3-a2=321.a4-a3=322,，an-an.j=32n'2,这些等式相加，即可以得到2n,1a,1=31.+2+2i+2n1.=3C,=3(2"T-I)2-I说明解密的关键是发现个等比数列，即化生疏为.(1)中发现an+1.是等比数列，(2)中发现an+-an)是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种表达.1例7】若实数为、叫、a,、a3都不为零，且一足(a：+a；)a：-2«2(a+aja,+aj+a;=0求证：apa?、成等比数列,且公比为a证Vaj»32»a3、ai均为不为率的实数.'.(a；+a；)x?-2a,(a1.+a,)x+a；+a；=0为实系数一元二次方程等式(a：+a；)a*-2a,(a1.+a,)a4+a；+a；=O说明上述方程右,实数根a.,上述方程的判别式ao,即2aj(a1+a3)2-4(a?+a;)(a;+a5)=4(a;-a1.a,)0.,.(aj-a1.a1.)20X*.,a、吃、33为实数.".(a；a1.ajt)20必有a；-aa.=O即a；=a1.a3因而町、a2.a3成等比数列2a,(a1+a1)a,(a1.+a,)a,Xa,=；r=;=一2(a;+a；)a;+a,a1.a1.a4即为等比数列a卜也、a3的公比.【例8】假设a、b、C成等差数列，且a+1、b、C与a、b、c+2都成等比数列，求b的值.解设a、b'C分别为bd、b、b+d.1.hb-d+1.,b、b+d与b-d、b、b+d+2都成等比数列.有1.=(b-d+1.)(b+d)b2=(b-d)(b+d+2)整理,得Ib-=b2-d2+b+db-=b-di+2b-2db+d=2b-2d即b=3d代入，得9d2=(3d-d+K3d÷d)9d2=(2d+1.)4d解之，得d=4或d=0(舍)b=1.2I：例91等差数歹由an)的公差和等比数列%的公比都是d,又知dN1.,且a4=b4.aIO=bIO;(I)求a与d的值:(2)b6是不是中的项？思路：运用通项公式列方程解由'：；'naIf1.-bIOa1.+3d=a1.dja1.+9d=ad"a1(-d3)=-3dna,(1.-dQ)=9d=>d6+d,-2=0=>d,=1.()wXd,=三2/.a1.=d=V2d=-v2(2)Vb6=bd1.5=-32b且a4=a1.+3d=-2s2-b1b4=b1.d,=-2b1.=-22,.b1.=a,=*2.b16=-32b1=-32a1.如果bg型门簿中的第k项,那么-32a=aj÷(k-IJd(k-)d=-33a=33dk=34即b6是an中的第34项.【例10设a.是等差数列，b.=4r,已知bi+E+E=?,b1.b.b,=,求等差数列的通项.解设等差数列Iun)的公差为丁那么?=町+513.b.='-,d叱=(5w)3=eb：rJb1b,b,=.解得£=：,解得b2=：,代入已知条件oo2bb2b=Ob!b>=72产理得J17E+b,+b,=1b÷b=T解这个方程组.得E=2,%=(或b=!,bj=2AOaj=-1.d=2或a=3d=-2，当a=-1,d=2时，an=a+(n-1.)d=2n-3当町=3,d=20j.an=a+(n1)d=5-2n例II三个数成等比数列，假设第：个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数.Wft-按等比数列设三个数，设版数列为a.aq,叫2由：a.aq+4.aq2成等经数列即：2(叫+4)=a+aq2a.峋+4,aq2+32成等比数列WJ：(aq÷4)=a(aq÷32)=aq+2=4a,两式联立解得：f3=9q=3，这三数为：2,6.18或-».解法二按等差数列设三个数，设原数列为b-d，b-4,b+dIih三个数成等比数列即：(b4)2=(b-d>(b+d)=>8b-di=16b-d.b.b+d+32成等比数列即b-=(b-d)(b+d+32)=>32b-dz-32d=()"9Ib=10、两式联立，解得：;或一°O(1=0.三数为»2或2,6>18.解法三任速设三个未知数设原数列为5,a2.a3由:a,a2-a3成等比数列a,a2+4,a3成等差数列得:2(a2÷4)=a+a3a>32+4»a3+32成等比数列Ph(a2+4)=a(aj+32)a'=、式联立，解得：&=一9a=2或,a?=6a3=18说明-Jfii.个成等基数列的数i殳为a-d.a,a+d：将：个成等比数列的数设为a,叫，aqi或2,a,aq）是一种常用技巧，可起到q简化计算过程的作用.【例12有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且笫一个数与第四个数的和是16.第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.分析此题行三种设未知数的方法方法一设前二.个数为a-d,a,a+d,那么第四个数由条件可推得:(a+d)2方法二设后三个数为b.bq.bq2,那么第一个数由条件推得为2b-bq.方法三设第一个数与第二个数分别为X,y,那么第三、第四个数依次为12-y,16-.由这三种设法可利用余下的条件列方程组艇出相关的未知数,从而解出所求的四个数.解法一设前：个数为a-d,a,a+d.则第四个数为曳也.,.(a÷d)依题意，科aa+(a+d)=12解方程组得：=：或d1=4!d,=6所求四个数为：0.4.8,16或15,9.3,I.修法二设后三个数为：b,bq.bq2,那么第一个数为：2b-bq依题意仃:2bbq+bq?=16b÷bq=12b1.=4解方程组得：,或4q1=2b,=91q所求四个数为：0.4.8,16或15,9,3,I.解法三设四个数依次为X,y,12-y,16-x.x+(12-y)=2yy(16-)=(12-y)解方程组得：J'=：或回=4y2=9这四个数为0.4.8.16或15.9.3.1.I：例131三个数成等基数列，其和为126：另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85,76.84.求这两个数列.解设成等差数列的三个数为b-d,b,b+d,1.h.b-d+b+b+d=1.26b=42这三个数可写成42-d,42.42+d.再设另三个数为a,aq叫2由双设，忠a+42-d=85ap÷42=76aqi÷42÷d=84a-d=43整理，得卜1=34aq2+t=42解这个方程组.御a=17或纥=68当a=17时，q=2>d=-26当a=68时.q=g，d=25从而得到：成等比数列的三个数为17,34,68.此时成等差的三个数为68,42.16；或者成等比的三个数为68,34.17.此时成等差的三个数为17.42.67.1例14)在数列arJ中.a、吆、a3成等差数列a2、aj、a4成等比数列,03、a4'”的例数成等差数列，证明;a|、a3,a5成等比数列.证明中.有2a2=a+a3a；=aa211=+a4a3a5由，得知=二-a,+a,由，得a,=gM代入，得:_aI+a2a.a,a2a,+aj整理，得a,=也0a3+aj即a3(a3+a5)=a5(a+a3)aj÷ajaj=a1.a3+a3aj.a331a$所以叫、a3,a5成等比数列.【例151(bc)1.g11,x+(ca)1.og11y+(ab)1.ogmz=O.(D设a,b,C依次成等差数列，且公叁不为零，求证：X,y,Z成等比数列.(2)设正数X，y,z依次成等比数列，且公比不为I,求证：a，b,c成等差数列.证明(I：",b,c成等差数列，且公差dKOb-c=a-b=-d.c-a=2d代入条件，得：d(1.ogmx21ogmy+ogmz>=O1.>g11,x+1.ogmz=21.ogny>2=xzVx.y.Z均为正数.y.Z成等比数列(2)Vx,y,Z成等比数列且公比qW1.,.y=xq>7=x<F代入条件得：(bc)1.ogmx+(c-a)1.ogmxq+(a-b)1.ogmx(p=0变形、整理得：(c+a2b)1.ogmq=0.qW1.ogmq0c+a-2b=0W2b=a+c即a,b,c成等差数列