第22讲：高频考点分析之立体几何探讨.docx

【备战2013高考数学专题讲座】第22讲：高频考点分析之立体几何探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探河，912讲对数学解遨方法进行了探讨,从第13讲开始我们对高菰考点进行探讨.立体几何是高中数学的电要内容，立体几何试区是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绛推理能力的根本载体近几年高考立体几何试陶以根底趣和中档题为主，热点问晒主要有证明点线面的关系,考查的理点是点线向的位置关系及空间距国和空间角.突出空间想象能力.在I课程标准中.立体几何的内容和考杳要求有了较大的变化：增加了三视图，更演调几何H双，几何证明有所削弱，淡化了距离问鹿。因此，在兔习中，以根本知识，根本方法为根底，以通性通法为重点，培养空间几何体的真观认知能力和逻辑推理能力.银来说，平面向呆在商考中所占份后较大，结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下五方面探讨立体几何何肱的求解:1 .多面体及球体的概念、性质、计算；2 .由三视图列别立体图形和外表枳、体枳的计算：3 .关于线线、线面及面面平行的问题：4 .关于戏戏、线面及面面垂直的问鹿：5 .关于空间距围和空间角的问题。一、多面体及球体的概念、性质、计算：典型例JR例1.（2012年全国课标卷理5分）三.梭椎S-AAC的所有顶点都在母O的球面上，MAC是边长为1的正三角形，SC为理。的直径，且SC=2；那么此梭锥的体积为【】【答案】A.【考点】三棱椎的性质.【解析】/4JC的外接网的半径r=冬二点O到面ABC的即离d=JF二Tr=乎.又:SC为球O的直径，；.点S到面八BC的距围为2d=平.此极谁的体积为V=-SmdcX2d=-X-X-=立.应选A33436例2.（2012年全国课标卷文5分）平面极俅O的球面所得酸的半径为I.球心。到平面a的距离为1.那么此球的休枳为【】（八）611(B)4311(C)4611(D)63x【答案】B.【考点】点到平面的距离，勾股定理，球的体积公式。【解析】由勾股定理可得球的半径为1.从而根据球的体枳公式可求得该球的体积为：V=gxr×(7J)=4小”.应选B.例3.(2012年江西省理S分)如以下图,正四极椎S-A8C。所有核K部为I,点E是侧棱5C上动点，过点E乖H于SC的截面将正四极锥分成上、下两局部，记SE=Y0<x<I),祓面下面局部的体枳为V(X).加么函数y=V(X)的图像大致为【】【答案】A.【考点】棱锥的体枳公式，线面垂出，函数的思想。IMfr1.对于函数图象的识别问SS，置设函数.v=(x)的图象对应的解析式不好求时，作为选择遨，可采用定性排它法:观察图形Ur知，当O<.r<g时，随箭K的墙大，V()单词递减，且递减的速度越来越快，不是SE=X的线性函数,可排除C,D.当Sxv1.时，1籽X的增大，V(X)地谓逆然，且递减的速僮处来越慢.可排除B.乂有A图象符合.应选A.如求解具体的解析式，方法繁顼,而且计圆或杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃，并且作为选择题也没有太多的时间去解答。我们也解答如"连接AcBD.二者交于点。.连接Sa过点K作底面的垂线£H.SZ当E为5C中点时，：SB=SD=RC=CD,5E1.E.SE1.DE.eASE1.iSBDE,/1.当S£=.r=:时，被面为三角形£8。,祓面下面局部锥体的底为zj7-Y5/桃元数学工作莱创镉元数学工作室缝制又.S=5C=1,AC=2,So=当此时印=设FG与AC相交于点/.那么易得V(X)=:SeE0EH.由EH"SO,SE=x,CE=I-X,50=与CS=I得y：£H=1.：i-x),即EH=J(1.-x).由EIS,SE=x,CS=I.AC=TT得*=1.三2.即A=S°易知WG是等腰直角三角形.UPFG=2A1.=2r.,.Sz,w=FG1.=22.2=Ix2.Mx)=:sw7wfW=:(S(Wa>Yaw).=:(1-2?)今(IT)=坐("*)(I)当g<SE(x)<1时，豉面与DC和BC相交，分别交于点M、M设MN与AC相交于点J.那么易得V(X)=EH.2EH/SO,SE=x,CE=-x,SO=-.CS=IfiI与EH=t(-x),即£，=弓(I-X).E1.1.EJ/SA.SE=X,Cf=I-X.CS=I,AC=2*(1.-x):C=1.2,即。=(1.-.r),易如ACWN是等腰直角三角形，即MN=2CJ=2同-X).'5tw=7v<y=y22(1.-)(1.-x)=2(1.-xf.“r)=(2(1.x当I)=<(1)，J-J综上所述,V（八）=结合微积分知识,可判定A正确.例4.(2012年湖北省现S分)我国古代教学名著4九章算术3中“开立国术”FI：置枳尺数，以卜六乘之,九而一，所得开立方除之.即立例径.“开立网术”相当于给出了球的体积求其宜径d的一个近似公式八，人外还用过一些类似的近似公式。根据点-3.14159.判断,以下近似公式中址精确的一个是【答案】D【考点】球的体根公式以及估算。【解析】由球的体枳公式得R=偌,H1.此得4=2、.对选项逐一验证:对于A.=胆;有3=9,即乃=竺2=3,375：V991116对于Ud府对于B.4=存有2=9,即=9=3;112三,即台=3.也157*3(X)对于D.4*JZv有义与9,即”=3.1429：.d，部中的数值最接近。应选D,V1.1.I1.21例5.（2012年庆市理5分）设四面体的六条极的反分别为】，I.I,1.0和“，且长为。的核与长为"的技异面，那么的取侦范明是【】（八）(0.2)(B)(0.如©(1.2)(D)(1诉【答案】A.【考点】片面直线的判定，棱雄的结构特征,勾股定理和余弦定理的应用.【分析】如下图设四面体八例7的棱AC长为”.取8。中点P.API.BD.CP1.BI),在4A中.由勾股定理得A"=C'>=乎.在AAb中,ACz=a2=A尸+CP2-24/CPcosZAPC=I-COSZAPC。VZPCe(O,),二cosNApeW(-1.1).a-e(0.2)；.ajO后.应选A0例6.（2012年上海市理4分）假设一个圆推的恻面展开图是面枳为2万的华圈面，那么该圆锥的体枳为.【答案】牛.【考点】空间几何体的体积公式和仰面展开图.P【解析】根据该圆推的底面圆的半径为r.母线长为/根据条件得到；A.iI.；R2=2/r,解得母线长/=2.2m=f=2%r=1.所以该网椎的体积为：MYW=（S力=；X2?1'Jt11.例7.（2012年上海市文4分）一个高为2的圆柱，底面周长为2”，该圆柱的外表枳为_【答案】6点.【考点】圆柱的外表枳.KtMfr1.根据该曙柱的底面周长得底面圆的半径为r=1.,所以该19柱的外衣枳为：S=2111.+211rz=411+211=611.M9.（2012年上海市理4分）如图，AD与5C是四面体ABCD中互相垂直的上，5C=2,假设AD=2c,KABBD=AC+CD=2a,其中。、C为常数，那么四面体人成。的体枳的最大伯是【答案】c2-C1-I.【考点】四面体中浅面的关系，椭圆的性顺，【解析】作战1.AO于E，连接C£，那么VIiC1.AD.BEnBC-B.二八。_1.平面REC.又；CEu平面BEC,CE1.AD由跑设,A。+。D=AC+S=2rt.二，与C都在以八。为焦距的椭球上,且跖、CE都亚出于焦距所在直线AZK；.8E=CT.取8C中点尸,连接E尸,VBC=2.：.EFA.RC.BF=,EF=>BE2-.；SAew=BCEF=BE-!：.四面体ABCD的体根V=IS”AD=yJbe2_显然.当E在A。中点.即“是短轴端点时.质有最大值为=后二？'KnM=J2-C2-I.例10.（2012年山东省理4分）如图，正方体ABCD-AIB1.eD1.的极长为1.E.F分别为线段AA.BC上的点，那么三核锥D1-EDF的体积为。【答案】I6【考点】三梭锥的面枳.【解析】.三极推DI-EDF与三枝椎F-D1.DE表示的是同一校推.VD1.EDF=Vim>DC.又YFDDE的底4DDE的面枳是正方形而枳的一半,等于；：底aDDF上的高等于正方形的极长1.二VD1.EDF=VF_D,DE=!*；X1.=K例II.（2012年安:省文5分）假设四面体A3C。的三组时校分别相等，即A3=CD,AC=BD,AD=BC,那么4.（写出所有正确结论编号）四面体ABCD每组对棱相互垂宜四面体ABCD好个面的面积相等从四面体人Seo每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90“而小于18（）"连接四面体ABCD每组时核，|'点的线段互垂直平分从四面体八88坪个顶点出发的三条棱的长UJ作为一个三角形的三边长【答案】.【考点】四面体的性质.【解析】四面体ABCO每组对接不相互垂直命起锚设：四面体ABCD每个而是全等一-.角形，面积相等.命时正确：从四面体ABCO拇个顶点出发的三条板两两夹角之和等于180",命造错误：连接四面体八8C。每组对梭中点佝成芟形，绫段互垂且平分，命SS正确：例12.（2012年辽宁省文5分）点P,AftG。是球。外表上的点，双，平面八8CC,四边的八8C。是边长为23正方形.假设1.i=入R.席么ACAB的面枳为.【答案】3J【考点】殂合体的的位置关系，弱化思想的应用。【解析1点八ARC.。是球O外衣上的点，miABCD.；.点P,AAC.D为球”内接长方体的顶点,球心。为长方体对角线的中点.04的面积是该长方体对角面面积的.4：AB=26PA=2瓜：,PB=6°：.SAaAB=1.X206=*.4例13.（2012年江苏省5分）如图，在长方体A8CC-A4CR中，Afi=AD=3cm.V=2cm.瑾么四梭锥A-期。的体积为一cm1.【答案】6.【考点】正方形的性质.校推的体积.【解析】；长方体底而AfiCN）是正方形.）中BD=Wcm,BD边上的高是cm1它也是2A-BBD1D中HH1D1D上的高）.，四枝椎A-BBQQ的体积为1.32x=6.二、由三视图判别立体图形和外表积、体积的计算：典型例题：例1.（2012年全国修标卷现5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,那么此几何体的体枳为【】【答案】B.【考点】由三视图判断几何体.A1.fr1.由三视图可知，该几何体是三校锥，底面是拓视图，高为3.因此此几何体的体枳为：V=1.×1.×6×3×3=9.应选5.32例2.（2012年北京市理S分）某三极推的三视图如下图.该三极椎的外表积是【】A.28+65B,30+6C.56+1.25D.60+12有【答案】Bo【考点】三极椎的：.视图问区.【解析】如以下图所示。图中收色数字所表示的为宜接从SS日所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾取定理的汁芽斛到的边长.此题所求外表枳应为三极推四个面的面积之和利用庭直关系、等腰.三丽形的性质和三角形面积公式,可得：这里有两个直.角三角形，一个等腰三角形。.该三梭椎的外表积是30+6应选B.例3.（2012年广东省理5分）某几何体的三视图如下图，它的体积为【】.12xB.45xC.5711D.8HEM1.c.【考点】由三视图求体积.【解析】由三视图可知，此如合体上部是一个母线长为5,底面圈半径是3的回推.下部是一个高为5,底面半径是3的眼柱,几何体的直观图如下图。酸锥的高POt=52-3:=4几何体的体积V=%”÷/祗=9/7?5；包即4=57.应选C。例4.（2012年广东省文5分）某几何体的视图如下图，它的体积为【】A.7211B.48;TC.30"D.24产【答案】C.【考点】由三视图求体积.【解析】由图知，该几何体是即锥和半球体的俎合体，球的半径是3.圆锥底面圈的半径是3.圆锥用线长为5.由圆推的几何特征可求得例推的高为4.那么它的体积V=%t+匕=J"3>4+-3'=3011.应选C例5.（2012年江西省文5分）假设一个几何体的三视图如下图,那么此几何体的体枳为【】119A.-B.5C.4D.-2 2【答案】C.【考点】由三视图求面积、体积.【弊析】根据三视图判断此几何体为宜六棱柱，再分别计算极柱的底面积和高，最后出校柱的体积计算公式求得结果：由图可知，此几何体为宜六梭柱，底面六边形可看做两个全等的等腰梯形.上底边为I，下底边为3,高为I,.极柱的底面积为三组闻=4,枝柱的高为1.2例6.（2012年淅江省文5分）某三核锥的三视图（单位；Cm）如下图，那么该三校谁的体积是【】A.1.cm'B.2c11iC.3cm5D.6cm,【答案】C.【考点】三极锥的三视图.【解析】由时意判断出，底面是一个ii角三角形，两个口.角边分别为I和2,整个核椎的高由例视图可得为3,所以三棱锥的体枳为1.1.123=1.,应选C32例7.（2012年湖北省理5分）某几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为8,TCC10*_,A.B.3"C.D.6r3 3【答案】B.【考点】由何体的三视图求体枳。【解析】此几何体为一个圆柱切去了一局部，此Ia柱底面半径为1,高为%现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体，从而构成一个底面半径为1,而为6的圆柱,这个即柱的体枳为V=6乃.要求几何体的体枳为B1.柱体枳的一半，为.应选B例8.（2012年湖南省理5分）某几何体的正视图和但视图均如下图，那么该几何体的帕祝图不可能是【】【答案】D【考点】组合体的三视图.【解析】由几何体的正视图和侧视图均如下图知，区图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四技柱或卜底是白角的三棱柱，,B.C都可能是该几何体的M觇图，D不可能是该几何体的第视图,因为它的正视图上而应为如图的矩形.应选D.例9.（2012年福建省理5分）个几何体的三视图形状都相同大小均相等，那么这个几何体不可以是口A.球B三桢锥C正方体D.圆柱【答案】D-【考点】简单几何体的三视图.【解析】球的三视图大小形状相同.三极锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同,只有01柱不同.应选D.例10.（2012年陕西省文5分）将正方形（如图1所示）截去两个三极锥，得到图2所示的几何体，那么该几何体的左视图为【】区E区DN【答案】B.【考点】空间图像的I1.观图与三视图.【解析】因为从左面垂出光线在竖直平而上的正投膨是正方形,其中DiA的正投影是正方形右斜的对角雄（实规），4C的正投影是正方形左斜的时角践（被遮住是虚战）应选BM11.（2012年天津市理5分）一个几何体的三视图如下图（单位：，）,那么该几何体的体积为【答案】18+9.【考点】简单组合体的三视图的Bi法与体积的计算。【分析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体姐成的姐合体，所以其体积为：V=3×6×1+2×-×（一）*=18+932例12.（2012年天津市文5分）一个几何体的三视图如下图（单位：m）,那么该几何体的体枳m,.【答案】30.【考点】由三视图求几何体的体积.【分析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体.长方体的体积为3x4x2=24,五核柱的体积是把31.4=6,所以几何体的总体枳为30，2例13.（2012年安被省理5分）某几何体的三视图如下图，该几何体的外军枳破【答案】92。【考点】由三视图判断几何体.【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角悌形，离为4的直四梭柱。.几何体的外表积是S=2x；x（2+5）x4+（2+5+4+必iH）4=92例14.（2012年安微省文5分）某几何体的三视图如下图，该几何体的体积是【答案】56。【考点】由三视图判断几何体.【解析】由三视图可知，该几何体是底面是Ii角悌形，高为4的直四梭柱。几何体的的体枳是V=1.（2+5）4×4=56r2例氏（20”年浙江省理4分）某:.梭锥的三视图（雎位：“”）如下图.那么该三梭椎的体枳等于Acn【答案】1.【考点】由三极锥的三视图求体积，【解析】观察三视图知该三极锥的底面为一直用三角形，右侧面也是一宜地三角形,故体枳等于-x3x1.x2x-三I（CM）.23例16.（2012年湖北省文5分）某几何体的三视图如卜图“那么该几何体的体枳为.【答案】12兀,【考点】Hi几何体的三视图求体积【解析】由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的回柱（底面即半径为2,鬲为1）与中间一个圆柱（底面同半径为1.高为底组合而成.故该几何体的体积是V=221.2+F4=12r°例17.（2012年辽宁省理5分）一个几何体的：.视图如下图,那么该几何体的外宇积为,【答案】38,【考点】由几何体的三视图求面积.CMW1.由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的回柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3,1,网柱的底面出径为2.所以该几何体的外表观为长方体的外表积加网柱的偏面积由战去圆柱的底面积,即为2（3x4+4x1+3x1）+2tx1x1-2=38.例18.（2012年辽宁省文5分）一个几何体的：视图如下图，那么该几何体的体积为.【答案】12+”.【考点】由几何体的三视图求体积.【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、而分别为4、3.1.圆柱的底面直径为2.高位4所以该几何体的体枳为3x4x1.+;TX1.X1.=I2+人三、关于线线、线面及面面平行的问题：典型例JR例1.（2012年四川省文5分）以下命题正确的选项是【】A、假议两条直税和同一个平面所成的的相等，那么这两条宜线平行B、假设一个平面内有三个点到另一个平面的跑离相等,那么这两个平面平行C,假设一条直线平行于两个相交平面,那么这条宜线与这两个平面的交线平行D、假设两个平面都垂出于第三个平面，那么这两个平面平行【答案】C.【考点】立体几何的税、面位较关系及线面的判定和性质.【解析】假设两条n线和I可一平面所成角相等，这两条n娥可能平行，也可能为异面直设，也可能相交,所以Attb一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,那么这两个平面平行,故Btth假设两个平面垂直向一个平面两平面可以平行，也可以垂直：故D错：应选项C正确.应选C,例2.（2012年浙江省文5分）设/是直线,«.广是两个不同的平面【】A.收设/小1.,那么a成C.锻设“1.?,I1.a,那么B.假设/,/JJJ.那么D.假设JAI/a,那么?!”【答案】B.【考点】战面平行、线面垂内、面面平行、面面垂直的判定和性质.【解析】利用面向庭宜的判定定理可证明B是正确的,对于其它选项,可利用举反例法证明其是错误命曲:A,假设/&/6那么满足题意的两平面可能相交,排除A：B,假设/”,I1.,那么在平面内存在一条I1.线垂直于平面仇从而两平面垂在，故B正确；C.假设Jj/1«.那么/可能在平面内,排除C：D,假设“JJAI/a,那么/可能与夕平行，相交，排除D,应选B例3.(2012年山东省文12分)如图,几何体E-ABCD是四枝堆.ABD为正三角形,CB=CD.EC1.BD.1)求证：BE=DE:（三）假设NBCD=I2tfM为线段AE的中点,求证；DM平面BEC【答案】解：(I)证明，取BD中点为O,连接OC.0E.VBC=CD.CO1BD.又.EC_1.BD,COCEOC,.BD>1.平面OCE.,又：0Eu平面OCEj.BD1.OE,即OE是BD的垂直平分线.BE=DE,（三）取AB中点N,连接MN,DN,：M是AE的中点，MNBE,.ABD是等边三角形.DN±AB.NABD=60，VZBCD=120°.BC=CD.ZCBD=30o.ZABC=60c+30°=90o.即BC_1.AB；.NDBC.又；MNr1.ND=N.BEBC=B,二平面MND平面BEC,又DMU平面MND,.DM平面BEC.【考点】线面垂出和平行的证明，城段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质.KtMfT1.(I)要证BE=DE,只要证点E是BD垂直平分践上的点即可。故取BD中点为O,连接0C，OE.由证明BD_1.OE即可.（三）要证DM平面BEC只要证明DM在一个平行于平面BEC的另一个平面上，故取AB中点N,连接MN.DN.证明平面MND平面BEC即可.例4.(2012年福窟省理13分)如图,在长方体ABcD-A1.BcQI分,AA1.=AO=.E为CO中点.(I)求证：B1.E1.ADit(II)在棱A上是否存在一点P,使得OP平面8小£?低设存在，米/W的长：假设不存在，说明理由:(III)假设二面角A一研E-A1.的大小为30。,求A5的长.【答案】解：(1)如图.以A为原点,Ab.Ab.的方向分别为X轴,轴.2轴的正方向建立空间直痢坐标系.设AB=a.那么A(OQQ),ZXO,1.0),D(0.1.1.),£2,I,(>)，B(11.O.IKaZ>=(0.1.1).碓：=(-*I.-I),A2i=(0.1).A=QI°),"：a6BE=-IXo+1*1+(T)X1.=O,:.B1.E1.ADi,（三）假设在极AA上存在一点氏0.0,»>),使得DP平面场AE,1D>=(O.-1.珀。又设平面8小£的法向埴”=(x,户z)."+z=O,；”_1.平面8i/1.£,6It1.Ak,得arT+>=o.取x=1,得平面以八£的一个法向量”=(1.-f,-a).要使DF平面S1.AE,只要“_1.9，即f-<uo=O,解得>=*又1.)K平面.存在点R满足OP平面JME,此时AP(III)连接AQ8C由长方体AbCO-A向GD1.及I=AD=1,D1D.'：BiC/A1D.：.AD11.BiC.又由知BIEJ1.A5,且B1.enBIE=B.八。平面08内，./力是平面A8E的一个法向fit，此时而5=(0,I,1.).设雨V与n所成的角为0.那么COM=乌地1.I”I1.m1.；二面角A-3E-A的大小为30°.Icos优=COS30°,3a解得=2,即A8的长为2。【考点】用空间向址求平面间的夹角,空间中直线与直线之间的位置关系.直线与平面平行的判定.【解析】(I)由遨面及所给的图形,以A为原点Ah.Ab.以I的方向分别为X轴，Vtth2轴的正方向建立空间H角坐标系。设AB=a,给出图形中各点的坐标，可求出向量彳力和随的坐标，脸证其数显枳为0即可证出两规段垂直.(U)由题意，可先假设在桢A上存在一点HO.0,zo).使得。P平面小八&求出平面BUE法向量,可法向量与直城。尸的方向向盘内积为0,由此方程解出8的值.假设能解出,那么说明存在.假设不存在符合条件的刖的值，说明不存在这样的点P满足题遗.(H1.)由即设条件,可求面夹二面角的两个平面的法向愤，利用两平面的夹角为30。建立关于“的方程，解出a的值即可得出A8的长.例5.(2012年辽宁看文12分)如图，直三梭柱A8C-AWC',NBAC=90,AB=AC=y2,A!A=1,点M.N分别为AB和BC的中点.()证明：MW平面AACC（三）求三核链A'-WNC的体枳。(椎体休枳公式V=JS/?,其中S为底面面积，为高)3B铐元数学工作至侯割【答案】解：(I)证明：连接八斤、C.'：ZBAC=90.AB=AC.；.三棱柱AAC-ABC为直三梭柱.：.M为Aff中点。义,：N为BC的中点.,MN4(？.又；MNa平面AACC',.M平面AACC'.(【I)连接BN,由SS懑得ANj.BC,平面A7?Cr)平面BBCC=BC,.AN_1.平面N8C,又；AN=1.BC,2匕一MW=VV=T匕-1I1.1.C-1=-V=.一一2T1=一2nk'2326【考点】与：面角行美的立体几何踪合题，直规与平面平行的判定，核锥体积的计算，转化思想的应用。推出MN/C',然后证明MN/【弊析】（1）连接Afi*、AC.说明三极柱ABC-ABC为立二桢柱.平面AACC.另解：取才夕的中点巴连接MANP.M.N分别为dB'、/TC”的中点，.MPAA'.NPA'C：.MP/平面A'ACC,.PN平面AACC又,；MPnNP=P,；.平面MPN平面,CC.又,：MNU平面MPM二MN/平面/NCC1.（三）连接BN由匕z=%a1c=4%©=!匕VBC可求-K.ft-X<)rf-J1.v/1-.V*>1.例6.（2012年江苏省14分）如图,在直三核柱ABC-AyB,C1.AtB1.=AiC1.,D.E分别是技DC,CC1J:的点（点。不同于点C）,且AO广为岗C；的中点.求证：（1）平面AOE1.平面BCCM：（2）H线A/平面ADE.【答案】证明：.ABC-A4G是£1三梭柱，.CG1平面AfiC又丫ADu平面fiC，CCJA。，又YAOJ.DE.CC/DEU平面8C£4.CGnO£=E.AO_1.平而OCG4.又VADU平面DE,.平面八£陀_1.平面BCCf片2）：AB,=AG,F为qC的中点，.A尸1.8C又.CG>1.平面AqG,旦AFu平面人与如，ccJA尸又；。G8£匚平面伙（4，CC1/G=G，AP1.平面A4G由（1）知，八。1平面BeC冉.：.F/AD.乂VADc平面ADE,AFg平面ADE.内线AFH平面ADE【考点】宜线与平面、平响与平面的位置关系.【解析】（1）要证平面人力EJ平面BCCiB1.,只要证平面ADE上的八。"1.平面8C£8,即可。它可由ARC-A1R1C1是直效桩和AD1.上证得.要证出战AF平面，"，只要证AF平面八QE上的八。即可.四、关于线线、货面及面面垂宣的问题：典型例题：例1.（2012年浙江省理5分）矩形ABC。，AB=,BC=42.将AAB。沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，【】A.存在某个位置，使得百.线AC与百战8。垂直B.存在某个位置.使得耳线A3与直线C7）垂宜C,存在某个位附，使得宜设Ao与戊线BC垂巴D.对任意位置,三对直线“AC与8。”.”A8与CD”，“4。与BC”均不里直【答案】B.【考点】空间中直统与直线之间的位置关系，【所】如图，AE1.BD-CFBD.依遨意，AB=1.BC=0.AE=CF聋,BE=EF=FD=在.3A,假设存在某个位置,使得出战AC与11跳BD垂直，那么.BD1.AE.:.8。J"平面AfiT,从而B/）A.EC,这与矛凡排除A：B,假设存在某个位置,使得直我A3,，耳线CD垂直，那么CD1.平面A3C，平面ABCJiFBCD：取BC中点M,连接ME,那么,WEJ.Bfh.NAEM就是二面向A-BD-C的平面向，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于SC的中点时,直线八8与直线C7）垂直,故B正确:C,假设存在某个位附,使得直设AO马立践Be乖且,那么8C_1.平面ACD,从而平面ACD1平面8CO,即A在底面8CO上的射影应位于线段CO匕这是不可能的，排除C：D,由上所述.可排除D.应选B.例2.（2012年全国课标卷文12分）如图.梭柱ABC-ARC中侧棱垂且底面/ACBK0。,AC=BC而AA,D是梭AA1.的中点(1)证明：平而BDCIJ平面BDC(II)平面BDG分此梭柱为两局部，求这两局部体枳的比.【答案】解：(I)证明：由题设，三桢柱ABC-A心IG中，侧梭垂直底面,NACB=90%.BC±CC.BC±AC.CGQAC=C,.BC1.平面ACC1.A°又；DGu平面ACGA”二DCBC由即设AC=BC-=AA1,D是校AAI的中点，ZA1.DC=ZADC=45".ZCDC=9".1.DC1DC.又.DCQBC=C,.DGJ平面BDC又：DCu平面BDCI,二平而BDC1±平面BDC.(II)设梭椎B-DACa的体枳为V”AC=a，那么V1.=JX叱出XaXa=!a'322又；三棱柱ABC-A山IU的体枳V=XaXa*2a=a2V1j(V-V1.)=:1。二平面BDC1分此极柱为两局部体积的比为1：I.【考点】立三梭柱的性质，平面和平面的位边关系.梭柱和梭锥的体积.【解析】(I)要证明平面BDGJ_平面BDC,只要证一个平面的一条直线垂直于另一个平面即可由由Si设可证得DQ1.BC,DC±DC.由DCnBC=C得DGj平面BDC,而DC1.U平面BDC,因此平面BDCi1.YSiBDC.(II)求出三棱柱ABC-A山IG的体枳和枝锥B-DACC1的体枳即可求得结果。例3.(2012年北京市理14分)如图I,RtABC,1.1.ZC=90o.BC=3.AC三6,D,E分别是AC,AB上的点，且DEBC,DE=2,将AADE沿DE折起到AAQE的位置，WfACCD,如图2.(I)求证：ACj.平面BCDE：(2)假设M是A1.D的中点，求CM与平面AIBE所成角的大小：(3)线段BC上是否存在点P,使平面AQP与平面AIBE垂食？说明理由【答案】解：(1)VCD±DE.A1E±DE.DE1(ftiACD.又：ACu平面AcD,AA1C1.DE,又YACCD,.AC平面BCDE,(2)如图建立空间直角坐标系C-Xyz,那么B(0,3,O),C(0.0,0),D(一2,0.0).E(-2,2。0).A1.(0.0,23)那么A|Bn=0.UPBEn=O3y-23z=O-2x-y=0A1.B=(,-2.BE=(-2.-1.O),设平面A1.BE法向帚为n=(x,y,z),n=(-1.,2,3)XM是AID的中点，.M(-hO.3),CM=(-I,ftJ).设CM与平面AiBE法向量所成角为.9.那么9=45°,CM与平面A1BE所成%为9011-450=45".(3)设线段Be上点P，设P点坐标为他p,0),那么pe03.那么A1.P=(0.p.-23).DP=(1P.0)设平面A1.DP法向盘为川=(“力，z)Z=更V那么Py1.2板=0.'6p1.,.n=(-3p,6.3p).2x'+py'=°1=4py假设平面AIDP与平面AIBE垂直，那么nn=0,即3p+12+3p=O.解得p=-2°与p£0.3不符.线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面ARE率直.【考点】现面垂直的判定，税面角的计算，两平面垂直的条件.【解析】(1)根据城面垂直的判定进行判定.(2)建立空间直用坐标系可易解决.(3)用反证法,假设平面AQP与平面A1.BE垂宜,得出与相矛盾的结论即可。例4.(2012年北京市文14分)如图1.在R1.ABC中,ZC=900,D.E分别为AC,AB的中点，点F为线段CD上的一点，将aADE沿DE折起到AAQE的位宽.使AF1.CD如图2.(I)求证：DE平面ACB：(2)求证；1F1BE;(3)线段A1.B上是否存在点Q.便AC_1.平面DEQ?说明理由.【答案】解：(I)证明：；在图IRtZSABC中，ZC=9(,.D.E分别为AC,AB的中点.DEBC.V在图2中.DE平面A1CB.,.DE/平面ACB.(2)证明；VDEJ.AiD.DE±CD,ADCD-D.ADEJ_5FiSAtCD,=AiFu平面AiCB,DE±AFo又.AF.1.CD,CDDE=D.CDU平面BEDC,DEY1.ffiBEDC.'.AiF-1.3FCBEDC.又YBEu平面BEDC,，AF_1.BE,(3)线段A山上存在点Q,使A1.C1.平面DEQ.点Q为A山的中点。理由如下:取AIC中点P连接DP.QP.VPD=-CB,DE=-CB，APD=DE.DEQP是平行四边形.；.D、E、Q、P四点共面.由知，DEj_jHEAiCD,又AQU平面ACD,.DEJ>AC0VP.Q是A1.B和AIC的中点,PQCBDE-PQ±A1C.XVAD=CD.AP=CP.PD1AC.又YPQCPD-P,二ACJ平面PQD,即AICJ平面DEQ.【考点】线面平行.线线垂直.线而垂直的判定.三角形中位线的性质,平行四边形的判定和性质.【解析】(I)由纹面平行的判定理直接证出。(2)要证的异面内线条就要证一条宜城垂直于另一条真城所在的平面。因此考虑证明AFUmBEDCUPiiJ.(3)在戏段AIB上找出使AC_1.平面DEQ的点Q，进行证明。例5.(2012年安微省文12分)如图，长方体ABCD-AqGO中,底面A&G。是正方形，O咫BD的中点，E是校A4,上任意一点.I)(II)如果A3=2,AE=,OE1EC1,求½的长.【答案】解:(I)连接八C.zB(1)证明：BD1.ECit.AECG,.E,AC.C,共面.Ai