立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结.docx

113-4WIMX：A*f1.*aMBmK*=B*MVB*MUMB一、几种角的范围1、二面为平面角的范围：2、线面角的范围：3、直线倾斜角范围：4、异面直线夹角范围：5、向量央角范围：二、立体几何中的向量方法I.三个重要向量(1)直线的方向向盘：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向昆，条直线的方向向量有个.(2)平面的法向量：直线1.1.平面,取直线/的方向向量，那么这个向量叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有个，它们是共线向量.(3)直线的正法向量：直线1.A+By+C=O的正法向量为n=(A,B).2 .直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线人的方向向量为“1=(0,hi,c),直线/2的方向向量为s=(s,历，C2).如果1.1.h,那么UU2U1.：如果±2.那么“I_1.<n="八“2=0。.(2)直线/的方向向量为“=(ai,bi,ci),平面的怯向量为=(g，岳,C2).假设I/a.那么±<*n=0<*.假设/_1.a,那么“"。“=kno.(3)平面。的法向量为“1=(0,bi,).平面。的法向量为“2=(g，bi,a).假设彼，ut/U2U=ki2<(a,b,C1.)=:假设a_1.。，那么“1_1.”?o“r“2=0o.3 .利用空间向量求空间角(I)求两条异面直线所成的角：设b分别是两异而直线./2的方向向量，那么1.与I2所成的角Oa与b1.勺夹ffJ<.A>范围(÷Oe三<«,>WF求法COSo=ICOS”.bI_IahI=IaII-I.ahcos<>=11(2)求直线与平面所成的角：设直线/的方向向量为,平面的法向量为，直线/与平面a所成的角为"那么sin。=cos(a,n)(3)求二面角的大小：(1)假设八8,C。分别是二面向。一/一/?的两个半平面内与棱/垂直的异面直线，那么*二面角的大小就是向域A3,CO的夹角(如图所示).(II)设小,“2分别是二面角。一/一”的两个半平面，彼的法向量，那么向量小与小的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图).一4 .求点面距：平面a外一点P到平面a的距离为：*其中n为平面的法向量，PO为平面a的斜线，Q为斜足。5 .平面法向H的求法设出平面的一个法向量=(x,V,Z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量枳为0,列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中个变员恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向的的坐标.注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.6 .射影面积公式：二而角的平面角为,那么8“=7 .利用空间向量求角要注意的问题(I)异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成空间向量的夹角来求.(2)空间向员的夹角与所求角的范闱不定相同，如两向IS的夹角范用是0,兀卜两异而直线所成的角的范用是(0,f.(3)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情、二面角的平面角的求法B1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例1如图，四棱锥S-AACD中，底面A38为矩形，SD_1.底面ABCD,AD=J1.£>C=SO=2,点M在侧棱仪？上，NABW=60"(I)证明：M在健梭SC的中点(I1.)求二面角SAA夕-8的大小。练习1四梭锥M8CO底面ABC。为菱形，阳1.平面ABC7),ZABC=GtT,E.”分别是BC,PC的中点.(1)证明：AEA.PD.(II)假设H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为坐，求二面角E-AF-C的余弦值.22、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.通常当点P在一个半平面上那么通常用三垂线定理法求二面%的大小。例2.如图，在直四棱柱ABCD-ABaD冲，底面ABCD为等腰梯形，ABCD.AB=4.BC=CD=2.AA1=2.E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。(1)证明:直线EEM平面FCC1：(2)求二面角B-FC1-C的余弦值。练习2如图，在四棱惟P-ASC。中，底面A8S是矩形.AB=XAD=2.PA=2.PD=2vz2.Z4=60(I)证明八。_1,平面PA8：（三）求异面直线PC与A。所成的角的大小：(III)求二面角P-8D-A的大小.3、补梭法(补形法)本法是针时在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，b然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时.一般用补梭法解决例3如下图，P4tffiP-ARCD的底面ABCT)是边长为1的菱形，/BCD=60°,E是C。的中点，附_1底面八88，PA=2.(I)证明：平面P8£1.平面出8:(I1.)求平面阴。和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.练习3斜三极柱ABC-AiB1Ci的梭长都是a,健枝与底面成60°的角，A傅面BCCBJ_底面ABC：(I)求证：AC±BC;(2)求平面ABC1.与平面ABC所成的二面角(锐角)的大小。4、射彩面积法(cos=()凡二面角的图形中含有可求原图形面枳和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可CS射利用射影面积公式(CoSe=W一)求出二面角的大小.'科大例4.2008北京理)如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2,NAC3=90,×AP=BP=AB,PC±AC,/(I)求证：PC1.ABi(II)求二面角H-AP-C的大小：练习4：如图5,E为正方体ABCD-A1.BCD1.的梭CCi的中点，求平面ABiE和底面A1B1CiD1所成锐角的余弦值.5、向蜂向量法解立体几何中是-种十分简捷的也是非常传统的A法,可以说所有的立体几何题都可以用向室法求解,用向法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向进行向量计并解题。,例5(2009天津卷理)如图，在五面体ABCDEF中，FA5FffiABCD,ADBCFE.AB1.AD.M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=-AD2求异面直线BF与DE所成的角的大小；(I1.)证明平面AMDJ.平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值。练习5、(2(X)8湖北)如图，在直三棱柱八BC-AgCJp,平面VJC1.侧而A8g.(I)求证：ABJ.BC；(11J假设直线AC与平面人8。所成的角为0,二面角A-8C-A的大小为°,试判断与伊的大小关系，并予以证明.二面角大小的求法的归类练习(请在小括号内填写所用方法).()例I在四极锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA.平面ABCD,PA=AB=a,求二面角B-PC-D的大小。()例2在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA1.平面ABCD,PA=AB=a,NABC=30。，求二面角P-Be-A的大小。三1.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形,PAJ_平面ABCD,PA=AB=a,的大小。()例4在四棱推P-ABCD中，ABCD为正方形，PA1.5F而ABCD,P=AB=a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。)例5、在四极锥P-ABCD.ABCD为正方形,PA_1平面ABCD.rrt-AB=a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。(补形化为定义法)二面角大小的求法答案定义法：本定义为解题提供了添辅助线的种规律。如例1中从二面角S-AM-B中半平面ABM上的点(B)向棱AM作垂线，得垂足(F)；在另半平面ASM内过该垂足(F)作极AM的垂线(如GF),这两条垂线(BF.GF)便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解邈。例1(2009全国卷I理)证略解(II)：利用二面角的定义.在等边三角形ABW中过点B作小交八用于点尸,那么点广为AM的中点，过F点在平面ASM内作GFJ.AM,GF交AS于G,连结AC,VADCDS.AS-AC.I1.M是SC的中点，AMISC,GF±M,GFAS,又,：尸为AM的中点,：.G1.-是MS的中位线，点G是AS的中点。那么GA7?即为所求二面角.,那么GF=也,乂YSA=AC=、后，2：.AM=2,VAM=AB=2,ABM=60"，ABM般归行舷：.BF=RAG=-.2/Ifi=2.NGA8=90".,.BG=JF4*".GFrFif-Be”-彳-2笈,二二面角S-AM-8的大小为a11xos（-空）W'B鹏。忑3练习1（2008山东）分析：第1题容易发现，可通过证AEUD后推出AEI平面APD,使命题获证，而第2题，那么首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S.,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值.（答案：二面角的余弦值为平）二、一:垂线法本定理亦提供J'另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面/£角B-FC1-C中半平面BFC上的一点B作另一半平面FCiC的垂线,得垂足O：g-V再过该垂足。作梭Fc的垂线.得垂足P,连结起点与终点得斜线段PB.便形成了三垂线定理的根本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解包角三角形求二面角的度数。例2.（2009山东卷理）证（1）略解（2）因为AB=4.BC=CD=2,、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,那么OB1.CE又因为直四棱柱ABCDA,BCDE.CC1.Y湎ABCD,所以CCiCGF,Y丝=丝.8=CC1C1F在Rt()PF中AP以OB_1.平面CCE过O在平面CCiF内作OPj_CiF,垂足为P,连接BP.那么NoPB为二面角B-FC1-C的一个平面角.在BCF为正三角形中,07?=6.在RtCCF中，ZOPFS=SP、的=历=姻,d82T",所以二面角B-Fa-C的余2弦值为东练习2（2（X）8大津）分析：此题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD_1.平面PAB后，容易发现平面PAB_1.平面ABQ）,点P就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作校BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。1答案：二面角夕-8。-人的大小为£1代图11%）三.补棱法例3（2（X）8湖南）分析：此题的平面PAD和平面P8E没有明确的交线,依本法显然要补充完整延长AZxBE相交于点F,连结PEJ再在完整图形中的PE上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（I）证略解：（I1.）延长人。、8£相交于点F,连结/，£过点八作人”，/，8于，由（I）知,平面/W&1.平面/扒8.所以平面PRE.在R1.A45/中，因为N5A=6（T,所以，AF=2AB=2=AP.在等腰R1./¾F中，取P尸的中点G连接AG.那么AG_1."：连结HG,由三垂线定理的逆定理得，PP1.HG.所以NAGH是平面fiAD和平面P8E所成二面角的平面角（锐角）.AZT1.在等腰RtPAF中，AG=拳PA=&在Rt/¾8中，3APABAP-AB225Afi=1-=.PByJAPz+AB255空r所以，在Rt4WG,P.SinZAGH=-=T=业.故平面PADAG425和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arvsin萼.练习3提示：此题需要补棱，可过A点作CB的平行线1.（答案：所成的二面角为45°）四、射影面积法（8Sg=牛）例4.（2008北京理）分析：此题要求二面角B-AP-C的大小，如果利用射影面积法解题,不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射于是得到下面解法。解：（I）证略（IDAC=BC.AP=BP,.PCBPC.又PCJ.AC,.,PC1.BC.又ZACB=90,即ACj.BC,且ACIPC=C,.8C1.平面PAC.取AP中点£.连结8ECE.AB=3P,.跖J.AP.EC是在平面PAC内的射影，.CE1.AP./.ACE是ABE在平面ACP内的射影,于是可求得：AB=BP=AP=AC2+Cfiz=22,BE=>jA1.i2-AE2=R.AE=EC=叵那么S中-SA1.wr=；A£CE=>22=1.Sn=5m=EE=1.26=3设二面角8-AP-。的大小为9,那么CoSS=-=-U=-Sn33；.二面角B-AP-C的大小为3=arccosg练习4：分析平面ABiE与底面A1.BC1.D1.交线即二面角的桢没有给出，要找到二面角的平面角，那么必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形ABIE在平面BCD1上的射影是三角形/MBiG,从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。1答案：所求二面角的余弦值为COSO=：）.五、向量法例4：（2009天津卷理）现在我们用向量法解答：如卜.图，建立空间直角酸标系，以点A为坐标原点。设Afi=1.依题意得B(U),0).C(1,U),O(O20卜£(0,1DF(OQDjW：BF=(-I4KI).DE=(O.-I.a,/j瓯,o二叼所以异面直线BF''六同同一石F-T与DE所成的角的大小为60°.(I1.)证明：由疝=|?9<=(-h04A15=(0,24)可函AaM=o,，山)解：设平麻：!)E的法向及为,=<*.V.二)，."'¢=°"于向i"EBJ=(1.1.1.“deo,1.->-*=0又由题设，平面Aa)的一个法向量为V=(0,0,1).练习5、（2008湖北）分析：由条件可知：平面ABB1.Ai_1.平面BCGBIJ平面ABC于是平容易想到以B点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。【答案：=arcsin>gV«:+c2FIaC.41'hh总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律,两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。PB=PDBC=DCjn&PBD三PDC,PC=PCP1B1.、AB=AD=aPA1.AD=PB=PD,AB=AD=aBHJ_PC于H,连结DH=DH1.K:故/BHD为二面角B-PC-D的平面角因PB=2a,BC=a.PC=3a.-PBBC=SPBC=-PC-BH那么BH=近=DH又BD=1.,在223BHD中由余弦定理，得：COSNBHD=b*w-m传J,例阿，又OVNBHDV”那么NBHD=,二面WE，”至。走。5角B-PC-D的大小是W1.。2解:(三垂线法)如图PAj_平面BD,过A作AH±BC于H,连结PH,那么PH±BC乂H±BC.故/PHA是二面角P-Be-A的平面角,在RtZkABH中，AH=ABsin/ABe=aSin30°=-,在2RtZkPHA中，tanZPHA-PA-=2,那么NPHA-arctan2.a3解（垂面法）如图PAJ_平面BDBD1.CUBD_1.B（=过BD作平面BDH_1.PC于H0PC±D1.kBIfeziZBHD为二面角B-PC-D的平面角，因PB二0a,BC=a,PC-3a,-!-PBBC-SPBC-PC-BH,那么BH=逝=DH,又BD-瓜在ABHD中由余弦定4理，得：cosZBHD=hh:+>H1-Hf（不）'又0<BHD223/K<11那么/BHD=弓,二面角B-PC-D的大小是AD1.PA14解（面枳法）如图AD1.AB1.=>4D1.P4T4,同时，BCJ_平面BPA于B,故aPBAM4=4是APCD在平面PBA上的射影，设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为。那么cos。=1.=立=O=45°5解（补形化为定义法）如图将四棱惟P-ABCD补形得正方体ABCd-PQMN.那么PQ1.PA.PD,于是/APD是两面所成二面角的平面角。在RtPAD中，PA=AD,那么APD=45即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45。