立体几何中探索问题.docx

1如,图.在四校惟0-A/?。）中.平面0S，平面ADfIBC，PA1.AB.CD1.AD,BC=CD=-AD.f为八。的中点.2(I)求证：¾±CD;（111）在于西外8内是否存在,使得直(II)求证：平向PeD1.f1.IijPAB：线C1.Wi,平面/,8£,请说明理由.I证明：（I）因为平面R45J1.平面A5Cf>平面P431平面ABC。=A3,又因为P4_1.A8，所以R4J1.平面ABCZx那么H1.CD”S分(11) III.BCHED.且8C=E).所以四边形8COE是平行四边形.又CD_1.AQ,BC=CD.所以四边形做Z>E是正方形,连接CE,所以3D_1.CE,又因为8CAE,8C=八E.所以四边形ABCE是平行四边形,所以CEAB.那么由（1）知平面A8CD所以AA_1.8D,又因为QvAB=A,那么8D_1.平面上46,且BDU平面/$/）,所以平面/"）一平面PAB.10分（III）在梯形A8C。中，A8与。不平行,延长A8,DC,相交于点M（Me平面用B卜点Af即为所求的一个点.理由如下：曲.HC,ED.RBC=ED.所以四边形K7）E是平行四边形.所以CQ.EB,UPCEB.又£7?U平面PBE,CW<Z平面PIiE.所以OW平面Q3E.14分2 .（本小即总分值M分）如图，在四梭锥尸一反co中，底面为菱形，PCI平面Aea),点E在於PA上.小J.底面(1)求证：直线8。J.平面丛c：(I1.)假设PC平面BDE,求证：AE=EP:(111)是否存在点E,使得四面体A-A/花的体枳等于P-Zw)C的体积的？假设存在.求舟竺的值：假设不3PA明理由.3 .(本小题总分值14分)如图.在四梭锥尸-ABCYJ中.底面AfiCC为正方形,AHCD.PA=AC.过点A的平面与核依.PC.P/)分别交千点ERG(£匕G三点均不在枝的端点处).(I)求证；平面/45平面?BC(II)假设PCj平面AEf'G,求的假；(111)直线AK是否可能与平面/W平行？证明你的结论.4 .(本小SS总分伯14分)解：(I)因为尸A，平面ABCO,所以外1分)因为八友7)为正方形，所以八8_1.8C,2分)所以BC1.平面¾5【3分所以平面网J_平面FeC.4分（ID连接AF5分）因为.PCJJMfifAMG,所以PCJ.AF7分乂因为A¾=AC.所以F是AJC的中点.8分所以竺=!.9分】PC2(111) AE与平向/W不可能平行.10分)证明如下：假设AE”平面Pa）,W为ABHCD.ABa1.iPCD.所以A8“平面?e.12分而八£.AB<=f1.iPAB.所以平面PARU平面代7)这显然矛盾！13分所以假设不成立，即E与平面/W不可能平行.”4分5 .(本小题总分值14分)如图在几何体AQ½7.中.底面AtfC。为矩形.EFHCD.CD1.M.CD=2fc7=2.ED=GM为梭尸C上一点，平面ADW与楂依交于点N.(I)求证：ED1.CDt(U)求证：ADJJMNi(111)假设ADJ.£D.试问平面8(万是否可能与平面ADJWV垂直？假设能，求出生的(ft：合设FC不能，说明理由.6 .(本小题总分值14分)解：(I)因为AtfC。为矩形，所以CDJ.A，I分又因为CO1.EA,12分)所以CD平面EA/).I3分)所以ED1.CD.4分（三）因为ABa)为矩形，所以八。8(7,|5分|所以八/)平面见C.7分又因为平面A)MNn平面FBC=MN,所以Az)MN.8分I(III)平面ADMN与平面8C尸可以垂宜.证明如下r9分J连接£>尸.因为AQJ.ED.AD1.CD.所以4)_1_平面。".10分所以.W为ADUMN.所以DM_1.MN.II分W为平面ADMN1平面IiCF=MN.假设使平面ADMN1.平面BCF,那么平面8CT，所以OW1.fC.112分J在梯形Q)EF中.忸为EF"CD.ED1.CD.CD=2EF=2.ED=G所以。=DC=2.所以假设使1.)M1尸C能成立，那么M为FC的中点.所以空=_1.14分FC27 .(本小题总分值14分)如图，在四校锥PABCD中，ADHBC.ZBD=90.PA=PD.B±,D=2,AB=BC=1.p(I)求证：-×'U1.)暇设£为>Z>的中点，求证ICE平面/M8：j(III)设平面EtZJ，平面PCD=PM,点M在平面/"ABCDk.当QAJ.PD时，求AW的长.C'8 .Q本小题总分值14分)解：(I)因为N5AO=90.所以A8J_A0.1分又因为人8_1./咒，2分所以A3_1.平而PAO3分所以14分；（三）4ZM的中点F.连接BF.EF.5分因为E为核尸。中点，所以EF"ADEF-Dj又因为BCMD,RC=aD,/f所以BCHEF,BC=EF.所以四边形BCEG是平行四边形,ECWBF.18分1M又BFu平面?,CEQ平面E4B，所以(?£平面X89分)(III)在平面A8CQ匕廷长48,CQ交于点M.因为MwzV九所以MW平面上4/?：又MwCO,所以MW平面PC£).所以平面/乂Sn平面尸CO=AW.11分：在AD中，因为BCAD,BC=-AD,2所以AW=2AB=2.12分因为E4_1.9.所以AAPO是等腰点知：.知形，所以QA=O13分由(I)得儿平面旧V),所以八J.EA.在直用,Vfp.PM=¾2+AM2=6.14分6(12分)在四梭锥A-3CDE中，底面3C0E为笠形，恻面ABE为等边三角形，且侧面4?七_1_底而BCDE.Q”分别为BE,DE的中点.(1)求证；AO1CD；(I1.)求证:平面AOFJJHMACE：(111)冽极AC上是否存在点P.使得BPV5HfifAOF?假设存在.求出AP正的值:假设不存在,请说明理由.6.解：(1)因为AABE为等边三角形.。为BE的中点,所以AoJ_8七.乂囚为平面ABE1平面RCDE.平面ABE'fiBCDE=BE.AOc.ABE.所以AO1.平面次?。£又因为CDU平面58E,所以AOICD3分(II)连结B。，因为四边形3(：。£为菱形，所以CE1.BD.因为OJ分别为BE.DE的中点，所以OFMBD.所以CE1.OF.I1.1.(1)可知.AO1.fiiBCDE.因为C/U平面BCDE.所以40_1.久.因为AonO尸=O,所以CE1"平面人。尸.又因为CEU平向人CE.所以平面A0"_1.平面AC£.(111)当点P为AC上的三等分点(靠近A点)时，8P平面AOF.证明如下:设CE与BDQF的交点分别为M.N,连结AN1PM.因为四边形BCDE为箜形,O,F分别为BE,DE的中点.设P为AC上季近A点的三等分点，理=所以pmHN.PCMC2因为AVU平面AOF,P,W0平面A0，所以PM平面AoF.除于BDHOF.OFU平面AoF,8D<Z平面AoF,所以BDH平面八0/，即BM/平面人。尸.因为8W11P=M,所以平而BWP平面AOF.因为3Pu平面BMP.所以IiP”平面AOF.可见侧校AC上存在点，,使得BP1.1.平面AOF,且竺=!-.12分7 W,在多面体ABC。*'中,侧面ABFEJ_底面/WCZZ底面BCD为矩形.四边形AHFE为梯形，A8£££4_1.从氏片8=3£7<八七=£/<；为戏段8上的点，假设A尸J.FC(I)求不三的俏;假设A0=AE点4到平面CT)K的距离为0.求四枝椎-AGC力的体积.8 .(本小电总分值12分)如图.口角三角形ABC中，A=60',沿斜边aB木、NAC上的高BD,将AABD折起到aPBD的位置，XJIj点E在战段CD上.(1)求证rPE1BD：(2)过点D作DM1.BC交BC于点M,点N为PB中点.假设PE平面DMN.求空的值.CCDC8 .解析：(1)因为3D是AC边上的高，所以BD1.CD.BD1.PD，又PDna)=D.任8£>_1_平面PCO21PEU平面PC。，所以(2)连接BE,交DM与点F,PE"平画DMN,RPEU平面PEB,平面PEBn平面DMN=NF,QiPE"NF.尼DF=-BE=EF.乂ZBCD=90"-60"=300.任ADEF是等边三角形2设。E=.那么8。=6/.DC=舟DH匹=1.DC39 .如图，在三极柱ABC-A1.BK1.中,侧面ACC1.A1.与侧面CBBIC1.都是菱形，ZACCi=ZCCiBi=60"，AC=2(1)求证：A±CC;C-&CIDI的体枳为JJ,求CR的值.棱锥IO如图(1).平行四边形ACDP中,D1AP.D=AP.廷氏PA至B,使疗AB=Iap=I.连接BC.现沿AD进行4翻折.使得平面ABCD1.平面ADP,连接PB、PC,如到如图(2)所示的空间图形，点Q在戏段PC上,(1)假设BQ平面ADP求m的伯：(2)在(1)的条件下,求点Q到平面ABP的距离.11.(本小题总分值12分)如图,四棱锥P-AbCD的底面ABCD是平行四边形，侧面/3。是边长为2的正三角形，AB=BD=5.PB=7.(I'求证：平面/X。，平面48C。：(II)设。是棱PC上的点，.当PA平面时，求QB与面ABCD成角的正弦值。解答：取AD中点0.连结OPQB,因为加。是边长为2的正：角形，所以O>J./VZOP=J1.VAB=BD=yf5:.OB1AD.OB=2.：,OB2+OP2=PB'：.OP1OB:.OP1ABCD.OPUPAD/.平面PADJ.平面ABCD(2)假设AB=30,D1.为线段AK1.上的点,目12等腰悌形（图EC*=HC=Nc=4/8C=12M。是EC中点,将MDE沿AD折起.构成四技椎P-A8CZ)(图2).M,N分别是BC,PC的中点.(I)求证:AD_1.平面DMN;(2)行平面弘。1.平面ABCD1.中求戊C到平面小3的郎恩.证明：取AD的中点O,连接PO.OB.BD.APADA8。都是等边三角形PO1.AD,BOA.AD.POrBo=O,：.AD±平面POB.M.N分别为IiC,PC的中点.MNHPH.AO"8C.OD/四边形Mf)是平行四边形.dm/08-.-MNfDM=M.：.iDMNHftPOH：.AD平面。MN(2)i殳点C到平面/HA的矩离为力平面¾O_1_平面ABCD.PO±AD:.PO±平面ABCD½.PH=吹.PO=23.Sm=43.u=2I5.I1_/咏,尸。_4J5Spb19.(本题濡分12分)在三核柱彳8C-44G中.已如B=4C=伏=底BC=4,tH4在底面4BC的投影是我段8C的中点O.(I)M明，在州检&上存在一点£,便阴0£_1.平面84GC,并求出的长;(U)求三核柱4c-44q的Ie面枳.(1)证明：连接47在AQA中，作O£_1.>V于点E,因为八得O£J.88,因为A1O_1.平面ABC,所以Ao1.8C,因为八8=AC.O8=OC,AO1.BC,所以AC_1.平面人人。,所以BC1.OE,所以。EJ1.平面BB1C1C,又AO=JAB1.-80=1,AA=GAE=-=-AAy5(2)由可得，ABB1.A1.的离=5+45=4(5÷6)1412分15=平,BCC1B1(f)fHh2=22+1.2=5=>S=2X16如图，变形ABCD与等腰梯形ABFE所在平面互相11.AB=2EF=2AE=4.EFAB.DG_1.平面ABCD.N为EF的中点.(I)在直线DG上是否存在点M.使MN平面ABCD,假设存在，求DM长度；假设不存在，说明理由；(I1.)假设NABC=60'.求多面体ABFECD的体枳.17 如图.fI1.1.1.ABEF1.T1.I1.iCBED.四边形ABEF为出角梯形，AFE=FEB=90",四边形CBED为等腰梯形，CDBE,且BE=2AF=2CD=2BC=2EF=4.(I)翼设梯形CBED内有一点G,使得FG平面ABC,求点G的轨迹.（三）求多面体ABCDEF体积.18 .无答案