第四讲---二重积分的应用.docx

第四讲二置积分的应用回忆上节内容1 .二重积分的换元积分公式：2 .校坐标系下二重枳分的计算。本节敕学内容1.二重积分在几何中的应用；3 .二重税分在经济中的应用.【被学目的与要求】1.理解二重积分的应用方法；4 .会用元素法解决一些实际问题。【教学重点与难点】重点：二重枳分的应用与计真唯点：二也枳分的甥理应用§7.4二重积分的应用二支积分在几何、物理等许多学科中有着广泛的应用，这里重点介绍它在几何方面的应用.一、体积根据二支枳分的几何意义，f(.v.y)d表示以/(x.力为曲顶.以f(x.y)在xy坐标D平面的投影区域.。为底的曲顶柱体的体枳.因此.利用二/枳分可以计算空间曲面所同立体的体积.例1求椭球面+二+1=I所闺之椭球的体积.a'b-c*M由于椭球体在空间立角坐标系八个卦限上的体积量对称的.令D表示椭球而在").y坐标面第一象根的投影区域，那么D=<(X,>,)y+*M1.XO,V0,体积V=82(X,y)dxdy.作广义极坐标变换K=cos<9.>'=加Sin0.那么此变接的雅可比行列式J=/”,与。相对应的积分区域夕)0rI,0<112,此时Z=(x.y)=c>J-r2,从而V=8z(rcos.Z>rsin)jdrd=8;'c>i-rabrdr=TJc'r-r'dr=ube.例2求球而x'+.v'+/=4/与IS柱面/+y'=2心(">0)所困立体的体积.图7-9解曲对称性图7-9。给出的是第一卦仅局部V=44(r-X2-y2dxdy其中。为半圆周y=百二7及X粘所周成的闭区域图7-9(.在极坐标系中，与闭区域。相应的区域ZX=(%0)()442wCoM,004R2,于是V=44j-r'rd111.=4dj-r'rdr=<'J(1.-sin,=-,(-).30323二、曲面的面积设曲面S的方程为2=(,y),它在Xay面上的投影区域为D,求曲而S的面积A.假设函数z=/(X,)，)在垓.。”上有一阶连续儡导效，可以证明，曲面S的面积A=+1'2(.>)+fy(x.y)dxdy.(1)O.,例3计算抛物面z=+./在平面Z=I下方的面积.解Z=I下方的抛物面在Qv面的投影区域O,v=-,V)+1.1.又z：=2.r,z；=2y,1.+z,ti+z,;=1.+4x2+4y2,代入公式1并用核坐标计算，可得如物面的面积=1.+4.v+4ydxdy=1.+4r'rdn1.=J：d+4r1)7rJr=(55-I).如果仙面方程为X=g(y,)y=ft(.v,),那么可以把曲面投影到0工或,10二平而上,其投彩区域记为Dfz缸Diz,美似地有A=JJJ1.+g；2()z)+g；"y.z)dMz(2r>.AA=IJI+;2(,x)+i'2(.x)dxd.13)三、其它例4平均利测某公司销售商品IX个单位，商品I1.)，个单位的利洞P(x,y)=-Cr-200)2-(>-I(X)2+5000.现一周内商品I的钻售我量在150200个单位之间变化，一周内商品H的销售数量在80100个单位之间变化.求销售这两种商品一周的平均利泗.解由于x,)的变化范围。=b,)950x2080y1.(X),所以。的而积<7=50x20=1000.由二重积分的中伍定理,该公司销售这两种商品一周的平均利涧为-,(x,yk=-(V-2(X)2-(,y-1)2+5(XX)do八100o1.1.甸二-200尸-(>-100)2+5(XX)(Iy一3-)330dx150+5()00ydxJwk,292000jI-2(X-2)-+-y-x=i2ooooft4()33000小结1 .二重积分在几何中的应用：2 .二更积分在经济中的应用.作业作入p209习电7.4：1,3.4,5.6.p191-193第七量（白测延）：4.5.预习：第八章8.1p213-216.