第一节-任意角和弧度制及任意角的三角函数.docx

X任意角和强度角及任意角的三角函数I.角的微念按旋转方向不同分为正角、仇柏、等角.(11分交按终边位置不同分为黜必和拽线由.(2)终边相同的角：所有与角。终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=(例?=a+疝360。,iZ.2 .强度的定义和公式(I)定义：长度等于土鱼氐的弧所对的圆心角叫做I孤度的角，弧度记作rad.(2)公式：弧度与角度的换算：36()。=应孤度：180。-J1.孤度：弧长公式：/=四：扇形面积公式：Sm.=3"÷3 .任意角的三角函数定义：设是一个任意角,它的终边与单位B1.交干点Amr>，那么Sin2=£,cosa=孙Uma=(2)几何我示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦级的起点都在X轴上，余弦线的起点都是原点，正切戏的起点都是(1.0).如图中行向线段MP.QMAr分别叫做角的正弦线,氽弦线和正切线.1 .易混概念：第一软限角、说角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第三类是区间角.2 .利用1.8<F=nmd进疗互化时,易出现度量单位的混用.3 .一：角函数的定义中，当P(".V)超单位M1.上的点时有Sina=V,cosa=u.tan。=：,但假设不是单位圆时，如圆的半径为r,那么Sina=ICOSa=3tana=：.【试一试11 .假设。=七180。+45。(JIeZ),那么。在)A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或笫四象限D.第三或第四象限答案：A2 .角a的终边羟过点(小，I).那么Sina=.答案：一31 .三角函数位在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦：2 .对干利用三角函数定义解题的题I1.如果含有参数.一定要考虑运用分类讨论,而在求解简单的；知不等式时，可利用单位圆及.用函数线.龙达了数形结合的思想.料设sin<0且Ian>0.JE么a足（）A.第一望眼角B.第二象限角C.第三象限第D.第四象限角解析：C由Sina<0.如"在第三、第四象米或。终边在）,轴的负平轴上.由Uina>0,知"在第一段第三束限.因此。在第三条限.Xt应学士用书P42考点一角的柒合表示及象限角的判定反自主描义星1.蛤出以下四个因国一堂是第二象限角：鳄是第三象限角：一400°是第四象限角：一315。是第一象限角.其中正确的命遨有（）A.I个B.2个C3个D.4个解析：itC一学是第三系很缸故绪遥：y=«+5，从榨是狎三象限用，放正瞄：700。=-3600-40o,从而正硝：-315o-36（）0+45°.从而正，吼2.设集合M=卜卜N=卜卜=生18()。+45。.*ez,那么()A.M=NB.f三fCNUMD.WV=0解析：itB法一：由于M=卜卜N=卜卜=亨180。+45。，kGZ=,-45,00.45。90°.135。，180。,225°,显然有MUM应选B.法二：由于A4中，x=*1.800+45。=MW+45。=45。（2什1）,2A÷1是4数：而N中，X=亨180。+45o=-45o+45o=（j1.+1H5o.4+1是整数.四此必有A/GN,iB.3 .终边在出线y=1.r上的角的集合为.解析：终边在亢线y=#X上的角的集合为|=依+；,AZ!.答案：!=Jbr+f,Z）4 .在一72On0。范围内找出所有与45°线边相同的角为.解析：所有与45。有相同终边的向可表示为：=45o+A×360o(AZ),那么令一72O°W45。+KX360',<0o,-765×360o<-45o,科样一酱WE一瓮，从而A=-2或人=一I,代入挥)5=-675nJ=-31.50.答案：一675。或一315。I类超通法II.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的多数a赋值来求汨所需用.2.角a的终边位置，确定形如A",x±a等形式的角终边的方法：先表示角a的范国，再写出11+a等形式的角范围.然后就k的可能取值讨论所求用的终边位B1.考点二三角函数的定义>触共平登I典例I角a的终边上一点尸的坐标为(Sin率cosy),就么角a的坦小正值为()ab-¥cTd162(2014.九H5)a是第二象眼角.其终边上一点P(x,5),且cosa=坐x,那么sin*：+；)=解析由卷塞加点?在第四软*根据三角函数的定义得COSa=SinqS=竽故=2仃一加Z).所以a的找小正值为苦.由施点:将cosa=诟充G=坐解徉X=OA=J3x=-yji.又是第二象根角，,r=-3.即COSa.乎.sin(a+g)=cosa=一乎.答案I(I)D一乎类应速法用定义法求三角函数值的两种情况(Dffta终边上一点P的坐标,圈么可先求出点。到原点的距离八然后用三角函数的定义求解：(2)角“的终边所在的直线方程，那么可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离然后用三角函数的定义来求相关问题.针对训练)加的终边在直线_y=-3X上.求IoSina+烹”勺值.解：设终边上任一点为汽灯一36.那么r=y*+(-3j1.)2=T.当Qo时，r=10,.-33110f-2旃=-而亚=k5.IOsinw+=-5I+T=O:当KO时，r=-IA,COS«IOsin+J三3i-3i(j三O.年上，IOSin+忌G=0.考点三原形的弧长及面积公式A1.g共斫堂典例(1)身形周长为10,面积是4求醐形的IB心角.(2)扇形周长为40,当它的半径和即心角取何值时，才使扇形面枳最大？I解设圆心角是/半径是，2，+，。=IO(舍),r=4,0=2故扇形圆心角星.(2)设圜心角是仇半径是，；那么2r+M=40.S=SM=Y40-2r)=M20-r)=-(r-10)2+1.100,当且仅当r=IO时，Smn=100,0=2.所以当r=IO,。=2时，扇形面积最大.-S多变假设本例(1)中条件变为：阴孤长度等于该圈内接正方形的边长,加么其囤心角的蛆度数是解析：设0半径为r,那么13内拄正方形的叶角也长为2r,.正方形边长为小r.湖心角的孤度数是率=0.答案：2类题通法)弧度制应用的关注点(I)弧度制卜=Mr,S=r.此时代为弧度.在角度制卜，弧长/=鬻，扇形面枳S=器，此时“为角度，它们之间有着必然的联系.(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用K1.心角所在的三光形.针对训练扇形的圆心角是=120。，弦长A8=1.2cm,求弧长/.解：设扇形的半径为rcm,/由sin60。=%z*or=4icm,.,.I=r=×4311(cm).对应学生用书P44课堂练通考点I.如下图，在口.珀坐标系屹、,中，射线OP交单位BS。F点P，假设NA"="加么点P的坐标是()A.(CoS仇sinf)B.(cos",sinf1.)C.(sin0,CoS仍D.(sin0.cosft)解析：A山三角的It的定义知P(COSaSinahA.2 .扇形的周长是6cm,而积是2cn,那么扇形的留心角的加度数是()A.I或4B.IC.4D.8解析：A谀扇彩的半经和孤长分别为r./.7+2r=6,那么多/(/=417=2,解%-4=2故扇形的圄心危的第戊数是4或1.3 .角的终边经过点(露一9.a+2),sw0.sinX),那么实数。的取值范围足()A.(2,3B.(-2.3)C.(-23)D.(-2.3解析：A-COSf1.tEO.sin><).角的终边落在第二卷限我他的正字轴上.3<j-90,1«+2>0,-2<f1.3.iA.4 .在与2010。终边相同的角中，绝时做以小的角的弧度数为解析：2OKF=*=12n-票.与2010。终边相同的向中把时值最小的角的孤度数为甘答案於5 .（2014辽SMM拟）假设三角形的两个内角,“满足SinaCoS广<0，那么此三角形为解析：VsincosA<.且叫/Jg三角曲的两个内角.sin«>0,C（KPV0,.f为触角.故此三角形为饨角三角影.答案：钝角三角形6 .角的终边过点P（TCM）,4CoS仍,其中伊G俘，求的三角的数值.解：.7（5.-<cos6kO,.r=9cos%+16CaSw=TCOS，4-53-54,tana=j.一下提升考能第I组：全员必做题1 .将表的分针拨快10分钟，那么分针板转过程中形成的角的蛆度数是（）a3b-6c-3D,-6解析：选C将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角.故A、B不正确,又因为接快10分钟,故应转过的角为啄周的小即为一9X2n=一；.2 .cos"IanX0，那么角J是（）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角貂析：逸C各知SinM),ncos90,二伊是珞三我第四象限角.3.角和角”的终边关于直线y=x对称.口。=一?那么Sina=(B亚D-2a一班,解析：D因为角和角/的终边关于直线产X对称,所以以+A=2far+*AGZ),乂A=一率所以=M+普优£Z),即得Sina=；.a(2坐)c(2'噂4,点。从(1.O)出发,沿单位回逆时针方向运动争0长到达。点，那么。点的坐标为(b'(-2)d(2)解析：选A由三用函数定义可知Q点的生标(,3,)满足=8号=si舟=W5.给出以下各函数IA：sin(-I000。)：CaS(-2200。)：tan(-10):sin11.其中符号为B.D.sios11-畸ta普tan,sin><).an-<O>二原式>0.负的是(A.解析：Csin(-0o)=sin8Q5>0:COS(22000)=cos(-40°)=cos400>():tan(一1.()=tan(3-10><0：6 .在直角坐标系中.。是原点,A(3.1),将点A烧O逆时针旋转90。到8点,那么8点坐标为解析；依超意知O1.=O8=2.ZO=300.Zf1.ftr=12(T.设点8坐标为(MM.所以=2cos12()°=-1.y=2sinI2(=3.即B(-1.,3).答案：(-1.3)7 .如下图,在平面苴角坐标系”厅中,角的终边与单位圆交于点st,点A的飒坐标为小瓶么cos=.一(*.*.解析：因为八点蛾坐标为同A点在第二象F艮.又因为S1.0为单位圆，所3-53-5以A点横坐标XA=-I由三危房找的定义可用CoSa=8 .设角是第三象限角,且卜吟I=-Sinf.爆么解是第象限角.解析：由是R三象限角，知2J+*<a<2履+竽(AGZ),履+寺与Cn+圣&GZ),埔是第二豉第可拿限用.再由卜in苧=Sin飙Sinmo.所以匆徙,是第E象眼角.答案：四9 .一个响形OAB的面积是ICnR它的周氏是4cm,求圆心角的瓠僮数和弦长A股幅:设31的半径为rcm,弧长为/cm,解冲/+2r=4.那么r=,/=2.,圆心角«=y=2.如图,过。作OH±ABtH.那么NA0=弧度.=1.sin1.=sinKcm).AZ=2sin1.(cm).10 .Sina<0,tan«>0.(1)求“角的集合：(2)求言边所在的象限：试判断IanfSinfeOSI的符号.解：由Sin以<0,知以在第三、四象限或.V轴的负芈轴上：由Iana>0.如"在第一、三象阻.故用在第三季限，其集合为Vxj(2A+1)11<<2A11÷vZ.由(2A+1.)11<rx<211+,得丘+E<*cec+季XrZ.故并边在第二、四求限.(3)当与在第二条限时.所以Ia冷in枭取正号；品在第四象限时.Ian?。.SinM0>0.所以tan宗in号CoS号也取正号.因此，urn*d号OS反正号.第I1.组：至点选做题1 .满足COS一；的角的集合为解析：作J1.武*=一；交单位IB于C、。两点，连接。C、OD.»f>国成的区域(图中阴影后部)即为角。终边的范囚，故满足备件的角的2j+112fcc+y.JtGZ答案：(2jbr+11a2far+r.AZ'位也在圆滚动B点,过2 .如图,在平面直角坐标系AQy中，一堆便似的圆心的初始(0.1),此时圆上一点P的位汽在(0.0),现在K轴上沿正向滚动.当到圆心位于(2.1.)i,OP的坐标为.A作AO1.PC于。点.由您总知8户的长为2.解析：如困.AP.分别过P.A作尸C八8叁I1.X粘于C.m的半径为I,NSAP=2,故NoAP=2-？二OP=APSin(2T)cos2.PC=I-cos2,OA=ApCOS。T)=sin2.OC=2-sin2.故OP=(2sin2.1-cos2).答案：(2sin2,1.-co$2)