函数的单调性和奇偶性专题.docx

函数的单调性和奇偶性专题羟典例M析类型一、曲数的单性的证明/(x)=4=¾÷)V1.证明函数JX上的单1性.证明g在(0.*8)上任取>、X2(XX2)fx三X2X>0、/I】*1-*2WXFbF-'时.>o,x2>0,6>“百>ijX1一修<0：上式VO,.y=X2)-f(x)<0/(x)三(0,+M)X±三总结升华IUI证明函敷单调性要求运用定义I2如何比较两个量的大小？(作差IH1.如何推断一个式子的符号？I对差适当变形)【变式U用定义证明函皴f(x)X+4在区间(Oj±MSft.思路点拨，本题考查对单1性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的一地怪.证明；设*是区间°上的意实效，且“Vx”则f(x1.)-f(xj)=x1+-(xa+-)=(X1.-X2)+(-)X1.XjX】XV0<x,<x21.xi-X2<0,0<xixj<1.1-<0V<)<X,XJ<1x1.x2(X1-X3)(I-)>0故xxa,即f(x11-f(x1)>o.NV*时有f(X)>f(Xj)f(x)三X*-在区间(。,1X总结升华I可以用同样的方法证明此函数在.81上是J1.aiIk1.在今后的学习中常常会也到这个西数，在此可以塞试利用函数的单调性大致给出函数的BB象.类型二、求函敷的单调区间2.推断下列函敷的单调区间:(1.)y三x2-3x+21.7Hx-11+而。2尸解IU)由图象对女性，出草图“、隹(G】现濡在2,取城举一反三，r变式U求下列函数的单调区间:y=xH(2)'2x-1.(3)-X2."x+327Hi(1)I-X-I(X<7)出的IJ(BB霞，函数的区间为coT1.幽R的，区间为(+8”<2>定义域为y=-其中u=2义1为通函数，口在18,01与(O,+8为求的敷,y-.(%)则2xTI282J上为减函数：_J_.(3)定义为(8,o)U(,+«>,单提用区间为：8,0),单羯减区间为<0.+8).总结升华IUI败形结合利用图象推断函数单图区间：2关于二次函数单区间问,单辑性改变的点与对彝轴相关.3霞合函数的单提性分析：先求函数的定义城；再将复合的数分解为内、外层函数I利用已知函数的单调性解决.关注，内外层函数同向改变二五合函数为增函数】内外层函敷反向或受=X合函数为西敏.类型三、单调性的应用(比较函敷值的大小，求函敷值域，求的败的大值或小值)C3.已知函数Rx在<0,+8)上是Jt函数，比较f(Mu+1.)与4的大小.va,a+1.(a-)a+->O能244/(3-÷1.)(一)又除农(0,+8)上是就西蒙，则4.4.求下列的数值城;2x-1y-(1)x+2IDxe|5»IO1.i2)x三(3>-2)U(-2*Diy=N2/31.)x.1.,1.2)22.用路点拔(1)可应用函数的单置性I(2|数形结合."WF=7+2可看作是由4左移2个单位,再上移2个单位得到，如图2)X(8J(D)W(功”)即(-吗57收)(2)出草图DyWm1),n-1.)jW2,61.2,1.X(DJM)JBft"1.e.1+3xf(×)【受式I】已知函数1.-3x.U)推后面数r(x)的单调区间：当W1,3|时，求函数“XI的值城思路点拨：这个南数干麻视察唯目不简单着出它的单区间，但对解析式稍作处理,e.1.+3x,2f(x)三-1-即可得到我们相对热火的形式.1-3x3x-h其次问即是利用单员性求函数tt<M：f()=1+3x_(3x+1)+21.-3x1.-3xf(x>S(-.-)(-.-KO)3上单递增，在3上单1递增1,3C(-.o)(2) 3故函数f(x在11,31上单调递增v=1.时门义)存量小值，f(1)=-2f(3)三-x=3时限帝大值4-2.-xG1.,31时f(x)的值好4.Cs.已知二次西数P(XEYa.1)+5在区间上是JIaHt我实数a的取值范B1.(2)f(2的取值范国.a-1解I”)对称轴一-是确定f()单性的关愧，联系BB象可知(2)Vf(2>=22-2<a-1.)+5=-2a+1.1.X7a<2,2a>4f(2>=-2a+1.1.>-4+11=7.f(2)e7,4w)类型四、推断函数的明6.推断下列函数的奇假性：/)居”()=G/(X)=叮(3)f(x)=x24x+3(4)f(x)=x+3-x-3(5)Ix+21-2.t-a÷(O),/"-1.'+Xx<0)/O).Tg(X)-g(-)K«及)IX+x<uj(7)2思踣点拨I依据曲数的奇性的定义进行推行.解：U)n的定义城为i】U,不关于J1.点对称，因此rm为非奇非偈函数;(2)：*1，()，/1、)定义城：'+8|不关于原点对称，.1)为非奇非偶眼数|(3)对意WR,PW-x三Kt且fj-x)=x44x+3=f(x),Itff(X)=XJ1.XH3为伪的数(4)7x三R.f(-x)三-x+3-x-3=x-3x+3=-f(x),If(X)为奇函敷1.-x3>0三+2+2-1.x1.XOMiH-4xe-1.,O)u(O,1.三7v(x+2)-2X.f()为奇的Ih(6),.R,f(x>=-xxHxf<-x)=-(-x)-x+(-x)=xxJx=-f(x>,'Cx)为奇曲数；.,(-)三:g(-)-H<-)D=口g(-)-g()=()d.(7)22,f1.x)为奇画数.举一反三t【变式I推断下列函数的布偈性：U)f(：，=-K.也1.(2)f(x)=x+1.-x-1.(3)f(x)=x2+x+1.1.X2÷2x-1(x<0)f(x)三O(XNo)(4) -x3+2x+1(x>0)思路点拨，利用西数奇偶性的定义进行推断.Mf(-x)=-2x+非石=-(2x+&)=-f(x).f(x)=2x+笈为奇函数I<2)(-x)=-x+11-I-X-I=x+11-Ix-IQ=-Hx)f(x)为奇画数1(3)R-x)=(-xP+(-x)+1.=x2-x+1.f(-x).f(x>jaf(-x1.(x).f(x)为非奇非偈的敷1任取x>0WxVO.n-x)=(x)2+2(-x)-1.=x22x-1.=(-x2+2x+1.)=f(x)任取x<0,H-x>011-x>=-1-x)2+2(-x>+1.=-x2-2x+1.=-(x2+2x-1.)=-f(x)x=OBt,f(O)=-f(O)xWR时，R-x>=4(x)f(x)为奇通数.举一反三：【变式2】已知fix),作曲为奇的效，且定义依相同，求证，RxM(x>为奇曲数，fix)(x>为假函数.证明：设F(XRf(X)+g(x),G(x)三f(x)g(X)JNF<->=f<-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)="(11x)+g(x>)=-F(x>G<-x>=f(-x)g<-x>=-f(x)-g(x)=f(x>R(X)=G(X).nx)+j(a为奇函数，f(x)R(X)为偶函数.类型五、的敷M性的应用(求值，求解析式，与单雌结合)¢7.已知nx)=x5axjbx8,且改2)=10,求*2).解：法一：.11-2)三(-2)5+(-2),a-(-2)b-S=-32-8a+2bX=-40.+2b=1.0.X-21.)=5Of<2)=2j+2'a-2b-8=Ba-2b+24=-50+24=-26法二t令X(X)=f(x>+8舄证X(Xi为奇曲数.g(-2)=-g<2).f<-21.+8=-«2>-«.*.fK2>三-f(-2)-16三-10-16三-26.Cf1.f(X)是定义在R上的奇函孰且当YO时，f(x>=xj-x,求当'。时，依)的解析式，井出函数图象.解：；奇的数图象关于原点对称./.x>0,.y=(-x)1.(x)即y*-x2-x又f(01.=0,09.设定义在1-3,31上的一函数fU)O,31上是单IIaMh当f(H>vnH)时，求H的取值范国.1*.f(a-h<f（八）f<a-1.><f(a)面卬1.,aeO,3I。J忖-3-1.3-3a3-2a+1<0-24-3a<3<a32类量六、燎合同Co定义在R上的奇函数f()为地函数，假函数g(在区间°.8)的图象与f(R的图象合，设a>b>O,给出下列不等式，其中成立的是.f(b)-f(-a)>g（八）-g(-b)f(b>f(ii)Vg（三）g(b"(S>f(akf(-b>>R(bhj(-a)f（八）f(b)V*(b)以答案，®.011.求下开函敷的值城，(I)Iy=-xa÷2x+8Q)y=4x+3x-1.-2(3)=彳+2思路点拨IU)中的数为二次函鼓开方，可先求出二次函数值*(2)由单调性求值城，此X1.也可换元解决I单调性无法确定，般换元后将之转化为熟识二次函数情形，问愿得到解决，雷留意此时t荒国.a)y=-(x-Dj÷9,.(x-1)3>0,-(x-1)30-(x-1.)j+9<9,yeQ.3f.,3x1.0,x-,3粒视察知，上单墙”后)=1-2x=0令现1尸+1”八(8川412.已知函数r(x)22ax+aJ1.(1)若函数A2在区间0,2|上是单调的，求实数a的取值范围；当01.,I时，求的数心)的小值小)，并出量小值的数产g(a的图象.M(DTRxKxa)M/.a<0*a>2(2)1,aV-1时,如图I,R（八）=ft-1.)=aj+2a3当a>1.时，如图3.g（八）三f<1.)a2-2aa2+2a.a<-1g（八）三-1-1.a1.C13.已知函数ns在定义城他+8)上为*函数，r(2)=1.且定义或上随意心都f(xy)=f(x)+f(y),解不式：f(x)+f(x2)3.Hi令x=2,y=2,f(2×2)=f(2>+f<2)=2f<4>=2再令x=4,y=2,.*.fK4×2)=f(4>+f2)=2+1.=3/.««)=3.fKx>+nx2W3可转化为111x(x-2)J(三)2<x4Kx-2)S8x>0x-2>0/()x+-¾0.4C0)14 .推断函敷X上的单调性，并证明.证明，任取OVX1.Vx”U1)(¾)三¾+y-j+=(*1-)-V0<X<X2*X-X2<0rXX：>0当和巧<0时3-XIXa0<xX2<1.xXi-KO11X1.)-f(X2)>0即f(X)>f(X2)/(X)=X+1在(Q1.1.X'j±A*Hft.当x“2(1.,+8时，xx,>1=Xxa1.>0/(x1)()<0=>(x1)<(xa)佝严1.制川缄魔点；XIxj-1的符号的魏定，如何分段.15 .设a为实施，函数f(x)2+xa+1.xR,试探讨“、)的奇偈性，并求“x)的*tt.H当a=0时，Rx)=x2+x+1.此时的数为倜通数I当a=0时，f(x)=x,+x-a+1.,为非奇非偈函数./(x)=(x+-)a+-当时，.24a-8t,函却(x)S+8)上的最小值沏'(I)=2-。,I1.224且吟f（八）产.畀函姆洞E上单2,/(x)在,o)上的小值为f(H>=f+i.当XVa时,/(X)=xj-x+a+1.三(x-)j+<-t.函数r(x)在(oo,II1.2'上单调递减，.(X)在(,勾上的最小值为g)=a2+1.川。>:时，/(X)在(gf1.人./(!)，7+¾<()121上的小值为24J«上,时g)3*>')沁<,/(*)Ua=J+1学习成果能评暮础达标一、选界题1 .下面说法正确的选)A.函皴的单调区间就是函数的定义城B.函数的多个单调地区间的井集也是其单区间c.具有奇I1.性的函数的定义城定关于原点对林D.关于JK点对德的图象肯定是奇西数的图象2 .在区间8,0上为增函数的是()A.»=1B.,y"i三+2C.>>三32x1D.>=】"3 .已知.敷/S)11(用-Dd+(6-2)x+(州2.76+2)为.敷,9tm的值是Ia.1B.2C.31).A4.若IHHt«x)在-MT上是JtiHfc,则下列关系式中成立的是(/(-¾<(-D</(2)o/(-1.)<(-¾<(2)A2B.，y(2)<(-D<(-/<(-¾<(-Dc.2d.25.假如奇函敷“X)在区间3,7.上是,函敷且大值为5,那么/S)在区间卜7.一勾±*()A.增函数且量小值是-5B,墙函数且大值是一5c.X函数且大值是5D.X函数且小值是56 .收/(X)是定义在K上的一个函数,则函数F(X)=/(X)-/(-X),在R上肯定是I)A.奇西敷B.偶函敷C.既是奇函数又是斜函数D.非奇非偶函数.7 .下列函数中，在区间01)上是增函敷的是I)A.y"b.>=3-1y-X.函数f()是定义在6,61上的例函数，且在卜6,OI上是减函数，M()A.f(3)÷f(4)>0B.f(-3)-f(2)<0Cn2)+f(5)V0D.f(4).f(1.)>0二、填空意1 .设奇画数“X)的定义域为5：'1.若当Xee5时，/(X)的图徽如右图，则不等式一''(X)<°的解是.2 .函数)=2x.11的值城般.3 .已知Xe【0，I1.财函数>=Jd-J=的值餐是.4 .若面数了(x)=32)/+67)x+3是他画皴，J(x)的M1.X区同是5 .函我/(X)在R上为奇附皴，且(x)=4+1.”>0,Ng<0./(),三、解答题1 .推者一次数y=履+人反比例数二次敷丁="'+bx+cMMw1.2 .已知函我/(X)的定义域为(Tjr且同时，意下列条件：(1.)(x)是奇函数I<2J(x)在定义城上单调递WU(3JQ-0)+(1.')<0求的取值范B1.3.利用函数的单说性求通数；=X+而的馋%4,已知的数«x)=/+M+2xe-5§当=7时，求函数的大值和小值I求实效/的取值范B1.使P=/*'在区闾5.5上是单0函数.实力提升一、选算题1 .下列推断正确的是()=J(X)=mr()=a-X)后A.SftX-2是奇函数B.Sft是偶函数c.西效-'(X)=+G77是非奇非偶函敷D.函数/()si既是奇函数又是偈函数2,若函敷"x)=4H8在5,引上是单,函It则尢的取值范围是I)A.3网b.40,64c.(-,4064,-o)d,64,-ko)3.函数=JKI-J二的值域为I)a.(-.2b,(,2C.V.KO.D.'4c0)4 .已知函数3=+2(-1.)x+Z在区际必上是设西数，则实航7的取值ISH«()A.a-3.B.>-3c.a5d.a35 .下列四个制1，(1)函敷/(X)在X>0时是增函敷，<0也是增函数，所以/(X)是1«函数I若函数/(x)=bx+2与X轴没有交点，必<0且J>0,*-2x3fiwj1.gU"),y=1.+xjRP=jQ+x)'Sf1.M其中正命题的个数是()A.0B.1C.2D.36.定义在R上的函数),清信"+i)=-0),且在区同：-1。上为递地，M()A./</(企"2)B./<(3)<"0C./<(2)<(>),D./(圾)<(2)</(3)二、填空建1 .函敷)=/-M的单调递城区间是.2 .已知定义在衣上的奇电数JX),当1>0时，/(x)=x3+x-1.,拜么x<0时,/(X)=yz_'"B.3 .若遇数'=P+bx+dTU上是奇曲£«/）的|»析式为4 .奇函数"x)在区间13.口上是，8Ht在区间工6上的大值为8,小值为,则2/=,5 .若函JB(x朵+2)x+b在止上是减SMt则上的取值落国为.三、解答题I.推断下列函数的奇偈性c2(x)-0,xe-6.-22,66 .已如雷数=/(X)的定义*为&,W/eR,<3+b)=()+0),且当X>0时，/(x)<“恒成立，证明：的数y:/。)是K上的城函数；的数)'=/")是奇的数7 .设函数/“)与g(x)的定义城是xw&且xw±1.,W*fa.g*)是奇函数，且十""二三1.求/力和Ea)的解析式.8 .itajwatB*(x)三x3+x-+xe.探忖J(X)的奇偶性；求/(X)的量小值.媒合探究j-x2+x(x>0)1 .已知wfcx”卜+Hk-H("°),"'a+(o),j()”()的IH1.性依次为,)A.偶函数，奇函敷B.奇函敷，偶函敷C.偶函数，偶函数D.奇函数，奇的数2 .若J。)是假的数，其定义域为-8.K),且在口加0；上是减的数，则/(-)r(aa÷2*2的大小关系是IA.八-$/+2吗B.y+2+"Cfe""+支/（-：）V/（"+20+.）0»/乙巳吕一D"吗+依吗+”)+心4 .若=TTr在区间一2，地)上是用的效，Jea的取值苒围是.5 .已知函数/(X)的定义域是(0+8),且潴意J(D)=/(x)+8),=1.假如对于。<N儿都有/()>3)<1>*O)斫等式/(r)+(3-x)Z-2.6 .当Xe阿时，M(x)=x'+QP"+%'MM.7 .已知/(x)=-4+4w-4-/在区间.OJ内有一量大值-5,求的值./(x)三x-x31x-Pt.(x)-».已知函数2的最大值不大于宿，又当428.求，的值.