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导数及其应用专题复习一、求切线方程例1.(2012广东理)的&y=F-x+3在点(1,3)处的切线方程为解：.'(x)=32-1.切践的斜率*=r)=3-1.=2,二切线方程为y-3=2(x-1.),即y=2x+1.练习I.(2014广东文)曲V=-5/+3在点(0.2)处的切战方程为5x+y+2=O练习2.(2014江西文)若曲线y=X1.nX上点P处的切线平行于出线2x-y+1=0.则点P的坐标是.(e,e)练习3.(2014新课标11文)已知函数/(x)=f-3F+r+2,曲线y=/(x)在点(0.2)处的切线及X轴交点的横坐标为-2,则=.1练习4.(2014广东理>曲&y=广”+2在点(0.3)处的切践方程为«y=-5x+3练习5.(2014新课标11理)设的线y=ar-1.n(x+1.)在点(0,0)处的切线方程为>=2x.则a=(D)A.0B.IC.2D.3点拔：求切点方程*留意:已知点是否为切点？若未知切点应设切点坐标.若切点为(x0,月).则切线的得率k=/'(.).切点衽在切线上又在曲线上.二、求函数的单调区间例2.(2014湖北文数)求函数的单调区间。解：/(x)的定义域为(0,o).：.当/'()>0.即0<x<e时,/*)单调递增：当f'()<O,即x>e时，f(x)单调递减：故/(-)的单调递增区间为(0.e),单调通战区间为(e.+8)点拨，求函数的单调区间应留意，定义域优先I单辑区间不熊用并集表示.练习6.来函数的单调区间解：八幻的定义域为(0,+8).由f()>O得一1<<O或*>|：由/'(.0<0得<-1.或0<<1.；.f(x)的单调递增区间为(1,+8).单调递减区间为(OJ)练习7.(2014广东文数)已知函数/(X)=1.f+/+t+1.(e?),3求函数的单调区间：解：/'（八）=X2+2x+a.方程X2+2x+=0的判别式：=4(1.-a)当±1.时，AMO,f'()0,此时/(x)在(一.+)上为增脸数：当“<1时，方程V+2x+a=0的根为X=一1±F7.当e(-8.-1一F)时，f'(x)>0,此时/")为增函数：当xe(-1.-J匚Z,-I+JF二7)时，f'(x)<0,此时/(x)为双函数：当(-1一7=7,+»)时，/(0>0,此时/")为堵南数：擦上，当。之1时，/*)的单调递增区间是(F.+8),无单调递减区间；当。<1时，f(x)的单调递增区间是(-»,-1-i7)和(一I一11.÷>).单调递减区向是(-1-J匚工-1+J匚Z)三、求函数的极值例3.(2014福建文数汜知函数/()=5OX为常数)的图像及y轴交于点A.曲线y=(.r)在点A处的切线斜率为一I.(1)求。的值及函数八x)的极值：解：由f(x)=e,-ax得/'(X)="-.又,(x)=1一=T.得“=2./(x)=/-2x,八X)=一2,令,(.v)=0ft)=1.n2当x<1.n2时./'(x)<()./(x)单调递减当.r>1.n2时，/'*)>0./(x)单谓递烟：当X=In2f1./()有微小值,且微小(ft为/(In2)=?'2-21112=2-1.n4./*)无极大值.点拨：求西敷极值时选求导.然后把导函敷因式分解.育次项系败不是I的要提取系敷.练习8.(2014天津文数)已知函数(>0).xiR.(I)求/(x)的单调区间和极值：解：I)因为(。>0),所以八)=2x-20=2v(1.-r).令/Xx)=0得X=OjjK-.a因为当XVO或时，,(x)<0,/(x)单调递犍.当时，f'(x)>O,/(x)单调递增，所以/(小俏=/(°)=°，"&E=/冷亲练习9.(2014重庆文数)已知函数.其中。犬,且曲线y=(x)点(I./)处的切线垂直干.(1)求。的ft：(2)求函数“X)的电调区间和帙(ft.解：(I的曲城y=(x)点(1J)处的切线垂直于加/=.解得r53(2)I1.1.(1)I.(A)=-+Inx一一的定义域为().+<©).44.v2,令/'(X)=O解得X=-I或x=5.因为X=T不在/(x)的定义域内.故自去.xe(O,5)Bt.,<O./(x)单调递减;当xe<5,+>)时.f'(x)>O,/(x)调递增,所以函数.”r)的单调递减区间是(0.5)./")的单词递增区间是(5,+a).H1.此知/（八）在X=5处取得微小值/=-1.n5.四、求函数的最值例4.(2014北京文数汜知函数/(x)=2x'-3.求外在区间-2内上的最大值：解：由f(x)=2F-3x得/'=6/-3.令/'(X)=O得或.当X改变时.,()./(x)的改变状况如下表:X正2r(x)+00+/(X)/极大(ft微小值Z二有板大值.微小值又.(-2)=-IoJ=-1,/（八）在区间-2.1上的几大值为0a点拨，求函敷的量值只求出横值和区间点的函敷值.再比较大小.练习10.已知函数八X)=2-I2r求函数/(、)的单调区间:求函数在-2,3的G大值和最小值.解：f'(x)=6x:-12=6(x+>2)(x-y2),令/'()=0,得XI=-V1.,x?=0当X改变时,f'(x)、/CO的改变状况如卜表：X(-2,-2)(2.3)f()+00+/（八）Z极大值8人、微小值82Z.f(x)的单调遢增区间为(TO,-)和(J,+8),单调递减区间为(-,I)XV/(-2)=8,/(3)=18./(外在-2.3的最大值为18,最小值为-8例5.(2014四川文数已知函数"x)=-r2-九-1,其中“、bwR，e=2.71.828为自然对数的底数。(1)设g(-)是函数/(A-)的导致，求g(-)在区间0.1上的最小值。解：Vf(X)=e,-ax2-bx-,g(x)=f'(x)=et-2ax-b'.g'(x)=et-2a当0时，g'(x)O恒成立，.g(x)在0,1上单调递增g(x)mn=(O)=1.-b当。>0时，令g'(x)=O,得X=In2。-g(x)在(-co,n2«)单网递减.g(x)在(In2a,-t>)尔圜递增：<i)当1.n2«00,即时,g(x)在0,1上单调递增,（八）min=g(0)=-b(ii)当0<1.n2v1.时，即.g(x)在0,1.n24上单调递减.在g(x)在1.n2«,1上单词递增,所以当时,.?(v)m=g(n2a)2a-2aIn2«-ft(iu)当In2>1.,即时,g(x)在0,1上单调递减.g(x)i1.1.=g=e一初一凌综上，当时,g(x)为最小值为1-b：当时,g(x)为最小值为2a-2a1.n2a-b:当时，g(x)为最小值为e-2-b.点拨：求含有分敏的函数在某区间的最值要分类探讨，一般分三类锻值点在区间左极值点在区间内；段值点在区间右例.舔习II.(2011陕西文数)设/(j=1.nx,gCx)=f(x)+f,(x).(I)求N(X)的单调区间和酸小值；解：<1)也应设知/(x)=1.nK,(.v)=f(x)+f'(x)二8")的定义域为(0,+8),令g'(x)=()得x=1.当XW(OO)时,g,(x)<O.g(x)是减函数,故g(x)的单调项区间是(0.1)：当XW(1.÷oo)时，g'(x)>O,g(x)是地函数,故g(x)的单询递增区间是(1.+).因此，x=1.是g(x)的唯一极ft点，且为澈小值点，从而是最小的点。所以g(x)的最小值为g(D=1.练习12.(2011北京文数已知函数/(X)=(X-A)/,求/(X)的单冏区间：(II)求/(x)在区间0,1上的最小值.解：<1.>/'(x)=1.+(x-A2=d+1.W,:I'(x)>0W,v>jI-1,i1.1.,(x)<0)x<jI-.所以/(.V)的单调递增区间是4-1.+)./（八）的单谓递i区间是(-8,1)：(I1.)令/'(.t)=0得X=J1.1,当A-IWO即I时，函数/(x)在区间0.1上单调递增，所以/(X)ei1.n=/(0)=-k:当0<R-1.1.即1.<k2时，由(I)知，函数f(x)在区间04-IJ上单调递减，在区间(-1,1上单调递增，所以f(x)mr,=/伏-I)=-/'当£一1>1,即£>2时，函数/(©在区间0,1上单调通诚，所以J，。)E=f(D=(1)。*综上所述,当A1.时，函数/(x)在区间OJJ上的最小值为Tt;1<MM2时,tt(x)区间0,1上的此小值为一/T：当&>2时，函数/（八）在区间0,1上的生小侑为(I-Jt)e.五、恒成立问题例6.(2014辽宁文数)当-2.1时，不等式r'-W+4x+30ftz,则实数a的取值范围是(>A.5,3B.C.|6,-2D.4,一3解：不等式0?+4x+30变形为r'>.r-4x-3.当X=O时.0x'Y-4x-3变为02-3.故实数a的取值愆国是R.当Xe(0.1时,原不等式等价于,记Jw,()=TY*+9=二区*三9)>0故N在(0川上单网递增,则XX/(*)E=/(|)=-，故。之-当XW-2,0)时,原不等式等价于,记,则/'")=二0+?二9=二汇+1)匚9)令八幻=0得户_或工=9(舍去)XX当xe-N-1.)时J'(x)<0.(x)单调递犍;当.rw(T0)时.,(x)>0,/(x)单调递增做/(x)川n=(-D=-2综上所述,实数a的取伯莅圉是-6,-2出(C)点拨，恒成立问题应留意:等号是否成立？留意区分传成立及恒或团求”的取值每B1.好的分别。.之(r)恒成立，J«(rU.af(.r)恒成立,则afMmt。练习13.(2014新课标I1.文数>若因数/(X)=心-InX在区间(1,+8)单调递增，则女的取值范围是()（八）(-o,-2(B)(-a>,>1.<C)2,-hx>)(D),+«>)解：V/(.V)=1.X-In戈：.(x)在区间(1,/)单调递增.'(x)0在1.+8)恒成立即在(I,+8)恒成立故选)练习14.(2OI3)设第数/(*)=InX-WX,g(x)='-at,其中a为实数.(1)若/(x)在(1,+®)上是总诩减函数,Rg(x)在(1,+8)上有最小(ft.求的取位范围；解：例即对XG(I,+«)恒成立，I而由XG(1.+)知J<1.a>1X1.ig'(x)=e,-a,令g'(x)=O,则K=Ina当X<Ina时,(x)<0,g(幻单倜递减:当X>Ina时,(x)>0,g(x)单倜递增:Yg(x)在。,÷x>)上有最小值Ina>1：.a>e.综上所述：«的取Ci范围为(e,+8)练习15.(2012湖南文数)已知函数/(x)=e'-ar.其中>0.(I)若对一切XGR，/(x)1忸成立，求”的取值集合；解：f(M=e'-0,令/'(幻=OfUx=Ina.当x<1.na时/'(x)<O,(x)单调通诚；当x>1.n时/'(x)>O,/*)单调递增，故当X=Ina时，/(x)取%上小值/(In«)=«-«Ina.于玷对一切xwR(x)之I恒成立，当且仅当-a1.n021.令g()=f-"n,贝>0,(f)=-1.n/.当Ou<I时,'(r)>O.g(r)总网递增：当/>1时，g'()<O.g(r)地网递战.故当/=I时,g(r)取最大值以I)=1.因此.当且仅当。=1时.式成立.综上所述,“的取值集合为1.五、证明不等式例7.(2014福建文理)当x>0时,2<e'.证明:设g(x)=eA-x则g,(x)=e'-2x设h(x)=g'()="-2x,则/（八）="-2,令,(x)=O,得X=In2当*wQn2,中»)时用(X)>OJt(X)单倜递增:当XG(y>,1.n2)时用(x)<0,(x)单调递减：.(A-)1.m=(1.n2)=2-1.n4>0：.g'(x)>O恒成立，.g(x)在(O.-wo)单调递增：；.g(x)>g(O)=1.>O即->X2.当x>0时<e'点拨：运用4MWE明不等式Ir先要恰当地拘造函数I关健).然后用导敷求量值.练习16.(2014新课标I理数)证明:证明:设g(x)=KIn*.则g(x)的定义域为(0,+»).g'(x)=I11+I.当时,g'(x)>O.g(x)在上单调递增；当时,g'(x)v(),g(r)在上单词递减：.g(x)在(0,+8)上的最小值为设(.v)=xe1-(x>0),则A,(.t)=,(1-X).e当X6(O,1.),()>OJJ(X)在(Oj)上单调递增;i.ve(1.,+oc)Rt,(,v)<0,j(x)在(1.+r)上单调递减：.皿外在(O,+>)上的最大侑为综上,x>0时,g(x)>I(X),即.六、综合练习练习17.(2014陕西文数设函数/(X)=Inx+巴.，WR.X(I)当"，=e<e为自然时数的底数)时，求/(刈的微小伯：(2)探讨函数零点的个数：(3)若对随意人>4>0,忸成立，求，”的取值范围。解：(I).析=。时./(.V)的定义域为(0.*o).当.r(e.+)时，,(.v)>0,/(X)在(e,÷)上单调通墙；当x(Qe)时，,(A-)<0.f()在(0,e)上单调递减；.=e时f(x)取得澈小值,/(x)的段小值为2.<2>由超设(x>0),令g(x)=O得(x>0),S(x>0).则e'(j=-./+1=Tx+INx-I).当XG(O.D时,(x)>0.一在(0,1)上单调递增:当Xe(1.+oc)时，'(x)<O,(x)在(1.kq)上单曲递减：.r=1.是*()的唯极值点，且是极大值点.因此x=1.是*()的最大值点.：.(x)的最大值为.又加O)=O,结合y=9(x)的图象(如图，可知当时，函数g(x)无零点：于7*、当时，函数g(x)有且只有一个零点：，J_V-*当时，函数g*)有两个零点：当m0时函数g(x)有且只有一个零点：嫁上所述，当时,函数g*)无零点，当或140时，函数g(x)有且只有一个零点.当时，函数g(x)有两个零点。(3)时版意>>0,忸成立等价干仇一<(")-“恨成立<*)设A(X)=f(X)-X(x>0),则(*)等价于/T(X)在(0,+)单调递M.二在(0.+8)上恒成立，f!n-x2+x=-(x-)2+-在(0,+)上恒成立，24；S1.(当且仅当时上式等号成立>4：./.m的取值范围是练习18.(2014安徽文数设函数/CO=1+(1+)x-2-.其中>0(1)探讨/")在其定义城上的单调性：(2)当XG1.O.1时.求/(X)取得的大值和最小值时的K的值.解：/(x)的定义域为(TO,钟).,(.v)=1.+-2x-3.,.ffI-。4+3I+4+3«A/(X)=OrtJx1.=/=,-v1.<x2,（八）=-3(x-,)(-,),二当XV.9或x>七时，,(x)<0:当X1.VXV七时，f'x>O.故"X)在(-8,芭)和(玉,+8)内单调遢减，在(玉,与)内单调递增.(2).,w>O1<O,Xj>0当“4时，士之1,由(I)知f(x)在K)J上单网递增,所以/（八）在*=I和X=O处分别取得最大强和最小值；当0<<4时，X,<I.由知/(X)在O,J上单调递增,在公,IJ上单调递犍.因此f(x)在处取得最大值.又/(0)=1.f(1.)=.所以当0<<I时,f(x)在X=1处取得最小值;当=I时，/()在X=O和*=I处同时取得生小值：当时，x)在X=O处取得最小值.练习19.已知函数/(x)=InK-小("wK)(I)求函数/(x)的的两区间：(I1.)当aX)时,求的数/3在1,2上的最小也(I)当aWO时，>0,故函数f(x)增函数，即函数的/(外单调地区间为(0,+8).当时，令=0,可得，当时,；当时,，故函数fx的总调迤增区间为,单调减区间是.(I1.)当'1.即I时.函数f(x)在区RM1.z上是减函%.«./（八）的最小值是/(2)=In2-2«.当，即时,函数/(X)在区间”.2上是增函数，.(x)的最小值是/(1)=-当，即时，函数/(x)在上是增函数，在是减函数.又f(2)-f(D=In2-,工当时,最小值是/(I)=-a；当In2a<1时,最小值为/(2)=I112-2.综上可知,当0<a<1.n2时，除数/(x)的最小位是/(x>e=“：当”n2时，函数的最小但是X)M“=In2.练习20.已知函数/)=Jr2-(2a+1.)x+2InX(«eR).(1)若曲城y=()在x=1.和x=3处的切线相互平行，求。的值；(11)求/(力的单调区间:(II1.)设g*)=F-2,若对随感x(0,2,均存在.qw(0,2,使汨/(»)Vg(XJ,求。的取值范阚.2解：/'(X)=v-(2+1.)+-(x>0).X(I，由r=r(3),解得.(II) (x>0).当”40时.x>0.av-I<0.在区间(0,2)上，,(a)>()j在区间(2,+CO)上/'(X)<0,故/(x)的唯调递增区间是(0,2),单门通战区间砧(2,+8).当时，在区间(0,2)和上，,()>0;在区间上/'(x)<0,故/(*)的单调递增区间是(0,2)和，单调通M区间是.当时，故JXx)的单网递增区间是(O,+).当时,，在区间和(2,”)上，,(x)>o三在区间上r*)<o,故/a)的总调递增区间是和(2,+8),单调递减区间是.(IID由已知，¢(0,2上有/(x)mn<g(x)nm由已知,8")i=0,由(II)可知，当时，fix)在(0,2上总调递增，故/(v),u,=/(2)=2-2(2+1)+2In2=-次-2+2In2.所以,-24-2+21n2<0,解得>M2-1.故.当时,/")在上单词递增,在上单圜递减.故/)z=fd)=-2-J-21n0a2«由可知，21.n>2,-21.na<2,所以，-2-21n"V,/()bux<0,综上所述，w>1.n2-1.